专题4.2应用导数研究函数的单调性2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 4.2 应用导数研究函数的单调性 练基础 y f x的导函数y f ，x y f x 1．（浙江高考真题）函数 的图像如图所示，则函数 的图像可能 是（ ） A． B． C． D． 【答案】D x0 【解析】原函数先减再增，再减再增，且 位于增区间内，因此选D． 2．（2020·重庆市第七中学校高三期中）设函数 在区间 上单调递减，则 实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 先求出 的减区间 ，只需 ， ，解不等式求出a的范围. 【详解】解： ，当 ，即 时，有 ， 即在 上函数 是减函数，从而 ， ，即 且 ，解得 ． 所以实数a的取值范围是 ． 故选：A. 3．（2021·广东高三其他模拟）已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 根据题意画出函数 大致图象，然后根据图象得出 ，再用 表示出 ，根据所得关于 的函数 单调性可得结果． 【详解】 函数 大致图象如下：则由图可得 ， 而 ，故 ． ， 令 ， ， ． 则 在 ， 上为单调增函数． ， ． 故选：D 4．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数 ，若 在区间 上单调递 增，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 利用导数求出函数 的单调递增区间为 ，进而可得出 ，可得出关于实 数 的不等式组，由此可解得实数 的取值范围. 【详解】 因为 的定义域为 ， ，由 ，得 ，解得 ，所以 的递增区间为 ． 由于 在区间 上单调递增，则 ， 所以 ，解得 . 因此，实数 的取值范围是 ． 故选：A. 5．（2021·福建高三三模）已知函数 ，实数 ， 满足不等式 ，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根据条件判断函数 关于 对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式 进行转化求解即可. 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴函数 关于 对称，又 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 恒成立，则 是增函数， ∵ ， ∴ ， ∴ ，得 ， 故选：A. 6．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）如图是函数 的部分图像，则 的解析 式可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】 由函数 为偶函数，得到 必为奇函数，排除B选项；根据 时， ，可排除D选 项，对于A、C项，得出函数的解析式，结合三角函数的性质和导数，逐项判定，即可求解. 【详解】 由函数 的图像关于 轴对称，所以函数 为偶函数，又由 为奇函数，则函数 必为奇函数，排除B选项； 当 时， ，可得 ，排除D选项. 对于A中，函数 为偶函数，且当 时， ， 当 或 时，可得 ， 又由 ， 当 时， ，所以函数 在 轴右侧先单调递增，且 ， 所以函数 在 附近存在单调递减区间，选项A符合； 对于C中，函数 为偶函数， 当 时， ，当 或 时，可得 ， 又由 ， 当 时， ，所以函数 在 轴右侧先单调递增，且 ， 所以函数 在 附近存在单调递减区间，选项C符合. 故选：AC. 7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）函数 的图象如图所示，且 在 与 处取得极值，则下列结论正确的有（ ）A． B． C． D．函数 在 上是减函数 【答案】BC 【解析】 求出函数的导数，根据 在 与 处取得极值以及函数的单调区间，结合韦达定理求出 ， ， 之间的关系，判断其符号，进而可得到结论． 【详解】 因为 ，所以 ， 由图知 的增区间是 ， ，减区间是 ， 所以 的解集为 ， 的解集为 ，所以 ，A错误； 因为 在 与 处取得极值，则 ， 是方程 的根， 由韦达定理可知 ，B正确； 由图可知 ， 由韦达定理可知 ，故 ，故 ，C正确；因为 的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为 ， 所以 在 上递减，在 上递增，D错误， 故选：BC． 8．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三月考）已知 在 上单调递增， .若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 先解出 .再由 是 的充分不必要条件即可得出答案. 【详解】 在 上单调递增 在 上恒成立. 即 在 上恒成立， 所以： . 又 是 的充分不必要条件， 即 . 故答案为： . f xex aex 9. (2019年高考北京理)设函数 （a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f （x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 【答案】1 ,0【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用 f(x)0可得a的取值范 围. 若函数 f xex aex 为奇函数，则 f xf x,即ex aex   ex aex ， a1 ex  ex 0 即 对任意的x恒成立， a10 a1 则 ，得 . f xex aex f(x) ex aex 0 若函数 是R上的增函数，则 在R上恒成立， ae2x 即 在R上恒成立， e2x 0 a0 又 ，则 ， ,0 即实数a的取值范围是 . 10．（2020·四川省内江市第六中学高三月考）已知 ，函数 ． （1）若曲线 与曲线 在它们的交点 处的切线互相垂直，求a，b的值； （2）设 ，若 在 上为增函数，求a的取值范围． 【答案】（1） 或 ；（2） . 【解析】 （1）求出 的导数，由题可得 ， ，列出式子即可求出； （2）可得 ，求出导数，可得对任意 ，有 恒成立，由此 可求出a的取值范围.【详解】 （1） ， ， 依题意有 ，且 ， 可得 ，解得 ,或 . （2） 在 上是增函数. 可得 ， 依题意有, 对任意 ，有 恒成立. 由 ，则 ， 可得 . 练提升 TIDHNE 1．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）已知实数 ， ， 满足 且 ，若 ， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先根据题中的条件得到 ，从而得到 ；再根据 时 得到 ，结合函数 的单调性得到 ，从而得到 . 【详解】 由 得 ，————① 由 得 ，————② 两式相加得 ，因为 ， ，所以 ，又因为 ，所以 ； 因为 ， ，所以 ，即 ，所以 ； 令 ，则 ，当 时， ， 所以 在 内单调递增，即 ， 所以 ，即 ， 又令 ，则 ， 当 时， ，所以 在 内单调递增，所以由 ，得到 . 所以 . 故选：D. 2.【多选题】（2021·山东济南市·高三其他模拟）数列{a}满足a＝1，a＝a +ln（1+a ）（ ）， n 1 n n+1 n+1则（ ） A．存在n使a 0 B．任意n使a 0 n n C．a a D．a a n n+1 n n+1 【答案】BD 【解析】 构造函数 ，研究其单调性，然后根据单调性判断每一个选项. 【详解】 解：设f(x)＝x+ln（1+x），其定义域为（﹣1，+∞）， 则f′(x)＝1+ ＝ 在（﹣1，+∞）上大于0恒成立， 故f(x)在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（0）＝0， 若a 0，则a +ln（1+a ） 0，即f（a ） 0，即f（a ） f（0）， n n+1 n+1 n+1 n+1 则由f(x)的单调性可得a 0， n+1 即a 0可得a 0， n n+1 又由a＝1 0可得：任意 ，使a 0，故A错，B对， 1 n 又由a﹣a ＝ln（1+a ）且a 0，故ln（1+a ） 0， n n+1 n+1 n+1 n+1 ∴a﹣a 0 a a ，故C错，D对， n n+1 n n+1 故选：BD．⇒ 3．（2021·辽宁高三其他模拟）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 ____________________ 【答案】 【解析】 先对函数 进行求导，由导数 在 上恒成立即可求出实数 的取值范围. 【详解】 ，由题意知 在 上恒成立且不恒为0， 显然 时， 恒成立， 所以只需 在 上恒成立且不恒为0， 即 在 上恒成立且不恒为0， 所以只需当 时， 又当 时，有 ，所以 ，即 有最大值 ， 所以 ，即 . 故答案为： . 4．（2021·陕西宝鸡市·高三月考（文））若函数 在区间 是增函数，则 的 取值范围是_________． 【答案】 【解析】 先求导，根据题意 在 上恒成立，整理即得 在 上恒成立，再求 的值域即得结果. 【详解】 由 知， ,时， 是增函数， ， 又 ，∴ 在 上恒成立， 而 ， ． 故答案为： ． 5．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）已知函数 ，则不等式 的解集为___________. 【答案】 【解析】 根据函数奇偶性的定义，得到 为奇函数，再根据导数求得函数 为 上单调递减函数，把不等 式 ，转化为 ，即可求解. 【详解】 由题意，函数 的定义域为 ， 且满足 ，即 ， 所以函数 为奇函数， 又由 ， 因为 ，当且仅当 时，即 时，等号成立， 所以 ，所以函数 为 上单调递减函数， 又因为 ，即 ，即 ，所以 ，即 ， 解得 ，即不等式的解集为 . 故答案为： . 6．（2020·重庆市云阳江口中学校高三月考）已知函数 ， ， ， 且对于任意实数x，恒有 . （1）求函数 的解析式； （2）已知函数 在区间 上单调，求实数a的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 或 . 【解析】 （1）由偶函数定义待定系数b即可； （2）函数 在区间 上单调转化为“ 在 上恒成立”和“ 在 上恒成 立”两个问题分别求解. 【详解】 （1）由题设得： ， ，则 ， 对于任意实数x都成立， ， . （2） ， . 要使 在 上单调，只需 在 上恒成立，或 在 上恒成立．则 在 上恒成立，或 在 上恒成立． 即 在 上恒成立，或 在 上恒成立. 设 ，则 . 要使 在 上恒成立，则 ， 要使 在 上恒成立，则 . 或 . 7．（2021·全国高三专题练习（理））设函数 . （Ⅰ）设 是 图象的一条切线，求证：当 时， 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关； （Ⅱ）若函数 在定义域上单调递减，求 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） . 【解析】 （Ⅰ）设切点为 ，求出切线方程并计算 与坐标轴围成的三角形的面积为2，故可得相应的结论. （Ⅱ）由题设可得 ，利用参变分离可得 的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）当 时， ， ， 设 图象上任意一点 ，切线 斜率为 . 过点 的切线方程为 .令 ，解得 ；令 ，解得 . 切线与坐标轴围成的三角形面积为 . 所以 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关. （Ⅱ）由题意，函数 的定义域为 . 因为 在 上单调递减， 所以 在 上恒成立， 即当 ， 恒成立， 所以 因为当 ， ，当且仅当 时取等号. 所以当 时， 所以 . 所以 的取值范围为 . 8．（2021·河南商丘市·高三月考（理））已知函数 . （1）求 的最大值； （2）若 ，分析 在 上的单调性.【答案】（1）最大值为 ；（2） 在 上单调递减. 【解析】 (1)求导后，判断单调性进而求出最大值即可； (2)由题意可知， 求导后表达式比较复杂，故因式分解后构造新的函数，通过二次求导来判断 的 正负号，进而判断出 在 上的单调性. 【详解】 (1)由条件知 ， 令 ，得 ， 由 ，得 ，由 ，得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 的最大值为 . (2)由已知得 ， 所以 ， 当 时， . 令 ，则 ， 当 时， ，所以 ， 所以 在 上单调递减，所以 ， 所以 ， 从而 ，所以 在 上单调递减. 9．（2021·全国高三专题练习）已知函数 . （1）讨论函数 的单调区间； （2）若函数 对 都有 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） . 【解析】 （1）求出函数导数，分 , 讨论，当 时，根据 两根关系讨论，即可求出 函数的单调区间； （2）不妨令 ，由 恒成立可得 在 上为减函数，利用导数 恒成立求解即可. 【详解】 （1）依题意有定义域为 ， 当 时， ， ， ∴当 时 ， 为增函数， 当 时， ， 为减函数；当 时，令 ，得 ， （i）当 ， ，即当 时， ，则 时 ， 在 ， 上均为增函数；在 上为减函数； （ii）当 ， ，即 时， ， 上为增函数； (iii)当 ， ，即 时，则 时 ， 在 ， 上均为增函数；在 上为减函数. 综上：当 时， 增区间为 ， ，减区间为 ； 当 时， 增区间为 ； 当 时， 增区间为 和 ，减区间为 ； 当 时， 增区间为 ，减区间为 . （2）不妨令 ，则 ，即 ，令 ，则 在 上为减函数.即 对 恒成立. 令 ， 当 时 ，所以当 时 ， ∴ 故 的取值范围为 . 10．（2020·四川成都市·北大附中成都为明学校高三月考（文））已知函数 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）由 ，得到 ，求导，分别求得 ，写出切线方程； （2）设 ，易知 在 上单调递减，则 ， 然后分 ， ， 讨论求解. 【详解】 （1）当 时， ， 则 ，所以 ， 所以，所求切线方程为 ， 即 . （2）设 ， 则 ， 所以 在 上单调递减， 从而 ， 即 . （i）当 时， ， 则 ， 则 ， 若 在 上单调递增， 则 对于任意的 恒成立， 即 . 因为 ， 所以当 时， ， 所以 ，又 ，此时 的取值范围为 （ii）当 时， ， 则 ， 则 ， 若 在 上单调递增， 则 对于任意的 恒成立， 即 . 因为 ， 所以当 时， ， 所以 ， 此时 的取值范围为 . （iii）当 时，则存在唯一的 ， 使得 . 当 时， ， 即存在 且 ， 使得 ， 从而 ， 即 ，这与“ 在 上为增函数”矛盾， 此时不合题意. 综上，实数 的取值范围 练真题 TIDHNE 1．（2021·全国高考真题（理））设 ， ， ．则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01 换成x,分别构造函数 , ，利用导数分析其 在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. 【详解】 , 所以 ; 下面比较 与 的大小关系. 记 ,则 , ， 由于 所以当00时, , 所以 ,即函数 在[0,+∞)上单调递减，所以 ,即 ,即b0得2x(2x2−1)<0， √2 √2 得x<− 或00，则当 时， ；当 时， ．故 在 a   a (,0), , 0,     3   3 单调递增，在 单调递减； f(x) (,) 若a=0， 在 单调递增；  a a  x  , (0,) x  ,0   3 f(x)0 3  f(x)0 f(x) 若a<0，则当 时， ；当 时， ．故 在  a a  , ,(0,) ,0      3 3  单调递增，在 单调递减. （2）满足题设条件的a，b存在. f(x) f(x) f(0)=b （i）当a≤0时，由（1）知， 在[0，1]单调递增，所以 在区间[0，l]的最小值为 ，最f(1)2ab b1 2ab1 b1 大值为 .此时a，b满足题设条件当且仅当 ， ，即a=0， ． f(x) f(x) f(0)=b （ii）当a≥3时，由（1）知， 在[0，1]单调递减，所以 在区间[0，1]的最大值为 ， f(1)2ab 2ab1 最小值为 ．此时a，b满足题设条件当且仅当 ，b=1，即a=4，b=1． a a3 f  b   f(x) 3 27 2ab （iii）当0