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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）
专题08 难点探究专题：全等三角形中的动态问题
▲▼类型一 全等三角形中的动点问题
【例题】（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在 中， ．点D是直线 上
一动点（点D不与点B，C重合）， ，连接 ．
(1)如图1，当点D在线段 上时，直接写出 与 之间的数量关系；
(2)如图2，当点D在边 的延长线上时，请探究线段 与 之间存在怎样的数量关系？并说明理
由；
(3)如图3，若点D在边 的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，若 ，
直接写出 的长度．
【变式训练】
1．（2021·河南商丘·八年级期中）如图1， 中， ， ，点 、 别在边 、 上，
且 // ．(1)求证： ；
(2)围绕 点旋转 ，使其一边 落在线段 上（如图2所示），连接 、 并延长相交于 点．
试求 的度数．
2．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC
为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．
(1)观察猜想：
1.AE与BD的数量关系为______；
2.∠APD的度数为______；
(2)数学思考：
如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，
请你写出正确结论再给予证明．
3．（2022·辽宁大连·八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，FD⊥ED．
(1)如图1，若点E在线段AB上，点F在线段AC上，求证 BE＝AF；
(2)如图 2，若点E在线段AB的延长线上，点F在线段CA的延长线上．请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
4．（2022·江西·余干县第三中学九年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过
点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到如图2所示的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到如图3所示的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的数量关系？请直接写出这
个等量关系，不需要证明．
5．（2020·山东青岛·八年级单元测试）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，
连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段BD、AB、EB的数量
关系为 ；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两
种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．▲▼类型二 全等三角形中的动图问题
【例题】（2021·海南华侨中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，动点P以每秒2cm的速度从A点向B点运动，动点Q以每秒1cm的速度
从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求证：△AED≌△AFD；
（2）若AE=10cm，当t取何值时，△DEP与△DFQ全等．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级）如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=∠C，BC=8cm，D为AB的中点．点
P在线段BC上以3 cm /s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP
全等？2．（2021·河南三门峡·八年级期中）已知：如图，在长方形 中， ，点E为
中点．点P在线段 上以每秒 的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段 上由点C向点D运
动．设点P的运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）线段 的长可用含t的式子分别表示为 ， ；
（2）若某一时刻 与 全等，求此时t的值和点Q的运动速度．
3．（2021·湖北十堰·八年级期中）如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的
中点．如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上以每秒a厘米
的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．（1）用t的代数式表示PC的长度；
（2）若点P，Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
4．（2021·福建省华安县第一中学八年级期中）如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=9cm，点P在
线段AB上以3cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动；设点P的运动时间为t
秒．
(1) PB=________ cm．（用含t的代数式表示）
(2)如图1，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1秒时， ACP与 BPQ是否全等？
并说明理由． △ △
(3)如图2，将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其余条件不变；设点Q的运动速度为xcm/s，是
否存在实数x，使得 ACP与 BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
△ △
5．（2021·天津红桥·八年级期中）在 中， ，点 是射线 上的一个动点（不与点 ，
重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ， ，连接 ．（1）如图1，当点 在线段 上，且 时，那么 ______度．
（2）设 ， ．
①如图2，当点 在线段 上， 时，请你探究 与 之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点 在线段 的延长线上， 时，请直接写出此时 与 之间的量关系
（不需证明）．
