文档内容
4.3 三角函数的图象与性质
思维导图
知识点总结
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C ：
(α－β)
cos(α－β)＝cos__ α cos __ β ＋ sin __ α sin __β；
(2)公式C ：
(α＋β)
cos(α＋β)＝cos__ α cos __ β － sin __ α sin __β；
(3)公式S ：
(α－β)
sin(α－β)＝sin__ α cos __ β － cos __ α sin __β；
(4)公式S ：
(α＋β)
sin(α＋β)＝sin__ α cos __ β ＋ cos __ α sin __β；
(5)公式T ：tan(α－β)＝；
(α－β)
(6)公式T ：tan(α＋β)＝.
(α＋β)
2.辅助角公式
asin α＋bcos α＝ sin( α ＋ φ ) ，其中sin φ＝，cos φ＝.
[常用结论]
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－＝－1.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S ：sin 2α＝2sin__ α cos __α.
2α
(2)公式C ：cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 2cos 2 α － 1 ＝ 1 － 2sin 2 α .
2α
(3)公式T ：tan 2α＝.
2α
[常用结论]
1.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.
2.升幂公式：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
4.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，， (π ，－ 1) ，，(2π，1).
5.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R { x x ≠ k π ＋ }
值域 [ － 1 ， 1] [ － 1 ， 1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2 k π － π ， 2 k π]
递减区间 [2 k π ， 2 k π ＋ π] 无
对称中心 ( k π ， 0)
对称轴方程 x ＝ k π ＋ x ＝ k π 无
[常用结论]
1.对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z).
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
典型例题分析
考向一 公式的基本应用
例1 (1)若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A. B.－
C.－ D.
答案 B
解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，
且sin α＝－＝－＝－，
因此，sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－.
(2)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A.－ B.
C. D.－
答案 A
解析 ∵α∈，
∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan(α－β)＝＝＝－.
感悟提升 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向二 给值求值
例2 (1)(2023·淄博模拟)已知α∈，且cos 2α＝sin，则sin 2α＝( )
A.－ B.
C.－1 D.1
答案 C
解析 ∵cos 2α＝sin＝(sin α＋cos α)，
∴cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(cos α＋sin α)，
∴(cos α＋sin α)＝0，
∴cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，
由cos α＋sin α＝0平方可得1＋sin 2α＝0，
即sin 2α＝－1，
由cos α－sin α＝平方可得1－sin 2α＝，
即sin 2α＝，
因为α∈，
所以2α∈(－π，0)，sin 2α＜0，
综上，sin 2α＝－1.
(2)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 因为tan 2α＝＝，
且tan 2α＝，
所以＝，解得sin α＝.
因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
感悟提升 给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
考向三
考向四
考向五
基础题型训练
一、单选题
1．已知x∈[0，2π]，如果y = cosx是增函数，且y = sinx是减函数，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数和余弦函数的单调性即可得到结论．
【详解】当 ， ，如果 是增函数，
则 ，
若 是减函数，
则 ，
若同时满足条件，
则 ，
故选： ．
2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．y=tan x
C．y=lnx D．y=x|x|
【答案】D
【分析】由奇偶性排除AC，由增减性排除B，D选项符合要求.
【详解】 ， 不是奇函数，排除AC； 定义域为 ，而 在
上为增函数，故在定义域上为增函数的说法是不对的，C错误；
满足 ，且在R上为增函数，故D正确.
故选：D
3．已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式最可能是（ ）
A．y＝xcosx B．y＝sinx－x2 C． D．y＝sinx＋x
【答案】A
【分析】由图象判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，运用排除法可得结论.
【详解】由f（x）的图象关于原点对称，可得f（x）为奇函数，
对于选项B，f（x）＝sinx－x2，f（－x）＝－sinx－x2≠－f（x），f（x）不为奇函数，故排除B；
对于选项C，f（x）＝ ，f（－x）＝ ＝2x（1－cosx）≠－f（x），f（x）不为奇函数，故
排除C；
对于选项D，f（x）＝x＋sinx，f（－x）＝－sinx－x＝－f（x），可得f（x）为奇函数，
由f（x）＝0，可得sinx＝－x，f（0）＝0，由y＝sinx和y＝－x的图象可知它们只有一个交点，故排除
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D；
对于选项A，f（x）＝xcosx，f（－x）＝－xcos（－x）＝－xcosx＝－f（x），可得f（x）为奇函数，
且f（x）＝0时，x＝0或x＝kπ＋ （k∈Z），f（ ）＜0，f（π）＜0，
故选项A最可能正确.
故选：A.
4．如果函数 的相邻两个零点之间的距离为 ，则 的值为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【答案】B
【分析】根据两个零点的距离可以求出三角函数的半个周期，再利用周期公式可以得到答案
【详解】 函数 的相邻两个零点之间的距离为函数的半个周期，
，
故选：B.
5．在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间 上的增函数又是以 为周期的偶函数( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项进行逐一分析即可.
【详解】对于A,函数 不是周期函数,所以排除A.
对于B,函数 的最小正周期为 ,且根据正弦函数的图像可知在区间 上为增函数,所以B
正确.
对于C,函数 周期为 ,在区间 上为减函数,所以排除C.
对于D,函数 的周期为 ,在区间 上是先增后减,所以排除D.
故选:B.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．已知函数 ，下列结论错误的是（ ）
A．函数 是偶函数
B．函数 的最小正周期为
C．函数 在区间 上单调递增
D．函数 的图象关于直线 对称
【答案】D
【分析】函数 ，利用余弦函数的周期、奇偶性、对称轴，单调性求解．
【详解】对于函数 ，
由于 ，故函数 是偶函数，故A正确；
由 知，它的周期等于 ，故B正确；
当 时， ，所以 单调递增，故C正确；
令 ，则 ，则 不是 的对称轴，故D错误．
故选：D
二、多选题
7．若函数 的最小正周期为 ，则 的值可能是（ ）
A．2 B． C． D．-2
【答案】BC
【解析】根据周期公式求解即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】因为函数 的最小正周期为
所以 ，
故选：BC.
【点睛】本题主要考查了根据正弦型函数的最小正周期求参数，属于基础题.
8．关于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．该函数的其中一个周期为
B．该函数的图象关于直线 对称
C．将该函数的图象向左平移 个单位长度得到 的图象
D．该函数在区间 上单调递减
【答案】ABD
【分析】 根据周期函数定义判断， 根据函数对称条件判断， 求平移后函数表达式判断， 求出递减
区间判断．
【详解】解：令 ；
对于 ，因为 ，所以 对；
对于 ，因为 ，所以 对；
对于 ， 的图象向左平移 个单位长度得到函数 ，
函数 与函数 不同，所以 错；
对于 ， 的单调递减区间为 ， ， ，因
为 ，所以 对；
故选： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三、填空题
9．函数 的最小正周期为 ，则 ______.
【答案】
【分析】根据三角函数的最小正周期的定义及求法，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，函数 的最小正周期为 ，可得 ，
解得 ，所以 .
故答案为：
10．函数 的最小正周期是 ，则 ______.
【答案】2
【分析】根据周期的计算公式 ，代入周期即可得到 的值.
【详解】因为 ，所以 .
故答案为 .
【点睛】本题考查三角函数的周期公式的运用，难度较易. 知道其中一个量即可求解另一个量.
11．若函数 的图象关于直线 对称，则常数 的一个取值为______.
【答案】 （答案不唯一，满足 即可）
【解析】令 ，将 代入可求出 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】令 ， ，解得 ，
关于 对称，
是 的对称轴，
，解得 ，
令 得 .
故答案为： （答案不唯一，满足 即可）.
12．函数 的局部图象如图所示，则该函数的解析式为________.
【答案】
【分析】由函数的最小值可求得 的值，由函数图象可得出函数的最小正周期，可求得 的值，再将点
代入函数解析式，结合 的取值范围可求得 的值，即可得出函数解析式.
【详解】由图可得 ，则 ，
由图象可知，函数 的最小正周期 满足 ，故 ，
，则函数解析式为 ，
将点 的坐标代入函数解析式可得 ，可得 ，
所以， ，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，故 ，
因此，函数解析式为 .
故答案为： .
四、解答题
13．求下列函数的最小正周期．
（1）f(x)＝cos ；
（2）y＝4sin (a≠0)．
【答案】（1）T＝π；（2）T＝ .
【分析】利用正弦型函数和余弦型函数最小正周期的计算公式，即可容易求得结果.
【详解】（1）∵y＝cos ，∴ω＝2.
又T＝ ＝ ＝π，
∴函数f(x)＝cos 的最小正周期T＝π.
（2）当a>0时，T＝ ，
当a<0时，y＝－4sin ，T＝ .
综上可知，T＝ .
【点睛】本题考查正弦型函数和余弦型函数的最小正周期的求解，属简单题.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．利用“五点法”作出函数 ， 的简图．
【答案】作图见解析
【分析】按五个关键点列出表格，画出图像得到答案.
【详解】按五个关键点列表：
x 0
0 1 0 0
1
利用正弦函数的性质描点连线作图，如图：
15．函数 的一个零点为 ，其图象距离该零点最近的一条对称轴为
．
（1）求函数 的解析式及函数 的对称中心；
（2）若关于x的方程 在区间 上总有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．
【答案】（1） ；对称中心是 ；（2） .
【分析】（1）依题意可得函数的最小正周期为 ，即可求出 的值，再根据函数过点 ，求出 ，
即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）依题意函数 的图像与直线 在区间 上有两个不同的交点，即可得到 ，
再分 与 两种情况讨论可得；
【详解】解：（1）由题意， ，∴ ．
得 将 代入得
又 ∴ ∴ ．
令 得 ，∴ 的对称中心是 ．
（3）由（1）得 ，因为 ，所以 ，又因为方程
在区间 上有两个不同的实数解，函数 的图像与直线 在区间 上有
两个不同的交点，所以 ，所以 ，
时，得 ∴ ．
时， ，不合题意，舍去．
综上，所以实数k的取值范围为 ．
【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，解得的关键是求出函数解析式，对于函数的零点问题，一般转
化为函数与函数的交点；
16．已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）当 时，求 的最值.
【答案】（1） ；（2）函数 的最大值为 ，最小值为 .
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求
函数的最小正周期
（2）当x∈[0， ]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即求出f（x）的最大值和
最小值．
【详解】函数f（x）=sin4x+cos4x+ sin2xcos2x
化简可得：f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x+ sin4x
=1﹣ sin22x+ sin4x
=1﹣ （ cos4x）+ sin4x
= sin4x+ cos4x+
= sin（4x+ ）+
（1）f（x）的最小正周期T=
（2）当x∈[0， ]时，
那么：4x+ ∈[ ]
∴sin（4x+ ）∈[ ，1]
当4x+ = 时，f（x）取得最小值为 ，此时x= ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当4x+ = 时，f（x）取得最大值为 ，此时x= ．
∴当x∈[0， ]时，求f（x）的最大值为 ，最小值为 ．
【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数
进行化简是解决本题的关键．属于中档题．
提升题型训练
一、单选题
1．下列函数不是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断.
【详解】 ，定义域为R关于原点对称，f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数.
ABD均满足定义域关于原点对称，且f(－x)＝f(x)，即ABD均为偶函数.
故选：C.
2．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】A
【分析】由题意结合函数的性质及图象的特征逐项排除即可得解.
【详解】因为 ，所以函数 为奇函数，
故排除C、D；
当 时， ， ，所以 ，故排除B.
故选：A.
【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了三角函数图象与性质的应用，属于基础题.
3．如图是函数 的部分图像，则 （ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图像与 轴的两个交点确定周期，从而求出 的值，再代入零点求出 的值.
【详解】解：由图像可知： ，则 ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，又 过点 ，则有 ，所以 ， ，
因为 ，所以 .即 .
故选：C
4．设函数 在区间 上恰好有 条对称轴，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 可求得 的取值范围，根据已知条件可得出关于 的不等式，解之即可.
【详解】当 时， ，
因为函数 在区间 上恰好有 条对称轴，所以 ，解得
.
故选：B.
5．已知函数f(x)＝sin(2x＋α)在x＝ 时有极大值，且f(x－β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为(
)
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】依题意得2× ＋α＝2kπ＋ ，即α＝2kπ＋ ，k∈Z，A，B均不正确．由f(x－β)是奇函数得f(－
1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】x－β)＝－f(x－β)，即f(－x－β)＋f(x－β)＝0，函数f(x)的图象关于点(－β，0)对称，f(－β)＝0，sin(－2β＋α)
＝0，sin(2β－α)＝0,2β－α＝kπ，k∈Z，结合选项C，D取α＝ 得β＝ ＋ ，k∈Z，故选D.
2 2 2
6．函数 的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得， ，可得出A、B项错误；根据 ，可得出D项错误.
【详解】由已知可得， 定义域为R，且 ，所以A、B项错误；
又 ，所以 为偶函数.
又 ，所以D项错误，C项正确.
故选：C.
二、多选题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．已知函数 的最小正周期为π，则（ ）
A．
B．函数 为奇函数
C．函数 在 上单调递减
D．直线 是 图象的一条对称轴
【答案】ABD
【分析】根据三角函数性质逐项分析判断.
【详解】对A：由题意可得： ，解得 ，A正确；
故 ，
对B： ，故函数 为奇函数，B正确；
对C：令 ，解得 ，
故函数 的递减区间为 ，
令 ，且 ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，C错误；
对D： 为最大值，故直线 是 图象的一条对称轴，D正确.
故选：ABD.
8．设 ，函数 在区间 上有零点，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由题得 ，令 ，求出 解不等式 得解.
【详解】由题得 ，
令 ，解得 ，取k＝0，
，即 ．
故选：BCD
三、填空题
9． 为偶函数，则 ___________.（写出一个值即可）
【答案】符合 ， 的都对，写出一个值即可，比如： .
【分析】要为偶函数， 只要等于 的奇数倍即可.
【详解】 要为偶函数，必须能化成 的形式，根据诱导公式， ， ，
写出符合条件的一个值即可.
故答案为：符合 ， 的都对，写出一个值即可，比如： .
10．设点 是 的图像 的一个对称中心，若 到图像 的对称轴的距离的最小值是 ，则
的最小正周期是_________.
【答案】
【分析】由三角函数的图象知，点 到图象 的对称轴上的距离的最小值 ，知 ，由此可以求出最
小正周期.
【详解】解：点 是函数 的图象 的一个对称中心，且点 到图象 的对称轴上的距离的最
小值 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
即 .
故答案为： .
【点睛】本题考查三角函数图象的性质，对称中心到最近的对称轴距离是周期的四分之一，三角函数的图
象与性质是高考试题的一个热点，本题比较基础.
11．给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④
.其中正确结论的序号是________.
【答案】①④
【分析】由 在 上单调递增可比较①中大小；由诱导公式化简可得②中的值相等；由
在 上单调递增可比较③中大小；由三角函数线可直观比较④中大小.
【详解】根据正弦函数的性质，可知：
在 上单调递增
， ，①正确；
由诱导公式，可得：
，②错误；
根据正切函数的性质，可知：
在 上单调递增，
， ，③错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】画出 的正弦线和正切线，如下：
由图可知 ，④正确.
故答案为：①④
【点睛】本题考查了三角函数单调性，诱导公式和三角函数线画法，通过本题可以总结出比较三角函数值
大小常用的两种方法：
（1）利用函数单调性；
（2）利用三角函数线.
12．已知函数 ，设方程 的根从小到大依次为 ，且
，则 ___________.
【答案】 /
【分析】先由 确定 ， 再根据方程 的根从小到大依次为 ，
可得 ，即可求得 ，从而求得m的值.
【详解】由题意可知， ,故 ，
由于方程 的根从小到大依次为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即有 ，且 关于 对称， 关于 对称，
所以 ，
所以 ，
所以 ，又 ，故 ，
解得 ，所以 ，
故答案为：
四、解答题
13．已知 是以 为周期的偶函数，且 时， ，当 时，求 的解析
式．
【答案】
【分析】当 时， ，再结合已知和函数的周期性和奇偶性可得答案
【详解】解：当 时， ，
因为 时， ，
所以 ，
因为 是以 为周期的偶函数，
所以 ，
所以 ，
【点睛】此题考查三角函数的周期性和奇偶性，属于基础题.
14．已知函数 （其中 ， ， , ）的部分图象如图所示．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求 ， ， 的值；
(2)求 的单调增区间.
【答案】(1) ， ，
(2)
【解析】(1)
由图象可知 ， ，所以 ，
， ，又 ，所以 ；
(2)
由（1） ，
由 ，得 ，
所以增区间是 ．
15．已知向量 ， ，函数 .
（1）求 图象的对称中心；
（2）若动直线 与函数 和函数 的图象分别交于 、 两点，求线
段 的长度的取值范围.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想化简函数 的解析式为
，令 ，可求得函数 的对称中心坐标；
（2）由题意可得 ，由 可求得 的取值范围，利用正弦型
函数的基本性质可求得 长度的取值范围.
【详解】（1） ，
令 ，则 ，
所以，函数 图象的对称中心为 ；
（2） ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，即线段 的长度的取值范围为 .
【点睛】本题考查正弦型函数对称中心坐标的求解，同时也考查了正弦型函数在区间上值域的求解，考查
了三角恒等变换思想以及平面数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
16．已知函数 的最小值为 .最大值为4，求a和b的值．
【答案】 或
【分析】利用函数 的最小值和最大值，结合余弦函数的值域列方程组，解方程组求得 的
值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由于 ，故函数 的最小值为 ①，最大值为 ②，解
由①②组成的方程组得 或 .
【点睛】本小题主要考查根据余弦型函数的最大值和最小值求参数，考查方程的思想，属于基础题.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
