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专题 25.1 概率初步
目录
事件概念的识别与判定...........................................................................................................................1
概率的意义..................................................................................................................................................3
用古典概率求随机事件的概率.............................................................................................................5
用几何概率求随机事件的概率.............................................................................................................6
与其它知识点的综合...............................................................................................................................8
两步实验的概率......................................................................................................................................11
概率综合运用...........................................................................................................................................13
游戏的公平性...........................................................................................................................................18
三步实验的概率......................................................................................................................................22
频率与概率之间的关系........................................................................................................................23
用频率估计概率......................................................................................................................................28
事件概念的识别与判定
1必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
2不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
3不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机
事件）
【例1】下列事件是必然事件的是
A．下个月1号会下雨
B．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃
C．平分弦的直径垂直于弦
D．13个人中至少有2人生日在同一个月
【解答】解： 、下个月1号会下雨，是随机事件，不符合题意；
、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃，是随机事件，不符合题意；
、平分弦的直径垂直于弦，是随机事件，不符合题意；
、13个人中至少有2人生日在同一个月，是必然事件，符合题意．
故选： ．【变式训练1】下列判断正确的是
A．天气预报说“明天的降水概率为 ”，则表示明天有 的时间都在降雨
B．掷一枚硬币正面朝上的概率为 ，则表明掷硬币8次，一定有4次正面朝上
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为必然事件
D．若 是实数，则
【解答】解： 、天气预报说“明天的降水概率为 ”，则表示明天降雨的可能性是
，故 不符合题意；
、掷一枚硬币正面朝上的概率为 ，则表明掷硬币8次，不一定有4次正面朝上，故
不符合题意；
、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，故 不符合题意；
、若 是实数，则 ，故 符合题意；
故选： ．
【变式训练2】下列事件是随机事件的是
A．画一个三角形，其内角和是
B．在只装了红球的不透明袋子里摸出一个球，是红球
C．一个菱形的对角线互相垂直
D．同位角相等
【解答】解： 、画一个三角形，其内角和是 ，是不可能事件，故 不符合题意；
、在只装了红球的不透明袋子里摸出一个球，是红球，是必然事件，故 不符合题意；
、一个菱形的对角线互相垂直，是必然事件，故 不符合题意；
、同位角相等，是随机事件，故 符合题意，
故选： ．
【变式训练3】下列事件中，属于不可能事件的是
A． 是实数，则
B．一匹马奔跑的速度是每秒100米
C．任意一个三角形都有外接圆D．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6
【解答】解： 、 是实数，则 ，是必然事件，故 不符合题意；
、一匹马奔跑的速度是每秒100米，是不可能事件，故 符合题意；
、任意一个三角形都有外接圆，是必然事件，故 不符合题意；
、抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6，是随机事件，故 不符合题意；
故选： ．
概率的意义
事件发生的可能性
（1）必然事件发生的可能性是1（或100%）；
因为必然事件一定发生，所以其可能性为100%，一般用1表示.
（2）不可能事件发生的可能性是0；
因为不可能事件一定不发生，所以其发生的可能性为0.
（3）不确定事件发生的可能性大于0且小于1；
因为不确定事件有可能发生，也有可能不发生。
【例2】天气预报显示“上海明天下雨的概率为 ”．下列说法中，正确的是
A．上海明天将有 的时间下雨
B．上海明天将有 的地区下雨
C．上海明天下雨的可能性很大
D．上海明天下雨的可能性很小
【解答】解：上海明天下雨的概率为 ，表示上海明天下雨的可能性很大，但是不是将
有 的地区下雨，不是 的时间下雨，也不是明天肯定下雨．
故选： ．
【变式训练1】关于“明天是晴天的概率为 ”，下列说法正确的是
A．明天一定是晴天 B．明天一定不是晴天
C．明天 的地方是晴天 D．明天是晴天的可能性很大
【解答】解：关于“明天是晴天的概率为 ”，说明明天是晴天的可能性很大．
故选： ．【变式训练2】已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 ，下列说法错误的是
A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的
B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于
C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上
D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
【解答】解：抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 ，就是经过大量重复的实验，抛一枚均
匀硬币正面朝上的频率越稳定在 左右，因此，
．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的，这是公平的，因此选项 不符
合题意；
．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于 ，这种说法是正确的，因此
选项 不符合题意；
．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上，是可能存在的，因此选项 不符合题意；
．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上，这是不正确的，因此选项 符合题意；
故选： ．
【变式训练3】下列说法正确的是
A．某同学连续投掷一枚质地均匀的硬币5次，有3次正面朝上，因此正面朝上的概率
为
B．50个人中一定有两人生日相同
C．甲、乙射击命中目标的概率分别是 和 ，则甲、乙各射击一次命中目标的概率为
D．13个人中有两个人生肖相同的概率为1
【解答】解： ．某同学连续投掷一枚质地均匀的硬币 5次，有3次正面朝上，因此正面
朝上的频率为 ，不是概率为 ，由于实验次数少，不能确定正面朝上的概率，所以选项不符合题意；
．50个人中不一定有两人生日相同，也可能这 50人的生日均不相同，因此选项 不符
合题意；
．甲、乙射击命中目标的概率分别是 和 ，因此射击一次所有可能的情况如下
共有6种可能的结果，
所以甲、乙各射击一次命中目标的概率是 ，因此选项 不符合题意；
．根据“抽屉”原理可知，13个人中一定有两人的生肖相同，是必然事件，因此选项
符合题意，
故选： ．
用古典概率求随机事件的概率
一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件
A发生的概率为 ．
【例3】任意抛掷一枚均匀的骰子，结果朝上一面的点数为2的倍数的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有3种为向
上一面的点数为偶数，即为2的倍数，
故其概率是 ．
故选： ．
【变式训练1】在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，
从袋中任意摸出一个球为红球的概率是A． B． C． D．
【解答】解： 总共有4个球，其中红球有3个，摸到每个球的可能性都相等，
摸到红球的概率 ，
故选： ．
【变式训练2】在某市组织的物理实验操作考试中，考试所用实验室共有 24个测试位，分
成6组，同组4个测试位各有一道相同试题，各组的试题不同，分别标记为 ， ， ，
， ， ，考生从中随机抽取一道试题，则某个考生抽到试题 的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：总共有24道题，试题 共有4道，
（抽到试题 ，
故选： ．
【变式训练3】一个不透明的口袋中，装有5个黄球、4个蓝球和若干个红球，每个球除颜
色外都相同．从中任意摸出一个球是黄球的概率是 ，则从中任意摸出一个球是红球的概
率是
A． B． C． D．
【解答】解： 有5个黄球，黄球的概率是 ，
口袋中一共有 个球，
红球的个数有1个，
摸到红球的概率是 ；
故选： ．用几何概率求随机事件的概率
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积或度数）成比例，
则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
【例4】如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停
留在黑色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由图知，黑色区域的面积占大正方形面积的 ＝ ，
∴它最终停留在黑色区域的概率是 ，
故选：C．
【变式训练1】如图，在 的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，
小正方形的顶点称为格点，扇形 的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小
正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1
次，飞镖击中扇形 （阴影部分）的概率是
A． B． C． D．【解答】解： 总面积为 ，其中阴影部分面积为 ，
飞镖落在阴影部分的概率是 ，
故选： ．
【变式训练2】一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停留在阴影部分的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的 ，
因此一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是： ；
故选： ．
【变式训练3】已知 的两条直径 ， 互相垂直，分别以 ， ， ， 为
直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影
区域内的概率为 ，针尖落在 内的概率为 ，则 ．
【解答】解：设 的半径为1，则 ，
故 ，阴影部分面积为： ，
则 ， ，
故 ．
故答案为： ．
与其它知识点的综合
【例5】在六张卡片上分别写有 ， ，3.1415， ，0， 六个数，从中随机抽取一
张，卡片上的数为无理数的概率是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
在这六张卡片中，无理数有 ， ，共2个，
从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是 ．
故选： ．
【变式训练1】从﹣1，1，2三个数中任取一个，作为二次函数y＝kx2+3的k值，则所得函
数中，当x＜0时，y随x的增大而增大的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：﹣1作为一次函数y＝kx2+3的k值，则所得二次函数中当x＜0时，y随x
的增大而增大，
从三个数中取到﹣1的概率是 ，
故选：A．【变式训练2】2022年央视春晚节目中，精彩魔术《迎春纳福》给大家留下了深刻印象，
春晚带火了魔方现将六个面都涂有颜色的魔方按如图所示方式分割成 27个大小相同的小正
方体，并将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，则该小正方体
有三个面涂有颜色的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面涂有颜色的有8个，
故随机取出一个小正方体，则该小正方体有三个面涂有颜色的概率为 ．
故选： ．
【变式训练3】如图，在 的方格中， 、 、 、 、 、 分别位于格点上，从 、
、 、 四点中任取一点，与点 、 为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的
概率是 ．
【解答】解：根据从 、 、 、 四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取 、 、
时，所作三角形是等腰三角形，
故 （所作三角形是等腰三角形） ；
故答案为： ．
【例6】如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在 个小方格的雷区中，随机地埋藏着20颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小林和小艾轮流点击，小林先点一个小方格，
显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为
．
（1）若小艾在区域 内围着数字2的8个方块中任点一个，未踩中地雷的概率是多少？
（2）现在小艾点击了右下角的一个方格，出现了数字1（包含数字1的黑框区域记为 ，
轮到小林点击，若小林打算在区域 和区域 中任点一个未点击的方块，从安全的角度考
虑，他应该选择哪个区域？说明理由．
【解答】解：（1） 区域 内8个方块中埋藏着2颗地雷，
有6个方块没有地雷，
未踩中地雷的概率是： ；
（2）由（1）知，区域 未踩中地雷的概率是 ，
区域 的3个方块中埋着1颗地雷，有2个方块没有地雷，
区域 未踩中地雷的概率是： ，
，
从安全的角度考虑，他应该选择区域 ．
【变式训练1】如图是扫雷游戏的一部分：（说明：图中数字2表示在以该数字为中心相邻
的8个方格中有2个地雷）．小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下 ， ， 三
个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格）．（1）现在还剩下几个地雷？
（2） ， ， 三个方格中有地雷的概率分别是多大？
【解答】解：（1）根据题意，结合图形可知： 、 、 方格有2个地雷，
根据标有2的方格可知 和 只能有一个是地雷，
故现在还剩下2个地雷；
（2）根据第（1）问可知 方格肯定是地雷，其概率为1， 和 其中只能有一个是地雷，
故 方格有地雷的概率与 方格有地雷的概率相等，都为 ．
两步实验的概率
１.直接列举法求概率
当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常
采用直接列举法。
２.列表法求概率
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列
出所有可能的结果，通常采用列表法。
３.树状图法求概率
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地
列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
【例7】将4张分别写着“强”“国”“有”“我”的卡片（卡片的形状、大小、质地都相
同）放在盒子中，搅匀后从中随机取出 2张卡片，则取出的2张卡片中，恰好组成“强
国”的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片中，恰好组成“强国”的结果有2种，
取出的2张卡片中，恰好组成“强国”的概率为 ．
故选： ．
【变式训练1】随机从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为 和 ，则 的概
率是
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，其中 的有8种结果，
的概率是 ，
故选： ．
【变式训练2】某班级计划举办手抄报展览，确定了“ 时代”、“北斗卫星”、“高铁
速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题
的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：把“ 时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为 、 、
，
画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，
小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为 ，
故选： ．
【变式训练3】某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环保小卫士”
“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学
只能从中随机选择一个岗位进行体验．甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学
恰好在同一岗位体验的概率为
A． B． C． D．
【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 画 树 状 图 如 图 所 示 ，
由树状图可知，共有16种等可能的情况，其中甲乙两名同学恰好在同一岗位体验的情况共
有4种，
这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为 ．
故选： ．
概率综合运用
【例8】佛山是珠江三角洲的“美食之乡”，粤菜发源地之一．某学校要举行“我为佛山美
食代言”的宣讲活动，主要介绍佛山的民间特色食品，已知学校给定了 4个极具特色的主题： ．双皮奶， ．盲公饼， ．大良蹦砂， ．佛山九层糕，参加的选手从这四个主
题中随机抽取一个进行宣讲，小明和小红都参加了这项活动．
（1）小明抽中“大良蹦砂”的概率是 ；
（2）请用列表法或树状图法中的一种方法，求小明和小红抽中同一个主题的概率．
【解答】解：（1） 共有4个主题，
小明抽中“大良蹦砂”的概率是 ．
故答案为： ．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小红抽中同一个主题的结果有4种，
小明和小红抽中同一个主题的概率为 ．
【变式训练1】某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就
活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两
幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表
法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为 、 、 、 、 ．
【解答】解：（1） （名 ，
答：这次调查的学生共有280名；
（2） （名 ， （名 ，
补全条形统计图，如图所示，
根据题意得： ， ，
答：“进取”所对应的圆心角是 ；
（3）由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：
用树状图为：
共20种情况，恰好选到“ ”和“ ”有2种，
恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是 ．
【变式训练2】为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对、 、 、 四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得
出 厂家的合格率为 ，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．
（1）抽查 厂家的零件为 50 0 件，扇形统计图中 厂家对应的圆心角为 ；
（2）抽查 厂家的合格零件为 件，并将图1补充完整；
（3）通过计算说明合格率排在前两名的是哪两个厂家；
（4）若要从 、 、 、 四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，
请用“列表法”或“画树形图”的方法求出（3）中两个厂家同时被选中的概率．
【解答】解：（1） 厂的零件比例 ，
厂的零件数 件；
厂家对应的圆心角为 ；
（2） 厂的零件数 件，
厂的合格零件数 件，
如图：
（3） 厂家合格率 ，
厂家合格率 ，厂家合格率 ，
厂家合格率 ，
合格率排在前两名的是 、 两个厂家；
（4）根据题意画树形图如下：
共有12种情况，选中 、 的有2种，
则 （选中 、 ．
【变式训练3】某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目： 篮球、
乒乓球、 跳绳、 踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进
行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 20 0 人；
（2）请你将条形统计图补充完成；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中
任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
【解答】解：（1）根据题意得：这次被调查的学生共有 （人 ．
故答案为：200；
（2） 项目对应人数为： （人 ；
补充如图．（3）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 一 （乙， （丙， （丁，
甲） 甲） 甲）
乙 （甲， 一 （丙， （丁，
乙） 乙） 乙）
丙 （甲， （乙， 一 （丁，
丙） 丙） 丙）
丁 （甲， （乙， （丙， 一
丁） 丁） 丁）
共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
（选中甲、乙） ．
游戏的公平性
【例9】现有 、 两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，
袋装有2个白球，1个红球； 袋装有2个红球，1个白球．
（1）将 袋摇匀，然后从 袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的 ， 两袋中随机摸出一个小球，摸
出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画
出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
【解答】解：（1）共有3种等可能结果，而摸出白球的结果有2种
（摸出白球） ；
（2）根据题意，列表如下：
红1 红2 白白1 （白1，白）
（白1，红 （白1，红
白2 （白2，白）
（白2，红 （白2，红
红 （红，白）
（红，红 （红，红
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有 5种，颜色相同的结果有4
种
（颜色不相同） ， （颜色相同）
这个游戏规则对双方不公平
【变式训练1】某中学要在全校学生中举办“中国梦 我的梦”主题演讲比赛，要求每班选
一名代表参赛．九年级（1）班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他们都
想代表本班参赛．经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛（胜
者参赛）．
规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是
奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平局，若为平局，
继续上述游戏，直至分出胜负为止．
如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题：
（1）小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？
（2）该游戏是否公平？请用列表或树状图等方法说明理由．（骰子：六个面上分别刻有
1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体）
【解答】解：（1） 向上一面的点数为奇数有3种情况，
小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是： ．
（2）填表如下：
1 2 3 4 5 6
1
2
3
45
6
由上表可知，一共有36种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有9种结果．
（小亮胜） ， （小丽胜） ，
游戏是公平的．
【变式训练2】在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们
充分搅匀．
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 必然 事件，“从中任意抽取1个
球是黑球”是 事件；
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是 ；
（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中
任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用
列表法或画树状图法加以说明．
【解答】解：（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽
取1个球是黑球”是不可能事件；
故答案为：必然，不可能；
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是： ；
故答案为： ；
（3）这个规则不公平．
理由：
如图所示：
，
由树状图可得：一共有20种等可能的结果，两球同色的有8种情况，故选择甲的概率为：
；则选择乙的概率为： ，
故这个规则不公平．
【变式训练3】有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字
2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小
杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再
从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；
（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小
玉赢，此游戏公平吗？为什么？
【解答】解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有9种不同结果，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ；
（2）列出两次得数之和的所有可能的结果如下：
共有9种可能出现的结果，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3种，
， ，
因此游戏是公平的．三步实验的概率
【例10】某市今年的理化生实验操作考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容．规
定：每位考生从三个物理实验题（题签分别用代码 ， ， 表示）、三个化学物实验
题（题签分别用代码 、 、 表示），二个生物实验题（题签分别用代码 ， 表
示）中分别抽取一个进行考试．小亮在看不到题签的情况下，从他们中随机地各抽取一个
题签．
（1）请你用画树状图的方法，写出他恰好抽到 的情况；
（2）求小亮抽到的题签代码的下标（例如“ ”的下标为“2” 之和为7的概率是多少？
【解答】解：（1）画树状图得：
由上可知，恰好抽到 的情况有6种， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ；
（2） 由（1）知，下标之和为7有3种情况．
小亮抽到的题签代码的下标（例如“ ”的下标为“2” 之和为7的概率为： ．
【变式训练1】节约能源，从我做起．为响应长株潭“两型社会”建设要求，小李决定将家
里的4只白炽灯全部换成节能灯．商场有功率为 和 两种型号的节能灯若干个可供
选择．
（1）列出选购4只节能灯的所有可能方案，并求出买到的节能灯都为同一型号的概率；
（2）若要求选购的4只节能灯的总功率不超过 ，求买到两种型号的节能灯数量相等的概率．
【解答】解：（1）画树状图得：
选购4只节能灯的所有可能方案有 16种： ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，买到的节能灯都为同一型号的情况有2种，
买到的节能灯都为同一型号的概率为： ．
（2） 要求选购的4只节能灯的总功率不超过 ，
选购4只节能灯的所有可能方案有11种： ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，买到两种型号的节能灯数量相等的
情况有6种，
买到两种型号的节能灯数量相等的概率为： ．
频率与概率之间的关系
频率的定义
在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值 称为事件A发生的频率．
【例11】在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其
他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在 附近，则口袋中黑球
可能有 ．
A．10个 B．11个 C．12个 D．13个
【解答】解：设黑球个数为： 个，
摸到白色球的频率稳定在 左右，
口袋中得到白色球的概率为 ，
，
解得： ，
故黑球的个数为11个．
故选： ．
【变式训练1】木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出1
张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.6附
近，则估计木箱中蓝色卡片有 1 2 张．
【解答】解：设木箱中蓝色卡片有 个，根据题意得：
，
解得： ，
经检验 是原方程的解，
则估计木箱中蓝色卡片有12张．故答案为：12
【变式训练2】只有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸
出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在 0.6，则袋中
红球与白球共有 2 5 个．
【解答】解：设袋中白球有 个，根据题意得：
，
解得： ，
经检验： 是分式方程的解，
故袋中白球有10个，共有25个球．
故答案为：25
【变式训练3】一个不透明的盒子里有 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有 9个黄球．
每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复
摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 ，那么估计盒子中小球的个数 为
A．20 B．24 C．28 D．30
【解答】解：根据题意得 ，解得 ，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选： ．
【例12】某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如
图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
【解答】解： 、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为 ，
故 选项错误；
、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是：
；故 选项错误；
、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率
为 ，故 选项错误；
、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为 ，故 选项正
确．
故选： ．
【变式训练1】下面四个实验中，实验结果概率最小的是
A．如（1）图，在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘
制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率
B．如（2）图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在
蓝色区域的概率
C．如（3）图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为1的正方
形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率
D．有7张卡片，分别标有数字1，2，3；4，6，8，9；将它们背面朝上洗匀后，从中
随机抽出一张，抽出标有数字“大于6”的卡片的概率
【解答】解： 、如（1）图，在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率为 0.
、如（2）图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在
蓝色区域的概率为 ．
、如（3）图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为1的正方形，
则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率为 ．
、有7张卡片，分别标有数字1，2，3；4，6，8，9；将它们背面朝上洗匀后，从中随
机抽出一张，抽出标有数字“大于6”的卡片的概率为 ，
因为0.2最小，
故选： ．
【变式训练2】如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了
解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为 ，宽为 的长方形，将不规
则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上
的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果
绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是
A． B． C． D．
【解答】解：由表可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率逐渐稳定于
0.35，所以小球落在不规则图案上的概率约为0.35，
则估计不规则图案的面积大约是 ，
故选： ．
【变式训练3】如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概
率是0.616；
②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，
可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为 1000时，“钉尖向上”的频率一定是
0.620
其中合理的是
A．① B．② C．①② D．①③
【解答】解：当投掷次数是 500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 308，所以此时
“钉尖向上”的频率是： ，但“钉尖向上”的概率不一定是 0.616，故①
错误，
随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，
可以估计“钉尖向上”的概率是0.618故②正确，
若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，
但不一定是0.620，故③错误，
故选： ．用频率估计概率
（1）一般地，在大量重复试验中，如果事件 发生的频率 稳定于某个常数 ，
那么事件 发生的概率 ．
（2）试验的所有可能结果不是有限个或者可能出现的结果发生的可能性不一定相
等时，都可以通过统计频率来估计概率．
（3）注意点：一般地，用频率估计概率时，试验次数应该尽可能多，试验次数越
多，结果越接近事件发生的概率．
（4）概率是通过大量重复试验中频率的稳定性得到的介于0~1的常数，它反映了
事件发生的可能性大小．
【例13】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量（单位： 和使用了节水龙头50
天的日用水量，得到频数分布表如下：
表1未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水
量
频数 1 3 2 4 9 26 5
表2使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
频数 1 5 13 10 16 5
（1）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 的概率；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365天计算，同一组中的
数据以这组数据所在范围的组中值作代表．
【解答】解：（1）由表2可知，使用后，50天日用水量少于0.3的频数 ，
50天日用水量少于0.3的频概率 ，从而以此频率估计该家庭情况．
（ 2 ） 该 家 庭 未 使 用 节 水 龙 头 50 天 日 用 水 量 平 均 数 ：
，该 家 庭 使 用 节 水 龙 头 50 天 日 用 水 量 平 均 数 ：
，
估计使用节水龙头后，一年可节水： ．
【变式训练1】在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，
八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的
白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下
表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数 63 247 365 484 606
摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403
（1）按表格数据格式，表中的 12 3 ； ；
（2）请估计：当次数 很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到 ；
（3）请推算：摸到红球的概率是 （精确到 ；
（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有 只．
【解答】解：（1） ， ；
（2）当次数 很大时，摸到白球的频率将会接近0.40；
（3）摸到红球的概率是 ；
（4）设红球有 个，根据题意得： ，
解得： ；
故答案为：123，0.404；0.4；0.6；15
. 一．选择题（共8小题）1．下列事件是必然事件的是
A．明天太阳从西方升起
B．打开电视机，正在播放广告
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．任意一个三角形，它的内角和等于
【解答】解： 、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故不符合题意，
、打开电视机，正在播放广告是随机事件，故不符合题意；
、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故不符合题意；
、任意一个三角形，它的内角和等于 是必然事件，故符合题意．
故选： ．
2．下列成语所描述的事件是必然事件的是
A．守株待兔 B．拔苗助长 C．瓮中捉鳖 D．水中捞月
【解答】解： 、守株待兔，是随机事件，故不符合题意，
、拔苗助长是不可能事件，故不符合题意；
、瓮中捉鳖是必然事件，故符合题意；
、水中捞月是不可能事件，故不符合题意．
故选： ．
3．下列成语所描述的事件中是不可能事件的是
A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．百步穿杨 D．水中捞月
【解答】解： 、守株待兔，是随机事件；
、瓮中捉鳖，是必然事件；
、百步穿杨，是随机事件；
、水中捞月，是不可能事件；
故选： ．
4．从一副扑克牌中任意抽出一张，可能性相同的是
A．大王与黑桃 B．大王与10 C．10与红桃 D．红桃与梅花
【解答】解： 、大王2张，黑桃13张；
、大王2张，10有四张；
、10有4张，红桃13张；即 、 、 中数目都不相等，故可能性也不相等，只有 中红桃与梅花数目相等，即二
者可能性相同．
故选： ．
5．下列事件是必然发生的事件的是
A．在地球上，上抛的篮球一定会下落
B．明天的气温一定比今天的高
C．中秋节晚上一定能看到月亮
D．某彩票中奖率是 ，买100张彩票一定中奖一张
【解答】解： 、在地球上，上抛的篮球一定会下落是必然事件；
、明天的气温一定比今天的高，是随机事件；
、中秋节晚上一定能看到月亮，是随机事件；
、某彩票中奖率是 ，买100张彩票一定中奖一张，是随机事件．
故选： ．
6．某校艺术节的乒乓球比赛中，小东同学顺利进入决赛．有同学预测“小东夺冠的可能性
是 ”，则对该同学的说法理解最合理的是
A．小东夺冠的可能性较大
B．如果小东和他的对手比赛10局，他一定会赢8局
C．小东夺冠的可能性较小
D．小东肯定会赢
【解答】解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是 ，结合概率的意义，
、李东夺冠的可能性较大，故本选项正确；
、李东和他的对手比赛10局时，他可能赢8局，故本选项错误；
、李东夺冠的可能性较大，故本选项错误；
、李东可能会赢，故本选项错误．
故选： ．
7．小华把如图所示的 的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是
A． B． C． D．
【解答】解： 正方形的面积为 ，阴影区域的面积为 ，
飞镖落在阴影区域的概率是 ，
故选： ．
8．下列说法正确的是
A．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件
B．概率很小的事情不可能发生
C．2022年1月27日杭州会下雪是随机事件
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
【解答】解： 选项，某一事件发生的可能性非常大就是随机事件，故此选项错误；
选项，概率很小的事情也是随机事件，故此选项错误；
选项，2022年1月27日杭州会下雪是随机事件，正确；
选项，投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数是500次，是随机事件，故此
选项错误．
故选： ．
二．填空题（共4小题）
9．“正方形既是矩形又是菱形”是 必然 事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”
【解答】解：“正方形既是矩形又是菱形”是必然事件．
故答案为必然．
10．“若 ，则 ”这一事件是 随机事件 ．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”
【解答】解：若 ，则 ，
故若 ，则 ，这一事件是随机事件．
故答案为：随机事件．
11．写一个你喜欢的实数 的值 ，使得事件“对于二次函数 ，
当 时， 随 的增大而增大”成为随机事件．
【解答】解：由题意： ，
，
所以实数 的值 ，使得事件“对于二次函数 ，当 时， 随 的
增大而增大”成为随机事件，
故答案为： ．
12．转动如图的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有
数字 2 的区域的可能性最小．
【解答】解：指针落在标有1的区域内的可能性是 ；
指针落在标有2的区域内的可能性是 ；
指针落在标有数字3的区域内的可能性是 ；
所以指针指向标有数字2的区域的可能性最小，
故答案为：2．
三．解答题（共3小题）
13．为降低校园欺凌事件发生的频率，某课题组针对义务教育阶段学生校园欺凌事件发生状况进行调查并分析．课题组对全国可查的3000例欺凌事件发生原因进行抽样调查并分析，
所得数据绘制成统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 5 0 ．
（2）补全条形统计图；
（3）在欺凌事件发生原因扇形统计图中，“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为
．
（4）估计所有3000例欺凌事件中有多少事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件
发生的？
【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量为： ；
故答案为：50；
（2）满足欲望的人数有： （人 ，
其他的人数有： （人 ，补全统计图如下：
（3）“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为： ；
故答案为： ；（4） （例 ，
答：计所有3000例欺凌事件中有2400例事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件
发生的．
14．在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的5个红球、3个蓝球和2个白球，
它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事件是不确定事件、不可能事件，还是必然事件．
（1）从口袋中任意取出一个球，是一个白球；
（2）从口袋中一次任取5个球，全是蓝球；
（3）从口袋中一次任意取出9个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了．
【解答】解：（1）从口袋中任意取出一个球，可能是一个白球、一个红球也可能是一个蓝
球，
从口袋中任意取出一个球，是一个白球是随机事件，即不确定事件；
（2）口袋中只有3个蓝球，
从口袋中一次任取5个球，全是蓝球是不可能事件；
（3）从口袋中一次任意取出9个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了是必然事件．
15．在一个不透明的口袋里，装有6个除颜色外其余都相同的小球，其中2个红球，2个白
球，2个黑球．它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出 个球，红
球、白球、黑球至少各有一个．
（1）当 为何值时，这个事件必然发生？
（2）当 为何值时，这个事件不可能发生？
（3）当 为何值时，这个事件可能发生？
【解答】解：（1）当 或6时，这个事件必然发生；
（2）当 或2时，这个事件不可能发生；
（3）当 或4时，这个事件为可能发生．
