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第 13 讲 二项式定理
真题展示
2022 新高考一卷第 13 题
的展开式中 的系数为 （用数字作答）．
【思路分析】由题意依次求出 中 ， 项的系数，求和即可．
【解析】 的通项公式为 ，
当 时， ，当 时， ，
的展开式中 的系数为 ．
故答案为： ．
【试题评价】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．
知识要点整理
知识点一 二项式定理
(a＋b)n＝ C a n ＋ C a n － 1 b ＋ C a n － 2 b 2 ＋ … ＋ C a n － k b k ＋ … ＋ C b n (n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有 n ＋ 1 项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
知识点二 二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第 k ＋ 1 项叫做二项展开式的通项，记作T ＝ C a n － k b k.
k＋1
知识点三 二项式系数的性质
在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两
对称性
个二项式系数相等，即C＝C
增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>
增减性
时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶
与最
大值
数时，中间一项的二项式系数 最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数 ， 相等，且同
时取得最大值
各二项
(1)C＋C＋C＋…＋C＝ 2 n ；
式系数
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ 2 n － 1
的和
三年真题
一、单选题
1．若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.
2．在 的二项展开式中，第 项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】第 项的二项式系数为 ，
故选：A.
3．在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A． B．5 C． D．10
【答案】C【详解】 展开式的通项公式为： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
故选：C.
4． 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【详解】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为：
和
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故选：C
5．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【详解】由题意得x3的系数为 ，故选A．
二、填空题
6．在 的展开式中， 的系数是__________．【答案】160
【详解】 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 的系数是 .
故答案为：160.
7．在 的展开式中，常数项为__________．
【答案】
【详解】 的展开式的通项
令 ，解得 ，
故常数项为 ．
故答案为： .
8． 的展开式中 的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【分析】 可化为 ，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中 的系数为-28
故答案为：-28
9．已知多项式 ，则 __________，___________．
【答案】
【详解】含 的项为： ，故 ；
令 ，即 ，
令 ，即 ，
∴ ，
故答案为： ； ．
10． 的展开式中的常数项为______.
【答案】
【详解】由题意 的展开式的通项为 ，
令 即 ，则 ，
所以 的展开式中的常数项为 .
故答案为： .
11．在 的展开式中， 的系数是_________．
【答案】10
【详解】因为 的展开式的通项公式为 ，令
，解得 ．
所以 的系数为 ．
故答案为： ．12． 的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
【答案】
【详解】
其二项式展开通项：
当 ，解得
的展开式中常数项是： .
故答案为： .
13． 展开式中的常数项为________.
【答案】
【详解】 ，
由 ，得 ，
所以的常数项为 .
【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的．
三、双空题
14．已知多项式 ，则 ___________，
___________.
【答案】 ; .【详解】 ，
，
所以 ，
，
所以 .
故答案为： .
15．设 ，则 ________； ________．
【答案】
【详解】 的通项为 ，
令 ，则 ，故 ；
.
故答案为： ； .
16．在二项式 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
【答案】
【详解】 的通项为
可得常数项为 ，
因系数为有理数， ，有 共5个项
【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计
算要细心，确保结果正确.四、解答题
17．设 .已知 .
（1）求n的值；
（2）设 ，其中 ，求 的值.
【答案】（1） ；
（2）-32.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
．
因为 ，
所以 ，
解得 ．
（2）由（1）知， ．
．
解法一：
因为 ，所以 ，
从而 ．
解法二：
．因为 ，所以 ．
因此 ．
三年模拟
一、单选题
1． 的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．20
【答案】B
【详解】 展开式的通项为 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
故 展开式的常数项是 .
故选：B．
2．“ ”是“ 的二项展开式中存在常数项”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【详解】二项式 的通项为 ，
的二项展开式中存在常数项 为正偶数，
为正偶数，n为正偶数推不出
∴ 是 的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件．
故选：A
3． 的展开式中x项的系数为（ ）
A．568 B．－160 C．400 D．120
【答案】D
【详解】因为 ，
又 的展开式的通项为 ， 且 ，
，
所以 的展开式的通项为 且 ， ，
令 ，得 或 或 或 ，则x项的系数为
，
故选：D．
4．已知 的展开式中 的系数为10，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】 的展开式的通项公式为 ， ，∵ ，
∴ ，解得 ，
故选：B.
5．二项式 展开式中 的系数为（ ）
A．120 B．135 C．140 D．100
【答案】B
【详解】 的展开式通项公式为 ，
其中 ， ， ，
故二项式 中 的四次方项为 ，
即展开式中 的系数为 .
故选：B
6．若二项式 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第 项的
系数最大，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【详解】由已知可得， .根据二项式定理，知展开式的通项为
，显然当 是偶数时，该项为有理项，
时， ； 时， ；
时， ； 时， ；
时， ； 时， ；时， .
经比较可得， ，即 时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大．
故选：A.
7． 展开式中 的系数为（ ）
A． B．21 C． D．35
【答案】A
【详解】因为 展开式的通项公式为 ，所以当 时，含有
的项，此时 ，故 的系数为 ．
故选：A
二、填空题
8．在 的展开式中， 的系数为__________.
【答案】
【详解】由题意可知，把二项式 看成由 和 两项构成，
展开式中含 的项为 ，
再将 展开可得含 的项为
即可知 的系数为 .
故答案为：9．在二项式 的展开式中，系数最大的项的系数为__________（结果用数值表示）.
【答案】462
【详解】二项式 的展开式的通项公式为 ，
所以当 或 时，其系数最大，
则最大系数为 ，
故答案为：462.
10．已知 的展开式中 的系数是20，则实数 __________.
【答案】2
【详解】解：因为
则展开式中 的系数是 ，求得 .
故答案为：2.
11． 的二项展开式中 的系数为______.
【答案】80
【详解】 的二项展开式中含 的项为 ，
所以 的系数为 .
故答案为：
12．若 的展开式中 的系数为10，则 ______．
【答案】
【详解】 的通项 ，
所以 的展开式中 项为 ，
所以 ，解得 .
故答案为：13．在 的二项展开式中， 项的系数是___________.
【答案】
【详解】二项式 的通项为 ，
令 ，得 ，
所以 项的系数是 .
故答案为： .
14．已知 （n是正整数）， ，则
________．
【答案】243
【详解】因为 ，
所以 ，
解得， .
令 得，
，
故 ，
故答案为：243.
15．在 展开式中，含有 项的系数为______．
【答案】
【详解】因为 的展开式通项为 ，
由题意可知，在 展开式中，含有 项的系数为 .故答案为： .
16．已知常数 ，在 的二项展开式中， 项的系数等于 ，则 _______.
【答案】
【详解】根据已知条件 是二项式展开式的某一项，故得 .
由 ，令 ，得 .
得 ，根据已知可得 ，解得 ，即 .
故答案为： .
17．在 的二项展开式中 项的系数为______．
【答案】35
【详解】由 ，
令 ，解得： .
.
得 项的系数为 .
故答案为：
18．在 的展开式中 的系数为__________.
【答案】
【详解】 展开式的通项公式为 ，
所以 的展开式中含 的项等于 ，
故答案为: .
19．若 的展开式的二项式系数和为32，则展开式中x的系数为______.
【答案】40【详解】依题意 的展开式的二项式系数和为 ，所以 ，即 .
二项式 展开式的通项公式为 .
令 ，所以x的系数为 .
故答案为：
20．已知 的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为
___________．
【答案】2
【详解】 的展开式有 项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以
当 时, ,当 时, ,符合题意
所以展开式中有理项的个数为2
故答案为：2
21．已知 且满足 能被8整除，则符合条件的一个 的值为___________.
【答案】5（答案不唯一）
【详解】由已知得 ，由已知
且满足 能被8整除，则 是8的整数倍，所以 （ ），则符合条件的一个
的值为5.
故答案为： （答案不唯一）
22． 的展开式中 的系数为______（用数字作答）．【答案】-800
【详解】由题意知，在 的展开式中取第4项，即 ，
的展开式中取第2项，即 ，
故 的系数为 ．
故答案为：-800
23．己知 ，则 ________.（用数字作
案）
【答案】34
【详解】令 ，得 ；
令 ，得 .
二项式 的通项公式为 ，
又 ， ，
所以 .
故答案为：34
24． 的展开式中的常数项为___________.
【答案】84
【详解】 的展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，所以 的展开式中的常数项为 .
故答案为：84.
25． 的展开式中常数项是______________．（用数字作答）【答案】15
【详解】 的展开式的通项公式 ，
令 ，解得 ，
所求常数项为 ．
故答案为：15
26．若 ，则 ______．
【答案】－100
【详解】二项展开式 的通项公式为： ，
当 时， ，
二项展开式 的通项公式为： ，
当 时， ，
所以 .
故答案为： .
27．已知常数 .在 的二项展开式中， 项的系数是 项的系数的4倍，则 ______.
【答案】 ##0.5
【详解】解：由题意 ，
在 的二项展开式中，展开式为 ，
当 即 时， ，
∴ 项的系数为当 即 时， ，
∴ 项的系数为
∵ 项的系数是 项的系数的4倍
∴ 解得：
故答案为： .
