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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 13 讲 函数与方程及函数模型的应用（精讲）
①求函数的零点和零点所在区间问题
②与零点有关的参数问题
③二分法的应用
④常见函数模型①-二次函数和分段函数
⑤常见函数模型②-指对幂函数
一、必备知识整合
一、函数的零点
对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程 有实数根 函数 的图像与 轴有公共点 函数 有零点.
三、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 也就是方程 的根.
四、二分法
（1）定义：对于区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程
的近似解就是求函数 零点的近似值.
（2）用二分法求函数 零点近似值的步骤①确定区间 ，验证 ，给定精度 .
②求区间 的中点 .
③计算 .若 则 就是函数 的零点；若 ，则令 （此时零点
）.若 ，则令 （此时零点 ）
④判断是否达到精确度 ，即若 ，则函数零点的近似值为 （或 ）；否则重复第（2）~（4）
步.（ 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.）
五、几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数且a≠0)
反比例函数模型 k
f(x)= +b(k， 为常数且
x b a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2 +bx+c(a，b，
c
为常数且a≠0)
指数函数模型 f(x)=bax +c(a，b，
c
为常数，b≠0， ，
对数函数模型 f(x)=blog
a
x+c(a，b，c为常数，b≠0， ，
幂函数模型 f(x)=axn +b(a，b为常数，a≠0)
六、解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;
(3)解模：求解数学模型，得出结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
函数的零点相关技巧:
f(x) f(x)
①若连续不断的函数 在定义域上是单调函数，则 至多有一个零点.
f(x)
②连续不断的函数 ，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
f(x)
③连续不断的函数 通过零点时，函数值不一定变号.f(x) [a，b] f(a)f(b)<0
④连续不断的函数 在闭区间 上有零点，不一定能推出 .
二、考点分类精讲
【题型一 求函数的零点和零点所在区间问题】
1.确定函数零点个数的方法
2.判断函数零点所在区间的方法【典例1】（单选题）（2023·陕西西安·模拟预测）函数 的零点为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据零点的定义即可求解.
【详解】令 ，得 ，则 ．
故选：A
【典例2】（单选题）（23-24高三下·北京·阶段练习）函数 的一个零点所在的区间是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断 的单调性，结合零点存在性定理分析判断.
【详解】因为 的定义域为 ，且 在 内单调递增，
可知 在 内单调递增，
且 ，
所以函数 的唯一一个零点所在的区间是 .
故选：B.
一、单选题
1．（2024高二下·湖南·学业考试）函数 的零点是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C【分析】令 ，求解方程即得.
【详解】由 ，设 ，则得 ，
解得 ，从而 ，所以 .
故选：C.
2．（23-24高三上·浙江宁波·期末）函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理进行求解.
【详解】由已知，可知 为增函数，
且 ，
，
根据零点存在定理，函数 在 有零点，且零点是唯一的.
故选：B
3．（2024·江苏·一模）函数 在区间 内的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】利用三角函数的性质求解即可.
【详解】令 ，得 ，则 ；
故 ， ，
所以 在 共有4个零点，
故选： C.
4．（23-24高三下·北京海淀·阶段练习）已知符号函数 ，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
先分段写出 的解析式，然后分类求方程 的根即可.
【详解】令 ，则
，
当 时，若 ，得 ，符合；
当 时，若 ，得 ，符合；
当 时，若 ，得 ，符合；
故函数 的零点个数为 .
故选：C.
5．（2023·广西·一模）已知函数 是奇函数，且 ，若 是函数 的一个零点，
则 （ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用奇函数、函数零点的定义，列式求解作答.
【详解】因为 是函数 的一个零点，则 ，于是 ，即 ，
而函数 是奇函数，则有 ，
所以 .
故选：D
6．（2023·北京·模拟预测）已知函数 ，若方程 的实根在区间上，则k的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据x的取值范围不同，分别解出 根即可得出答案.
【详解】当 时， ，当 时，解得 ；
当 时， ，其中 ， ，
当 时，解得 ，综上k的最大值是1.
故选：C.
7．（22-23高一上·四川凉山·期末）函数 ，则函数 的所有零点之和为
（ ）
A．0 B．3 C．10 D．13
【答案】D
【分析】令 ，根据 ，求得 或 ，再根据 和 ，结合分段函数的解析
式，即可求解.
【详解】令 ，
由 得 或 ，所以 或 ，
当 时， 或 ，
当 时，则 或 ，解得 ，
所以函数 的所有零点之和为 .
故选：D.8．（2024·山东潍坊·二模）已知函数 则 图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】作出 的图象，再作出函数 关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可.
【详解】作出 的图象，再作出函数 关于原点对称的图象如图所示.
因为函数 关于原点对称的图象与 图象有三个交点，故 图象上关于
原点对称的点有3对.
故选：C
9．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知函数 ，则关于 的方程
实数解的个数为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
【答案】A
【分析】由 解得 或2，再画出 ， ， 的图象数交点个数即可.
【详解】因为 ，解之得 或2，
当 时， ；当 时， ，当且仅当 时等号成立，
所以 ， ， 的图象如图：
由图可知使得 或 的点有4个.
故选：A.
10．（22-23高二下·河南焦作·期末）设 分别是方程 ， ，
的实根，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用零点的存在性定理，求得 ， ，作出 与 的图象，
结合图象得到 或 ，即可求解.
【详解】令 ，可得 在 上单调递增，
又由 ，所以 ；
再令 ，可得 在 上单调递增，
且 ，所以 ；
对于 ，即 ，则方程的根为 与 的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中作出两个函数图象，如图所示，
由图可知， 或 ，综上， .
故选：B.
11．（23-24高三下·江苏·阶段练习）已知函数 ，则函数
的零点个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】准确分析函数性质，在同一平面直角坐标系中画出两函数的图象即可得解.
【详解】 ，所以 的最大值为2，
当 取最大值时，有 ，即 ，
由 ，
令 ，解得 ，
当 趋于 时， 趋于正无穷，
而 ，
所以 在 上存在一个零点，
根据上述分析，在同一平面直角坐标系中画出 的图象与 的图象如图所示，由图可知， 在 上存在一个零点，
在 上存在 个零点，
综上所述， 的图象与 的图象共有11个交点.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：关键是对区间进行适当划分，从而研究函数在各个区间上的性质，由此即可顺利得
解.
二、填空题
【题型二 与零点有关的参数问题】
已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围
【典例1】（单选题）（2023高二下·浙江温州·学业考试）设实数a为常数，则函数存在零点的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二次函数与二次方程之前的关系，以及根的分布列出关于 的不等式，解之即可得解.
【详解】因为函数 存在零点，等价于方程 在 上存
在零点，
注意到 的图像开口向上，对称轴为 ，且 ，
故上述条件等价于 ，即 ，解得 .
所以函数 存在零点的充分必要条件是 .
故选：A.
【典例2】（单选题）（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数 存在两个零点，则实数t
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】采用参变分离法，将函数 存在两个零点转化为函数 与函数 的图
象有两个交点，利用导数探究函数 的图象及趋势特征即得参数范围.
【详解】由 ， ，可得： ，令 ，
依题意，函数 存在两个零点，等价于函数 与函数 的图象有两个交点.
又 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，故 时， 取得极大值 ，且当 时， ，当 时， ，
故要使函数 与函数 的图象有两个交点.，需使 ，解得 .
故选：C.
一、单选题
1．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数 存在两个零点，则实数t的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】采用参变分离法，将函数 存在两个零点转化为函数 与函数 的图
象有两个交点，利用导数探究函数 的图象及趋势特征即得参数范围.
【详解】由 ， ，可得： ，令 ，
依题意，函数 存在两个零点，等价于函数 与函数 的图象有两个交点.
又 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
故 时， 取得极大值 ，且当 时， ，当 时， ，
故要使函数 与函数 的图象有两个交点.，需使 ，解得 .
故选：C.
2．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知m为常数，函数 ，则“ ”是“ 有零
点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用函数零点的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】当 时， 恒成立，即函数 没有零点，
反之， 有零点，即 有解，因此 ，则 ，
所以“ ”是“ 有零点”的必要不充分条件.
故选：B
3．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数 在 内有零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可列式求解.
【详解】 是增函数， 也是增函数，所以 是 上的增函数.
因为 在 内有零点，
所以 ，解得 .
故选：A
4．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数 存在1个零点位于 内，则a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可.
【详解】若函数 存在1个零点位于 内，单调递增,又因为零点存在定理，
.
故选：A.
5．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习） 为函数 的两个零点，其中 ，则下列说法
错误的是（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】C
【分析】根据给定条件，由函数零点的意义可得直线 与函数 的图象有两个公共点，结
合函数 的性质可得 ，再借助对勾函数性质及基本不等式逐项分析得解.
【详解】函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，因此直线 与函数 的图象有两个公共点，其横坐标为 ，
而当 时， 递减，当 时， 递增，于是 ，
对于A，由 ，得 ，即 ，A正确；
对于B， ，而函数 在 上单调递增，因此 ，B正确；
对于C， ，函数 在 上单调递增，因此 ，C错误；
对于D， ，当且仅当 时取等号，D正确.
故选：C
6．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）若函数 恰有两个零点,则实数 的取值不可能为（ ）
A．0 B． C．2 D．3
【答案】A
【详解】根据零点定义，逐个带入分析判断即可得解.
【点睛】若 ，可得 ，
此时令 可得 ，只有一个零点，故A不符合；
若 ，可得 ，
此时令 可得 ，恰有两个零点，故B符合；
若 ，可得 ，
此时令 可得 ，恰有两个零点，故C符合；
若 ，可得 ，
此时令 可得 ，恰有两个零点，故D符合；
故选：A
7．（2024·四川巴中·一模）若函数 在区间 内恰有一个零点，则实数a的取值集合
为（ ）
A． B． 或 .
C． D． 或 .
【答案】D
【分析】根据题意，分 和 ，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求
解.由函数 ，
【详解】由函数 ，
若 ，可得 ，令 ，即 ，解得 ，符合题意；
若 ，令 ，即 ，可得 ，
当 时，即 ，解得 ，此时 ，解得 ，符合题意；
当 时，即 且 ，则满足 ，
解得 且 ，
若 ，可得 ，令 ，即 ，
解得 或 ，其中 ，符合题意；
若 ，可得 ，令 ，即 ，
解得 或 ，其中 ，符合题意；
综上可得，实数 的取值范围为 或 .
故选：D.
8．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程 的实根在区间 上，则 （ ）
A． B．2 C． 或2 D．1
【答案】C
【分析】根据方程的根与函数零点的关系转化为函数的零点来求解，画出函数图象观察交点范围，再用零
点存在性定理证明即可.
【详解】方程化为 ，
分别做出方程左右两边的图象，从图象可知，方程 ，
方程有两个分别在 和 之间的根，
下面证明：方程 在 和 之间各有一个实根，
设 ，
根据函数性质得在区间 上是增函数，
又 ， ，
则 ，
由零点存在性定理知，
在区间 上仅有一个零点，
即方程 区间 上仅有一个实根，
同理可得方程 区间 上仅有一个实根，
结合题意可知， 或 ，
故选：C.
9．（2024·安徽合肥·二模）已知函数 ，若关于 的方程 至少有
两个不同的实数根，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】作出函数的图象，由题意可得 的图象与 至少有两个不同的交点，从而得
，结合图象可得 ，求解即可．
【详解】因为 ，
作出函数的图象，如图所示：
由此可知函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，
又因为关于 的方程 至少有两个不同的实数根，
所以 至少有两个不同的实数根，
即 的图象与 至少有两个不同的交点，所以 ，
又因为当 时， ，令 ，可得 ；
当 时， ，令 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，解得 ．
故选:D．
【题型三 二分法的应用】【典例1】（单选题）（2023高三·全国·专题练习）用二分法求函数 在区间 上
的零点，要求精确度为 时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过 次操作后，
区间长度变为 ，若要求精确度为 时则 ，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.
【详解】因为开区间 的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，
所以经过 次操作后，区间长度变为 ，
令 ，解得 ，且 ，
故所需二分区间的次数最少为7.
故选：C.
一、单选题
1．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）用二分法研究函数 的零点时，第一次经过计算得
， ，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】
根据函数零点的存在性定理可知零点 ，结合对二分法的理解即可得出结果.
【详解】因为 ，由零点存在性知：零点 ，
根据二分法，第二次应计算 ，即 .
故选：B.
2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）设 ，用二分法求方程 在 上的近似解时，
经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（ ）
A． 或 都可以 B．
C． D．不能确定
【答案】B
【分析】借助二分法定义计算即可得.
【详解】 ， ，
第一次取 ，有 ，
故第二次取 ，有 ，
故此时可确定近似解所在区间为 .
故选：B.
3．（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解.
【详解】
不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；对于A， 有唯一零点 ，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B， 有唯一零点 ，
但 恒成立，故不可用二分法求零点；
对于C， 有两个不同零点 ，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求
零点；
对于D， 有唯一零点 ，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.
故选：B.
4．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数 在区间 内存在一个零点，用二分法求
方程近似解时，至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据二分法结合零点的近似值求解.
【详解】由所给区间 的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，
区间长度变为 ，
故需 ，解得 ，所以至少需要操作7次.
故选：C
5．（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法计
算，其参考数据如下：
那么方程 的一个近似根 精确度为 可以是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】利用零点存在性定理及二分法，结合表格计算即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为
，所以不满足精确度为
因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为 ，所
以不满足精确度为
因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为
，所以不满足精确度为
因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为
，所以不满足精确度为
因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为
，满足精确度为 ，
所以方程 的一个近似根 精确度为 可以是区间 内任意一个值 包括端
点值 .
故选：C.
【题型四 常见函数模型①-二次函数和分段函数】
【典例1】（单选题）（23-24高三上·上海奉贤·期中）某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场
调查，得到该纪念章每1枚的市场价 （单位：元）与上市时间 （单位：天）的数据如下：
上市时间 1
4 36
天 0
5
市场价 元 90 90
1
根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价 与上市时间 的变化关系
（ ）
A． B．
C． D． ；
【答案】B
【分析】由题意观察出 随 的变化趋势，对比函数单调性即可得解.【详解】∵随着时间 的增加， 的值先减后增，
而三个函数中 、 、 显然都是单调函数，不满足题意，
∴选择 ．
故选：B.
一、单选题
1．（23-24高一上·四川绵阳·期中）红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙
（墙长 ），其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇 宽的进出口（不需材料），共用该种环
保材料 ，则可围成该活动区的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设这个活动区垂直于墙的一边长是 ，则平行于墙的一边是 ，面积 ，
再利用二次函数的性质解答即可．
【详解】设这个活动区垂直于墙的一边长是 ，则平行于墙的一边是 ，
面积 ，
墙长 ，所以 ，
解得 ，
对称轴方程 ，
抛物线开口向下， ，函数在 上递减，
当 时， 最大为 （ ），
故选：C．
2．（22-23高三上·广东深圳·期末）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产
品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产 万件该产品，需另投入成本 万元.其中，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业
每年利润的最大值为（ ）
A．720万元 B．800万元
C．875万元 D．900万元
【答案】C
【分析】先求得该企业每年利润的解析式，再利用分段函数求最值的方法即可求得该企业每年利润的最大
值.
【详解】该企业每年利润为
当 时，
在 时， 取得最大值 ；
当 时，
（当且仅当 时等号成立），即在 时， 取得最大值 ；
由 ，可得该企业每年利润的最大值为 .
故选：C
3．（23-24高一上·江西景德镇·期中）如图，某小区内有一个矩形花坛 ，且矩形 的周长是4，
设 ， ，则函数 的大致图象为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知写出 的解析式，利用复合函数的单调性得出选项．
【详解】由条件，得 ，在区间(0,1]上是减函数，在区间[1,2)上是增函数，
由题可知选项C适合题意.
故选：C.
二、解答题
4．（23-24高三下·上海·开学考试）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦
的重要内容．习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研
小组研究发现：一棵水果树的产量 （单位：千克）与肥料费用 （单位：元）满足如下关系：
．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等） 元．已知这种水果的
市场售价为16元 千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为 （单位：元）．
(1)求 的函数关系式
(2)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)
(2)当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是430元．
【分析】（1）根据题意可得 ，则化为分段函数即可，
（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润．
【详解】（1） ；
（2）当 时， ，对称轴为 ,
当 时， ，
当 时，
当且仅当 时等号成立
答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是430元．
5．（23-24高二下·山东德州·期中）某工厂生产某产品的固定成本为 万元，每生产 万箱，需另投入成
本 万元，当产量不足 万箱时， ；当产量不小于 万箱时，
，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部每售完.
(1)求销售利润 （万元）关于产量 （万箱）的函数关系式；
(2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？
【答案】(1)
(2)当产量为80万箱时，所获利润最大
【分析】（1）分 和 两种情况讨论，分别求出函数解析式；（2）利用导数求出函数在 时的最大值，利用基本不等式求出当 时的最大值，即可得解.
【详解】（1）由题意可知，销售收入为 万元，
当产量不足 万箱，即 时，
.
当产量不小于 万箱，即 时，
.
综上可得 .
（2）设 ，
当 时， ，
则当 时 ，当 时 ，
可知 在 上单调递增，在 上单调递减.
则 ，
当 时，由基本不等式可知 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
又 ，所以当产量为 万箱时，所获利润最大值为 万元.
6．（23-24高一下·四川成都·开学考试）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离
才能停下，这段距离称为刹车距离．在某种路面上，经过多次实验测试，某种型号汽车的刹车距离y
（米）与汽车的车速x（千米/时， ）的一些数据如下表．为了描述汽车的刹车距离y（米）与汽
车的车速x（千米/时）的关系，现有三种函数模型供选择：① ，② ，③ ．
x 0 40 60 80
y 0 8.4 18.6 32.8
(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过13米，求行驶的最大速度．
【答案】(1) 最符合实际的函数模型；解析式为 ；
(2)行驶的最大速度为 千米/时．
【分析】（1）结合表格数据选出最符合实际的函数模型，然后列方程组 求解即可；
（2）令 ，结合二次不等式的解法求解，再结合 ，即可求出 的取值范围，即可
得解．
【详解】（1）结合表格数据可得 最符合实际的函数模型，
将 ， ； ， ； ， 分别代入上式可得 ，解得
，
即所求的函数解析式为 ， ；
（2）令 ，即 ，解得 ，
又 ，所以 ，即要求刹车距离不超过 米，则行驶的最大速度为 千米 时．
【题型五 常见函数模型②-指对幂函数】
【典例1】（单选题）（2023·云南·二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件
5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
数
每件价格 37元 32元 30元 27元 25元
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ ）
A．116件 B．110件 C．107件 D．106件
【答案】C
【分析】根据题意，设购买的件数为 ，花费为 元，根据表中的数据列出 满足的函数关系式，当
时，求出 的最大值即可.
【详解】设购买的件数为 ，花费为 元，
则 ，当 时， ，
当 时， ，所以最多可购买这种产品 件，
故选：C.
一、单选题
1．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第
天进店消费的人数为y，且y与 （ 表示不大于 的最大整数）成正比，第1天有15
人进店消费，则第2天进店消费的人数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18【答案】D
【分析】利用题中的条件，第1天有15人进店消费，即可得出比例系数，进而可以解出．
【详解】由题意可设比例系数为 ，所以 ，
， ，
当 时， ，
故选：D．
2．（2024·全国·模拟预测）某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数 与可见叶片数 进行分析研究，其关系
可以用函数 （ 为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米
幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（ ）（参考数据： ， ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】利用函数 ，由题意已知 ，求出待定系数 ，再用 ，去求解
，当然这里面有取自然对数及取值计算.
【详解】由题意知 ， ，则等式两边同时取自然对数得 ， ，
． ， ， ， ，
故选：C．
3．（2024·重庆·模拟预测）物理学家本·福特提出的定律：在 进制的大量随机数据中，以 开头的数出现
的概率为 ，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定
律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（ ）倍
（参考数据：
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
【答案】C
【分析】根据题意，分别求得 ，结合对数的运算法则，即可求解.【详解】由题意，以 开头的数出现的概率为 ，
可得 ，
所以 .
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H.
Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观
描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知
研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率 与初次记忆经过
的时间 （小时）的大致关系： 若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的
50%，则他复习背诵时间需大约在（ ）
A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00
【答案】A
【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始.
【详解】令 ， ， ，
∵ ，
∴他在考试前半小时复习即可，
∴他复习背诵时间需大约在14：30，
故选：A.
5．（2024·广东茂名·一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤
生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为： （其中
， 为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现 .若 表示该新产品今年的年产量，估计明年 的产量将是今年的 倍，那么 的值为（ 为自然数
对数的底数）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 ，得到 ，分别代入 、 ，得到 和 的值，进而得到
，求解即可.
【详解】由 ，得到 ，
当 时， ；
当 时， .
依题意，明年 的产量将是今年的 倍，得： ，
，即 ，解得 .
， .
故选：A.
