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热点 6-1 空间几何体的交线与截面问题
空间几何体的交线与截面问题既是高考数学的热点，也是难点，往往在高考的选填压轴题中出现，难度较
大。此类题目综合考察考生的空间想象能力和逻辑推理能力，处理这类问题的基本思路是借助空间点线面
的位置关系和相应的定理，将空间问题平面化。
【题型1 作出空间几何体的截面】
满分技巧
1、作截面应遵循的三个原则：（1）在同一平面上的两点可引直线；（2）凡是相交的直线都要画出它们
的交点；（3）凡是相交的平面都要画出它们的交线；
2、作交线的方法有如下两种：（1）利用基本事实3作直线；（2）利用线面平行及面面平行的性质定理
去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线。
【例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体 的棱长为8， ， ， 分别是 ，
， 的中点．
（1）画出过点 ， ， 的平面与平面 的交线；
（2）设平面 ，求 的长．
【答案】（1）作图见解析；（2）【解析】（1）如下图所示，∵ 平面 ， 与 不平行，
∴ 与 必相交．设交点为 ，连接 ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴过点 ， ， 的平面与平面 的交线为 .
（2）∵ ，∴ ，∴ ．
∴ .
【变式1-1】（2024·甘肃·高三武威第六中学校联考开学考试）如图，正方体 的棱长为
分别为棱 的中点.
（1）请在正方体的表面完整作出过点 的截面，并写出作图过程；（不用证明）
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）截面，作图过程见解析；（2）
【解析】（1）连接 并延长交 延长线于点 ，连接 并延长交 于点 ，交 延长线于点 ，
连接 交 于点 ，则截面 即为所求.（2）如图，以 为原点，棱 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系Dxyz.
因为正方体 的棱长为2，
所以 .
.
设平面 的法向量为 ，
则 即 ，取 ，得平面 的法向量为 .
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
故点 到平面 的距离为 .
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，直四棱柱 的底面为正方形，
为 的中点．（1）请在直四棱柱 中，画出经过 三点的截面 并写出作法（无需证明）．
（2）求截面 的面积．
【答案】（1）图形见解析；（2）
【解析】（1）取 的中点 ，连接 、 、 、 ，
则四边形 即为过点 、 和 的平面截直四棱柱 所得截面 ；
取 的中点 ，连接 、 ，
因为 为 的中点， 为直四棱柱，底面 为正方形，
所以 且 ， 且 ，所以 且 ，
所以 为平行四边形，所以 ，
又 且 ，所以 为平行四边形，所以 ，
所以 ，即 、 、 、 四点共面.
（2）在直四棱柱 中， ， 、 分别为 、 的中点，
所以 ，
所以四边形 为菱形，连接 ， ，则 ，
又 ， ，所以 .
【变式1-3】（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）如图，已知在正三棱柱 中， ，三棱
柱外接球半径为 ，且点 分别为棱 ， 的中点．
（1）过点 作三棱柱截面，求截面图形的周长；（2）求平面 与平面 的所成角的余弦值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由正三棱柱 中， ，三棱柱外接球半径为 ，
设外接球的半径为 ，底面正 的外接圆的半径为 ，可得 ，
则 ，
因为 ，解得 ，
又因为点 分别为棱 ， 的中点，可得 ，
如图所示，延长 交 于 点，连接 交 于点 ，四边形 为所求截面，
又由 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，所以 可得 ,
所以截面图形 的周长为 .
（2）以点 为原点，以 所在的直线分别为 轴，以过点 垂直于平面 的直线为 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
因为 ，可得 ，
则
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，所以 ，
取 的中点 ，因为 为等边三角形，可得 ，
又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
因为 且 平面 ，所以 平面 ，又由 ，可得 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设两个平面所成角为 ，则 ，
所以平面 与平面 的所成角的余弦值 ．
【题型2 判断截面多边形的形状】
满分技巧
判断截面多边形形状时需要注意以下几点：
1、截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数。
2、不会与同一个表面有两条交线。
3、与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长）
4、截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系
【例2】（2024·广东深圳·高三统考期末）（多选）在正方体 中，用垂直于 的平面截
此正方体，则所得截面可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】AD
【解析】如图所示：
在正方体中 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，则 ，同理 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理 平面 ，
由直线与平面垂直的性质得；与平面 和平面 平行的平面，都与 垂直，
由图象知：在平面 和平面 之间的平面，与正方体所得截面的形状为六边形；
在平面 和平面 之外的平面，与正方体所得截面的形状为三角边形，故选：AD【变式2-1】（2023·江西宜春·高三宜丰中学校考阶段练习）在长方体 中， 、
， 、 分别为棱 、 的中点，点 在对角线 上，且 ，过点 、 、 作一个
截面，该截面的形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【解析】如图所示，延长 、 ，使 ，连接 、 ，
∵ 、 、 ，
∴ 、 ，
∵ 、 分别为棱 、 的中点，
∴ ，∴ ，
∵ ，又 、 、 三点共线，
∴ 、 、 三点共线，∴ 在截面上，
延长 、 ，使 ，
连接 ，使 ，∴ 在截面上，
连接 、 ，
∵ ，且
∴ ，∴ 且 = ，
又 为 中点， 、 、 三点共线，∴ 、 、 三点共线，
∴截面为五边形 ，故选：C．
【变式2-2】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）如图，在正方体 中， 分别
为棱 的中点，过 三点作该正方体的截面，则（ ）
A．该截面是四边形
B． 平面
C．平面 平面
D．该截面与棱 的交点是棱 的一个三等分点【答案】D
【解析】对A：如图，将线段 向两边延长，分别与棱 的延长线，棱 的延长线交于点 ，
连接 ，分别与棱 交于点 ，得到截面 是五边形，故A错误；
对B：因为 面 面 ，故 ；
又 ， 面 ，故 面 ，
又 面 ，故 ；
假设 ，又 ， 面 ，故 面 ，
又 面 ，
显然过一点作一个平面的垂直只能有一条，假设不成立，即 与 不垂直；
又 平面 ，所以 与平面 不垂直，故B错误；
对C： 面 面 ，故 ，
又 ， 面 ，故 面 ，又 面 ，
故 ，同理可得 ，又 面 ，
故 平面 ，又 与平面 不垂直，
所以平面 与平面 不平行，故C错误；
对D：易知 ，所以 ，
所以截面 与棱 的交点 是棱 的一个三等分点，故D正确．故选：D．
【变式2-3】（2024·浙江宁波·高三统考期末）（多选）已知直三棱柱 ， ，
， ， ， ，平面EFG与直三棱柱
相交形成的截面为 ，则（ ）
A．存在正实数 ， ， ，使得截面 为等边三角形
B．存在正实数 ， ， ，使得截面 为平行四边形
C．当 ， 时，截面 为五边形
D．当 ， ， 时，截面 为梯形【答案】AC
【解析】由题意，在直三棱柱 中， ， ，
， ， ，
平面EFG与直三棱柱 相交形成的截面为 ，
A项，当 时，截面 为等边三角形，此时， 且 ，A正确；
B项，当 时，点 在三棱锥内部，为三角形，
当 时，不为平行四边形，
当 时，不为平行四边形，
当 时，不为平行四边形，当 有两个大于 时，不为平行四边形,
当 有三个大于 时，截面为 ,
∴不存在正实数 ， ， ，使得截面 为平行四边形，B错误；
C项，当 ， 时， ，解得： （舍）或 ，
当 时， ， 在三棱柱外， 在三棱柱内，截面为五边形 ,故C错误；
D项，当 ， ， 时，截面 为四边形 ,易知 与 相交，
假设 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，所以 ，所以 （矛盾），
故四边形 不是梯形，故D错误.故选：AC.【题型3 求解截面多边形的周长】
满分技巧
求解截面多边形的周长有两个思路：（1）利用多面体展开图进行求解；（2）在各个表面确定交线，分
别利用解三角形进行求解。
【例3】（2024·四川成都·高三树德中学校考期末）如图，已知正方体 的棱长为 为
的中点，过点 作与直线 垂直的平面 ，则平面 截正方体 的截面的周长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当点 为 的中点时，取 的中点 ，连接 ，
显然 ≌ ，则 ， ，
即有 ，而 平面 ， 平面 ，则 ，
又 平面 ，于是 平面 ，而 平面 ，
因此 ，同理 ，显然 平面 ，所以 是平面 截正方体 所得截面，
其周长为 . 故选：D.
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，
用过点 ，E， 的平面截正方体，则截面周长为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】A
【解析】如图，取AB的中点G，连接GE， ， ．
因为E为BC的中点，所以 ， ，
又 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ， ，所以 ， ，
所以用过点 ，E， 的平面截正方体，所得截面为梯形 ，
其周长为 ．故选：A．
【变式3-2】（2023·全国·高三对口高考）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
， 为线段 上的一动点，则过 三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为
．【答案】
【解析】由题意可知过 三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即 的周长，
因为直三棱柱 ，所以各侧面均为矩形，所以 ，
直三棱柱 的侧面部分展开图如图所示，
则在矩形 中 ，
所以过 三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为 .
【变式3-3】（2023·河南·校联考模拟预测）在正四棱柱 中， ，点 分
别是 ， 的中点，则过点 的平面截正四棱柱 所得截面多边形的周长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，延长 交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，
连接 并延长交 于点 ，交 的延长线于点 ，
连接 ，分别交 ， 于点 ， ，
连接 ， ，则六边形 所在平面即为平面 ，
六边形 即为过点 的平面截正四棱柱 所得的截面多边形，
由全等三角形可知， ， ， 分别为 ， ， 的中点，
因为 ，所以 ，
所以六边形 的周长为 ．故选：D．【变式3-4】（2024·河北廊坊·高三文安县第一中学校联考期末）如图所示，正四棱台 中，
上底面边长为3，下底面边长为6，体积为 ，点 在 上且满足 ，过点 的平面 与平
面 平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，过点 作 于点 ，
因为 ，所以 ，
则四棱台的高为 ，则四棱台的体积为 ，
解得 ，所以侧棱长为 .
如图所示：过 于点 ， 于点 ，连接 ，
由对称性可知 ，所以 ，
而 ，所以 ，
所以 ，同理 ，
分别在棱 上取点 ，使得 ，
易得 ，
所以截面多边形的周长为 .故选：D.
【题型4 求解截面多边形的面积】
满分技巧
求解截面多边形的面积问题的步骤：（1）通过解三角形求得截面多边形各边的长度；（2）判断多边形
的形状是否规则，若为规则图形可直接使用面积公式求解；否则可通过切割法将多边形分为多个三角形
求解。
【例4】（2023·四川南充·统考一模）如图，正方体 的棱长为2，E，F分别为 ， 的
中点，则平面 截正方体所得的截面面积为（ ）
A． B． C．9 D．18
【答案】B
【解析】由题知连接 ， ， ，如图所示因为 分别是 的中点，所以 ，
在正方体中 ，所以 ，所以 在同一平面内，
所以平面 截该正方体所得的截面为平面 ，因为正方体的棱长为 ，
所以 ， ， ，
则 到 的距离为等腰梯形 的高为 ，
所以截面面积为 ，故B正确.故选：B.
【变式4-1】（2023·四川成都·高三石室中学校考期中）如图，在三棱柱ABC-ABC 中，四边形AABB是
1 1 1 1 1
矩形，D是棱CC 的中点，CC =AC=4， ，AB=3， ， 过点D作平面 平面 ，
1 1
则平面 截三棱柱ABC-ABC 所得截面面积为（ ）
1 1 1
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知：分别取 中点 ，连接 ，如图所示：
所以： ，因为：又因为： 平面 ， 不在平面 上，
所以： 平面 ， 平面 ，
又因为： ， 平面 ，
所以：平面 平面 ，即：平面 为平面 与三棱柱 的截面；
因为 ，且 ， ， 平面
平面 ，又因为 平面 ，所以 ， ，
又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 为 中点，
所以得 为等边三角形，则 ， ， ，
所以 ，所以得四边形 为等腰梯形，
所以 ， ， ，
可求出截面面积为： 故A项正确.故选：A.
【变式4-2】（2023·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）已知正三棱锥 底面边长为1，侧棱长为
2，过棱 的中点 作与该棱垂直的截面分别交 ， 于点 ， ，则截面 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题易知 面 ， 面 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理得， ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ， ，
，同理， ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ．
过 作 于点 ，则 为 的中点，∴ ，
∴ ，故选：B．
【变式4-3】（2023·山西大同·高三大同一中校考阶段练习）已知正方体 的棱长为3，点
分别在棱 上，且满足 为底面 的中心，过 作截面，则所得截
面的面积为 .
【答案】
【解析】如图，连接 ,
在正方体 中，易知 ，
,即 . 四点共面，
又 在 上， 过 作正方体 截面为梯形 ，
正方体 的棱长为3， ， ,
梯形 的高为 ，
梯形 的面积为 .
【变式4-4】（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知棱长为4的正四面体 ，用所有与点A，B，
C，D距离均相等的平面截该四面体，则所有截面的面积和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】与点A，B，C，D距离均相等的平面可分为两类，
一类是平面的一侧是1个点，另外一侧有3个点（如图1），
此时截面过棱的中点，且与一个面平行，
故截面三角形与平行的面（三角形）相似，相似比为 ，故其面积为 ，
这样的截面共有4个，故这类截面的面积和为 ，
另外一类是平面的两侧各有2个顶点（如图2），
因为正四面体对棱垂直，易知四边形PQMN是边长为2的正方形，其面积为4，
这样的截面共有3个，故这类截面的面积和为12，
故符合条件的截面的面积和为 .故选：A．
【题型5 截面分割几何体的体积问题】
满分技巧
截面分割后的几何体易出现不规则的几何体，对此往往采用“切割法”或“补形法”进行体积的求解。
【例5】（2023·河北衡水·衡水中学校考一模）已知正三棱柱 ，过底边 的平面与上底面交
于线段 ，若截面 将三棱柱分成了体积相等的两部分，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ；
设 的面积为 ， 的面积为 ，三棱柱 的高为 ，
三棱台 的体积 ，又三棱柱 的体积 ，
，解得： （舍）或 ，
∽ ， ，即 .故选：A.
【变式5-1】（2024·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知正方体 ，棱 的
中点分别为 ，平面 截正方体得两个几何体，体积分别记为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨设正方体的棱长为 ，连接 ，
因为正方体 ，所以 ，
则四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 的中点分别为 ，所以 ，则 ，
所以平面 即为平面 ，几何体 为一个三棱台，
则 ，
又正方体的体积为 ，
所以 ，则 .故选：D.
【变式5-2】（2024·浙江湖州·高三统考期末）在正四棱锥 中，底面 的边长为 为正
三角形，点 分别在 上，且 ，若过点 的截面交 于点 ，则四
棱锥 的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图：连接 ，交 于点 ，连接 ， ，相交于点 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
故 为 的重心，所以 为 中点.
又因为 为正三角形，所以 .
因为四棱锥 是正四棱锥，所以 ，
， ， 平面 ，且 ，所以 平面 .
平面 ，所以 ，又 ，所以 .
， 平面 ， ，所以 平面 .
因为 ，所以 ， ， ， ,
所以 .故选：D
【变式5-3】（2023·江苏扬州·高邮中学校考模拟预测）如图，在三棱柱 中， ， 是棱
AB上一点，若平面 把三棱柱 分成体积比为 的两部分，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图：延长 与 交于 ，连接 交 于 ，
则平面 与三棱锥的截面是 ，
将三棱锥分成两部分，三棱台 ，多面体 ，
设 ， ， ，
，
，设 ，则 ，
，则 ， ，解得： ，
由于 ，所以 ，故选：D.
【变式5-4】（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的几何体中， ， 平面 ，
， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）过点 作一平行于平面 的截面，画出该截面（不用说明理由），并求夹在该截面与平面 之
间的几何体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）截面为平面 ，体积为
【解析】（1）在 中， ， ， ， ，
由余弦定理得： ， ， ，
又 平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ， 平面 .
（2）取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，则平面 即为所求.
理由如下：
， ， 四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理可得： 平面 ，
， 平面 ， 平面 平面 ；
由（1）可知： 平面 ，且 平面 ，， ，
夹在该截面与平面 之间的几何体的体积 .
【题型6 截面最值的相关问题】
满分技巧
截面最值问题的计算，主要由以下三种方法：
1、极限法：通过假设动点运动至两端，计算最值（需注意判断是否单调）；
2、坐标法：通过建系设坐标，构造对应的函数进行求解；
3、化归法：通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面图形中的最值计算。
【例6】（2024·四川·校联考模拟预测）设正方体 的棱长为1，与直线 垂直的平面 截
该正方体所得的截面多边形为 ，则 的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连结 ，因为 平面 ， 平面 ，所以
且 ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，同理 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ；
所以平面 为平面 或与其平行的平面， 只能为三角形或六边形.
当 为三角形时，其面积的最大值为 ；
当 为六边形时，此时的情况如图所示，
设 ，则 ，
依次可以表示出六边形的边长，如图所示：六边形可由两个等腰梯形构成，
其中 ，两个等腰梯形的高分别为 ， ，
则当且仅当 时，六边形面积最大，即截面是正六边形时截面面积最大，最大值为 .
【变式6-1】（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）已知直三棱柱 中，
，过点 的平面 分别交棱AB，AC于点D，E，若直线 与平面 所成角为 ，则
截面三角形 面积的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为三棱柱 为直三棱柱，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ，
， ， 平面 ，
所以 平面 ，过点 作 交 于点 ，
因为 平面 ，所以 ，
平面 ， ，所以 平面 ，
因为直线 与平面 所成角为 ，所以 ，
在 中，由 ， ，可得 ， ，
设 ，在 中， ，由等面积法可知 ，
因为 平面 ，又由 平面 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 .【变式6-2】（2024·山东烟台·高三统考期末）如图，在直三棱柱 中， ，
，则该三棱柱外接球的表面积为 ；若点 为线段 的中点，点 为线段 上一动点，
则平面 截三棱柱 所得截面面积的最大值为 .
【答案】 ；
【解析】由题意，直三棱柱 中， ， ，
该直三棱柱 可补充一个长方体，
其中直三棱柱 的外接球和补成的长方体的外接球是同一个球，
又由长方体过同一顶点的三条棱长分别为 ，可得对角线长为 ，
所以外接球的半径为 ，则该三棱柱外接球的表面积为 ；
如图所示，连接 ，并延长 交 于点 ，取 的中点 ，连接 ，
则 且 ，在过点 作 ，可得 ，
连接 ，则四边形 即为过点 的截面，
在 中，因为 ，且 为 的中点，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
所以四边形 为直角梯形，
在 中，由 且 ，可得 ，所以 ，
设 ，在直角 中，可得 ，
又由 ，可得 ，
所以直角梯形 的面积为
，其中 ，设 ，
可得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减，
又由 ，可得 ，
所以当 时，函数 取得最大值，此时梯形的面积取得最大值 .
【变式6-3】（2024·广西·模拟预测）在三棱锥 中， 平面 ， ， ，
，点 为棱 上一点，过点 作三棱锥 的截面，使截面平行于直线 和 ，当该
截面面积取得最大值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，在平面 内，过点 作 ，交 于点 ；
在平面 内，过点 作 ，交 于点 ；
在平面 内，过点 作 ，交 于点 ，连接 ，如图所示，因为 ，则 ，
设其相似比为 ，即 ，则 ；
又因为 ， ， ，
由余弦定理得， ，则 ，即 .
又 平面 ， ， 平面 ，所以 ， .
又 ，则 ， .
因为 ，则 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
同理可得 ，即 ，
因为 ， ，则 ，
故四边形 为平行四边形；而 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，同理 平面 ，即四边形 为截面图形；
又 平面 ， 平面 ，则 ，
又 ，所以 .
故平行四边形 为矩形，则 ，
所以当 时， 有最大值 ，则 ，
在 中， .故选：C.
【变式6-4】（2023·广西·高三统考阶段练习）在棱长为2的正方体 内，放入一个以 为
铀线的圆柱，且圆柱的底面所在平面截正方体所得的截面为三角形，则该圆柱体积的最大值为 ．
【答案】
【解析】如图，连接 ， ， ， ，因为 平面 ， 平面 ，则 ，
又 ， 平面 ， 平面 ， ,
平面 ，故 ，同理可得 ，
平面 ， 平面 ， ， 平面 ，
设圆柱的一个底面所在平面截正方体所得的截面为 ，则 为正三角形，
由圆柱可知轴线 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
设 （ ），则 ，
所以 内切圆的半径 ，
点 到平面 的距离 ．
因为 ，所以圆柱的高 ，
圆柱的体积 ，
，则 在 上单调递增，
所以 ．
【题型7 球的截面问题】
满分技巧
求解球的截面问题的要点：
（1）确定球心与半径；（2）寻找作出并计算截面与球心的距离；（3）充分利用“球心做弦的垂线，垂
足是弦中点”这个性质；（4）强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点。
【例7】（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）球的两个平行截面面积分别为 和 ，球心到这两个截
面的距离之差等于1，则球的直径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】令球心到较近的截面距离为 ，则到另一个截面距离为 ，且球的半径为 ，
易知较近的截面圆面积为 ，另一个截面圆面积为 ，
所以较近的截面圆半径为 ，另一个截面圆半径为 ，
由截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系知： ，
所以 ，故 ，则球的直径为6.故选：D【变式7-1】（2024·陕西榆林·统考一模）已知 是球 的直径 上一点， ， 平面 ，
为垂足， 截球 所得截面的面积为 ， 为 上的一点，且 ，过点 作球 的截面，则所
得的截面面积最小的圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设截得的截面圆的半径为 ，球 的半径为 ，
因为 ，所以 .
由勾股定理，得 ，
由题意得 ，所以 ，解得 ，
此时过点 作球 的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小.
设球心 到所求截面的距离为 ，所求截面的半径为 ，则 ，
所以只需球心 到所求截面的距离 最大即可，
而当且仅当 与所求截面垂直时，球心 到所求截面的距离 最大，
即 ，所以 .故选：C
【变式7-2】（2024·河北邢台·高三统考期末）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．
如图，在鳖臑 中， 平面 ， ， ，以 为球心， 为半径的
球面与侧面 的交线长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 平面 ， 、 平面 ，所以 ， ，
因为 ， ， 、 平面 ，所以 平面 ，
如图所示，设 为球 与平面 的交线，
则 ， ，所以 ，
所以 所在的圆是以 为圆心， 为半径的圆，
因为 且 ，
所以 ，所以弧 的长为 ．故选：B.
【变式7-3】（2023·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）三棱锥 的四个顶点都在表面积为
的球O上，点A在平面 的射影是线段 的中点， ，则平面 被球O截得的截面面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 中点为 ， 点 在平面 的射影是线段 的中点 ，
平面 ， ， ，
又 ， 是等边三角形．
取 中点为 ，连接 交 于 ，则 是 外心．
连接 ，在 上取 ，使得 ，则 为 外心．
过 作平面 的垂线，过 作平面 的垂线，
两垂线的交点即为三棱锥 外接球球心 ，
则四边形 是矩形， ．
连接 ， ，设 外接圆半径 ，
设球 半径为 ．
球 的表面积为 ， ．
在 中， ，平面 被球 截得的截面面积 ．故选：C
【变式7-4】（2024·山东滨州·高三统考期末）已知直四棱柱 的所有棱长均为4，
，以A 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为 ．
【答案】
【解析】如图：取 的中点 ,连接 ，
结合题意：易得 为等边三角形，
因为 为 的中点，所以
因为在直四棱柱 中有 面 ,且 面 ，
所以 ,又因为 ,且 面
所以 面 ，结合球的性质可知 为该截面圆的圆心，
因为直四棱柱 的所有棱长均为4， ，
所以 , , , ,
故以A为球心， 为半径的球面与侧面 的交线为：
以 为圆心, 为半径的圆所成的圆弧 .
所以 .
【题型8 圆锥的截面问题】
【例8】（2023·全国·模拟预测）某圆锥的母线长为4，轴截面是顶角为120°的等腰三角形，过该圆锥的两
条母线作圆锥的截面，当截面面积最大时，圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设该圆锥的顶点为S，底面圆心为O，AB为底面圆的直径，连接SO，
由圆锥的母线长为4，轴截面是顶角为120°的等腰三角形可知
圆锥的高 ，底面圆半径为 ，
设C为圆锥底面圆周上一点，连接BC，OC，则 ，
所以当 的面积最大时，即 最大时，即 的夹角为90°时，
的面积最大，此时 的面积为8，且 ，
取 中点 ，连接 ，则 ，
在直角 中，可得 ，
所以 的面积为 ，
设圆锥底面圆的圆心O到截面SBC的距离为h，则由 可得 ，
即 ，解得 ，
所以圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为 ．故选：D．
【变式8-1】（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知高为2的圆锥内接于球O，球O的体积为 ，设圆锥
顶点为P，平面 为经过圆锥顶点的平面，且与直线 所成角为 ，设平面 截球O和圆锥所得的截面
面积分别为 ， ，则 .
【答案】
【解析】令球 半径为 ，则 ，解得 ，
由平面 与直线 成 角，得平面 截球所得小圆半径 ，
因此 ，
由球 的内接圆锥高为2，得球心 到此圆锥底面距离 ，
则圆锥底面圆半径 ，
令平面 截圆锥所得截面为等腰 ，线段 为圆锥底面圆 的弦，
点 为弦 中点，
如图，依题意 ， ， ， ，
显然 ，
于是 ，所以 .
【变式8-2】（2024·广东中山·中山纪念中学校考二模）已知球 的体积为 ，高为1的圆锥内接于球
O，经过圆锥顶点的平面 截球 和圆锥所得的截面面积分别为 ，若 ，则
【答案】【解析】设球O半径为R，由 ，得 ，
平面 截球O所得截面小圆半径 ，由 ，得 ，
因此，球心O到平面 的距离 ，
而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为 ，
因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为 ，
于是得圆锥底面圆半径 ，
令平面 截圆锥所得截面为等腰 ，线段 为圆锥底面圆 的弦，
点C为弦 中点，如图，由题意 ， ，
则 ， ， ，
所以 .
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）图，在圆锥 中，已知高 .底面圆的半径为2，
为母线 的中点，根据圆锥曲线的定义，下列三个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线，则
下面四个命题中正确的有（ ）
A．圆锥的体积为 B．圆的面积为
C．椭圆的长轴长为 D．双曲线两渐近线的夹角
【答案】BCD
【解析】对于A，圆锥底面圆面积 ，圆锥体积 ，A错误；
对于B，圆锥中截面圆的半径为底面圆半径的一半，该圆面积为 ，B正确；
对于C，过 作 于 ，于是 ， ，
因此椭圆的长轴长 ，C正确；对于D，在与平面 垂直且过点 的平面内，
建立平面直角坐标系，坐标原点与点P到底面距离相等，
于是双曲线顶点 ，双曲线与圆锥底面圆周的交点 ，
设双曲线方程为 ，则 ，解得 ，
因此该双曲线 的两条渐近线 互相垂直，
即双曲线两渐近线的夹角 ，D正确.故选：BCD
【变式8-4】（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）如图，用一垂直于某条母线的平面截一顶角正弦值
为 的圆锥，截口曲线是椭圆，顶点A到平面的距离为3.
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知P在椭圆上运动且不与长轴两端点重合，椭圆的两焦点为 ， ，证明：二面角 的
大小小于 .
【答案】（1） ；（2）证明见解析【解析】（1）以椭圆的中心 以及短轴的顶点 作平行于圆锥底面的截面（截面为圆 ），如图为圆
锥的轴截面，
由题意可得： ，则椭圆的长轴长 ，即 ，
设圆锥的顶角为 ，由题意可知
∵ ，则 ，解得 或 （舍去），
∴ ，
在 中，可得 ，则 ，
在 中，则 ，
可得 ，
故 ，
在 中，可得 ，
即截面圆 的半径为 ，则椭圆的短轴 ，
故椭圆的短轴长 ，即 ，则 ，
∴椭圆的离心率 .
（2）如图，以椭圆的中心 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，
设 ，平面 的法向量为 ，
∵ ，
则 ，
令 ，则 ，即 ，同理可得：平面 的法向量为 ，
则
令 ，则 ，
当 时，则 ，
∴ ，
构建 ，
则 ，
当 时，则 ，
令 ，则 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ；
当 时，令 ，则 ，
令 ，则 当 时恒成立，
故 在 上单调递减，则 ，
∴ 在 上单调递减，则 ；
综上所述：
当 时恒成立，∴ ，
设二面角 的平面角为 ，由题意可得 ，
∴ ，即二面角 的大小小于 .（建议用时：60分钟）
1．（2024·全国·高三专题练习）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆
M，若圆M的面积为 ，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆 的半径为 ，因为圆M的面积为 ，可得 ，解得 ，
设球O的半径为 ，
由截面圆的性质，可得 ，即 ，解得 ，
所以球 的表面积为 ．故选：C．
2．（2024·全国·模拟预测）在正方体 中，E，F分别为棱 ， 的中点，过直线EF
的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为 ，最大值为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，正方体 的外接球球心在其中心点 处，设该正方体的棱长为 ，则外接球的半径 ，
要使过直线EF的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段EF的中点 ，
连接OE，OF，OP，则 ， ，
所以 ，
此时截面圆的半径 ．
显然当截面面积最大时，截面圆的半径为该正方体外接球的半径 ；
所以 ．故选：D．
3．（2023·四川宜宾·高二四川省兴文第二中学校校考开学考试）如图，在三棱柱 中，过
的截面与AC交于点D，与BC交于点E（D，E都不与C重合），若该截面将三棱柱分成体积之比为 的
两部分，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为三棱柱 ，所以 ，面 面 ，
又因为面 面 ，面 面 ，
所以 ，显然 为三棱台，
设 ， （ ），三棱柱 的高为 ，
则 ，所以三棱柱 体积为 ，
三棱台 的体积为 ，
①三棱台 的体积占 ，则 ，得 ，得 或 ，均不符合题意；
②三棱台 的体积占 ，
则 ，得 ，得 或 ，
因为 ，所以 .故选：C
4．（2024·四川·校联考一模）设正方体 的棱长为1，与直线 垂直的平面 截该正方体
所得的截面多边形为M．则下列结论正确的是（ ）．
A．M必为三角形 B．M可以是四边形
C．M的周长没有最大值 D．M的面积存在最大值
【答案】D
【解析】对于选项A、B，易知平面 为平面 或与其平行的平面，
故多边形M只能为三角形或六边形，选项A和B均错误；
对于选项C，当M为正三角形时，显然截面多边形M为 时周长取得最大值为 ；
当截面多边形M为六边形时，设 ，则 ， ， ，
易得： ， ，
此时截面多边形M的周长为定值： ，
综合两种情况，M的周长的最大值为 ，选项C错误；
对于选项D，当M为正三角形时，仅当截面多边形M为 时的面积为 ；
当截面多边形M为六边形时，设 ，
该六边形可由两个等腰梯形 和 构成，其中 ，
， ， ，
两个等腰梯形 和 的高分别为 和 ，则
，
，
当且仅当 时，六边形面积最大值为 ，即截面多边形是正六边形时截面面积最大．
综上，当 时，截面多边形为正六边形时面积取得最大值 .选项D正确.故选：D.5．（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，在三棱锥 中， 两两垂直，且
，以 为球心， 为半径作球，则球面与底面 的交线长度的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知三棱锥 为正三棱锥，故顶点 在底面 的射影为 的中心 ，
连接 ，由 ，
得 ，所以 ，
因为球的半径为 ，所以截面圆的半径 ，
所以球面与底面 的交线是以 为圆心， 为半径的圆在 内部部分，
如图所示
易求 ，所以 ，
易得 ，所以 ，
所以交线长度和为 .故选：C.6．（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知正方体 的棱长为 ， 为
的中点， 为棱 上异于端点的动点，若平面 截该正方体所得的截面为五边形，则线段 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在正方体 中，平面 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
则平面 与平面 的交线过点 ，且与直线 平行，与直线 相交，
设交点为 ，如图所示，
又因为 平面 ， 平面 ，
即 分别为 ， 与平面 所成的角，
因为 ，则 ，且有 ，
当 与 重合时，平面 截该正方体所得的截面为四边形，
此时 ，即 为棱 中点 ；
当点 由点 向点 移动过程中， 逐渐减小，点 由点 向点 方向移动；
当点 为线段 上任意一点时，平面 只与该正方体的4个表而有交线，即可用成四边形；
当点 在线段 延长线上时，直线 必与棱 交于除点 外的点，
又点 与 不重合，此时，平面 与该正方体的5个表面有交线，截面为五边形，
如图所示．
因此．当 为棱 上异于端点的动点，截面为四边形，点 只能在线段 （除点 外）上，即 ，可得 ，则 ，
所以线段 的取值范围是 ，
所以若平面 截该正方体的截面为五边形，线段 的取值范围是 .故选：B．
7．（2024·河南南阳·高三统考期末）（多选）用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（
）
A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形
B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形
C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形
D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形
【答案】ABD
【解析】由题意，在正方体 中，
对于A中，过点 三点的截面为 ，截面的形状为正三角形，所以A正确；
对于B中，过棱 的中点，作正方体的截面，此时截面与上下底面平行且全等，
所以截面的性质为正方形，所以B正确；
对于C中，用一个平面截正方体，截面可以是五边形，但不能为正五边形，所以C错误；
对于D中，如图所示，用一个平面截正方体，当取各边的中点时，截面是正六边形，所以D正确.
故选：ABD.
8．（2023·辽宁朝阳·高三校联考期中）（多选）如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为a．现准备
将该木块锯开，则下列关于截面的说法中正确的是（ ）
A．过棱AC的截面中，截面面积的最小值为
B．若过棱AC的截面与棱BD（不含端点）交于点P，则 的最小值为C．若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为
D．与该木块各个顶点的距离都相等的截面有7个
【答案】ABD
【解析】对于A，设截面与棱BD的交点为P，如图1，过棱AC的截面为 ，
当P为棱BD的中点时，由 ， ，
且 都在平面 内，则 平面 ，
又 在平面 内，所以 ，所以当P为棱BD的中点时， 的面积取得最小值，
最小值为 ，A正确．
图1
设 ， ， ．
在 中， ，
因为 ，所以 ，所以 ，B正确．
对于C，如图2，当截面EFNM为平行四边形时， ， ，
因为 平面ABD， 平面ABD,所以 平面ABD，
又因为 平面CBD，平面CBD 平面ABD ,所以 ，同理 ，
由选项A可知 ，所以 ，从而平行四边形EFNM为长方形．
设 ，利用相似比可得 ，
则 ，所以长方形EFNM的面积 ，
当且仅当 时，等号成立，C错误．图2
与该木块各个顶点的距离都相等的截面分为两类．
第一类：平行于正四面体的一个面，且到顶点和到底面距离相等，这样的截面有4个．
第二类：平行于正四面体的两条对棱，且到两条棱距离相等，这样的截面有3个．
故与该木块各个顶点的距离都相等的截面共有7个，D正确．故选：ABD
9．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）正三棱台 中， ， ，点 ， 分别为
棱 ， 的中点，若过点 ， ， 作截面，则截面与上底面 的交线长为 ．
【答案】
【解析】连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，如图，
则线段 即为截面 与上底面 的交线，
因为F为 的中点， ，所以 .
过点E作 的平行线交 于点 ，
因为 ， ，所以 ，
在 中， .
10．（2023·重庆·高三校联考阶段练习）如图，已知正方体 的棱长为4， ， ， 分
別是棱 ， ， 的中点，平面 截正方体 的截面面积为 .【答案】
【解析】在正方体 中，
延长 交 延长线于 ，连接 交 于 ，并延长交 延长线于R，
延长 交 延长线于 ，连接 交 于 ，交 于 ，
易知点 共面，平面 即为平面 ，
所以平面 截正方体 的截面为六边形 ，
因为 ， ， 分別是棱 ， ， 的中点，
所以根据相似比易知点 都为其所在正方体棱的中点，则易得六边形 为正六边
形，
因为正方体 的棱长为4，
所以正六边形 的边长 ，
所以截面面积为 .
11．（2023·广西河池·校联考模拟预测）已知四棱锥 中，底面 为直角梯形， 平面
， ， ， ， ， 为 中点，过 ， ， 的平面截四
棱锥 所得的截面为 ．（1）若 与棱 交于点 ，画出截面 ，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明 ．
（2）求多面体 的体积．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）延长 ，连接 交 于 ，连接 ，如图，四边形 为截面 .
中， ，由 ，则 为 中点， 为 中点．
过 作 交 于 ，则 .
, . ，即 ．
（2） .
由题意及（1）可得 ， .
则 ；
又可得 ，点F到平面BEC距离为 ，
则 .
则 ．
12．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）如图，直三棱柱 中，点D，E分别为棱
的中点， ．（1）设过A，D，E三点的平面交 于F，求 的值；
（2）设H在线段 上，当 的长度最小时，求点H到平面 的距离．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）如图延长 交 于 ，连接 交 于 ，
如图所示：
因为 为棱 的中点， ，且 ，
所以 是 的中点，即 ，
因为 ，所以 ∽ ，所以 .
（2）由题知 平面 ，则 ，
因为 ，且 ，
所以 ，所以 平面 ，所以 ，
如图所示，以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系，
所以 ， ， ， ， ，
设 ， ， ， ，
因为 最短，所以 ，所以 ，解得 ，
所以 ，则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，所以 ，
所以点 到平面 的距离 .
