文档内容
25 概率初步
【考点1：事件类型】
【考点2：可能性大小】
【考点3：概率的意义】
【考点4：几何概率】
【考点5：概率公式】
【考点6：列表法与树状图法】
【考点7：游戏的公平性】
【考点8：用频率估计概率】
知识点1：事件类型
必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）.
说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.
（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；
② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③ 如果A为不确定事件，那么0 ，
9 9
所以这个游戏不公平．
【变式7-1】有两个可以自由转动的均匀转盘A、B分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，
如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：
①分别转动转盘A与B．
②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，
直到指针指向某一份为止）．
③如果和为0，王扬获胜；否则刘非获胜．(1)用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则．
1
【答案】(1)
4
(2)不公平，新的游戏规则见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每
个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况
数之比．
（1）用列表法列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的意义求解即可；
（2）根据获胜概率的大小判断游戏规则不公平，新的游戏规则合理即可．
【详解】（1）解：列表如下：
A╲
0 -1 -2
B
0 0 -1 -2
1 1 0 -1
2 2 1 0
3 3 2 1
共有12种等可能的结果，其中和为0的结果有3种，
3 1
∴王扬获胜的概率P= = ；
12 4
（2）解：这个游戏对双方不公平，理由如下：
1 9 3 1 3
由（1）可知，王扬获胜的概率为 ，刘菲获胜的概率为 = ， ≠ ，
4 12 4 4 4
∴二人获胜的概率不相等，因此游戏不公平，
新的游戏规则如下：①分别转动转盘A与B；②两个转盘停止转动后，将两个指针所指份内的数字相
加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；③如果和为-1，王扬
获胜，和为2刘菲获胜．
【变式7-2】学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小
红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3
的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小
于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
1
【答案】(1)
3
(2)树状图见解析，该游戏对双方公平
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的
结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论．
【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，
1
∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 ，
3
1
故答案为： ；
3
（2）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于
4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，
3 1 3 1
∴小明获胜的概率为 = ，小红获胜的概率为 = ，
6 2 6 2
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平．
【变式7-3】如图，大小质地完全相同的A,B两个圆形转盘，都被平均分成3份，并涂上红、白两种颜
色．其中：A涂有白色2份，红色1份；B涂有红色2份，白色1份．两个转盘都是指针固定，转盘可自
由转动（若指针指向分界线，则重转）．(1)自由转动A转盘一次，求转盘停止后指针指向白色的概率；
(2)游戏规则：甲、乙两人让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止时，若两个转盘指针所指区域的
颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请问这个游戏规则对谁更有利？在不改变上述游戏规
则的情况下，若将A转盘重新涂上红、白两种颜色（转盘仍以3份均分），是否有可能使这个游戏对双
方都公平？若能，A转盘中红、白应各涂几份？若不能，请说明理由．
2
【答案】(1)
3
(2)这个游戏规则对乙更有利；没办法使这个游戏规则对双方都公平，理由见解析
【分析】本题考查了游戏的公平性，概率的计算方法，列表法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
（1）首先计算出各种情况的概率，然后比较即可；
（2）用列表法可以表示所有可能出现的结果，计算出甲、乙两人获胜的概率，即可知道游戏规则对谁
都公平，根据无论如何涂色都是有9种等可能的结果，不可能出现4.5种结果，所以不可能使这个游戏
对双方都公平．
【详解】（1）解：自由转动A转盘一次，指针指向白色的可能为2次，红色的可能为1次，
2 2
∴转盘停止后指针指向白色的概率 = ，
1+2 3
（2）解：如表：
由上表可知，共有9种等可能的结果，指针所指区域颜色相同的结果共有4种，
4
∴甲获胜的概率为 ，
9∵颜色不同的结果共有5种，
5
∴乙获胜的概率为 ，
9
∴这个游戏规则对乙更有利，
没有可能使这个游戏对双方都公平。因为无论如何涂色都是有9种等可能的结果，若使游戏对双方都公
平，那么颜色相同和颜色不同的结果都应为4或5种，而不可能出现4.5种结果，
∴不可能使这个游戏对双方都公平．
知识点3：频率与概率
1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数
2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率
3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，
这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。
【考点8：用频率估计概率】
【典例8】小鄂在数学书中看到了斐波那契曲线，于是将曲线画在了纸上小明看到后想计算阴影部分面
积于是他们决定在纸上随机戳点，并记录数据于下表
总点数 10 20 40 100
阴影部分点 4 11 23 47
数
若正方形的边长为4，则阴影部分面积约为（ ）
A．4.7 B．7.52 C．7.98 D．8【答案】B
【分析】本题考查利用频率估计概率，几何概率，根据频率估计出概率，再利用几何概率进行求解即
可．
【详解】解：由表格数据可知：点落在阴影部分的概率为47÷100=0.47，
∵正方形的边长为4，
∴正方形的面积为42=16，
∴阴影部分的面积为：16×0.47=7.52；
故选：B．
【变式8-1】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的
折线图，那么下列符合这一结果的实验最有可能的是 ．（填序号）
①袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球；
②掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”；
③掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2；
④从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花．
【答案】③
【分析】本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上
得出的，不能单纯的依靠几次决定．
分别计算出每个事件的概率，其值在0.16—0.19的即符合题意．
【详解】解：①、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄
2
球的概率为 ，不符合题意；
3
1
②、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为 ，不符合题意；
2
1
③、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为 ，符合题意；
6
13
④、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为 ，不符合题意．
54故答案为：③．
【变式8-2】为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，
实验数据如下：
在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000
落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 85
落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.085
m
n
试估计“点落入圆形区域内”的概率 (精确到0.01) ．
【答案】0.08
【分析】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种
可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频
率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，“点落入圆形区域内”的频率逐渐稳定到0.08附
近，
所以估计“点落入圆形区域内”的概率为0.08，
故答案为：0.08．
【变式8-3】一个不透明盒子中装有除颜色外均相同的10个白球和a个红球，从盒子中随机摸出1个球，
1
记下颜色后放回去摇匀，再从中摸出一球，重复摸多次，统计出摸到红球的频率接近 ，则a的值约为
3
．
【答案】5
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率
逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
a 1
【详解】由题意可得， = ，
10+a 3解得，a=5，
经检验a=5是原方程的根．
故答案为：5．
一、单选题
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放奥运赛事
B．袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球
C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上
D．2024年全年有367天
【答案】B
【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事是必然事件，不一定发生的事是随
机事件，一定不会发生的事是不可能事件，进行判断即可．
【详解】解：A、打开电视，正在播放奥运赛事，是随机事件，不符合题意；
B、袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球，是必然事件，符合题意；
C、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意；
D、2024年全年有367天，是不可能事件，不符合题意；
故选B．
2．小宁书桌的抽屉有两层，每层都有一把锁，现在小宁手中有三把钥匙，其中有两把钥匙能开书桌的两
层抽屉的锁（一把钥匙只能开一把锁），从中随机选取两把钥匙，则恰好一次性（不能试）打开这两
把锁的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
2 3 9 6
【答案】D
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于
所求情况数与总情况数之比，画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然
后再用概率公式求解即可．
【详解】解：将两把锁分别记为A、B，将3把钥匙分别记为a，b，c，其中A与a配套，B与b配套，根据题意，画出树状图如下：
由树状图可得，共有6种等可能出现的结果，其中恰好一次性（不能试）打开这两把锁的情况有1种，
1
故所求概率为： ，
6
故选：D．
3．某超市开展“迎藏历新年”大酬宾活动，凡购物满200元者，可参与一次转盘抽奖（如图1）．德吉购
买了220元的物品，她最有可能抽中（ ）
A．一等奖 B．二等奖 C．三等奖 D．谢谢惠顾
【答案】C
【分析】本题主要考查可能性的大小，理解面积大的转到的可能性就大是解题的关键．根据图示发现
三等奖所占面积最大即可得到答案．
【详解】解：根据图示发现三等奖所占面积最大，
故她最有可能抽中三等奖．
故选C．
4．九年级（2）班有22名男生和28名女生，现从中随机抽取一名同学去领取劳动工具，下列说法正确的是
（ ）
A．抽到男生的可能性较大
B．抽到男、女生的可能性一样大
C．抽到女生的可能性较大
D．抽到男、女生的可能性大小不能确定
【答案】C
【分析】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；
反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据题意，只要求出男生和女生当选的可能性，再进行比较即可解答．
【详解】∵九年级（2）班有22名男生和28名女生，
22 22 11
∴现从中随机抽取一名同学去领取劳动工具，抽到男生的可能性为 = = ，
22+28 50 25
28 28 14
抽到女生的可能性为 = = ，
22+28 50 25
∴抽到女生的可能性大于抽到男生的可能性．
故选：C．
5．某校运动会4×400m的接力赛中，甲、乙两名同学都是第一棒，这两名同学各自随机从四个赛道中抽
取一个赛道，则甲、乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 4 6 8
【答案】A
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出
符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．画树状图展示所有12种等可
能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意，画树状图如图，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果有6种，
6 1
∴甲、乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为 = ．
12 2
故选：A．
6．在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．从A、D、E、
F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形，则所画四边形是平
行四边形的概率为（ ）1 1 5 3
A． B． C． D．
2 3 12 12
【答案】B
【分析】本题主要考查了树状图法求概率，概率公式等知识点，熟练掌握树状图法求概率是解题的关
键．利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出
以点A、E、B、C为顶点及以点D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，然后利用概率公式
即可求出答案．
【详解】解：用树状图列出所有可能出现的结果如下：
，
一共有12种等可能的结果，其中以点A、E、B、C为顶点及以点D、F、B、C为顶点所画的四边形
是平行四边形，共有4种结果，
4 1
∴所画的四边形是平行四边形的概率P= = ，
12 3
故选：B．
7．一个袋中装有红球2个，黄球3个，白球5个，每个球除颜色外都相同，小明从中任意摸出一个球，摸
到黄球的概率是（ ）
1 3 1
A． B． C． D．1
5 10 2
【答案】B
【分析】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．
利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵袋中装有红球2个，黄球3个，白球5个，共10个球，
3
∴任意摸出一个球，摸到黄球的概率为 ．
10
故选：B．
8．一个盒子里有黑球6个，白球若干，这些球除颜色外都相同．将盒子里的球搅拌均匀，从中随机摸出一
个球，记下颜色后放回盒子里，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到白球．则盒子
中白球大约有（ ）
A．7个 B．10个 C．14个 D．16个
【答案】C【分析】本题主要考查本题考查了利用频率估计概率的知识，用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．
用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估
计也就越精确．
30
【详解】解：估计这个口袋中球的数量为6÷ =20（个)，
100
20-6=14（个)，
答：盒子中白球大约有14个，
故选：C．
二、填空题
9．某校将举行田径运动会，某班的“体育达人”小健特别擅长“100米”、“200米”、“跳远”三个项
目，但运动会规则要求每位运动员最多能参加两个项目，小明只能从这三个项目中随机选择两项，则
他参加“100米”与“跳远”两个项目的概率是 ．
1
【答案】
3
【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图
或列表法是解题的关键．
【详解】解：用A、B、C分别表示“100米”、“200米”、“跳远”三个项目，画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等结果，其中参加“100米”与“跳远”两个项目的结果有2种，
2 1
∴参加“100米”与“跳远”两个项目的概率是 = ，
6 31
故答案为： ．
3
10．在1×2的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放
在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为
3
【答案】 /0.75
4
【分析】本题主要考查了几何概率，勾股定理的逆定理，先将第三枚棋子可能落在其余四个位置的格
点位置找到．再找出与已知格点构成直角三角形的3种情况，然后根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，第三枚棋子一共有A，B，C，D四个位置可以放置，其中能与已知两枚棋子
构成直角三角形的点是B、C、D三个点，
3
∴以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 ，
4
3
故答案为： ．
4
11．如图，这是某电路的示意图，随机闭合开关S，S，S，中的任意2个，能同时使2盏小灯泡发光的概
1 2 3
率是 ．
2
【答案】
3
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个
灯泡发光的有4种，然后由概率公式求解即可，掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中能让两个灯泡发光的结果数为4，
4 2
∴能同时使2盏小灯泡发光的概率是： = ，
6 3
2
故答案为： ．
3
12．为了加强学生国防教育，某校举办了主题为“爱我中华，强我国防”的演讲比赛，甲、乙、丙、丁四
名学生分在同一个小组，赛前需要以抽签的方式确定出场顺序，主持人将表示出场顺序的卡片(除正面
分别写有1，2，3，4外，其余完全相同)背面朝上放在桌面上，洗匀后先由甲随机抽取一张，然后由
乙随机抽取一张，甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为 ．
1
【答案】 /0.5
2
【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，掌握画树状图或列表法求概率方法是解题关键．
列表表示出所有等可能的情况和甲、乙抽到的出场顺序相邻的情况，然后根据概率公式求解即可．
【详解】列表如下：
1 2 3 4
1 (2,1) (3,1) (4,1)
2 (1,2) (3,2) (4,2)
3 (1,3) (2,3) (4,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4)
∴共有12种等可能的情况，其中甲、乙抽到的出场顺序相邻的情况有6种，
1
∴甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为 ．
21
故答案为： ．
2
13．如图，有两个转盘，转盘A被分成两等份，分别标有数字1，2，转盘B被分成三等份，分别标有数字
1，2，3，转动两个转盘各一次，指针指向的数字之和为3的概率是 ．
1
【答案】
3
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，根据题意，把所有等可能结果表示出来，
再根据概率计算公式即可求解．
【详解】解：根据题意，把所有等可能表示出来如下，
B 1 2 3
A
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1) (2,2) (2,3)
∴共有6种等可能结果，其中数字之和为3的有两种，(1,2)，(2,1)，
2 1
∴数字之和为3的概率是 = ，
6 3
1
故答案为： ．
3
14．某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：
每次试验粒
50 100 300 400 600 1000
数
发芽频数 47 96 284 380 571 950
估计这批青稞发芽的概率是 ．（结果保留到0.01）
【答案】0.95
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定
的近似值就是这个事件的概率．先计算各次的发芽率，利用频率估计概率即可．
【详解】分别计算各次的发芽率，
47
=0.94，
50
96
=0.96，
100
284
≈0.95，
300
380
=0.95，
400
571
≈0.95，
600
948
≈0.95，
1000
估计这批青稞发芽的概率是0.95．
故答案为：0.95．
三、解答题
15．有3个完全相同的小球，把它们分别标上号码1，2，3，放在一个不透明的口袋中，随机摸出一个小
球放回后再随机摸出另一个小球．
(1)采用画树状图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能的结果．
(2)求摸出的两个小球的号码之和等于5的概率．
【答案】(1)见解析
2
(2)
9
【分析】本题考查借助树状图或列表法求概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相
m
同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
n
（1）画树状图列举出所有情况；
（2）让摸出的两个球号码之和等于5的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】（1）解：根据题意，可以画出如下的树形图：从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有9种．
（2）解：由树状图知摸出的两个小球号码之和等于5的有2种结果，
2
∴摸出的两个小球号码之和等于5的概率为 ．
9
16．在一个盲盒中放有6个白球，7个黄球和若干个红球，这些球除颜色外完全相同，每次把球充分搅匀
后，任意摸出一个球，记下颜色再放回盲盒中，经过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在
0.3左右．
(1)估计盲盒中大约有______个红球；
(2)从盲盒中取出2个白球，2个黄球，1个红球放入到一个不透明的袋子中，从中同时随机摸出两个球，
请用列表法或树状图法求摸到两个球颜色相同的概率．
【答案】(1)7
1
(2)摸到两个球颜色相同的概率为
5
【分析】本题主要考查了已知概率求数量，树状图法或列表法求解概率，用频率估计概率：
（1）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到白球的概率为0.3，据此求出总的总数即
可得到答案。
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到摸到两个球颜色相同的结果数，最后依据概率计算
公式求解即可．
【详解】（1）解：∵经过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.3左右，
∴摸到白球的概率为0.3，
∴盒中球的总个数约为6÷0.3=20（个），
∴估计盲盒中红球大约有20-6-7=7（个），
故答案为：7；
（2）解：分别用A、B表示两个白球，C、D表示两个黄球，E表示红球，列表如下：
A B C D EA (B,A) (C,A) (D,A) (E,A)
B (A,B) (C,B) (D,B) (E,B)
C (A,C) (B,C) (D,C) (E,C)
D (A,D) (B,D) (C,D) (E,D)
E (A,E) (B,E) (C,E) (D,E)
由表知，共有20种等可能结果，其中摸到两个球颜色相同的有4种结果，
4 1
∴摸到两个球颜色相同的概率为 = ．
20 5
17．为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文运动观念，提高同学们的
身体素质．该校对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分
成四组：A:0≤x<3;B:3≤x<6;C:6≤x<9;D:9≤x≤12，并绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
(1)该校此次调查共抽取了________名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为
________°，并补全条形统计图；
(2)若该校八年级共300名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数，
(3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2
名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率．
【答案】(1)80，162，补全条形统计图见解析
(2)105
2
(3)
3
【分析】（1）由“A组”的学生人数除以所占百分比即可求出一共随机抽取的学生人数，再用“B”组的学生人数除以总人数，再乘以360°即可得到“B”组对应的扇形圆心角的度数，最后用总人数减
去已知被调查每组七、八年级的学生人数即可把条形统计图补充完整；
（2）300乘以八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生所占比例即可，
（3）画树状图，用恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果数除以总的结果数即可得出结果．
【详解】（1）解：该校此次调查共抽取的学生人数为：(10+6)÷20%=80（名），
20+16
扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为 ×360°=162°，
80
“C”组八年级的学生人数为：80-10-6-16-20-6-8-4=10（人），
补全条形统计图如下：
；
10+4
（2）解：根据题意：300× =105（人），
6+20+10+4
答：八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数为105人；
（3）解：设七年级和八年级的2名同学分别用字甲，乙，丙，丁表示，
树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果有8种，即甲和丙，甲和丁，乙
和丙，乙和丁，丙和甲，丙和乙，丁和甲，丁和乙，
8 2
∴恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率为 = ．
12 3
【点睛】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此
题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了条形
统计图和扇形统计图．
