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重难点 5-1 数列通项公式的求法
数列的通项公式求法是高考数学的必考考点，通常在选择题、填空题与解答题第一问中考查。难度中等，
但有时在同一个题目中会涉及到多种方法综合性较强。
【题型1 观察法求通项】
满分技巧
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数
列的一个通项．
【例1】（2023·河北张家口·高三尚义县第一中学校联考阶段练习）已知数列 ，则
是这个数列的（ ）
A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项
【变式1-1】（2023·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）数列 ， ， ， ， 的一个通项公
式是a=（ ）
n
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·河南·高三校联考期中）数列 的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法》中有如下
俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，
第四层10个…，则第三十六层球的个数为（ ）
A．561 B．595 C．630 D．666
【题型2 由Sn与an关系求通项】
满分技巧
若已知数列的前n项和 S n与 的关系，
求数列 的通项 可用公式 构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即 和
合为一个表达，（要先分 和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
【例2】（2023·山东潍坊·高三校考期中）数列前 项和 ，则该数列的第4项为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【变式2-1】（2023·陕西渭南·高三校考阶段练习）数列 的前 项和为 ，若 ，
则 ．
【变式2-2】（2023·黑龙江·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，若 ，且
都有 ，则（ ）
A． 是等比数列 B． C． D．【变式2-3】（2023·四川·校联考三模）已知数列 满足 ，则 的通
项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ，且数列
的前 项和为 ．若 的最大值为 ，则实数 的最大值是 ．
【题型3 累加法求通项】
满分技巧
适用于a ＝a＋f(n)，可变形为a －a＝f(n)
n＋1 n n＋1 n
利用恒等式a＝a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a )(n≥2，n∈N*)求解
n 1 2 1 3 2 n n－1
【例3】（2023·福建·高三校联考期中）已知数列 满足 ，且 ，若 ，则
正整数 为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【变式3-1】（2023·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知 是数列 的前 项和， ，
，则 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·山西·高三校联考阶段练习）在等比数列 中， ，则
.
【变式3-3】（2023·上海普陀·统考一模）若数列 满足 ， （ ， ），则
的最小值是 .
【变式3-4】（2023·北京·高三汇文中学校考期中）已知数列 满足 ， ， ，
.则集合 中元素的个数为 .【题型4 累乘法求通项】
满分技巧
适用于a ＝f(n)a，可变形为＝f(n)
n＋1 n
要点：利用恒等式a＝a···…·(a≠0，n≥2，n∈N*)求解
n 1 n
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知 中， ，且 ，求数列通项公式.
【变式4-1】（2023·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）若数列 满足 ，
，则满足不等式 的最大正整数 为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【变式4-2】（2023·河南·模拟预测）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【变式4-3】（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知正项数列 的前n项积为 ，且 ，
则使得 的最小正整数n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式4-4】（2023·河南·高三校联考开学考试）数列 的首项为2，等比数列 满足 且
，则 的值为 ．
【题型5 构造法求通项】
满分技巧
1、形如 （其中 均为常数 且 ）型
设 ，展开移项整理得 ，与题设 比较系数（待定系数
法）得 ，即 构成以
为首项，以 为公比的等比数列．2、形如 型
（1）当 为一次函数类型（即等差数列）时：
设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以
为公比的等比数列 ；
（2）当 为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以
为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理
可得
法二：当 的公比为 时，由递推式得： —①， ，两边同时乘以
得 —②，由①②两式相减得 ，即 ，构造等比
数列。
法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q，r均为常数）
时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 ），
得： 。
【例5】（2023·江苏淮安·盱眙中学校考模拟预测）在数列 中， ，且 ，则 的通项
为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）已知数列 中， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则
下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·山西太原·高三统考期中）（多选）已知数列 中， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是递增数列 C． D．
【变式5-4】（2023·浙江·模拟预测）已知数列 的前 项和为
（1）试求数列 的通项公式；
（2）求 .
【题型6 倒数法求通项】
满分技巧
形如a ＝(p，q，r是常数)，可变形为＝·＋
n＋1
要点：①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项；
②若p≠r，则转化为a ＝sa＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解
n＋1 n
【例6】（2022·重庆·高三西南大学附中校考阶段练习）已知数列 满足： ， ，
则 ( )
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·全国·高三课时练习）已知数列 满足 ，则数列 的前
2017项和 （ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列 各项均为正数， ，且有 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列 的首项 ，且满足．若 ，则n的最大值为 ．
【题型7 三项递推法求通项】
满分技巧
适用于形如 型的递推式
用待定系数法，化为特殊数列 的形式求解．方法为：设 ，比较系数得
，可解得 ，于是 是公比为 的等比数列，这样就化归为
型．
【例7】（2023·四川成都·高三成都七中校考期中）已知数列 满足
，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）在数列 中， ，若 ，
则 （ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【变式7-2】（2023·广东茂名·高三校考阶段练习）已知 ， ， （ ，
）， 为其前 项和，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ，且 ，求通项 .
【变式7-4】（2023·全国·高三对口高考）数列 满足： ， ，且
，则数列 的通项公式为 ．
【题型8 不动点法求通项】
满分技巧
f(x)=x f(x)
（1）定义：方程 的根称为函数 的不动点．f(x) a =f(a )
利用函数 的不动点，可将某些递推关系 n+1 n 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数
列，这种求数列通项的方法称为不动点法．
（2）在数列 中， 已知，且 时， （ 是常数），
** 错误的表达式 **当 时，数列 为等差数列；
** 错误的表达式 **当 时，数列 为常数数列；
** 错误的表达式 **当 时，数列 为等比数列；
** 错误的表达式 **当 时，称 是数列 的一阶特征方程，
其根 叫做特征方程的特征根，这时数列 的通项公式为： ；
a =m a =m a =p⋅a +q⋅a
（3）形如 1 1， 2 2， n+2 n+1 n（p、q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求
a x2 =px+q
得通项 n，其特征方程为 （*）．
β c c
（1）若方程（*）有二异根α、 ，则可令 （ 1、 2是待定常数）；
（2）若方程（*）有二重根α=
β
，则可令
a
n
=(c
1
+nc
2
)⋅αn
（
c
1、
c
2是待定常数）．
c c a =m a =m
(其中 1、 2可利用 1 1， 2 2求得)
【例8】（2023·全国·高三专题练习）若 （ ，且 ）求数列 的通项公式．
【变式8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足性质：对于 且 求
的通项公式.
【变式8-2】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式 ，且首项 ，求数列
的通项公式．
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）数列 满足下列关系： ， ， ，求数
列 的通项公式．
【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．求数列 的通项公式．（建议用时：60分钟）
1．（2023·四川内江·校考模拟预测）已知数列1， ， ， ，3， ，…， ，…，则7是这
个数列的（ ）
A．第21项 B．第23项 C．第25项 D．第27项
2．（2023·天津·高三天津市咸水沽第一中学校考期中）设 是数列 的前 项和，已知 且
，则 （ ）
A．9 B．27 C．81 D．101
3．（2023·陕西安康·安康中学校考模拟预测）在数列 中， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·陕西汉中·高三统考阶段练习）设数列 满足 ，且 ，则数列 的前9
项和为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·天津北辰·高三统考期中）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．16 D．32
6．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，若 ，
， （ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 （ ），则
等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·高二单元测试）已知数列 满足 = ， ，则数列 的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·安徽亳州·高二亳州二中校考期中）（多选）已知数列 满足 ，，数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·福建福州·高三校考阶段练习）（多选）已知数列 的前 项的和为 ， ， ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 是等比数列 C． D．
11．（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 则该数列
的通项公式为 ．
12．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知数列 满足： ， ，
若 ，则数列 的前50项和为 .
13．（2023·广东佛山·高三佛山市第四中学校考开学考试）已知 ， ，则数列
的通项公式是 ．
14．（2022·福建漳州·高三校考期中）已知 为数列 的前 项和，且满足
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 ．
15．（2023·湖南衡阳·高二校考期末）已知数列 满足 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
