文档内容
2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 13 讲 函数与方程及函数模型的应用（精讲）
①求函数的零点和零点所在区间问题
②与零点有关的参数问题
③二分法的应用
④常见函数模型①-二次函数和分段函数
⑤常见函数模型②-指对幂函数
一、必备知识整合
一、函数的零点
对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程 有实数根 函数 的图像与 轴有公共点 函数 有零点.
三、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 也就是方程 的根.
四、二分法
（1）定义：对于区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程
的近似解就是求函数 零点的近似值.
（2）用二分法求函数 零点近似值的步骤①确定区间 ，验证 ，给定精度 .
②求区间 的中点 .
③计算 .若 则 就是函数 的零点；若 ，则令 （此时零点
）.若 ，则令 （此时零点 ）
④判断是否达到精确度 ，即若 ，则函数零点的近似值为 （或 ）；否则重复第（2）~（4）
步.（ 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.）
五、几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数且a≠0)
反比例函数模型 k
f(x)= +b(k， 为常数且
x b a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2 +bx+c(a，b，
c
为常数且a≠0)
指数函数模型 f(x)=bax +c(a，b，
c
为常数，b≠0， ，
对数函数模型 f(x)=blog
a
x+c(a，b，c为常数，b≠0， ，
幂函数模型 f(x)=axn +b(a，b为常数，a≠0)
六、解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;
(3)解模：求解数学模型，得出结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
函数的零点相关技巧:
f(x) f(x)
①若连续不断的函数 在定义域上是单调函数，则 至多有一个零点.
f(x)
②连续不断的函数 ，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
f(x)
③连续不断的函数 通过零点时，函数值不一定变号.f(x) [a，b] f(a)f(b)<0
④连续不断的函数 在闭区间 上有零点，不一定能推出 .
二、考点分类精讲
【题型一 求函数的零点和零点所在区间问题】
1.确定函数零点个数的方法
2.判断函数零点所在区间的方法【典例1】（单选题）（2023·陕西西安·模拟预测）函数 的零点为（ ）
A． B．2 C． D．
【典例2】（单选题）（23-24高三下·北京·阶段练习）函数 的一个零点所在的区间是
（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024高二下·湖南·学业考试）函数 的零点是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
2．（23-24高三上·浙江宁波·期末）函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏·一模）函数 在区间 内的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（23-24高三下·北京海淀·阶段练习）已知符号函数 ，则函数
的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023·广西·一模）已知函数 是奇函数，且 ，若 是函数 的一个零点，
则 （ ）A． B．0 C．2 D．4
6．（2023·北京·模拟预测）已知函数 ，若方程 的实根在区间
上，则k的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高一上·四川凉山·期末）函数 ，则函数 的所有零点之和为
（ ）
A．0 B．3 C．10 D．13
8．（2024·山东潍坊·二模）已知函数 则 图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
9．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知函数 ，则关于 的方程
实数解的个数为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
10．（22-23高二下·河南焦作·期末）设 分别是方程 ， ，
的实根，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高三下·江苏·阶段练习）已知函数 ，则函数
的零点个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12【题型二 与零点有关的参数问题】
已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围
【典例1】（单选题）（2023高二下·浙江温州·学业考试）设实数a为常数，则函数
存在零点的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（单选题）（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数 存在两个零点，则实数t
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数 存在两个零点，则实数t的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．2．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知m为常数，函数 ，则“ ”是“ 有零
点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
3．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数 在 内有零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数 存在1个零点位于 内，则a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习） 为函数 的两个零点，其中 ，则下列说法
错误的是（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D． 的最小值为
6．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）若函数 恰有两个零点,则实数 的取
值不可能为（ ）
A．0 B． C．2 D．3
7．（2024·四川巴中·一模）若函数 在区间 内恰有一个零点，则实数a的取值集合
为（ ）
A． B． 或 .
C． D． 或 .8．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程 的实根在区间 上，则 （ ）
A． B．2 C． 或2 D．1
9．（2024·安徽合肥·二模）已知函数 ，若关于 的方程 至少有
两个不同的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型三 二分法的应用】
【典例1】（单选题）（2023高三·全国·专题练习）用二分法求函数 在区间 上
的零点，要求精确度为 时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
一、单选题
1．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）用二分法研究函数 的零点时，第一次经过计算得
， ，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）设 ，用二分法求方程 在 上的近似解时，
经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（ ）
A． 或 都可以 B．C． D．不能确定
3．（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数 在区间 内存在一个零点，用二分法求
方程近似解时，至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法计
算，其参考数据如下：
那么方程 的一个近似根 精确度为 可以是（ ）
A． B． C． D．
【题型四 常见函数模型①-二次函数和分段函数】
【典例1】（单选题）（23-24高三上·上海奉贤·期中）某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场
调查，得到该纪念章每1枚的市场价 （单位：元）与上市时间 （单位：天）的数据如下：
上市时间 1
4 36
天 0
5
市场价 元 90 90
1
根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价 与上市时间 的变化关系
（ ）
A． B．
C． D． ；一、单选题
1．（23-24高一上·四川绵阳·期中）红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙
（墙长 ），其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇 宽的进出口（不需材料），共用该种环
保材料 ，则可围成该活动区的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三上·广东深圳·期末）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产
品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产 万件该产品，需另投入成本 万元.其中
，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业
每年利润的最大值为（ ）
A．720万元 B．800万元
C．875万元 D．900万元
3．（23-24高一上·江西景德镇·期中）如图，某小区内有一个矩形花坛 ，且矩形 的周长是4，
设 ， ，则函数 的大致图象为（ ）
A． B．C． D．
二、解答题
4．（23-24高三下·上海·开学考试）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦
的重要内容．习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研
小组研究发现：一棵水果树的产量 （单位：千克）与肥料费用 （单位：元）满足如下关系：
．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等） 元．已知这种水果的
市场售价为16元 千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为 （单位：元）．
(1)求 的函数关系式
(2)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？
5．（23-24高二下·山东德州·期中）某工厂生产某产品的固定成本为 万元，每生产 万箱，需另投入成
本 万元，当产量不足 万箱时， ；当产量不小于 万箱时，
，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部每售完.
(1)求销售利润 （万元）关于产量 （万箱）的函数关系式；
(2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？
6．（23-24高一下·四川成都·开学考试）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离
才能停下，这段距离称为刹车距离．在某种路面上，经过多次实验测试，某种型号汽车的刹车距离y
（米）与汽车的车速x（千米/时， ）的一些数据如下表．为了描述汽车的刹车距离y（米）与汽
车的车速x（千米/时）的关系，现有三种函数模型供选择：① ，② ，③ ．
x 0 40 60 80
y 0 8.4 18.6 32.8
(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过13米，求行驶的最大速度．
【题型五 常见函数模型②-指对幂函数】
【典例1】（单选题）（2023·云南·二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件
5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
数
每件价格 37元 32元 30元 27元 25元
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ ）
A．116件 B．110件 C．107件 D．106件
一、单选题
1．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第
天进店消费的人数为y，且y与 （ 表示不大于 的最大整数）成正比，第1天有15
人进店消费，则第2天进店消费的人数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
2．（2024·全国·模拟预测）某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数 与可见叶片数 进行分析研究，其关系
可以用函数 （ 为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米
幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（ ）（参考数据： ， ）
A．15 B．16 C．17 D．18
3．（2024·重庆·模拟预测）物理学家本·福特提出的定律：在 进制的大量随机数据中，以 开头的数出现的概率为 ，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定
律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（ ）倍
（参考数据：
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
4．（2024·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H.
Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观
描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知
研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率 与初次记忆经过
的时间 （小时）的大致关系： 若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的
50%，则他复习背诵时间需大约在（ ）
A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00
5．（2024·广东茂名·一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤
生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为： （其中
， 为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现 .
若 表示该新产品今年的年产量，估计明年 的产量将是今年的 倍，那么 的值为（ 为自然数
对数的底数）（ ）
A． B． C． D．
