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第 25 章概率初步能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
22
.
1．从实数 ，0，
11
，π，❑√6中随机抽取一数，抽到无理数的概率是（ ）
7
1 3 2 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】C
【分析】本题考查了概率公式以及无理数，概率=所求情况数与总情况数之比．直接由
概率公式求解即可．
22
.
【详解】解：从 ，0，11，π，❑√6这五个数中随机抽取一个数，
7
抽到的无理数有π，❑√6，共2种可能，
2
∴抽到的无理数的概率是 ．
5
故选：C．
2．下列事件可能性大小正确的是（ ）
1
A．从一副54张的扑克牌中抽出一张红桃的可能性是
4
1
B．掷一枚骰子得到的点数是奇数的可能性是
3
1
C．从写有0−9的数字卡片中任意抽取一张，得到的数小于3的可能性是
5
2
D．从装有4个红球和6个白球的袋子里任意摸出一个红球的可能性是
5
【答案】D
【分析】本题主要考查了可能性的计算，A选项中用红桃的牌数除以54即为抽出红桃
的可能性；B选项中用1−6中奇数的个数除以6可得点数是奇数的可能性；C选项中用
0−9中小于3的数字个数除以10可得任意抽取一张，得到的数小于3的可能性；D选项
中用红球个数除以球的总数可得任意摸出一个红球的可能性．
13
【详解】解：A、从一副54张的扑克牌中抽出一张红桃的可能性是 ，原说法错误，
54
不符合题意；3 1
B、掷一枚骰子得到的点数是奇数的可能性是 = ，原说法错误，不符合题意；
6 2
3
C、从写有0−9的数字卡片中任意抽取一张，得到的数小于3的可能性是 ，原说法错
10
误，不符合题意；
4 2
D、从装有4个红球和6个白球的袋子里任意摸出一个红球的可能性是 = ，原说法
4+6 5
正确，符合题意；
故选：D．
3．从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（
）
33 34 3
A． B． C． D．不确定
100 100 100
【答案】A
【分析】本题考查概率，求出总得可能结果数和满足条件的结果数，然后利用概率计算
方法计算即可．
【详解】一共有100种可能，号码是3的倍数的有3，6，9，…，99，共33种，
33
∴号码是3的倍数的概率是 ．
100
故选：A．
4．用1、2、3三个数字组成一个三位数（每个数中三个数字都要出现），则组成的三位数
是偶数的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
2 3 6 3
【答案】B
【分析】本题考查了列举法求概率，列举出所有可能发生的情况是解答本题的关键.
仔细审题,利用列举法得出所有可能的三位数组成情况；找出组成的数字是偶数的可能
事件A可能出现的次数
结果：132，312；根据概率计算公式P(A)= 计算即可.
所有可能出现的次数
【详解】解：组成的数共有6个；123,132,231,213,312,321,
其中偶数有132,312，一共2个；
2 1
因此组成的数是偶数的概率= =
.
6 3故选B
5．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3，随机摸出一个
小球不放回，再随机摸出一个小球．两次摸出的小球标号之和为5的概率是（ ）
1 2 1 1
A． B． C． D．
6 9 3 2
【答案】C
【分析】本题考查了列表法求概率．根据题意画出树状图或列表得出所有等可能的情况
数，找出两次摸出的小球标号之和为5的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意列表如下：
1 2 3
1 3 4
2 3 5
3 4 5
共有6种等可能的情况数，其中两次摸出的小球标号之和为5的有2种，
2 1
则两次摸出的小球标号之和为5的概率是 = ；
6 3
故选：C．
6．小张与小李相约去湖北省科技馆参观，某个展览馆有甲、乙两个入口，A，B，C 三个
出口，那么小张恰好选择从甲入口进入，并从C出口走出的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 4 6 8
【答案】C
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能
的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．
画树状图，共有6种等可能的结果，其中小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的结
果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的结果有1种，
1
∴小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的概率为 ，
6
故选：C．
7．三个小伙伴相约去看电影，打开订票软件的界面，在如图的最佳观影选框内，选出同一
横排的三个相邻的位置，则同时随机选中图8中三个画“☆”座位的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 5 4 3
【答案】A
【分析】本题考查了概率的计算，理解图示找出选出同一横排的三个相邻的位置的结果，
同时随机选中图中三个画“☆”座位的结果是解题的关键，根据题意，运用概率公式计
算即可．
【详解】解：从上往下，第一排空位有7个，选出同一横排的三个相邻的位置的结果有
5种，
第二排中，选出同一横排的三个相邻的位置的结果有1种，
∴选出同一横排的三个相邻的位置的结果共有6种情况，其中同时随机选中图中三个画
“☆”座位的结果有1种，
1
∴同时随机选中图中三个画“☆”座位的概率为 ，
6
故选：A ．
8．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭
合开关C，D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件
的是（ ）A．闭合1个开关 B．闭合2个开关
C．闭合3个开关 D．闭合4个开关
【答案】B
【分析】考查了随机事件的判断，根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件
即可，解题的关键是根据题意判断小灯泡能否发光．
【详解】A．闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B．闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C．闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D．闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意．
故选：B．
9．某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次
100 200 300 400 500 800 1000
数
“射中 65 136 210 284 350 552 700
10环”
的次数
“射中 0.65 0.68 0.70 0.69 0.70 0.70 0.70
10环”
的频率
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（ ）
A．0.65 B．0.70 C．0.75 D．0.69
【答案】B
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定
位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集
中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此进行求解即可．
【详解】解，由表格可知：这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是0.70；
故选B．
10．成语是汉语中的精华，简洁、准确、生动，在无差别的四张卡片上分别写有4个成语：
①缘木求鱼；②画饼充饥；③瓮中捉鳖；④守株待兔，将卡片置于暗箱摇匀，随机抽取的两张，则抽取的两张卡片上的成语描述的事件均为不可能事件的概率为（ ）
2 1 1 1
A． B． C． D．
3 2 3 6
【答案】D
【分析】本题考查了画树状图法求概率；先画树状图展示所有12种等可能的结果，再
根据不可能事件的定义找出抽取的两张卡片上的成语描述的事件均为不可能事件的结
果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的成语描述的事件均为不可能事件的
结果数为2种，
2 1
所以抽取的两张卡片上的成语描述的事件均为不可能事件的概率为： =
12 6
故选：D．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿
三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的
位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同
的扇形的概率为 ．
1
【答案】
3
【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．正确画出树状图确定所有等可
能的情况和符合条件的情况是解题的关键．
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况，找出符合条件的情况，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况，其中指针指向颜色相同的扇形的有3种，
3 1
则转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为 = ．
9 3
1
故答案为： ．
3
1
12．从数−2，− ，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为
2
n．若k=mn，则函数y=kx的图像经过第一、三象限的概率是 ．
1
【答案】
6
【分析】本题主要考查了树状图法求解概率，正比例函数图像的性质，当函数y=kx
的图像经过第一、三象限时，k>0，据此画出树状图得到所有的等可能性的结果数，
再找到k为正数的结果数即可得到答案．
【详解】解：当函数y=kx的图像经过第一、三象限时，k>0，
画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中k的值为正数的结果数有2种，
2 1
∴函数y=kx的图像经过第一、三象限的概率是 = ，
12 6
1
故答案为： ．
6
13．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E，H在边AB上，点G，F在边CD上，向▱ABCD内部投掷飞镖（每次均落在▱ABCD内，
且落在▱ABCD内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ．
1
【答案】
4
【分析】本题考查几何概率、中心对称的性质，正确记忆相关知识是解题关键．
所求概率等于阴影部分面积与平行四边形ABCD面积之比．
【详解】解：由题意可知：△OEH和△OFG关于点O中心对称，
∴S =S ，
△OEH △OFG
1
∴S =S = S ，
阴影部分 △AOB 4 平行四边形ABCD
S 1
∴飞镖恰好落在阴影区域的概率= 阴影部分 = ．
S 4
平行四边形ABCD
1
故答案为： ．
4
3 19
14．如图，点D、点E是直线y=− x+ 与矩形OABC的边AB、BC的交点，OA=4，
4 4
OC=5．若动点P(x,y)在矩形OABC内随机运动，则动点P落在△BDE内（包括边
界）的概率为 ．
3
【答案】
10
【分析】本题考查了一次函数的几何应用、矩形的性质，几何概率等知识点．先根据
直线的解析式求出点D，E的坐标，从而可得BD、BE的长，再分别求解矩形与
△BDE的面积，结合概率公式计算即可．3 19
【详解】解：点D、点E是直线y=− x+ 与矩形OABC的边AB、BC的交点，
4 4
OA=4，OC=5，
∴CB=OA=4，AB=OC=5，矩形面积为4×5=20，
3 19 15 19
当x=5时，y=− x+ =− + =1，
4 4 4 4
∴E(5,1)，
∴BE=4−1=3，
3 19
当y=4时，则− x+ =4，
4 4
解得：x=1，
∴D(1,4)，
∴AD=1，BD=4，
1 1
则△BDE的面积是 BD⋅BE= ×4×3=6，
2 2
6 3
∴动点P落在△BDE内（包括边界）的概率为 = ．
20 10
3
故答案为： ．
10
三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（8分）一个不透明的布袋中装有6枚黑棋子和16枚白棋子，这些棋子除颜色外无其
他差别．现往布袋中再放入m枚黑棋子并混匀，进行如下试验：从布袋中随机取出一
枚棋子，记下颜色，再放回布袋中混匀．不断重复上述过程，一共取了300次，其中
有100次取到黑棋子，由此估计m的值．
【答案】2
【分析】本题考查了用频率估算概率，解题的关键是根据重复试验确定摸到各种棋子
的概率．首先根据重复试验确定取到黑棋子的频率，从而得到事件的概率，然后根据
概率计算即可．
【详解】解：∵共取了300次，其中有100次取到黑棋子，
100 1
∴摸到黑色棋子的概率约为 = ，
300 3
1 2
∴摸到白色棋子的概率约为1− = ，
3 3∵共有16枚白色棋子，
16 2
∴ = ，
16+6+m 3
解得：m=2，
经检验，m=2是方程的解，
故答案为：2．
16．（8分）为了提升博物馆的服务质量，更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某
博物馆面向社会招募志愿者．若该博物馆的某项工作在甲、乙两名志愿者中选一名，
他们准备以游戏的方式决定由谁参加．游戏规则如下：将四张牌面数字分别为
2，3，4，5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌
中随机抽取一张记下数字后放回，乙再从中随机抽取一张，若抽取的两张牌的牌面数
字之和小于8，则甲参加；否则，乙参加．求甲参加的概率．
5
【答案】
8
【分析】本题考查了利用树状图或列表法求概率，画出树状图，再根据树状图解答即
可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可得，共有16种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和小于8的结果有
10种，
10 5
∴P = = ，
甲参加 16 8
5
答：甲参加的概率为 ．
8
17．（8分）从一副52张（没有大小王）的扑克中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，
在实验中得到下列表中部分数据：
实验次数n 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
出现方块的次数m 11 18 a 40 49 63 68 80 91 100出现方块的频率 11 9 1 1 49 21 17 b 91 1
m
40 40 4 4 200 80 70 360 4
n
(1)填空：a=______，b=______；
(2)从上面的表中可以估计从中随机抽取一张是方块的概率是______；
(3)将这副扑克中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张，其中A表示1，J表示
11，Q表示12，K表示13）取出，将这13张方块扑克牌背面朝上重新洗匀后，从中
任意摸出一张，若摸出的这张牌面数字为奇数，则甲方赢，若摸出的这张牌的牌面数
字是偶数，则乙方赢，你认为这个游戏对双方是公平的吗？并说明理由．
【答案】(1)30，25%
(2)25%
(3)这个游戏对双方不公平，理由见详解
【分析】本题主要考查了概率与游戏的公平，理解题意是正确解答此题的关键．
（1）根据表格中的数据计算即可；
（2）从表中得出，出现方块的频率稳定在了25%，故可以估计出现方块的概率；
（3）分别求得概率再比较可得结论不公平．
1 80
【详解】（1）解：a=120× =30，b= ×100%=25%，
4 320
故答案为：30，25%；
（2）解：从表中得出，出现方块的频率稳定在了25%，故可以估计出现方块的概率为
25%，
故答案为：25%；
（3）解：不公平，
理由：∵在方块1到方块13共13张牌中，奇数有7个，偶数有6个，
7 6
∴甲方赢的概率为 ，乙方赢的概率为 ，
13 13
7 6
由于 ≠ ，
13 13
所以这个游戏对双方不公平．
18．（8分）某中学开展“国庆70周年阅兵盛典观看情况”调查活动，随机调查了部分初
中生观看阅兵盛典的收视情况，并将调查结果统计后绘制成如图1和图2所示的不完
整统计图．(1)被调查初中生的人数为 人；
(2)把条形统计图补充完整；
(3)若该学校有学生1000人，请估计该校没观看阅兵盛典的学生人数？
(4)某班级3名同学都观看了阅兵盛典，1人完整看完，1人看一多半，一人看一少半，
要从这3人中任选2人写观后感在班级交流，请用列表法或画树形图法求选出的2人
恰好1人全看完，1人看一多半的概率．
【答案】(1)80
(2)见解析
(3)估计该校没观看阅兵盛典的学生人数为50人
1
(4)
3
【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息关联，样本估计总体，画树状图法
求概率；
（1）由“看完整”的人数及其所占百分比可得被调查初中生的人数，
（2）用总人数减去其它类型人数求得“看一多半”的人数，据此补全图形即可；
（3）用总人数乘以样本中“没看”人数所占百分比可得；
（4）设甲完整看完，乙看一多半，丙看一少半，根据画树状图法即可求得结果．
【详解】（1）解：被调查初中生的人数为：40÷50%=80（人）
故答案为：80．
（2）“看一多半”的人数为：80−40−8−4=28（人）
补全条形图如下：4
（3）1000× =50（人）
80
答：估计该校没观看阅兵盛典的学生人数为50人；
（4）解：设甲完整看完，乙看一多半，丙看一少半
共有6种等可能结果，其中恰好1人全看完，1人看一多半的有2种，
2 1
∴恰好1人全看完，1人看一多半的概率为 =
6 3
19．（8分）在一个不透明的袋子里装有4个只有所标数字不同的小球，上面分别标有数字
−1，−2，3，4．
(1)把小球搅匀后从中随机抽出两个小球，用列表的方法计算说明两个小球上所标数字
之积为负数的概率；
(2)小明和小亮进行一个小游戏，规则是：小明从袋子中随机抽出一个小球记下所标数
字后将小球放回，然后小亮从中随机抽出一个小球记下所标数字，若两个人抽出的数
字之积为正数则小明获胜，若两个人抽出的数字之积为负数则小亮获胜．这个游戏规
则对于小明和小亮来说是否公平?请说明理由．
2
【答案】(1)两个小球上所标数字之积为负数的概率为 ；
3
(2)这个游戏规则对于小明和小亮公平，理由见解析．
【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键．（1）利用列表法求出所有可能的结果，然后得出两个小球上所标数字之积为负数的
可能结果，再用概率公式即可求解；
（2）利用列表法求出所有可能的结果，然后计算出数字之积为正数和数字之积为负
数的概率，然后比较求解即可．
【详解】（1）解：列表如下，
−1 −2 3 4
−1 2 −3 −4
−2 2 −6 −8
3 −3 −6 12
4 −4 −8 12
一共有12种等可能结果，两个小球上所标数字之积为负数可能结果有8种，
8 2
∴两个小球上所标数字之积为负数的概率为 = ；
12 3
（2）解：这个游戏规则对于小明和小亮公平，理由，
列表如下，
−1 −2 3 4
−1 1 2 −3 −4
−2 2 4 −6 −8
3 −3 −6 9 12
4 −4 −8 12 16
一共有16种等可能结果，两个小球上所标数字之积为正数可能结果有8种，两个小球
上所标数字之积为负数可能结果有8种，
8 1
∴两个小球上所标数字之积为正数的概率为 = ，两个小球上所标数字之积为负数
16 2
8 1
的概率为 = ；
16 2
1 1
∵ = ，
2 2
∴这个游戏规则对于小明和小亮公平．20．（8分）某班学生就老百姓最关注的热点问题，在网络上发布了相应的调查问卷．到
目前为止，共有不同年龄段的2880人参与，具体情况统计如下：
抽取的30-35岁人群的关注情况
关心问题 频数 频率
收入分配 90 0.25
住房问题 a 0.15
物价调控 36 0.1
医疗改革 18 b
养老保险 c 0.15
其他 108 d
合计 360 1
所调查的2880人年龄的分布情况
(1)根据统计表可得：a= _____，b= _____，c= _____，d=
_____．
(2)扇形图中表示30-35岁的扇形的圆心角是多少度？
(3)在参加调查的30-35岁段中随机抽取一人，关心物价调控或医疗改革的概率是多少？
(4)从上表中，你还能获得其他的信息吗（写出一条即可）？
【答案】(1)54,0.05,54,0.3
(2)45度；
(3)15%
(4)所调查的2880人中年龄在36-40岁的人数最多．
【分析】此题考查了频率估计概率，频数分布统计表，扇形圆心角等知识．
（1）根据频数分布统计表求出相关数据即可；
（2）用占比乘以360°即可得到答案；（3）用频率估计概率即可；
（4）根据数据进行回答即可．
【详解】（1）解：∵观察频数统计表可知：a=360×0.15=54,
18
b= =0.05
360
c=360×0.15=54
108
d= =0.3
360
故答案为：54,0.05,54,0.3
360
（2） ×360°=45°
2880
即扇形图中表示30-35岁的扇形的圆心角是45度；
36+18
（3）关心物价调控或医疗改革的概率是 ×100%=15%
360
（4）所调查的2880人中年龄在36-40岁的人数最多（答案不唯一）
21．（10分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售
空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种
植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收
集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：配送速度和服务质量得分统计表
服务质量得
配送速度得分
分
项目统计量快递公
司
平均 中位 平均 方
数 数 数 差
甲 7.8 m 7 s2
甲
乙 8 8 7 s2
乙
(1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ；
(2)表格中的m＝ ；s2 s2 （填“>”“=”或“<”）；
甲 乙
(3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，
求三家种植户选择同一快递公司的概率．
【答案】(1)72°，见解析
(2)7.5，<
1
(3)
4
【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，计算甲快递公司在配送速度为9的人数可
补全频数直方图，利用圆心角计算公式计算即可．
（2）根据中位数与方差的定义即可求解；
（3）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出A，B，C三家农产品种植户选择
同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法，方差、中位数，直方图．关键是能根据平均数、中位
数、方差的意义对本题进行分析和求概率．【详解】（1）解：根据频数之和等于样本容量，
得甲快递公司在配送速度为9的人数为：10−3−1−1−2=3（人）
补全频数直方图如下：
根据题意，得α=360°×(1−20%−40%−10%−10%)=72°．
（2）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．
一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8，
7+8
故中位数m= =7.5，
2
故答案为：7.5．
(6−7) 2×2+(7−7) 2×3+(8−7) 2×4+(9−7) 2×3+(5−7) 2
根据题意，得s2 =
甲 10
=1．
(4−7) 2+(8−7) 2+(6−7) 2×2+(9−7) 2+(5−7) 2×2+(10−7) 2×2
得s2 =
乙 10
=4.2．
s2
