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专题25 概率初步（8个考点）
【考点1：事件类型】
【考点2：可能性大小】
【考点3：概率的意义】
【考点4：几何意义】
【考点5：概率公式】
【考点6：列表法与树状图法】
【考点7：游戏的公平性】
【考点8：用频率估计概率】
【考点1：事件类型】
1．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．一个三角形的内角和是180° B．负数大于正数
C．打开电视机，它正在播放动画片 D．明天太阳从西方升起
【答案】C
【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发
生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条
件下，可能发生也可能不发生的事件，据此求解即可．
【详解】解：A、一个三角形的内角和是180°，这是必然事件，不符合题意；
B、负数大于正数，这是不可能事件，不符合题意；
C、打开电视机，它正在播放动画片，这是随机事件，符合题意；
D、明天太阳从西方升起， 这是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天会下雨 B．任意画一个三角形，其内角和为180°
C．抛一枚硬币，正面朝上 D．打开电视机，正在播放广告
【答案】B【分析】本题主要考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、明天会下雨，是随机事件，不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，符合题意；
C、抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
D、打开电视机，正在播放广告，是随机事件，不符合题意；
故选：B．
3．掷一枚质地均匀的立方体骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），下列事件是随机事件的
是（ ）
A．朝上点数为6 B．朝上点数大于0
C．朝上点数小于7 D．朝上点数大于7
【答案】A
【分析】本题考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在
一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发
生的事件称为随机事件．据此即可求解；
【详解】解：A. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数为6，是随机事件，故该选项符合题意；
B. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于0，是必然事件，故该选项不符合题意；
C. 郑一枚质地均匀的骰子，朝上点数小于7，是必然事件，故该选项不符合题意；
D. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于7，是不可能事件，故该选项不符合题意．
故选：A．
4．下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A．通常加热到100℃时，水沸腾 B．购买一张彩票中奖
C．任意画一个三角形，内角和为360° D．经过十字路口遇到红灯
【答案】C
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下、一定发
生的事件，不可能事性是在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件
下，可能发生也可能不发生的事件，根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：A、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件，不符合题意；
B、购买一张彩票中奖，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，内角和为360°是不可能事件，符合题意；
D、经过十字路口遇到红灯是随机事件，不符合题意．
故选：C．5．下列事件是随机事件的是（ ）
A．从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除
B．任意画一个三角形，该三角形的内角和为180°
C．从装有4个红球和2个黄球的袋中，随机抽取一个是白球
D．在纸上画两条直线，这两条直线平行
【答案】D
【分析】此题考查了事件的分类，根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可
能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：
在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不
发生的事件称为随机事件．据此进行解答即可．
【详解】解：A. 从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除，是必然
事件，故选项不合题意；
B. 任意画一个三角形，该三角形的内角和为180°，是必然事件，故选项不合题意；
C. 从装有4个红球和2个黄球的袋中，随机抽取一个是白球，是不可能事件，故选项不符合题意；
D. 在纸上画两条直线，这两条直线平行，是随机事件，故选项符合题意；
故选：D
【考点2：可能性大小】
6．下列说法正确的是（ ）
A．“守株待兔”是必然事件
B．“概率为 0.0001的事件”是不可能事件
C．任意掷一枚质地均匀的硬币 20次，正面向上的次数一定是10次
D．“在一个只装有5个红球的袋中摸出1 个球是红球”是必然事件
【答案】D
【分析】本题考查了事件的分类，正确掌握必然事件，不可能事件及随机事件的定义是解题的关键．
一定发生的事件是必然事件，一定不能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随
机事件，根据定义逐项判断，即可解题．
【详解】解：A、“守株待兔”是随机事件，故本选项错误，不符合题意；
B、“概率为 0.0001的事件”是随机事件，故本选项错误，不符合题意；
C、任意掷一枚质地均匀的硬币 20次，正面向上的次数一定是10次是随机事件，故本选项错误，不符
合题意；D、“在一个只装有5个红球的袋中摸出1 个球是红球”是必然事件，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
7．一个不透明的盒子里装有13个球，这些球除颜色外其他均相同，其中红球有8个，黄球有4个，黑球
有1个．从中任意摸出一个球，下面说法正确的是（ ）
A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大
C．不可能是黑球 D．摸出黄球的可能性最小
【答案】B
【分析】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握可能性大小的概念．根据可能性的大小的概
念求解即可．
【详解】解：从装有8个红球、4个黄球、1个黑球的盒子中，任意摸出一个球，三种颜色的球均有可
能，是红球的可能性最大，黑球的可能性最小，
故选：B．
8．投掷6次硬币，有5次正面朝上，1次反面朝上，那么，投掷第10次硬币正面朝上的可能性是（ ）
1 1 1 9
A． B． C． D．
4 2 5 10
【答案】B
【分析】考查了可能性的大小的知识，解决此类问题的关键是分两种情况：（1）需要计算可能性的大
小的准确值时，根据求可能性的方法：求一个数是另一个数的几分之几，用除法列式解答即可；（2）
不需要计算可能性的大小的准确值时，可以根据硬正、反面的多少，直接判断可能性的大小．
【详解】解：∵硬币有两面，每一面出现的可能性都是：
1
1÷2= ，
2
1
∴投掷第10次硬币正面朝上的可能性也是 ，
2
故选：B．
9．一个不透明的口袋中有红球4个，黄球6个，绿球3个，这些球除颜色外其他完全相同任意摸一个球，
摸到（ ）球的可能性最大．
A．红 B．黄 C．绿 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查的是可能性的大小，求出摸到每种球的可能性解答即可．
【详解】解：∵口袋中有红球4个，黄球6个，绿球3个，4 4
∴摸到红球的可能性是 = ；
4+6+3 13
6 6
摸到黄球的可能性是 = ；
4+6+3 13
3 3
摸到绿球的可能性是 = ，
4+6+3 13
3 4 6
∵ < <
13 13 13
∴摸到黄球的可能性最大．
故选：B．
10．如果一件事情不发生的可能性为99.99%，那么它（ ）
A．必然发生 B．不可能发生 C．很有可能发生 D．不太可能发生
【答案】D
【分析】根据该事件发生的可能性，即可进行解答．
【详解】解：∵该事情不发生的可能性为99.99%，
∴该事件不太可能发生．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了事件发生可能性的大小，解题的关键正确理解事件发生的可能性．
11．某班有54名同学，其中男生有29名，女生25名，任意找一名同学，下列说法正确的( )
A．找到男生和女生可能性一样大 B．找到男生的可能性大
C．找到女生的可能性大 D．不能确定找到哪个性别的同学的可能性大
【答案】B
【分析】根据学生数量的差别可以得到找到的可能性的大小．
【详解】解：∵某班有54名同学，其中男生有29名，女生25名，
∴男生的人数多于女生的人数，
∴找到男生的可能性比找到女生的可能性大，
故选：B．
【点睛】本题考查的可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就
大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．注意实验条件不同得到的结论也不
同．
12．甲、乙两人玩游戏，各从卡片中任意摸取一张，如果两数积是偶数，甲获胜；否则乙获胜．按这种玩
法， 获胜的可能性大．【答案】甲
【分析】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握可能性大小的概念．2、3、4、5的乘积的可
能的情况有6种：6、8、10、12、15、20，其中偶数有5个，奇数有1个，因为偶数的数量多于奇数
的数量，据此可得答案．
【详解】解：根据题意可得：
2、3、4、5的乘积的可能的情况有6种：6、8、10、12、15、20，其中偶数有5个，奇数有1个，
因为偶数的数量多于奇数的数量，
所以甲获胜的可能性大；
故答案为：甲．
13．某商场的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖的比为1:3:6，则一名顾客转动一次转盘，获奖可
能性最大的奖项是 ．
【答案】三等奖
【分析】本题考查可能性的大小，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现
的结果数，求出各个奖项获奖的概率，分析可能性大小即可．解答本题的关键是明确题意，写出所有
的可能性，求出相应的概率．
【详解】解：∵某商场的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖的比为1:3:6，
1
∴获一等奖的概率为 ，
10
3
获二等奖的概率为 ，
10
6
获三等奖的概率为 ．
10
故获奖可能性最大的奖项是三等奖．
故答案为：三等奖．
【考点3：概率的意义】
14．掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝
下的概率是（ ）
2 3 1
A．1 B． C． D．
3 5 2
【答案】D【分析】
此题主要考查了概率的意义，直接利用概率的意义分析得出答案．
【详解】解：∵掷质地均匀硬币的试验，每次正面向上和向下的概率相同，
1
∴再次掷出这枚硬币，正面朝上的概率是： ．
2
故选：D
15．下列说法正确的是（ ）
A．“明天降雪的概率是50%”表示明天24小时中有12小时在降雪
B．“我校初三年级总共有459个学生，至少有两个人的生日是同一天”是必然事件
C．“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定会中奖
D．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是0.5，则我抛掷这枚20次硬币，会有10次正面朝上
【答案】B
【分析】本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，熟练掌握概率的相关概念是解题关键．根据
概率的意义逐项分析即可．
【详解】解：A、明天降雪的概率是50%”表示明天降雪的可能性为50%，故不符合题意；
B、我校初三年级总共有459个学生，至少有两个人的生日是同一天是必然事件，故符合题意；
C、彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票不一定会中奖，故不符合题意；
D、抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是0.5，则我抛掷这枚20次硬币，不一定会有10次正面朝上，故不
符合题意．
故选：B．
16．以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，但他还是认为再掷一次，
1
正面朝上的概率是
2
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
2
C．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
3
1
D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，故他击中靶的概率是
2
【答案】A
【分析】此题主要考查了概率的意义，直接利用概率的意义分别分析得出答案．
【详解】解：A、小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷1
一次，正面朝上的可能性是 ，故选项A正确，符合题意
2
B、某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错
误，不符合题意；
2
C、小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 是错误的，3次试
3
验不能总结出概率，故选项C错误，不符合题意；
1
D、某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 不正确，中
2
靶与不中靶不是等可能事件，故选项D错误，不符合题意．
故选：A．
17．某个事件发生的概率是0.5，这意味着（ ）
A．在一次试验中没有发生，下次肯定发生
B．在一次事件中已经发生，下次肯定不发生
C．在两次重复试验中该事件必有一次发生
D．每次试验中事件发生的可能性是50%
【答案】D
【分析】本题考查了概率的意义，根据概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会
的大小，可能发生也可能不发生，分析判断即可．
【详解】解：∵某个事件发生的概率是0.5，
∴根据概率的意义：该事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，每次试验中事件发生的可能性是
50%，
故选：D．
18．小明掷一枚硬币，结果是一连4次都是正面朝上，则他第5次掷硬币的结果是正面朝上的概率是（
）
1 1 4 1
A． B． C． D．
4 5 5 2
【答案】B
【分析】本题主要考查对概率意义的理解．根据题意，认清无论哪一次抛掷硬币，都有2种情况，即
正、反，与第几次抛掷硬币无关，根据概率的求法可得答案．
1
【详解】∵一枚硬币只有两面，每次掷出正面朝上或朝下的概率均为 ，
21
∴他第5次掷硬币时出现正面朝上的概率为 ．
2
故选：B
355
19．从π，0， ，−❑√2，1中任取一个数，取到无理数的概率是 ．
133
【答案】0.4
【分析】本题主要考查了无理数的定义，以及根据概率公式计算概率．根据无限不循环小数为无理数
确定无理数的个数，再根据概率公式计算概率即可．
355
【详解】解：在π，0， ，−❑√2，1这5个数中，无理数的有：π，−❑√2一共2个，
133
355
从π，0， ，−❑√2，1中任取一个数，取到无理数的概率是2÷5=0.4，
133
∴
故答案为：0.4．
【考点4：几何意义】
20．用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图
2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（ ）
1 ❑√2 4 3
A． B． C． D．
2 2 7 8
【答案】A
【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示
所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
根据几何概率的求法即可得出答案．
【详解】解：设①的面积为a2，
则一副七巧板的面积为16a2，正方形纸板的边长为4a，则矩形区域面积为8a×4a=32a2，
16a2 1
∴若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为 = ．
32a2 2
故选：A．
21．小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的3×3的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为
（ ）
1 4 5 2
A． B． C． D．
3 9 9 3
【答案】B
【分析】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．根据概
率公式直接求解即可．
4
【详解】解：∵阴影部分的面积占总面积的 ，
9
4
∴飞镖落在阴影区域的概率为 ．
9
故选：B．
22．某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，每位顾客均能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停
止后，当指针指向阴影部分时，该顾客可获得奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（ ）1 1 1 1
A． B． C． D．
10 6 5 4
【答案】D
【分析】此题考查了几何概率，阴影部分的圆心角占360°的比值即为概率，由此可得到答案；
90 1
【详解】解：指针指向阴影部分的概率是 = ，
360 4
1
∴该顾客获奖的概率为 ．
4
故选：D．
23．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正
方形和1个平行四边形组成的．如图是由“七巧板”组成的边长为5cm的正方形，若在正方形区域内
随意取一点，则该点取到阴影部分的概率为（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 7 8 7
【答案】C
【分析】本题考查的是几何概率，正方形的性质，勾股定理的应用，先求解阴影面积，再利用几何概
率公式计算即可．
【详解】解：由题意可知，阴影区域是一个正方形，
∵大正方形的边长为5cm，
∴大正方形的对角线长为5❑√2cm，面积为25cm2，
5❑√2
∴阴影部分的边长为 cm，
4
25
∴S ＝ cm2，
阴影 8
25
∴P（该点取到阴影部分） 8 1．
= =
25 8故选C
24．如图，是一个正三角形的靶子，靶心为其三条对称轴的交点，则A部分面积占靶子面积的 ，飞镖
随机地掷在靶上，则投到区域A或区域B的概率是 ．
1 2
【答案】
3 3
【分析】本题主要考查正三角形的性质和几何概率，由于靶心为正三角形的三条对称轴的交点，则A，
B，C三个区域的面积相等，利用几何概率的计算方法求投到区域A或区域B的概率．
【详解】解：∵靶心为正三角形的三条对称轴的交点，
∴A，B，C三个区域的面积相等，
1 2
∴A部分面积占靶子面积为 ，投到区域A或区域B的概率= ．
3 3
1 2
故答案为： ， ．
3 3
25．如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动停在黑砖的概率为
．
1
【答案】
3
【分析】本题考查了几何概率，把黑色方砖的面积除以总面积，即可作答．
【详解】解：∵总面积为15块方砖的面积，且每个其中方砖的面积是相等的，黑色方砖有5块，
5 1
∴小球停在黑色方砖的概率为 = ，
15 3
1
故答案为：
3
【考点5：概率公式】26．数学老师要在班上开展项目式学习，他将全班同学分成7个学习小组并采用随机抽签方法确定一
个小组进行展示活动，则第4个小组被抽到的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
28 11 7 4
【答案】C
【分析】本题考查了概率的知识．根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案．
【详解】解：随机抽取一个小组，共有7种等可能结果，抽到第4个小组的有1种结果，
1
∴概率为 ，
7
故选：C．
27．娄底二中学生小明每天步行上学时都要经过洞新十字路口，此十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，
他发现红灯时间为35秒，绿灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，那么他上学经过该路口时，遇到绿灯
的概率为（ ）
3 3 1 1
A． B． C． D．
8 7 3 2
【答案】B
【分析】本题考查了概率的计算，解本题的关键在熟练掌握概率等于所求情况数与总情况数之比．让
绿灯亮的时间除以总时间70秒，即可得到所求的概率．
【详解】解：∵该路口交通信号灯红灯时间为35秒，绿灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，共70秒，
30 3
∴小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为 = ．
70 7
故选：B．
28．已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组
成的图示电路A、B之间，电流能够正常通过的概率是（ ）
A．0.75 B．0.525 C．0.5 D．0.25
【答案】A
【分析】本题考查了等可能事件的概率，解题的关键是理解两个电子元件只要有一个能正常通过，电
路A、B之间电流能够正常通过．根据电流能正常通过的概率=1−电流不能正常通过的概率，即可解题．
【详解】
解：∵电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率是0.5，
∴电流不能正常通过电子元件“ ”的概率也是是0.5，
由图可知：两个电子元件“
”同时不正常运行即电流不能正常通过的概率为：0.5×0.5=0.25，
∴图中电流能够正常通过的概率是1−0.25=0.75，
故选：A．
29．在10件产品中有2件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是 （ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 5 10 4
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是用概率公式求事件的概率，根据题目找出全部情况的总数以及符合条件
的情况数目是解此题的关键．
根据概率公式求解即可；
2 1
【详解】解：P= = ，
10 5
故选：B
30．一个不透明的袋子里装有8个球，其中有5个红球，3个黑球，这些球除颜色外其它均相同．现从中
随机摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为 ．
5
【答案】 /0.625
8
【分析】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出
现的结果数．直接根据概率公式求解．
【详解】解：∵盒子中装有5个红球，3个黑球，共有8个球，
5
∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是 ；
8
5
故答案为： ．
8
31．如图所示，转盘被等分成五个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5，若自由转动转盘，
当它停止转动时，指针指向奇数区域的概率是 ．3
【答案】
5
【分析】本题考查了概率的知识，掌握等可能事件概率的求解方法是解题的关键．
根据五个扇形中有1、3、5共3个扇形上是奇数， 再用写有奇数的扇形的个数除以转盘被分成扇形
的个数，即可求出所求事件的概率．
【详解】解：∵在五个扇形中有1、3、5共3个扇形上是奇数，
3
∴自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是 ，
5
3
故答案为 ．
5
【考点6：列表法与树状图法】
32．从−1，1，2这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作m和n，则一次函数y=mx+n图象经
过第二象限的概率是（ ）
1 2 7 5
A． B． C． D．
2 3 9 6
【答案】B
【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握以上知识点是解题的
关键．
【详解】解：画树状图如下，
一共有6种可能，其中经过第二象限的共有4种可能，分别为m=−1，n=1；m=−1，n=2；m=1，
n=2；m=2，n=1；4 2
∴经过第二象限的概率是 = ，
6 3
故选：B．
33．文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文
房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．若从一套四个盲盒（笔墨纸
砚盲盒各一个）机选两个，则恰好抽中笔和纸的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
【答案】A
【分析】本题考查了画树状图法求概率，正确画图解题的关键．画出树状图，用符合情况的情况数除
以等可能发生的情况数即可．
【详解】解：画树状图如下：
一共有12种等可能性，其中恰好抽中内含纸和笔的可能性有2种，
2 1
故恰好抽中纸和笔的盲盒的概率是 = ，
12 6
故选：A．
34．为了缅怀革命先烈，清明节假期强强从《八路军》、《淮海战役》、《长津湖》中随机选择两部电影
观看，恰好选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 6 9
【答案】B
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中
选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．用A、B、C分别
表示电影《八路军》、《淮海战役》、《长律湖》，画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出选
中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：用A、B、C分别表示电影《八路军》、《淮海战役》、《长律湖》，
画树状图为：共有6种等可能的结果，其中选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的结果数为2种，
2 1
所以随机选择两部电影观看，恰好选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的概率= = ．
6 3
故选：B．
35．甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外其他都
相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率为（ ）
1 1 1 5
A． B． C． D．
6 3 2 6
【答案】A
【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意正确完成树状图或列
表．画出树状图，用取出的两个球都是红球的情况数除以所有等可能发生的情况数即可．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，取出的两个球都是红的有1种情况，
1
∴取出的两个球都是红的概率为： ．
6
故选A．
36．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，是儒家思想的核心著作，是中国传统
文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取1本，则抽到《论语》的概率是 ．
1
【答案】
4
【分析】此题考查了概率公式，解题的关键是熟悉概率公式．根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意得：共有4种等可能的结果，
1
故P= ，
4
1
故答案为： ．
437．2024年暑假重庆各旅游景区持续火热，小明和小亮相约来到重庆旅游，两人分别从洪崖洞，磁器口，
解放碑，李子坝四个景点中随机选择一个景点游览，小明和小亮选择不同景点的概率为
．
3
【答案】 /0.75
4
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所
有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
先根据题意画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可．
【详解】分别用A，B，C，D表示洪崖洞，磁器口，解放碑，李子坝四个景点．
如图所示：
∵有16种等可能的情况数，其中两人恰好选择不同景点的情况数有12种，
12 3
∴两人恰好选择不同景点的概率是： = ．
16 4
3
故答案为： ．
4
38．如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除
图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，
再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ．
1
【答案】
4
【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机
两次取出卡片的所有等可能的结果，再找出两次取到相同图案的卡片的结果，然后利用概率公式求解
即可得．
【详解】解：将这4张卡片记为A,B,C,D，画出树状图如下：由图可知，随机两次取出卡片的所有等可能的结果共有16种，其中，两次取到相同图案的卡片的结果
有4种，
4 1
则两次取到相同图案的卡片的概率为P= = ，
16 4
1
故答案为： ．
4
39．在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子
中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在0.75，则袋
中红球有 个 ．
【答案】4
【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是熟练掌握用频率的集中趋势来估计概率，
这个固定的近似值就是这个事件的概率．
设袋中红球有x个，根据题意用黄球数除以红球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式即可求出答案．
【详解】解：设袋中红球有x个，根据题意，得：
12
=0.75，
x+12
解得：x=4．
经检验，x=4是所列方程的解，且符合题意，
所以袋中红球有4个．
故答案为∶4．
40．在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示：
试种数量 200 500 1000 1500 2000
发芽的频 0.67 0.73 0.69 0.70 0.71
率
在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为 ．（结果精确到0.1）
【答案】0.7
【分析】由表格得到这种小麦发芽的频率稳定在0.71附近，即可估计出这种小麦发芽的概率．本题主
要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就
是这个事件的概率．
【详解】解：估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为0.71≈0.7．
故答案为：0.7．
【考点7：游戏的公平性】
41．如图所示，小明和小亮用转盘做游戏，小明转动的A盘被等分成4个扇形，小亮转动的B盘被等
分成3个扇形，两人分别转动转盘一次．
(1)用列表法或画树状图求恰好“配成紫色”的概率（红色与蓝色配成紫色）；
(2)若“配成紫色”小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．
5
【答案】(1)
12
(2)不公平，理由见解析
【分析】本题考查的是列表法和画树状图，游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的
理解，要求学生根据题意，结合实际情况，计算并比较游戏者的胜利的概率，进而得到结论．用到的
知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，根据概率公式即可得答案；
（2）由（1）的表格，分析可能得到紫色的概率，继而可得小亮获胜，得到结论不公平．
【详解】（1）解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有12种．
红 蓝 蓝
蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） （蓝，蓝）
红 （红，红） （蓝，红） （蓝，红）
黄 （红，黄） （蓝，黄） （黄，蓝）
红 （红，红） （蓝，红） （蓝，红）
5
则两人转动转盘得到的两种颜色能配成紫色的概率为 ；
12（2）不公平．
5
上面等可能出现的12种结果中，有5种情况可能得到紫色，故配成紫色的概率是 ，即小明获胜的
12
5
概率是 ；
12
5 7
小亮获胜的概率为1− = ，
12 12
7 5
而 > ，即小亮获胜的概率大，
12 12
∴这个“配色”游戏对双方是不公平的．
42．2024年5月18日是第48个国际博物馆日，主题为“博物馆致力于教育与研究”本届国际博物馆日中
国主会场定于陕西历史博物馆秦汉馆．为了提升博物馆的服务质量，以便更好地发挥其文化宣扬和传
承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．某校现有10名志愿者准备参加该博物馆志愿服务工作，
其中男生6人，女生4人．
(1)若从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______；
(2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游
戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌
面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张，若所抽取的两张牌的
牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则，乙参加．请用画树状图或列表法说明该游戏对双方公平吗？
2
【答案】(1)
5
(2)这个游戏不公平
【分析】本题考查的是用概率公式求概率，游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人的概
率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接利用概率公式求出即可；
（2）利用树状图表示出所有可能进而利用概率公式求出两人的概率，再比较概率大小即可得出结论．
【详解】（1）解：∵共10名志愿者，女生4人，4 2
∴选到女生的概率是： = ；
10 5
2
故答案为： ．
5
（2）解：根据题意画图如下：
∵
共有12种情况，和为偶数的情况有4种，
4 1
∴牌面数字之和为偶数的概率是 = ，
12 3
1 2
∴甲参加的概率是 ，乙参加的概率是 ，
3 3
∴这个游戏不公平．
43．甲、乙两同学玩转盘游戏时，把质地相同的两个盘A、B分别平均分成2份和3份，并在每一份内标
有数字如图．游戏规则：甲、乙两同学分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域
的数字之积为偶数时甲胜；数字之积为奇数时乙胜．若指针恰好在分割线上，则需要重新转动转盘．
(1)用树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？如果不公平，请改变游戏规则，使之变得公平．
2
【答案】(1)
3
(2)不公平，可改为“当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲胜；数字之和为奇数时乙胜．
若指针恰好在分割线上，则需要重新转动转盘．”
【分析】本题考查了利用列表法或树状图求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题的关键．
（1）根据题意画出树状图，即可求解；
（2）分别求得甲、乙胜的概率，若使游戏公平，则可将规则改为“当转盘停止后，指针所在区域的
数字之和为偶数时甲胜；数字之和为奇数时乙胜．若指针恰好在分割线上，则需要重新转动转盘．”
【详解】（1）解：根据题意，作出树状图如下，由树状图可知，共有6种等可能结果，其中指针所在区域的数字之积为偶数的结果数为4个，
4 2
∴甲获胜的概率P= = ；
6 3
2 2 1 1 2
（2）∵甲胜的概率为P= ，乙胜的概率为P′= = ，而 ≠ ，
3 6 3 3 3
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平，若使游戏公平，则可将规则改为“当转盘停止后，指针所在区
域的数字之和为偶数时甲胜；数字之和为奇数时乙胜．若指针恰好在分割线上，则需要重新转动转
盘．”
44．小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定
胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎
牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局．
(1)一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少．
(2)如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A ，B ，C 分别表示小明的象、虎、鼠
1 1 1
三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少?用列表法或画树状图法加以说明．
(3)你认为这个游戏对小刚和小明公平吗?为什么?
1
【答案】(1)
3
1
(2)
3
(3)公平，见解析
【分析】本题考查的是游戏的公平性、树状图法求概率，
（1）易得总情况数为3，小刚出“象”牌的次数为1，结合概率公式求解即可；
（2）结合题意画出树状图，则可能出现的结果有9种，其中小刚胜小明的结果有3种，由此结合概率
公式计算即可；
（3）结合树状图确定小明胜小刚的概率，比较二人获胜的概率的大小关系即可得出结论；
掌握概率公式是解决此题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得共3张牌，随机出牌，1
∴P（一次出牌小刚出“象”牌）= ；
3
1
（2）在一次出牌小刚胜小明的概率为 ，
3
画树状图如图所示，
由树状图可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有
3种，
1
∴P（一次出牌小刚胜小明）= ；
3
（3）公平．理由如下：
1
由树状图可求得P（一次出牌小明胜小刚）= ，
3
∴P（一次出牌小刚胜小明）=P（一次出牌小明胜小刚），即两人获胜的概率相等，
∴这个游戏对小刚和小明公平．
【考点8：用频率估计概率】
45．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有2个白球、3个黄球和5
个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，
则该球的颜色最有可能是（ ）
A．白球 B．黄球 C．红球 D．黑球
【答案】A【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为
概率值得到抽到该球的概率为0.20，再分别计算出抽到三种颜色的球的概率即可得到答案．
【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在0.20左右，即抽到该球的概率为0.20，
2 3
∵抽到白球的概率为 =0.2，抽到黄球的概率为 =0.3，抽到红球的概率为
2+3+5 2+3+5
5
=0.5，
2+3+5
∴该球的颜色最有可能是白球，
故选：A．
46．灵武长红枣栽培历史悠久，具有独特的品质和形态特征，是中国国家地理标志产品．有“活维生素
丸”、“百果之王”之美称．某研究院跟踪调查了灵武长红枣的移栽成活情况，得到如图所示的统计
图，由此可估计灵武长红枣移栽成活的概率约为（ ）
A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95
【答案】C
【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．
用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．由图可知，
成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的占比稳定在0.9左右，成活的概率估计值为0.9．
【详解】解：这种树苗成活的占比稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9．
故选：C．
47．在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果
的可能是（ ）A．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上
B．从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球
C．抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上
D．从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数
【答案】B
【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率公式求出各选项的概率，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，某一结果的概率约为33%，
1
掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的概率为 ，故选项A不符合题意；
6
1 1
从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球的概率为 = ；
2+1 3
故选项B符合题意；
1
抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上的概率为 ，故选项B不符合题意；
2
1
从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数的概率为 ，故选项D不符合题意；
2
故选B．
48．如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为900cm2的正方形卡纸上绘制的辽宁省地
形图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将正方形卡纸水
平放置在地面上，在适当位置随机地朝正方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球
扔在界线上或正方形区域外不计试验结果），他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统
计图，由此估计不规则图案的面积大约为（ ）A．720cm2 B．675cm2 C．630cm2 D．540cm2
【答案】B
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为
概率值得到球落在不规则图案上的概率为0.75，据此根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：由题意可知，随着试验次数的增加，球落在不规则图案上的频率逐渐稳定在0.75，
∴球落在不规则图案上的概率为0.75，
∴估计不规则图案的面积大约为900×0.75=675(cm2) ，
故选：B．
49．在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子
中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在0.75，则袋
中红球有 个 ．
【答案】4
【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是熟练掌握用频率的集中趋势来估计概率，
这个固定的近似值就是这个事件的概率．
设袋中红球有x个，根据题意用黄球数除以红球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式即可求出答案．
【详解】解：设袋中红球有x个，根据题意，得：
12
=0.75，
x+12
解得：x=4．
经检验，x=4是所列方程的解，且符合题意，
所以袋中红球有4个．
故答案为∶4．
50．在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示：
试种数量 200 500 1000 1500 2000发芽的频 0.67 0.73 0.69 0.70 0.71
率
在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为 ．（结果精确到0.1）
【答案】0.7
【分析】由表格得到这种小麦发芽的频率稳定在0.71附近，即可估计出这种小麦发芽的概率．本题主
要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的
幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就
是这个事件的概率．
【详解】解：估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为0.71≈0.7．
故答案为：0.7．
