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专题 4.2 平面向量的概念及线性运算
【新高考专用】
题型一 平面向量的基本概念
1．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路
程；⑦密度.其中是向量的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解题思路】由向量的概念即既有大小又有方向的量即可求解.
【解答过程】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度.
故选：C.
2．（24-25高一·江苏·课后作业）下列结论正确的个数是（ ）
①温度含零上和零下，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③若向量⃗a与⃗b不共线，则⃗a与⃗b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则⃗a>⃗b．
A．0 B．1
C．2 D．3
【解题思路】①根据向量的概念可判断；②根据向量模的概念可判断；③根据零向量与任何向量共线可判
断；④根据向量的性质可判断.
【解答过程】①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量；
②错，0⃗的模等于0；
③正确，根据零向量与任何向量共线可以判断正确；
④错，向量不能比较大小．
故选：B．
3．（23-24高一下·海南儋州·阶段练习）下列各量中，向量有： ③⑤⑥ ．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．
【解题思路】根据向量的概念判断即可.【解答过程】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度.
故答案为：③⑤⑥.
4．（2024高一·全国·专题练习）给出下列命题：
①若⃑a//⃑b,⃑b//⃑c ，则⃑a//⃑c；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量⃑AB与⃑CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是 ③ ．
【解题思路】①考虑⃑b=0⃑的情况；②根据单位向量的定义判断.③根据相等向量的定义判断.④共线向量即
平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直线可能平行也可能重合.
【解答过程】①错误．若⃑b=0⃑，则①不成立；
②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；
③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；
④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量⃑AB与⃑CD必须在同一直线
上．
故答案为：③.
题型二 向量的几何表示与向量的模
5．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB=1，则|⃑AB+⃑FE+⃑CD|=
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2√3
【解题思路】由正六边形性质可得⃑FE=⃑BC,进而由向量的加法法则求解即可
【解答过程】由题,可知⃑FE=⃑BC,
所以|⃑AB+⃑FE+⃑CD|=|⃑AB+⃑BC+⃑CD|=|⃑AD|=2,
故选:B.
6．（23-24高一上·河北保定·期末）若平面向量⃗a,⃗b,⃗c两两所成的角相等，且⃗a|=2,|⃗b|=2,|⃗c|=6，则
|⃗a+⃗b+⃗c|=（ ）A．4 B．8 C．4或10 D．10或8
【解题思路】讨论⃑a，⃑b，⃑c共线时和不共线时，分别求出|⃑a+⃑b+⃑c|的值．
【解答过程】解：当⃑a，⃑b，⃑c两两所成的角为0°时，⃑a，⃑b，⃑c共线，|⃑a+⃑b+⃑c|=|⃑a|+|⃑b|+|⃑c|=10；
当⃑a，⃑b，⃑c不共线时，∵平面向量⃑a，⃑b，⃑c两两所成的角相等，两两所成的角应为120°，
如图所示：
∴|⃑a+⃑b|=2，且⃑a+⃑b与⃑c共线，但方向相反，
∴|⃑a+⃑b+⃑c|=|⃑c|−|⃑a+⃑b|=4．
综上，|⃑a+⃑b+⃑c|的值是10或4．
故选：C．
7．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|⃗AB+⃗FE+⃗CD|＝ 2
．
【解题思路】由向量的加法原则求解即可.
【解答过程】因为⃗AB+⃗FE+⃗CD=⃗AB+⃗BC+⃗CD=⃗AD，
因为正六边形ABCDEF是由6个全等的等边三角形构成，所以|⃗AD|=2，
所以|⃗AB+⃗FE+⃗CD|=|⃗AD|=2.故答案为：2.
8．（23-24高一下·全国·课后作业）在静水中船的速度为20m/min，水流的速度为10m/min，如果船从
3√3
岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过1h，该船的实际航程是 km.
5
【解题思路】根据实际航线是垂直于河岸，作出图形，求得实际速度后可得结论．
【解答过程】如图，⃑AB是水流方向，⃑AC是垂直于河岸的方向，是船的实际航线，因此⃑AD是船在静水中
的航行方向，|⃑v |=20m/min， |⃑v |=10m/min，则∠DAC=30°，
AD AB
3√3
|⃑v |=20×cos30∘=10√3(m/min)，故该船1h行驶的航程为10√3×60=600√3(m)= (km).
AC 5
3√3
故答案为： ．
5
题型三 向量加、减法的几何意义
9．（2024·广东湛江·一模）在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，记⃗AC=⃗a，⃗DB=⃗b，则⃗AE=
（ ）
1 1 2 1
A． ⃗a− ⃗b B． ⃗a+ ⃗b
2 4 3 3
1 3 1
C．⃗a+ ⃗b D． ⃗a+ ⃗b
2 4 41 1 1
【解题思路】根据向量的线性运算法则，求得⃗CB= ⃗b− ⃗a，结合⃗AE=⃗AC+⃗CE=⃗AC+ ⃗CB，即可求
2 2 2
解.
1 1 1 1
【解答过程】如图所示，可得⃗CB=⃗OB−⃗OC= ⃗DB− ⃗AC= ⃗b− ⃗a，
2 2 2 2
所以⃗AE=⃗AC+⃗CE=⃗AC+ 1 ⃗CB=⃗a+ 1(1 ⃗b− 1 ⃗a ) = 3 ⃗a+ 1 ⃗b.
2 2 2 2 4 4
故选：D．
10．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知△ABC，点D为边BC上一点，且满足⃗BD=2⃗DC，则向量
⃗AD=（ ）
1 1 1 2
A． ⃗AB+ ⃗AC B． ⃗AB+ ⃗AC
3 3 3 3
2 1 2 2
C． ⃗AB+ ⃗AC D． ⃗AB+ ⃗AC
3 3 3 3
【解题思路】利用向量的加法和减法运算法则即可求解.
1 1 1 2
【解答过程】⃗AD=⃗AC+⃗CD=⃗AC+ ⃗CB=⃗AC+ (⃗AB−⃗AC)= ⃗AB+ ⃗AC,
3 3 3 3
2 2 1 2
另解：⃗AD=⃗AB+⃗BD=⃗AB+ ⃗BC=⃗AB+ (⃗AC−⃗AB)= ⃗AB+ ⃗AC.
3 3 3 3
故选：B.
11．（23-24高一下·海南·阶段练习）设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若⃑AB=⃑a，⃑AD=⃑b，
⃑OD=⃑c，则⃑OB= ⃑a−⃑b+⃑c .
【解题思路】在△OAD与△OAB中利用向量加法和减法法则即可作答.
【解答过程】依题意，在△OAD中，⃑OA=⃑OD+⃑DA=⃑c−⃑b；
在△OAB中，⃑OB=⃑OA+⃑AB=⃑c−⃑b+⃑a，所以⃑OB=⃑a−⃑b+⃑c.
故答案为：⃑a−⃑b+⃑c.
12．（2024高一·全国·课后作业）如图，D、E、F分别是△ABC边AB、BC、CA上的中点，则等式：
①⃗FD+⃗DA−⃗AF=0⃗ ②⃗FD+⃗DE−⃗EF=0⃗ ③⃗DE+⃗DA−⃗BE=0⃗ ④⃗AD+⃗BE−⃗AF=0⃗
其中正确的题号是 ③④ ．
【解题思路】根据向量的线性运算逐项分析判断.
【解答过程】对于①：⃗FD+⃗DA−⃗AF=⃗FA+⃗FA=2⃗FA≠0⃗，故①错误；
对于②：⃗FD+⃗DE−⃗EF=⃗FE+⃗FE=2⃗FE≠0⃗，故②错误；
对于③：⃗DE+⃗DA−⃗BE=⃗DE−⃗DB−⃗BE=⃗BE−⃗BE=0⃗，故③正确；
对于④：⃗AD+⃗BE−⃗AF=⃗AD+⃗DF−⃗AF=⃗AF−⃗AF=0⃗，故④正确；
故答案为：③④.
题型四 向量的线性运算
13．（2024高一下·全国·专题练习）化简： （ ）
3(⃗a+⃗b)+⃗b−4(⃗a−⃗b)=
A．2⃗b−⃗a B．−⃗a C．6⃗a−⃗b D．8⃗b−⃗a
【解题思路】根据向量的线性运算法则计算即可得到答案.
【解答过程】原式=3⃗a+3⃗b+⃗b−4⃗a+4⃗b=8⃗b−⃗a．
故选：D．
14．（23-24高一下·北京·阶段练习）在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，AC与BD相交于点O，
则下列结论错误的是（ ）
1
A．⃗AC−⃗AD= ⃗AB B．|⃗OA+2⃗OC|=0
2
2 1
C．⃗OA= ⃗CD+ ⃗CB D．⃗AB+⃗BC+⃗CD+⃗DA=0⃗
3 3
【解题思路】
结合题意，应用向量加减、数乘的几何意义逐项判断即可得.1
【解答过程】对A：⃗AC−⃗AD=⃗DC= ⃗AB，故A正确；
2
CO CD 1
对B：由AB//CD，故 = = ，故⃗OA=−2⃗OC，
OA AB 2
则 ，故B正确；
|⃗OA+2⃗OC|=|−2⃗OC+2⃗OC|=0
2 2 2 4 2
对C：由⃗OA=−2⃗OC，故⃗OA= ⃗CA= (⃗CB+⃗BA)= (⃗CB+2⃗CD)= ⃗CD+ ⃗CB，
3 3 3 3 3
故C错误；
对D：⃗AB+⃗BC+⃗CD+⃗DA=⃗AC+⃗CA=⃗AC−⃗AC=0⃗，故D正确.
故选：C.
15．（23-24高一下·吉林白城·阶段练习）化简 .
4(⃑a−3⃑b)−6(−2⃑b−⃑a)= 10⃑a
【解题思路】根据向量的线性运算直接求解即可.
【解答过程】 .
4(⃑a−3⃑b)−6(−2⃑b−⃑a)=4⃑a−12⃑b+12⃑b+6⃑a=10⃑a
故答案为:10⃑a.
16．（2024高一·全国·课后作业）若向量⃗a=3i⃗−4⃗j，⃗b=5i⃗+4⃗j，则 (1 ⃗a−⃗b ) −3 ( ⃗a+ 2 ⃗b ) +(2⃗b−⃗a)=
3 3
32
−16i⃗+ ⃗j .
3
【解题思路】根据向量的加减与数乘，可得答案.
1 1 16
【解答过程】 ⃗a−⃗b= (3i⃗−4⃗j)−(5i⃗+4⃗j)=−4i⃗− ⃗j；
3 3 3
2 2 19 4
⃗a+ ⃗b=(3i⃗−4⃗j)+ (5i⃗+4⃗j)= i⃗− ⃗j；
3 3 3 3
；
2⃗b−⃗a=2(5i⃗+4⃗j)−(3i⃗−4⃗j)=7i⃗+12⃗j
(1 ⃗a−⃗b ) −3 ( ⃗a+ 2 ⃗b ) +(2⃗b−⃗a)
3 3= ( −4i⃗− 16 ⃗j ) −3 (19 i⃗− 4 ⃗j ) +(7i⃗+12⃗j)
3 3 3
32
=−16i⃗+ ⃗j.
3
32
故答案为：−16i⃗+ ⃗j.
3
题型五 根据向量线性运算求参数
1
17．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知E为△ABC所在平面内的点，且⃗BA+ ⃗BC=2⃗BE.若
2
n
⃗CE=m⃗AB+n⃗AC，则 =（ ）
m
1 1
A．−3 B．3 C． D．−
3 3
【解题思路】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理将⃗BC,⃗CE用⃗AB,⃗AC表示，求得m,n，即可
得出答案.
【解答过程】
因为⃗BE=⃗BC+⃗CE，
1
则⃗BA+ ⃗BC=2⃗BE=2(⃗BC+⃗CE)，
2
3 3 1 3
所以2⃗CE=−⃗AB− ⃗BC=−⃗AB− (⃗AC−⃗AB)= ⃗AB− ⃗AC，
2 2 2 2
1 3
所以⃗CE= ⃗AB− ⃗AC，
4 4
1 3
所以m= ，n=− ，
4 4
n
故 =−3.
m
故选：A.18．（24-25高三上·浙江·期中）在△ABC中，D是BC上一点，满足⃗BD=2⃗DC，M是AD的中点，若
⃗BM=λ⃗BA+μ⃗BC，则λ+μ=（ ）
5 7 5 5
A． B． C． D．
4 8 6 8
【解题思路】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.
1 1 1
【解答过程】由题可知，⃗AM= ⃗AD⇒2⃗BM−2⃗BA=⃗BD−⃗BA⇒⃗BM= ⃗BA+ ⃗BD，
2 2 2
2
⃗BD=2⃗DC=2(⃗BC−⃗BD)⇒⃗BD= ⃗BC,
3
1 1 1 1 1 1 5
所以有⃗BM= ⃗BA+ ⃗BD= ⃗BA+ ⃗BC，所以λ= ,μ= ，得λ+μ= .
2 2 2 3 2 3 6
故选：C.
λ 1
19．（2024·贵州·模拟预测）在△ABC中，点D为边BC中点，若⃗AD+⃗BC=λ⃗AB+μ⃗AC，则 = − .
μ 3
【解题思路】利用平面向量的加减法法则运算即可.
1 1 3
【解答过程】因为点D为边BC中点，所以⃗AD+⃗BC= (⃗AB+⃗AC)+(⃗AC−⃗AB)=− ⃗AB+ ⃗AC，
2 2 2
1 3 λ 1
所以λ=− ，μ= ， =− .
2 2 μ 3
1
故答案为：− .
3
20．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足⃗AC=3⃗AG，若
⃗DG=m⃗AB+n⃗AD，则m−n= 1 .
【解题思路】
1 2
利用向量线性运算求得⃗DG= ⃗AB− ⃗AD，与题干对照即可求解.
3 3
【解答过程】
1 1 1 2 1 2
⃗DG=⃗AG−⃗AD= ⃗AC−⃗AD= (⃗AB+⃗AD)−⃗AD= ⃗AB− ⃗AD，则m= ，n=− ，
3 3 3 3 3 3
所以m−n=1.
故答案为：1.
题型六 向量共线定理及其应用
21．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量⃗a,⃗b不共线，⃗AB=λ⃗a+⃗b,⃗AC=⃗a+μ⃗b，其中λ>0,μ>0，若A,B,C三点共线，则λ+4μ的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解题思路】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.
【解答过程】因为A,B,C三点共线，
所以存在实数k，使 ，即 ，
⃗AB=k⃗AC λ⃗a+⃗b=k(⃗a+μ⃗b)
又向量⃗a,⃗b不共线，所以¿，
由λ>0,μ>0，所以λ+4μ≥2√4λμ=4，
当且仅当λ=4μ时，取“=”号，
故选：B.
22．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量 ， 不共线， ， ，且 ，
⃗e ⃗e ⃗a=(2k−1)⃗e +2⃗e ⃗b=⃗e −⃗e ⃗a//⃗b
1 2 1 2 1 2
则k=（ ）
1 3
A．− B．0 C．1 D．
2 2
【解题思路】依题意可得⃗a=t⃗b，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【解答过程】因为 ， 且 ，
⃗a=(2k−1)⃗e +2⃗e ⃗b=⃗e −⃗e ⃗a//⃗b
1 2 1 2
所以 ，即 ，
⃗a=t⃗b (2k−1)⃗e +2⃗e =t(⃗e −⃗e )
1 2 1 2
又⃗e ，⃗e 不共线，
1 2
所以¿，解得¿.
故选：A.
1
23．（2024·辽宁·模拟预测）已知向量⃗m,⃗n不共线，⃗a=λ⃗m+⃗n,⃗b=(λ−1)⃗m−2⃗n，若 ⃗a//⃗b，则λ= .
3
【解题思路】借助平面向量共线定理与平面向量基本定理计算即可得.
【解答过程】由⃗a//⃗b，⃗m,⃗n不共线，故存在实数k≠0，使⃗a=k⃗b，
即有λ⃗m+⃗n=k(λ−1)⃗m−2k⃗n，即有¿，
解得¿.
1
故答案为： .
3
2
24．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在△ABC中，⃗BD= ⃗BC，P是线段AD上的动点（与端点不重
3x+ y
合），设⃗CP=x⃗CA+ y⃗CB，则 的最小值是 4+2√3 .
xy
2
【解题思路】由⃗BD= ⃗BC，得到⃗CB=3⃗CD，从而有⃗CP=x⃗CA+3 y⃗CD，再根据A,P,D三点共线，得
3
到x+3 y=1，然后利用基本不等式求解.
2
【解答过程】解：因为在△ABC中，⃗BD= ⃗BC，
3
所以⃗CB=3⃗CD，
又因为⃗CP=x⃗CA+ y⃗CB，则⃗CP=x⃗CA+3 y⃗CD，
因为A,P,D三点共线，则x+3 y=1，结合题意知x>0,y>0，
x+ y 1 1 (1 1)
所以 = + = + (x+3 y)，
xy y x y x
x 3 y √ x 3 y
= + +4≥2 ⋅ +4=2√3+4，
y x y x
当且仅当¿，即 ¿时，等号成立，
故答案为：4+2√3.
一、单选题
1．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有（ ）
A．①⑥ B．⑦⑧⑨ C．①⑧⑨ D．①⑥⑦⑧⑨
【解题思路】根据向量的定义可得正确的选项.
【解答过程】速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，故它们为向量，
余下皆不为向量，
故选：D.
2．（23-24高一下·河南许昌·期末）已知点 在 所在平面内，满足 ，则点 是
O △ABC |⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC| O
△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【解题思路】根据点O到A,B,C的距离相等可得答案.
【解答过程】因为 ，即点 到 的距离相等，
|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC| O A,B,C所以点O是△ABC的外心.
故选：A.
3．（2024·甘肃白银·一模）⃗AB+⃗BC+2⃗CD−⃗CE= （ ）
A．⃗AD B．⃗AE C．⃗AD+⃗CD D．⃗AD+⃗ED
【解题思路】由向量的线性运算求出即可；
【解答过程】⃗AB+⃗BC+2⃗CD−⃗CE=⃗AC+⃗CD+⃗CD−⃗CE=⃗AD+⃗ED.
故选：D.
4．（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，则（ ）
A．⃗AB与⃗AC共线 B．⃗DE与⃗CB共线
C．⃗CD与⃗AE相等 D．⃗AD与⃗BD相等
【解题思路】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可.
【解答过程】由题意可知，⃗AB与⃗AC不共线，A错；
因为D、E分别是AB、AC的中点，所以，DE//BC，故⃗DE与⃗CB共线，B对；
因为CD与AE不平行，所以⃗CD与⃗AE不相等，C错；
因为⃗AD=⃗DB=−⃗BD，D错．
故选：B.
5．（2024·四川南充·一模）已知正方形 的边长为1，则 （ ）
ABCD |⃗AB+⃗BC−⃗CA|=
A．0 B．√2 C．2√2 D．4
【解题思路】利用向量运算法则得到 .
|⃗AB+⃗BC−⃗CA|=2|⃗AC|=2√2
【解答过程】 ，
|⃗AB+⃗BC−⃗CA|=|⃗AC−⃗CA|=2|⃗AC|
因为正方形ABCD的边长为1，所以AC=√1+1=√2，
故 .
|⃗AB+⃗BC−⃗CA|=2√2
故选：C.
6．（2024·辽宁·模拟预测）在平行四边形ABCD中，⃗AE=2⃗EC,⃗EF=⃗FB，则（ ）1 5 2 5
A．⃗AF= ⃗AB+ ⃗AD B．⃗AF= ⃗AB+ ⃗AD
3 6 3 6
5 1 5 2
C．⃗AF= ⃗AB+ ⃗AD D．⃗AF= ⃗AB+ ⃗AD
6 3 6 3
【解题思路】运用平行四边形法则和三角形法则，结合线性运算法则解题即可.
2 2
【解答过程】如图，由题意⃗AE=2⃗EC,可知⃗AE= ⃗AC= (⃗AB+⃗AD),F是BE的中点，
3 3
1 1 1 1 5 1
所以⃗AF= ⃗AB+ ⃗AE= ⃗AB+ (⃗AB+⃗AD)= ⃗AB+ ⃗AD．
2 2 2 3 6 3
故选：C．
7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量 与 不共线，向量 ，若 ，
⃗a ⃗b ⃗m=x⃗a+⃗b,⃗n=⃗a+(3x−2)⃗b ⃗m//⃗n
则实数x的值为（ ）
1 1 1
A．1 B．− C．1或− D．−1或
3 3 3
【解题思路】根据平面共线定理，由向量平行，求得x满足满足的方程，求解即可.
【解答过程】由 ⃗m//⃗n ，且
m
⃗
,
⃗
n
均不为零向量，则
m
→
=λ
→
n=λ
⃗
a+λ(3x−2)
⃗
b,λ∈R
，
可得¿，则x(3x−2)−1=0，
1
整理得3x2−2x−1=0，解得x=1或x=− ．
3
故选：C．
8．（2024·全国·二模）点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足⃗OP=⃗OA+⃗OB+⃗OC，则直线OP
经过△ABC的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【解题思路】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.
【解答过程】设BC的中点为点D，所以⃗OB+⃗OC=2⃗OD，
则⃗OP−⃗OA=⃗AP=2⃗OD，
若A,P,O,D四点共线时，即点O,P都在中线AD上，所以OP经过三角形的重心，
若A,P,O,D四点不共线时，AP//OD，且AP=2OD，连结AD,OP，交于点G，如图，
AG AP
= =2，即点G是三角形的重心，即OP经过△ABC的重心，
GD OD
综上可知，OP经过△ABC的重心.
故选：A.
二、多选题
9．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的是
（ ）
A．与⃗AB相等的向量只有1个（不含⃗AB）
B．与⃗AB的模相等的向量有9个（不含⃗AB）
C．⃗BD的模恰为⃗DA的模的√3倍
D．⃗CB与⃗DA不相等
【解题思路】根据相等向量以及模长定义，结合结合图形求解ABD，根据菱形的性质即可求解C.
【解答过程】由于⃗AB=⃗DC，因此与⃗AB相等的向量只有⃗DC，而与⃗AB的模相等的向量有⃗DA，⃗DC，
⃗AC，⃗CB，⃗AD，⃗CD，⃗CA，⃗BC，⃗BA，故A，B正确；
√3
而在Rt△AOD中，∵∠ADO=30°，∴|⃗DO|= |⃗DA|，故|⃗DB|=√3|⃗DA|，故C正确；
2
由于⃗CB=⃗DA，因此⃗CB与⃗DA是相等的，故D错误．
故选：ABC.
10．（2024·辽宁·二模）△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足
⃗OP=⃗OA+⃗OB+⃗OC，则（ ）
A．O,P,G三点共线 B．⃗OP=2⃗OG
C．2⃗OP=⃗AP+⃗BP+⃗CP D．点P在△ABC的内部【解题思路】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．
【解答过程】⃗OP=⃗OA+⃗OB+⃗OC=⃗OG+⃗GA+⃗OG+⃗GB+⃗OG+⃗GC
=3⃗OG+⃗GA+⃗GB+⃗GC，
因为点G为△ABC的重心，
所以⃗GA+⃗GB+⃗GC=0⃗，所以⃗OP=3⃗OG，
所以O,P,G三点共线，故A正确，B错误；
⃗AP+⃗BP+⃗CP=⃗AO+⃗OP+⃗BO+⃗OP+⃗CO+⃗OP
=(⃗AO+⃗BO+⃗CO)+3⃗OP，
因为⃗OP=⃗OA+⃗OB+⃗OC，
所以(⃗AO+⃗BO+⃗CO)+3⃗OP=−⃗OP+3⃗OP=2⃗OP，即2⃗OP=⃗AP+⃗BP+⃗CP，故C正确；
因为⃗OP=3⃗OG，
所以点P的位置随着点O位置的变化而变化，故点P不一定在△ABC的内部，故D错误；
故选：AC．
1
11．（2024·山西晋中·模拟预测）在△ABC中，D为边AC上一点且满足⃗AD= ⃗DC，若P为边BD上一点，
2
且满足⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC，λ，μ为正实数，则下列结论正确的是（ ）
1
A．λμ的最小值为1 B．λμ的最大值为
12
1 1 1 1
C． + 的最大值为12 D． + 的最小值为4
λ 3μ λ 3μ
【解题思路】根据B,D,P三点公式求得λ+3μ=1，结合基本不等式判断即可.
1
【解答过程】因为⃗AD= ⃗DC，所以⃗AC=3⃗AD，
2
又⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC=λ⃗AB+3μ⃗AD，
因为P、B、D三点共线，所以λ+3μ=1，
1 1 (λ+3μ) 2 1
又λ，μ为正实数，所以λμ= λ×3μ≤ × = ，
3 3 2 12
1 1
当且仅当λ=3μ，即λ= ，μ= 时取等号，故A错误，B正确；
2 6
1 1 (1 1 ) 3μ λ √3μ λ ，
+ = + (λ+3μ)=2+ + ≥2+2 ⋅ =4
λ 3μ λ 3μ λ 3μ λ 3μ
3μ λ 1 1
当且仅当 = ，即λ= ，μ= 时取等号，故C错误，D正确.
λ 3μ 2 6故选：BD.
三、填空题
12．（2024·河南·二模）已知 不共线，向量 ， ，且 ，则 ．
⃗e ,⃗e ⃗a=3⃗e −2⃗e ⃗b=k⃗e +6⃗e ⃗a//⃗b k= −9
1 2 1 2 1 2
【解题思路】根据向量共线定理可知k⃗e +6⃗e =3λ⃗e −2λ⃗e 成立，列出方程组，即可得出答案.
1 2 1 2
【解答过程】因为⃗a//⃗b，所以∃λ∈R，使得⃗b=λ⃗a成立，即k⃗e +6⃗e =3λ⃗e −2λ⃗e .
1 2 1 2
因为⃗e ,⃗e 不共线，所以¿，解得¿.
1 2
故答案为：−9.
13．（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题：
①若向量⃗a∥⃗b，⃗b∥⃗c，则⃗a∥⃗c；
②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；
③在菱形ABCD中，一定有⃗AB=⃗DC.
其中是真命题的为 ②③ .（填序号）
【解题思路】根据平行向量的概念可判断①；根据单位向量的概念可判断②；根据相等向量的概念可判断
③.
【解答过程】若⃗b=0⃗，则向量⃗a不一定与向量⃗c平行，故①不正确；
单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，
终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故②正确；
在菱形 中， ， 与 方向相同，故 ，故③正确.
ABCD |⃗AB|=|⃗DC| ⃗AB ⃗DC ⃗AB=⃗DC
故答案为：②③.
14．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算
经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形).
类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的
一个大等边三角形，且DF=AF，点P在AB上，BP=2AP，点Q在△≝¿ 内 (含边界)一点，若
3
⃗PQ=λ⃗PD+⃗PA，则λ的最大值为 .
2DP 2
【解题思路】先利用向量线性运算得到⃗AQ=λ⃗PD，作出辅助线，得到DP//AH，且 = ，从而得
AH 3
到答案.
【解答过程】⃗PQ=λ⃗PD+⃗PA⇒⃗PQ−⃗PA=λ⃗PD⇒⃗AQ=λ⃗PD，
取DE的中点H，连接AH，
因为BD=DE，故BD=2HD，
BP BD 2 DP 2
又BP=2AP，所以 = = ，故DP//AH，且 = ，
AB BH 3 AH 3
3
所以λ的最大值为 ，此时点Q与点H重合.
2
3
故答案为： .
2
四、解答题
15．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形AFDC中，AC=2AF，B，E分别为边AC，DF的中
点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：
(1)分别找出与⃗AF，⃗AE相反的向量；
(2)分别找出与⃗AF，⃗AE相等的向量.
【解题思路】运用相等向量，相反向量概念可解.【解答过程】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量.
与⃗AF相反的向量有⃗FA，⃗EB，⃗DC；与⃗AE相反的向量有⃗EA，⃗DB.
（2）方向相同，大小相等的向量是相等向量.
则⃗BE，⃗CD与⃗AF方向相同，且长度相等， 故与⃗AF相等的向量为⃗BE，⃗CD.
同理，与⃗AE相等的向量为⃗BD.
16．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式：
(1)⃗AB+⃗DA+⃗BD−⃗BC−⃗CA．
1 1 3
(2) (4⃗a+3⃗b)− (3⃗a−⃗b)− ⃗b；
3 2 2
(3) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ．
2(3a−4b+c)−3(2a+b−3c)
【解题思路】（1）应用向量的线性运算计算即可；
（2）应用向量的线性运算计算即可；
（3）应用向量的线性运算计算即可.
【解答过程】（1）⃗AB+⃗DA+⃗BD−⃗BC−⃗CA=⃗AB+⃗DA+⃗AC+⃗BD−⃗BC=⃗AB+⃗DC+⃗CD=⃗AB；
1 1 3 4 3 1 3 1
（2） (4⃗a+3⃗b)− (3⃗a−⃗b)− ⃗b= ⃗a+⃗b− ⃗a+ ⃗b− ⃗b=− ⃗a；
3 2 2 3 2 2 2 6
（3） .
2(3⃗a−4⃗b+⃗c)−3(2⃗a+⃗b−3⃗c)=6⃗a−8⃗b+2⃗c−6⃗a−3⃗b+9⃗c=−11⃗b+11⃗c
17．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量．
(1) ，点 在点 的正东方向；
|⃗OA|=2 A O
(2) ，点 在点 的北偏东 方向；
|⃗OB|=2√2 B O 45°
(3)求出 的值．
|⃗AB|
【解题思路】（1）根据要求画出点A的位置即可；（2）根据要求画出点B的位置即可；
（3）向量 由点 指向点 ，画出图形即可求出 ．
⃗AB A B |⃗AB|
【解答过程】（1）所求⃗OA向量如图所示：
（2）所求⃗OB向量如图所示：
（3）由图知， 是等腰直角三角形，所以 ．
△AOB |⃗AB|=2
18．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知 、 是两个不平行的向量，向量 ，
⃗e ⃗e ⃗AB=3⃗e −2⃗e
1 2 1 2
， ，
⃗BC=−2⃗e +4⃗e ⃗CD=−2⃗e −4⃗e
1 2 1 2
(1)求证：⃗AC//⃗CD；
(2)判断A、C、D三点的位置关系.
【解题思路】（1）求出⃗AC，找到使⃗AC=λ⃗CD成立的λ即可证明；
（2）根据⃗AC//⃗CD可知A、C、D三点共线.
1
【解答过程】（1）证明：⃗AC=⃗AB+⃗BC=⃗e +2⃗e =− ⃗CD，
1 2 2
因此⃗AC//⃗CD，
（2）由（1）知⃗AC//⃗CD，又⃗AC,⃗CD有公共点C，故A、C、D三点共线.
19．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）设 ， 是两个不共线的向量， ， ，
⃗e ⃗e ⃗AB=2⃗e −⃗e ⃗BC=3⃗e +⃗e
1 2 1 2 1 2．
⃗CD=7⃗e −6⃗e
1 2
(1)求证：A,B,D三点共线；
(2)试确定λ的值，使2λ⃗e +⃗e 与⃗e +λ⃗e 共线．
1 2 1 2
【解题思路】（1）证明⃗AB和⃗BD共线即可证三点共线；
（2）由向量共线定理求解即可．
【解答过程】（1）由题意 ，
⃗BD=⃗BC+⃗CD=10⃗e −5⃗e
1 2
且 ，
⃗AB=2⃗e −⃗e
1 2
所以⃗BD=5⃗AB,
所以⃗AB和⃗BD共线，故A,B,D三点共线.
（2）因为2λ⃗e +⃗e 与⃗e +λ⃗e 共线，
1 2 1 2
所以存在实数k，使得2λ⃗e +⃗e =k(⃗e +λ⃗e )，
1 2 1 2
又因为⃗e ,⃗e 不共线，
1 2
所以¿，解得¿或¿.
√2
所以λ=± .
2
