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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）
专题07 模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型
▲▼类型一 四边形中构造全等三角形解题
【例题】（2021·天津·耀华中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求证∠C＝
∠A．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先连接BD，由AB＝CB、AD＝CD、BD=BD可证△ABD≌△CBD，即可证得结论．
【详解】
证明：如图：连接BD，
∵在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠C＝∠A．【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、灵活运用SSS证明三角形全等是解答本题的
关键．
【变式训练】
1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中， 于点B， 于点D，点E，
F分别在AB，AD上， ， ．
(1)若 ， ，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S ACE＝S ACF，根据三角形面积公式求得S ACF与S ACE，根
△ △ △ △
据S AECF＝S ACF＋S ACE求解即可；
四边形
△ △
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角
形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋
∠ECF＝2∠DFC(1)
解：连接AC，如图，
在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S ACE＝S ACF，∠FAC＝∠EAC．
△ △
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S ACF＝S ACE＝ AE·CB＝ ×8×6＝24．
△ △
∴S AECF＝S ACF＋S ACE＝24＋24＝48．
四边形
△ △
(2)
∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．▲▼类型二 一线三等角模型
【例题】（2021·湖北·黄石八中八年级阶段练习）如图，D，A，E三点都在一条直线上，且
∠BDA=∠AEC=∠BAC，AB=AC，求BD，CE，DE之间的数量关系．
【答案】DE=CE+BD．
【解析】
【分析】
由“AAS”可证△ABD≌△CAE，可得AD=CE，BD=AE，可得结论．
【详解】
解：DE=CE+BD．
理由如下：
∵∠BAE=∠D+∠ABD=∠BAC+∠CAE，且∠ADB=∠AEC=∠BAC，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE，
∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练运用全等三角形的性质和判定解决问题是本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·江苏泰州·七年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上
运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝120°时，∠EDC＝ ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或
“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．
【答案】（1）10°，小；（2）当DC等于4时，△ABD≌△DCE，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用平角的定义计算∠EDC的度数，几何图形可判断点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
（2）先证明∠CDE＝∠BAD，而∠B＝∠C，则CD＝BA＝4时，可根据“ASA”判定△ABD≌△DCE．
【详解】
解：（1）∠EDC＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE＝180°﹣120°﹣50°＝10°；
点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为10°，小；
（2）当DC等于4时，△ABD≌△DCE．
理由如下：
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
即∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
而∠B＝∠ADE＝50°，
∴∠CDE＝∠BAD，
在△ABD和△DCE中，，
∴△ABD≌△DCE（ASA）．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解答此题的关键．
2．（2022·甘肃武威·八年级期末）（1）如图1，已知 中， 90°， ，直线 经过点
直线 ， 直线 ，垂足分别为点 ．求证： ．
证明：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在 中， 三点都在直线 上，并且有
．请写出 三条线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出
△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；
【详解】
（1）DE=BD+CE．理由如下：
如图1，∵BD⊥ ，CE⊥ ，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在 ABD和 CAE中，
△ △，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2） ，理由如下：
如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在 ADB和 CEA中，
△ △
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有
“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
3．（2021·全国·八年级专题练习）如图1， 中， ．点 、 、 分别是 、 、
边上的点， ．
（1）若 ，求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的长：（3）把（1）中的条件和结论反过来，即：若 ，则 ；这个命题是否成立?若成立，
请证明：若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）成立，见解析
【解析】
【分析】
(1)证明 即可；
(2)求出 ，由已知 及三角形内角和定理 得到
，进而证明 ，即可得到 ；
(3)过点 、 分别作 于点M， 于点N，证明 ，得到 ，再结合
条件 可以证明 ，进而得到 即可求解．
【详解】
解：(1)如图1所示：
由三角形的外角定理可知： ，
且 ， ，
，
在 和 中， ，
，
；
(2) ， ，
，
在 中，由三角形内角和定理可知：
，且 ．又 ，
，
同(1)可知： ，
；
(3)成立，理由如下：
过点 、 分别作 于点M， 于点N，如图2所示：
， ，
，
又 ，
在 和 中，
．
，
又 ，
，
，
又 ， ．
．
即若 ，则 此命题成立．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的外角与不相邻两个内角的关
系，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅助线构建全等三角形．▲▼类型三 三垂直模型
【例题】（2021·福建·武夷山市第二中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，BE
⊥CE于点E，AD ⊥CE于点D．
（1）求证： BCE ≌△CAD；
（2）若AD △=12， BE =5，求ED的长．
【答案】（1）见解析；（2）ED的长为7．
【解析】
【分析】
（1）根据AAS证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AD=CE=12，CD=BE=5，从而求得ED的长．
【详解】
解：（1）证明：∵BE ⊥CE于点E，AD ⊥CE于点D，
∴∠CEB=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∵∠ACB = 90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
又∵AC = BC，
∴ ≌ ；
（2）由（1）知， ≌ ，
∴BE=CD，CE=AD，
∵AD =12， BE =5，
∴CE=12，CD=5，
∴ED=CE－CD=12－5=7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·天津·八年级期中）在△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点
D，CE⊥AE于E．
(1)如图（1）所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE＝ ；
(2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？
请予以证明；
(3)若直线AE绕点A旋转，（BD＞CE），问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．
【答案】(1)BD﹣EC
(2)BD＝DE﹣CE．见解析
(3)当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．
【解析】
【分析】
（1）通过互余关系可得∠ABD＝∠CAE，进而证明△ABD≌△ACE（AAS），即可求得BD＝AE，AD＝EC，进而即可求得关系式；
（2）方法同（1）证明△ABD≌△CAE（AAS），进而得出结论；
（3）综合（1）（2）结论，分当B，C在AE的同侧或异侧时，写出结论即可．
(1)
结论：DE＝BD﹣EC．
理由：如图1中，∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE+CE，
即DE＝BD﹣EC．
故答案为：BD﹣EC；
(2)
结论：BD＝DE﹣CE．
理由：如图2中，∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD与△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴BD＝DE﹣CE；
(3)
归纳：由（1）（2）可知：当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；
当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2022·江西·余干县第三中学九年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过
点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到如图2所示的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到如图3所示的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的数量关系？请直接写出这
个等量关系，不需要证明．
【答案】(1)①见解析，②见解析
(2)见解析
(3) ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）①根据 ， ， ，得出 ，再根据 即可判定
；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出 ， ，进而得到
；
（2）先根据 ， ，得到 ，进而得出 ，再根据即可判定 ，进而得到 ， ，最后得出 ；
（3）运用（2）中的方法即可得出 ， ， 之间的等量关系是： ．
(1)
解：① ， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
；
② ，
， ，
；
(2)
解：证明： ， ，
，
，
在 和 中，
，
；
， ，
；
(3)
解：当 旋转到题图（3）的位置时， ， ， 所满足的等量关系是： ．
理由如下： ， ，
，
，
在 和 中，，
，
， ，
．
【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对
应边相等，同角的余角相等，解题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论．
3．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝
BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，
①求证：∠EAC＝∠BCF．
②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．
（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、
AE、BF之间的关系．（直接写出）
【答案】（1）①证明见解析，②EF＝AE+BF；证明见解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝AE+EF．
【解析】
【分析】
（1）①根据∠AEC＝∠BFC＝90°，利用同角的余角相等证明∠EAC＝∠FCB即可；②根据AAS证
△EAC≌△FCB，推出CE＝BF，AE＝CF即可；
（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可．
【详解】
（1）证明：①∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB＝90°，
∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，∠ECA+∠FCB＝90°，∴∠EAC＝∠FCB，
②EF＝AE+BF；
证明：在△EAC和△FCB中，
，
∴△EAC≌△FCB（AAS），
∴CE＝BF，AE＝CF，
∴EF＝CE+CF＝AE+BF，
即EF＝AE+BF；
（2）①当AD＞BD时，如图①，
∵∠ACB＝90°，AE⊥l直线，
同理可证∠BCF＝∠CAE（同为∠ACD的余角），
又∵AC＝BC，BF⊥l直线
即∠BFC＝∠AEC＝90°，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，CE＝BF，
∵CF＝CE+EF＝BF+EF，
∴AE＝BF+EF；
②当AD＜BD时，如图②，
∵∠ACB＝90°，BF⊥l直线，
同理可证∠CBF＝∠ACE（同为∠BCD的余角），
又∵AC＝BC，BE⊥l直线，即∠AEC＝∠BFC＝90°．
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，BF＝CE，
∵CE＝CF+EF＝AE+EF，
∴BF＝AE+EF．【点睛】
本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACE≌△CBF
（AAS），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．
