文档内容
专题 25 锐角三角函数（3 个知识点 9 种题型 4 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.锐角三角函数的概念（重点）
知识点2.30°，45°，60°角的三角函数值
知识点3.用计算器求锐角三角函数或锐角
【方法二】 实例探索法
题型1.利用三角函数的概念求锐角三角函数值
题型2.运用“参数法”求锐角三角函数值
题型3.网格中的三角函数值的求法
题型4.构造直角三角形求锐角三角函数值
题型5.利用等角转换求锐角三角函数值
题型6.由锐角三角函数值求其他锐角的三角函数值
题型7.根据锐角三角函数值求边长
题型8.特殊角的三角函数值的相关计算
题型9.锐角三角函数与平面直角坐标系的综合运用
【方法三】 仿真实战法
考点1.求锐角三角函数值
考点2.计算器的使用方法
考点3.利用网格求锐角三角函数值
考点4.特殊角的三角函数值与实数的运算
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1.经历探索直角三角形边角关系的过程，理解正弦,余弦、正切的意义。
2.能够用 sinA, cos A,tan A 表示直角三角形两边的比;能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算。3. 掌握特殊角的三角函数值，会计算含有特殊角的三角函数的算式，能根据特殊角的三角函数值得出对应
锐角的度数。
4. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值或根据已知的三角函数值求锐角，体会锐角和锐角三角函数
值之间的一一对应关系。
【知识导图】
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.锐角三角函数的概念（重点）
锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA= ；余弦：cosA= ；正切：tanA= ．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助
线来构造直角三角形.
注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，
其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
【例1】（2023·湖南娄底·九年级校考阶段练习）如图，在 中，
，则 的值为（ ）A． B． C． D．
知识点2.30°，45°，60°角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
【例2】（安徽省亳州市2023-2024学年九年级第三次月考数学试题）观察下列各式：① ；
② （ 是锐角）；③ ，其中成立的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1】（湖南省初中五市十校2023-2024学年九年级月考数学试题）计算：
【变式2】（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）先化简，再求代数式 的值，其中
．知识点3.用计算器求锐角三角函数或锐角
第一步：按计算器键 ；第二步：输入角度
【例3】（2023·山东潍坊·九年级统考期中）如图， ，用科学计算器求∠A的度数，下列按键顺序
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023下·云南德宏·九年级统考期中）某款国产手机上有科学计算器，依次按键：
，显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ）
A．1～2 B．2～3 C．3～4 D．4～5
【变式2】（2023·山东·统考中考真题）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 ，高为7米．用计算
器求 的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023下·山东烟台·九年级统考期中）运用计算器进行计算，按键顺序如下
，则计算器显示的结
果是 ．
【方法二】 实例探索法题型1.利用三角函数的概念求锐角三角函数值
1．（2022下·湖北武汉·九年级校考开学考试）在直角三角形中， 如果各边都扩大 1 倍， 则其锐角的三
角函数值（ ）
A．都扩大 1 倍 B．都没有变化
C．都缩小为原来的一半 D．不能确定
题型2.运用“参数法”求锐角三角函数值
2．（安徽省亳州市2023-2024学年九年级第三次月考数学试题）在 中， ， ，
，则 的值是( )
A． B． C． D．
题型3.网格中的三角函数值的求法
3．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在下列网格中小正方形的边长均为1，点 都在
格点上，则 的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
题型4.构造直角三角形求锐角三角函数值
4．（2023·山东聊城·九年级校联考期中）在 中， ， ， ，那么 的正弦值是
( )
A． B． C． D．
5．（2023·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图， 的顶点都是正方形网格中的格点，则 等
于（ ）A． B． C． D．
题型5.利用等角转换求锐角三角函数值
6．（2023·北京西城·九年级校考期中）如图，点C在以 为直径的 上， 平分 交 于点
D，交 于点E，过点D作 交 的延长线于点F．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
题型6.由锐角三角函数值求其他锐角的三角函数值
7．（2021·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知 ，则锐角 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
题型7.根据锐角三角函数值求边长
8．（2023·湖南娄底·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，求
的值．
题型8.特殊角的三角函数值的相关计算
9．（2023·河北石家庄·九年级校考期中）若锐角 满足 ，求 ＝ 度
题型9.锐角三角函数与平面直角坐标系的综合运用
10．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知抛物线C： 与直线l： 交干A、B
两点，P为抛物线第一象限上一动点，
(1)如图l，若 ，
①求A，B两点的坐标；
若 ，求P点横坐标；
(2)在（1）的条件下，如图2，在第一象限是否存在这样的P，延长 交 轴于M，N两点，使？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【方法三】 仿真实战法
考点1.求锐角三角函数值
1．已知sin6°＝a，sin36°＝b，则 ＝（ ）
A． B．2a C． D．b
2．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，在菱形 中， 于 ，以 为直径的 分别交
， 于点 ， ，连接 ．(1)求证：
① 是 的切线；
② ；
(2)若 ， ，求 ．
考点2.计算器的使用方法
3．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共
有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边
缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果
精确到1）（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果（已精确到0.001）
11.310
0.003
14.744
0.005
4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：① 按键的结果为4；
② 按键的结果为8；
③ 按键的结果为 ；
④ 按键的结果为25．
以上说法正确的序号是 ．
考点3.利用网格求锐角三角函数值
5．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，有三点 ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点
称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则 ．考点4.特殊角的三角函数值与实数的运算
7．（2023·内蒙古·统考中考真题）计算： ．
8．（2023·四川绵阳·统考中考真题）（1）计算： ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【方法四】 成果评定法
一、单选题
1．（2023·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的三个顶
点均在格点上，则 （ ）A． B． C． D．
2．（2023·湖南娄底·九年级校考阶段练习） 中，若 ， ， 是锐角，
则 的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
3．（2023·湖南娄底·九年级校考阶段练习）下列各式中不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2023·湖南娄底·九年级校考阶段练习）在 中， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，以 三边为边向外作正方形，面积分别是 ， ， ，
若 ，且 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，融创乐园彩虹滑梯的高度为 ，滑梯的坡角为 ，
那么彩虹滑梯的长度 为（ ）A． B． C． D．
7．（2023·山东烟台·九年级统考期中）如图，已知 的三个顶点均在正方形格点上，则下列结论错误
的为( )
A． B．
C． D．
8．（2023·湖南·九年级校联考阶段练习）在 中， ，把 的邻边 与对边 的比叫做
的余切，记作 .则下列关系式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考阶段练习）如图，在 中， ，
，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于 两
点；②作直线 交 于点M，交 于点N，连接 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
10．（2023·江西九江·九年级校考阶段练习） 在平面直角坐标系中的位置如图所示， ，
，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，则k的值
是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·全国·九年级专题练习）若 ，则 等于 度．
12．（2023·上海青浦·九年级校考期中）已知点 ， 与 轴正半轴的夹角为 ，则 ．
13．（2023·湖南娄底·九年级校考阶段练习） ．
14．（2023·湖南·九年级校联考阶段练习）在 中， ， ， ，则
.
15．（2023·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）如图，在 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点， 的顶点都在格点上，则图中 的余弦值是
16．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）在菱形 中， ， ，点 是直线 上的一
点，且 ，则 ．
17．（2023·北京西城·九年级北京市第三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系 中，P为x轴正半轴
上一点．已知点 ， ， 为 的外接圆．
（1）点M的纵坐标为 ；
（2）当 最大时，点P的坐标为 ．
18．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图， 中， ，点 在 上，点 在 外，
连接 ， ， ， ，则 ．
三、解答题
19．（2023·辽宁沈阳·九年级沈阳市实验学校校联考期中）计算：20．（2023·湖南·九年级校联考阶段练习）计算： ．
21．（2023·河北石家庄·九年级校考期中）计算：
(1)
(2)
22．（2023·广东佛山·九年级校考阶段练习）计算：23．（2023·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考阶段练习）如图，将矩形纸片 的四个角
向内折叠， 为折痕，折叠后，点 、 落在 上点 的位置，点 、 落在 上点
的位置
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，则 ______； ______．
24．（2023·全国·九年级期末）如图，小明家居住的家属楼前20米处有一土丘，经测量斜坡 长为8米，
坡角恰好为 ．一天小明站在斜坡顶端B处，手持1米的木棒 （手臂长为0.6米，手臂与身子垂直，
木棒与身子平行），发现眼睛A、木棒的顶端D、楼房的顶端M在一条直线上；眼睛A、木棒的底端E、
楼房的底部N三点共线，请你计算小明家居住的这栋楼的高度．（参考数据： ，
， ，结果精确到1米）25．（2023·吉林长春·九年级统考阶段练习）图①、图②、图③均是 的正方形网格，毎个小正方形的
顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要
求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中以线段 为边画 ，使点C在格点上，且 ；
(2)在图②中以线段 为边画 ，使 ；
(3)在图③中以线段 为边画 ，使面积为3个平方单位．
26．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 ．
图1 图2 图3
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，P为第二象限抛物线上的一点，连接 、 、 ，若点P的横坐标为t， 的面积为S，用含t的式子表示S；
