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专题 24.5 点和圆、直线和圆的位置关系【九大题型】
【人教版】
【题型1 判断点和圆的位置关系】..........................................................................................................................1
【题型2 根据点和圆的位置关系求半径】..............................................................................................................5
【题型3 判断直线和圆的位置关系】......................................................................................................................7
【题型4 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】...................................................................................10
【题型5 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】...............................................................................14
【题型6 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】...........................................................................................17
【题型7 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】.......................................................................................22
【题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离】...............................................................................................27
【题型9 利用直线与圆的位置关系求最值】.......................................................................................................32
【知识点1 点和圆的位置关系】
1. 点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。
2. 用数量关系表示：若设⊙O的半径就是r，点P到圆的距离OP=d，则有：
点P在圆外,则 d＞r；点p在圆上则d=r；点p在圆内则d＜r,反之也成立。
【题型1 判断点和圆的位置关系】
【例1】（2023春·四川自贡·九年级统考期末）在平面直角坐标xOy中，⊙O的半径为5，以下各点在
⊙O内的是（ ）
A．(-2,3) B．(3,-4) C．(-4,-5) D．(5,6)
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出各点到O的距离，再与⊙O的半径5相比较即可．
【详解】解：A、点(-2,3)到O的距离为√22+32=√13<√25=5，则点(-2,3)在⊙O内，本选项符合题
意；
B、点(3,-4)到O的距离为√42+32=5，则点(3,-4)在⊙O上，本选项不符合题意；
C、点(-4,-5)到O的距离为√42+52=√41>√25=5，则点(-4,-5)在⊙O外，本选项不符合题意；D、点(5,6)到O的距离为√62+52=√61>√25=5，则点(5,6)在⊙O外，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
【变式1-1】（2023春·吉林通化·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(2，4)、
C(4，2)．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）点D(3，-1)与⊙M的位置关系为点D在⊙M （填内、外、上）．
【答案】 (1，1) √10 内
【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点M，点M即为所求；
（2）根据点M的位置写出坐标即可，利用勾股定理求出半径；
（3）根据点与圆的位置关系判断即可．
【详解】解：（1）如图，
∵点M是线段AB，BC的垂直平分线的交点，
∴MA=MB=MC，
∴点M是经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，
∴点M(1，1)即为所求．故答案为：(1，1)．
（2）∵M(1，1)，点A在⊙M上，
∴MA=√12+32=√10．
故答案为：√10．
（3）∵D(3，-1)，M(1，1)，
∴MD=√(3-1) 2+(-1-1) 2=2√2，
∵2√2<√10，
∴MD6,
∴点B、C都在⊙P外；故B、C选项都不符合题意；∵DP=2<6，
∴点D在⊙P内，故D选项不符合题意，
故选：A．
【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形三线合一
的性质，熟记点与圆的位置关系是解题的关键．
【题型2 根据点和圆的位置关系求半径】
【例2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）在同一平面上，⊙O外有一点P到圆上的最大距离是
8cm，最小距离为2cm，则⊙O的半径为 cm．
【答案】5或3
【分析】分点P在圆内或圆外进行讨论．
【详解】解：①当点P在圆内时，⊙O的直径长为8+2=10（cm），半径为5cm；
②当点P在圆外时，⊙O的直径长为8-2=6（cm），半径为3cm；
综上所述：⊙O的半径长为 5cm或3cm．
故答案为：5或3．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点
到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
【变式2-1】（2023春·浙江宁波·九年级校考期中）已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为
（ ）
A．2cm B．4cm C．5cm D．8cm
【答案】B
【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解即可．
【详解】解：∵⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，
∴OP=4cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外时，d>r；点P在圆上时，d=r；点P在圆内时，d3，
又⊙A与直线CD相离，圆心A到CD的距离为AD=4，
∴r<4，则当半径r的取值范围为33，即r>d，直线与圆相交，
故答案为：相交或相切
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解以及直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握一元二次方程的求
解以及直线与圆的位置关系．
【变式3-2】（2023春·全国·九年级专题练习）已知⊙O的直径为12，点O到直线l上一点的距离为2√10，
则直线l与⊙O的位置关系（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】D
【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径之间的大小关系，判断直线与圆的位置关系即可．
【详解】解：∵⊙O的直径为12，
∴⊙O的半径为6，
∵点O到直线l上一点的距离为2√10，无法确定点O到直线l的距离，
∴不能确定直线l与⊙O的位置关系，
故选D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离与圆半径之间的大小关系，判断直线
与圆的位置关系，是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图所示，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过
O作EF∥AB，交BC于E，交AD于F，则以点B为圆心，√2为半径的圆与直线AC，EF的位置关系分
别是什么？【答案】见解析
【分析】求点B到AC的距离，即BO，可知与⊙B的半径相等，故圆与直线AC相切；点B到EF的距离
BE<√2，小于⊙B的半径，故圆与直线EF相交.
1 1
【详解】由题中已知条件，得BO⊥AC，BO= BD= √BC2+CD2=√2，
2 2
即点B到AC的距离为√2，与⊙B的半径相等，
∴直线AC与⊙B相切．
∵EF∥AB，∠ABC=90°，
1 1
∴BE⊥EF，垂足为E，且BE= BC= ×2=1<√2，
2 2
∴直线EF与⊙B相交．
【点睛】本题考查正方形的性质，直线与圆的位置关系判定，根据点到直线的距离与半径的大小关系判定
直线与圆的位置关系是解题的关键．
【题型4 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】
【例4】（2023春·九年级课前预习）在平面直角坐标系中，以点A(4,3)为圆心、以R为半径作圆A与x轴
相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（ ）
A．03，
∴33，
∴r =7+2√6应舍去，
2
故答案为：0 √2
【答案】B
【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交，相切时，设切点为C，连接OC，根据等腰直
角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是√2，所以x的取值范围是0≤x≤√2．
【详解】解：设切点为C，连接OC，则
圆的半径OC=1，OC⊥PC，
∵∠AOB=45°，OA∥PC，
∴∠OPC=45°，
∴PC=OC=1，
∴OP=√2，
同理，原点左侧的距离也是√2，且线段是正数所以x的取值范围是0≤x≤√2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是求出相
切的时候的x值，即可分析出x的取值范围．
【变式5-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，⊙O的半径是3，点A在⊙O上，点P是⊙O所在
平面内一点，且AP=2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为 ；
（2）若点M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ．
【答案】 5 √5
【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，
∵l⊥PA，
∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大，
最大值为AO+AP=3+2=5；
（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，线段MN是⊙O的直径，
∵l⊥PA，
∴∠APO=90°，
∵AP=2，OA=3，
∴OP=√OA2-PA2=√5，
故答案为：5，√5．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
【题型6 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】
【例6】（2023春·全国·九年级统考期末）已知，Rt△ABC中，∠C=90∘，斜边AB上的高为5cm，以
点C为圆心，4.8为半径的圆与该直线AB的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直
线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【详解】解：∵5cm＞4.8cm，
∴d> r.
∴圆与该直线AB的位置关系是相离，交点个数为0，
故选A．
【点睛】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，关键是掌握d与r的大小关系所决定的直线与圆
的位置关系．
【变式6-1】（2023春·九年级课时练习）在Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，以A为圆心，
4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为 个．
【答案】1
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断，若dr，则直线与圆相离．
【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴BC=10，
AB⋅AC
∴斜边上的高为： =4.8，
BC
∴d=r=4.8，
∴圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1．
故答案为：1．
【点睛】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，难度一般，关键是掌握d与r的大小关系所决定的
直线与圆的位置关系．
【变式6-2】（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC
＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
【答案】C
【分析】过O作OD⊥OA于D，求出CD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可．
【详解】解：过O作OD⊥OA于D，
∵∠AOB＝30°，OC＝6，
1
∴OD＝ OC＝3＜4，
2
∴以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为2个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查直线与圆的公共点个数，会判断直线与圆的位置关系是解题的关键.
【变式6-3】（2023春·江苏镇江·九年级统考期中）如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=8，
∠ABC=60°．点P是射线BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O．(1)当DC与△PAB的外接圆⊙O相切时，求⊙O的半径；
(2)直接写出⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数及对应的BP长的取值范围．
13√3
【答案】(1)
6
(2)当08时，点
D在⊙O的内部，⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数为2个．
【分析】（1）取BC的中点M，连接AM，证明△ABM是等边三角形，得出∠BAC=90°，
AC=√BC2-AB2=4√3，依题意O点在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线交DC的延长线于点E，
交AB于点F，连接OB,OP，在Rt△AOF中勾股定理即可求解；
（2）分特殊点讨论，①当⊙O与AD相切时，②②当⊙O经过点D时，分别求得BP的长，结合图形即可
求解．
【详解】（1）解：如图，取BC的中点M，连接AM，
∵AB=4，BC=8，∠ABC=60°．
1
∴BM= BC=4，
2
∴AB=BM=4，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠BAM=∠AMC=60°，
又∵AM=MC=4，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠BAC=90°，
∴AC=√BC2-AB2=4√3设⊙O的半径为r，
∵点P是射线BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O．
∴O点在AB的垂直平分线上，
∴OA=OB=OP=r
如图，作AB的垂直平分线交DC的延长线于点E，交AB于点F，连接OB,OP
∴DC⊥EF
∴四边形EFAC是矩形，
∴EF=AC=4√3，
当⊙O经过点E时，CD是⊙O的切线，
1
在Rt△AOF中，AF= AB=2，AO=r，OF=EF-OE=4√3-r
2
∵AO2=AF2+OF2
∴r2=22+(4√3-r) 2
13√3
解得：r=
6
（2）解：①如图，当⊙O与AD相切时，⊙O与ABCD有3个交点，
此时AO⊥BC，根据对称性可知∠APB=∠ABP=60°
∴△ABP是等边三角形，
∴BP=AB=4
即当08时，点D在⊙O的内部，⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数为2个；
综上所述，当08时，点D在⊙O的内部，⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数为2个．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，垂径定以及垂径定理的推论，三角形的外心，勾股定理，平行四
边形的性质，直线与圆的位置关系，分类讨论是解题的关键．
【题型7 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】
【例7】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半
径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，开始时，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，
那么当⊙P的运动时间t（s）为 时，⊙P与直线CD相切．
【答案】4或8
【分析】利用⊙P的圆心在直线AB上，分别得出⊙P在O点左边和右边两种情况，并根据直角三角形的性质即可计算出结果．
【详解】解解：当点P在射线OA上时⊙P与CD相切，如图
过P作PE⊥CD与E，
∴PE＝1cm，
∵∠AOC＝30°，
∴OP＝2PE＝2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6−2）cm后与CD相切，
6-2
∴⊙P移动所用的时间t＝ ＝4（秒）；
1
当点P在射线OB时⊙P与CD相切，
如图，过P作PF⊥CD与F，
∴PF＝1cm，
∵∠AOC＝∠DOB＝30°，
∴OP＝2PF＝2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6＋2）cm后与CD相切，
6+2
∴⊙P移动所用的时间t＝ ＝8（秒）．
1
综上所述，t＝4秒或8秒．
故答案为：4或8．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合的思想并能利用直角三角形的性质得出结论是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·山东临沂·九年级统考期中）如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，
且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm
【答案】D
【详解】试题分析：连接OA，如图：
1
∵OH⊥AB，AB=8cm，∴AH= AB=4cm，∵OA=OC=5cm，∴由勾股定理可得OH=3cm，∴当直线向下
2
平移到点H与点C重合时，直线与圆相切，∴CH=OC-OH=2cm；同理：当直线向上平移到与圆相切时，
平移的距离=5+3=8cm，所以直线在原有位置移动2cm或8cm后与圆相切，故选D．
考点：垂径定理、勾股定理、直线与圆的位置关系．
【变式7-2】（2023春·天津宝坻·九年级校联考期末）如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为
1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动．
（Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系．
（Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围
【答案】相切;1cm＜d＜5cm
【详解】试题分析：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm，作O′C⊥PA于C，
∵∠P=30度，
1
∴O′C= PO′=1cm，
2
∵圆的半径为1cm，
∴⊙O与直线PA的位置关系是相切；
（2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交，
当移动到C″时，相切，
此时C″P=PO′=2，
∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交
考点：直线与圆的位置关系．
【变式7-3】（2023·天津·九年级统考期中）如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，
OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心O平移的距离为 cm．
【答案】1或5
【分析】首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm，即
可求得O′P的长，继而求得答案．
【详解】解：有两种情况：（1）如图1,当O平移到O′位置时，O与PA相切时，且切点为C，
连接O′C,则O′C⊥PA，即∠O′CP=90°，
∵∠APB=30°,O′C=1cm，
∴O′P=2O′C=2cm，
∵OP=3cm，
∴OO′=OP−O′P=1(cm).
（2）如图2，同理可得：O′P=2cm，
∴O′O=5cm.
故答案为1或5.
【点睛】本题主考考查圆与直线相切. 本题要应用分类讨论思想分别画出⊙O 与直线PA相切时的图形，
利用切线性质即可求出答案.
【题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离】
【例8】（2010·四川南充·中考真题）如图，直线l ∥l ，⊙O与l 和l 分别相切于点A和点B．点M和点
1 2 1 2
N分别是l 和l 上的动点，MN沿l 和l 平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（ ）．
1 2 1 2
4√3
A．MN= B．若MN与⊙O相切，则AM=√3
3C．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切D．l 和l 的距离为2
1 2
【答案】B
【分析】根据直线与圆的相关知识，逐一判断．
4√3
【详解】解：A、平移MN使点B与N重合，∠1=60°，AB=2，解直角三角形得MN= ，正确；
3
√3
B、当MN与圆相切时，M，N在AB左侧以及M，N在A，B右侧时，AM=√3或 ，错误；
3
C、若∠MON=90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，故CO=NO，
△MON≌△MOC，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径．正确；
D、l ∥l ，两平行线之间的距离为线段AB的长，即直径AB=2，正确．
1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆相切的判断方法和性质，全等三角形的判定及性质，平行线间的距离，熟练
掌握直线与圆相切的判断方法和性质是解题的关键．
3
【变式8-1】（2023春·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，直线y= x+b（b>0）与x轴、y轴交于点A、
4
B，在直线AB上取一点C，过点C作x轴的垂线，垂足为E，若点E（4，0）．
（1）若EC=BC，求b的值；
（2）在（1）的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，以点P
1
为圆心，作半径为 的圆，动点Q从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点Q
2
作直线l垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运动，问经过多少秒后，直线l和⊙P相切．5 25 85
【答案】（1）b=2；（2）t= 或 或 .
2 6 18
【分析】（1）作出辅助线,求出点B、C坐标代入解析式即可求解,
（2）分类讨论,利用圆心到切线的距离等于半径即可解题.
【详解】作BH⊥CE.∵E（4,0）,
3
∴OE=BH=4,把x=4代入y= x+b=3+b,∴CE=3+b.∵B(0,b),∴EH=OB=b,CH=3.在Rt△BCH中,BC=5=CE,∴C
4
3
（4,5）代入y= x+b,得b=2
4
4
（2）设点P到直线l的距离为d.作PH⊥y轴于点H,则PH= t.
5
4 1 1 1 5
①当0 ,舍去.（第3种情况酌情给分,舍去的
5 2 2 5 2
理由合情描述即可）
5 25 85
综上所述,t= 或 或 .
2 6 18
【点睛】本题考查求解一次函数参数,直线与圆的位置关系,分类讨论是解题关键.
【变式8-2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与
x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是( )
A．-1≤x≤1 B．-√2≤x≤√2 C．-√2
