专题 24.5 点和圆、直线和圆的位置关系【九大题型】
【人教版】
【题型1 判断点和圆的位置关系】..........................................................................................................................1
【题型2 根据点和圆的位置关系求半径】..............................................................................................................5
【题型3 判断直线和圆的位置关系】......................................................................................................................7
【题型4 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】...................................................................................10
【题型5 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】...............................................................................14
【题型6 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】...........................................................................................17
【题型7 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】.......................................................................................22
【题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离】...............................................................................................27
【题型9 利用直线与圆的位置关系求最值】.......................................................................................................32
【知识点1 点和圆的位置关系】
1. 点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。
2. 用数量关系表示：若设⊙O的半径就是r，点P到圆的距离OP=d，则有：
点P在圆外,则 d＞r；点p在圆上则d=r；点p在圆内则d＜r,反之也成立。
【题型1 判断点和圆的位置关系】
【例1】（2023春·四川自贡·九年级统考期末）在平面直角坐标xOy中，⊙O的半径为5，以下各点在
⊙O内的是（ ）
A．(-2,3) B．(3,-4) C．(-4,-5) D．(5,6)
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出各点到O的距离，再与⊙O的半径5相比较即可．
【详解】解：A、点(-2,3)到O的距离为√22+32=√13<√25=5，则点(-2,3)在⊙O内，本选项符合题
意；
B、点(3,-4)到O的距离为√42+32=5，则点(3,-4)在⊙O上，本选项不符合题意；
C、点(-4,-5)到O的距离为√42+52=√41>√25=5，则点(-4,-5)在⊙O外，本选项不符合题意；D、点(5,6)到O的距离为√62+52=√61>√25=5，则点(5,6)在⊙O外，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
【变式1-1】（2023春·吉林通化·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(2，4)、
C(4，2)．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）点D(3，-1)与⊙M的位置关系为点D在⊙M （填内、外、上）．
【答案】 (1，1) √10 内
【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点M，点M即为所求；
（2）根据点M的位置写出坐标即可，利用勾股定理求出半径；
（3）根据点与圆的位置关系判断即可．
【详解】解：（1）如图，
∵点M是线段AB，BC的垂直平分线的交点，
∴MA=MB=MC，
∴点M是经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，
∴点M(1，1)即为所求．故答案为：(1，1)．
（2）∵M(1，1)，点A在⊙M上，
∴MA=√12+32=√10．
故答案为：√10．
（3）∵D(3，-1)，M(1，1)，
∴MD=√(3-1) 2+(-1-1) 2=2√2，
∵2√2<√10，
∴MD<MA，
∴点D(3，-1)在⊙M的内部．
故答案为：内．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，坐标与图形的性质，垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，三角
形的外接圆与外心等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．
【变式1-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程
x2-4x-5=0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的内部 B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部
【答案】A
【分析】解一元二次方程根据点与圆的关系直接判定即可得到答案．
【详解】解：解方程可得，
x =5，x =-1，
1 2
∵点P到圆心O的距离d为方程x2-4x-5=0的一个根，
∴d=5<8，∴点P在⊙O的内部，
故选A．
【点睛】本题考查解一元二次方程及点与圆的关系，解题的关键是正确解方程及掌握点到圆心距离与圆半
径关系判断点与圆的关系．
【变式1-3】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，△ABC中，
AB=AC=10cm,BC=12cm,AD⊥BC于点D，点P为AD上的点，DP=2，以点P为圆心6cm为半径
画圆，下列说法错误的是（ ）
A．点A在⊙P外 B．点B在⊙P外
C．点C在⊙P外 D．点D在⊙P内
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质求出BD=CD=6cm，利用勾股定理求出AD，得到AP的长，即可判断点A
与⊙P的位置关系；利用勾股定理求出BP、CP，即可判断点B、C与⊙P的位置关系，由DP即可判断点
D与⊙P位置关系．
【详解】解：∵AB=AC=10cm,BC=12cm,AD⊥BC，
∴BD=CD=6cm，∠ADC=90°，
∴AD=√AC2-CD2=√102-62=8cm，
∵DP=2cm，
∴AP=6cm，
∴点A在⊙P上；故A选项符合题意；
连接BP、CP，
∵AB=AC,AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP=√CD2+PD2=√62+22=2√10>6,
∴点B、C都在⊙P外；故B、C选项都不符合题意；∵DP=2<6，
∴点D在⊙P内，故D选项不符合题意，
故选：A．
【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形三线合一
的性质，熟记点与圆的位置关系是解题的关键．
【题型2 根据点和圆的位置关系求半径】
【例2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）在同一平面上，⊙O外有一点P到圆上的最大距离是
8cm，最小距离为2cm，则⊙O的半径为 cm．
【答案】5或3
【分析】分点P在圆内或圆外进行讨论．
【详解】解：①当点P在圆内时，⊙O的直径长为8+2=10（cm），半径为5cm；
②当点P在圆外时，⊙O的直径长为8-2=6（cm），半径为3cm；
综上所述：⊙O的半径长为 5cm或3cm．
故答案为：5或3．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点
到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
【变式2-1】（2023春·浙江宁波·九年级校考期中）已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为
（ ）
A．2cm B．4cm C．5cm D．8cm
【答案】B
【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解即可．
【详解】解：∵⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，
∴OP=4cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外时，d>r；点P在圆上时，d=r；点P在圆内时，d<r．
【变式2-2】（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知⊙O的圆心与坐标原点重合，半径为r，若点
A(2,0)在⊙O内，点P(2,2)在⊙O外，则r的取值范围是 ．
【答案】2<r<2√2
【分析】由题意知，OA=2，OP=√(2-0) 2+(2-0) 2=2√2，由点A(2,0)在⊙O内，点P(2,2)在⊙O外，
可得2<r<2√2．
【详解】解：由题意知，OA=2，OP=√(2-0) 2+(2-0) 2=2√2，
∵点A(2,0)在⊙O内，点P(2,2)在⊙O外，
∴2<r<2√2，
故答案为：2<r<2√2．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式2-3】（2023春·九年级单元测试）如图，矩形ABCD中AB=3，AD=4.作DE⊥AC于点E，作
AF⊥BD于点F．
(1)求AF、AE的长；
(2)若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A
的半径r的取值范围．
12 16
【答案】(1)AF= ，AE=
5 5
(2)2.4<r<4
3×4 12
【分析】（1）根据勾股定理求出AC=BD=√32+42=5，根据等积法求出AF= = ，根据勾股定
5 5
理求出AE=
√
42-
(12) 2
=
16
；
5 5（2）根据AF<AB<AE<AD<AC，结合点与圆的位置关系进行判断即可．
【详解】（1）解：∵矩形ABCD中AB=3，AD=4，
∴AC=BD=√32+42=5，
1 1
∵ AF⋅BD= AB⋅AD，
2 2
3×4 12
∴AF= = ，
5 5
12
同理可得：DE= ，
5
在Rt△ADE中，AE=
√
42-
(12) 2
=
16
；
5 5
（2）解：∵AF<AB<AE<AD<AC，
∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在
圆内，点D、C在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围为2.4<r<4．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是
熟练掌握点与圆的位置关系．
【知识点2 直线和圆的位置关系】
1. 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。
2. 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示:
若设⊙O的半径就是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交则d ＜ r； 直线l与⊙O相切则 d = r；直线l与⊙O相离则d ＞ r,反之也成立。
【题型3 判断直线和圆的位置关系】
【例3】（2023春·九年级课时练习）已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点A为圆心，r为半径作
⊙A，
(1)当半径r为何值时，⊙A与直线BC相切；
(2)当半径r为何值时，⊙A与直线BD相切；(3)当半径r的取值范围为何值时，⊙A与直线BC相交且与直线CD相离．
【答案】(1)当半径r为3时，⊙A与直线BC相切
(2)当半径r为2.4时，⊙A与直线BD相切
(3)当半径r的取值范围为3<r<4时，⊙A与直线BC相交且与直线CD相离
【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可；
（2）连接BD，过点A作AE⊥BD，等积法求出AE的长，即为所求；
（3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=90°，
∴AB⊥BC，AD⊥DC，
∵圆心A到BC边的距离为AB=3，⊙A与直线BC相切，
∴r=AB=3，
则当半径r为3时，⊙A与直线BC相切；
（2）连接BD，过A作AE⊥BD，交BD于点E，
∵在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，
∴BD=√AB2+AD2=5，
1 1
又∵S = BD⋅AE= AB⋅AD，
△ABD 2 2
12
∴圆心A到BD边的距离AE= =2.4，
5
又⊙A与直线BD相切，
∴r=AE=2.4，则当半径r为2.4时，⊙A与直线BD相切；
（3）∵⊙A与直线BC相交，圆心A到BC边的距离为AB=3，
∴r>3，
又⊙A与直线CD相离，圆心A到CD的距离为AD=4，
∴r<4，则当半径r的取值范围为3<r<4时，⊙A与直线BC相交且与直线CD相离．
【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小
于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·九年级课时练习）已知⊙O的半径是一元二次方程x2-7x+12=0的一个根，圆心
O到直线l的距离d=3，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
【答案】相交或相切
【分析】利用因式分解法求得一元二次方程的两个根，再根据直线与圆的位置关系求解即可．
【详解】解：由x2-7x+12=0可得(x-3)(x-4)=0
解得x =3，x =4
1 2
即⊙O的半径是3或4
当⊙O的半径是3时，3=3，即r=d，直线与圆相切，
当⊙O的半径是4时，4>3，即r>d，直线与圆相交，
故答案为：相交或相切
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解以及直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握一元二次方程的求
解以及直线与圆的位置关系．
【变式3-2】（2023春·全国·九年级专题练习）已知⊙O的直径为12，点O到直线l上一点的距离为2√10，
则直线l与⊙O的位置关系（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】D
【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径之间的大小关系，判断直线与圆的位置关系即可．
【详解】解：∵⊙O的直径为12，
∴⊙O的半径为6，
∵点O到直线l上一点的距离为2√10，无法确定点O到直线l的距离，
∴不能确定直线l与⊙O的位置关系，
故选D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离与圆半径之间的大小关系，判断直线
与圆的位置关系，是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图所示，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过
O作EF∥AB，交BC于E，交AD于F，则以点B为圆心，√2为半径的圆与直线AC，EF的位置关系分
别是什么？【答案】见解析
【分析】求点B到AC的距离，即BO，可知与⊙B的半径相等，故圆与直线AC相切；点B到EF的距离
BE<√2，小于⊙B的半径，故圆与直线EF相交.
1 1
【详解】由题中已知条件，得BO⊥AC，BO= BD= √BC2+CD2=√2，
2 2
即点B到AC的距离为√2，与⊙B的半径相等，
∴直线AC与⊙B相切．
∵EF∥AB，∠ABC=90°，
1 1
∴BE⊥EF，垂足为E，且BE= BC= ×2=1<√2，
2 2
∴直线EF与⊙B相交．
【点睛】本题考查正方形的性质，直线与圆的位置关系判定，根据点到直线的距离与半径的大小关系判定
直线与圆的位置关系是解题的关键．
【题型4 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】
【例4】（2023春·九年级课前预习）在平面直角坐标系中，以点A(4,3)为圆心、以R为半径作圆A与x轴
相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（ ）
A．0<R<5 B．3<R<4 C．3<R<5 D．4<R<5
【答案】C
【分析】分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R的取值范围．
【详解】解：∵A(4,3)，
∴OA=√32+42=5，
∵原点O在圆A的外部，
∴R<OA，即R<5，
∵圆A与x轴相交，
∴R>3，
∴3<R<5，故选C．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与
圆的位置关系是解此题的关键．
【变式4-1】（2023春·全国·九年级专题练习）对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此
矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩
形ABCD的顶点A的坐标为(4,6)，顶点C、D在x轴上，且OC=OD．若矩形ABCD的“等距圆” ⊙P
始终在矩形内部（含边界），则⊙P的半径r的取值范围是 ．
【答案】0<r≤7-2√6
【分析】先确定最大圆的位置，再根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD的顶点A的坐标为(4,6)，顶点C、D在x轴上，且OC=OD．
∴它的中心E点坐标为(0,3)，如图，
∴经过点E且在矩形内部（含边界）的最大圆为过点E且和AD，CD相切的圆P，
设切点分别为G，H，如图，
连接PG，PH，PE，过点P作PF⊥y轴于点F，设⊙P的半径为r，
则PG=PH=PE=r，PF=4-r，EF=3-r，
在Rt△PEF中，
∵PE2=EF2+PF2，
∴r2=(3-r) 2+(4-r) 2，
解得r =7-2√6，r =7+2√6，
1 2由题意，r<3，而7+2√6>3，
∴r =7+2√6应舍去，
2
故答案为：0<r≤7-2√6．
【点睛】本题考查矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，一元二次方程的解法，解题的关键是确
定出最大圆的位置，利用勾股定理解答．
【变式4-2】（2023春·上海徐汇·九年级统考期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，
AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的 O，与边AD只有一个公共点，则OC
的取值范围是（ ） ⊙
13 13 14 14
A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC≤ D．4≤OC≤
3 3 3 3
【答案】B
【分析】作DE⊥BC于E，当⊙O与边AD相切时，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与
13
AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC＝
3
；即可得出结论．
【详解】作DE⊥BC于E，如图所示：
则DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，
∴CE＝4＝DE，
当⊙O与边AD相切时，切点为D，圆心O与E重合，即OC＝4；
当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，
设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，
13
解得：x＝ ；
3
13
∴以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是4≤x≤ ；
3
故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角梯形的性质，
分情况讨论是解题的关键．
【变式4-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
AB=5，BC=12．分别以点O、D为圆心画圆，如果⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与
⊙O内切，那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ）
1 5 25
A． <r<4 B． <r<6 C．9<r< D．9<r<13
2 2 2
【答案】C
【分析】过点O作OE⊥AD，勾股定理求得BD=13，进而根据平行线分线段成比例得出
1 1
OE= AB,OF= AD，根据题意，画出相应的图形，即可求解．
2 2
【详解】解：如图所示，当圆O与AD相切时，过点O作OE⊥AD，
∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，BC=12．
∴AD⊥CD，CD=AB=5，AD=BC=12，BD=√AB2+AD2=13，
∴OE∥DC
1 5
∴OE= AB= ，
2 2
5 13 5
则r=OD+ = + =9；
2 2 2当圆O与CD相切时，过点O作OF⊥CD于点F，如图所示，
1
则OF= AD=6
2
13 25
则r= +6=
2 2
25
∴⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切时，9<r< ，
2
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置
关系，根据题意画出图形是解题的关键．
【题型5 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】
【例5】（2023·河北唐山·统考一模）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，
且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为 ；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ．【答案】 7 √21
【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）如图1，∵l⊥PA，
∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，
最大值为AO+AP＝5+2＝7；
（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，
线段MN是⊙O的直径，
∵l⊥PA，
∴∠APO＝90°，
∵AP＝2，OA＝5，
∴OP＝√OA2-PA2＝√21，
故答案为7, √21
【点睛】此题主要考查点到直线的距离以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
【变式5-1】（2023春·全国·九年级专题练习）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2个公共点，则点O
到直线l的距离可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】A
【分析】根据题意得点O到直线l的距离小于圆的半径，即可解答．【详解】∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2个公共点，
∴点O到直线l的距离0≤d<5．
故选：A．
【点睛】本题考查了点、直线、圆的位置关系．熟练掌握直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，
是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，已知⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为1的圆，
∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取
值范围是（ ）
A．-√2 ≤ x ≤ √2 B．0 ≤ x ≤ √2
C．-1 ≤ x ≤ 1 D．x > √2
【答案】B
【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交，相切时，设切点为C，连接OC，根据等腰直
角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是√2，所以x的取值范围是0≤x≤√2．
【详解】解：设切点为C，连接OC，则
圆的半径OC=1，OC⊥PC，
∵∠AOB=45°，OA∥PC，
∴∠OPC=45°，
∴PC=OC=1，
∴OP=√2，
同理，原点左侧的距离也是√2，且线段是正数所以x的取值范围是0≤x≤√2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是求出相
切的时候的x值，即可分析出x的取值范围．
【变式5-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，⊙O的半径是3，点A在⊙O上，点P是⊙O所在
平面内一点，且AP=2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为 ；
（2）若点M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ．
【答案】 5 √5
【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，
∵l⊥PA，
∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大，
最大值为AO+AP=3+2=5；
（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，线段MN是⊙O的直径，
∵l⊥PA，
∴∠APO=90°，
∵AP=2，OA=3，
∴OP=√OA2-PA2=√5，
故答案为：5，√5．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
【题型6 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】
【例6】（2023春·全国·九年级统考期末）已知，Rt△ABC中，∠C=90∘，斜边AB上的高为5cm，以
点C为圆心，4.8为半径的圆与该直线AB的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直
线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【详解】解：∵5cm＞4.8cm，
∴d> r.
∴圆与该直线AB的位置关系是相离，交点个数为0，
故选A．
【点睛】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，关键是掌握d与r的大小关系所决定的直线与圆
的位置关系．
【变式6-1】（2023春·九年级课时练习）在Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，以A为圆心，
4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为 个．
【答案】1
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断，若d<r，则直线与圆相交，若d=r，则直线于圆相切，若d>r，则直线与圆相离．
【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴BC=10，
AB⋅AC
∴斜边上的高为： =4.8，
BC
∴d=r=4.8，
∴圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1．
故答案为：1．
【点睛】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，难度一般，关键是掌握d与r的大小关系所决定的
直线与圆的位置关系．
【变式6-2】（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC
＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
【答案】C
【分析】过O作OD⊥OA于D，求出CD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可．
【详解】解：过O作OD⊥OA于D，
∵∠AOB＝30°，OC＝6，
1
∴OD＝ OC＝3＜4，
2
∴以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为2个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查直线与圆的公共点个数，会判断直线与圆的位置关系是解题的关键.
【变式6-3】（2023春·江苏镇江·九年级统考期中）如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=8，
∠ABC=60°．点P是射线BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O．(1)当DC与△PAB的外接圆⊙O相切时，求⊙O的半径；
(2)直接写出⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数及对应的BP长的取值范围．
13√3
【答案】(1)
6
(2)当0<BP≤4时，⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数为3个；当4<BP<8时，⊙O与▱ABCD的
边的公共点的个数为4个；当BP=8时，⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数为3个；当BP>8时，点
D在⊙O的内部，⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数为2个．
【分析】（1）取BC的中点M，连接AM，证明△ABM是等边三角形，得出∠BAC=90°，
AC=√BC2-AB2=4√3，依题意O点在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线交DC的延长线于点E，
交AB于点F，连接OB,OP，在Rt△AOF中勾股定理即可求解；
（2）分特殊点讨论，①当⊙O与AD相切时，②②当⊙O经过点D时，分别求得BP的长，结合图形即可
求解．
【详解】（1）解：如图，取BC的中点M，连接AM，
∵AB=4，BC=8，∠ABC=60°．
1
∴BM= BC=4，
2
∴AB=BM=4，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠BAM=∠AMC=60°，
又∵AM=MC=4，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠BAC=90°，
∴AC=√BC2-AB2=4√3设⊙O的半径为r，
∵点P是射线BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O．
∴O点在AB的垂直平分线上，
∴OA=OB=OP=r
如图，作AB的垂直平分线交DC的延长线于点E，交AB于点F，连接OB,OP
∴DC⊥EF
∴四边形EFAC是矩形，
∴EF=AC=4√3，
当⊙O经过点E时，CD是⊙O的切线，
1
在Rt△AOF中，AF= AB=2，AO=r，OF=EF-OE=4√3-r
2
∵AO2=AF2+OF2
∴r2=22+(4√3-r) 2
13√3
解得：r=
6
（2）解：①如图，当⊙O与AD相切时，⊙O与ABCD有3个交点，
此时AO⊥BC，根据对称性可知∠APB=∠ABP=60°
∴△ABP是等边三角形，
∴BP=AB=4
即当0<BP≤4时，⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数为3个；
②当⊙O经过点D时，如图，连接PD，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC
∴DP=AB=4
又∠ABC=60°
∴△DCP是等边三角形
∴CP=4
∴BP=8 +4=12
∴当4<BP<8时，⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数为4个；
当BP=8时，⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数为3个；当BP>8时，点D在⊙O的内部，⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数为2个；
综上所述，当0<BP≤4时，⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数为3个；
当4<BP<8时，⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数为4个；
当BP=8时，⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数为3个；
当BP>8时，点D在⊙O的内部，⊙O与▱ABCD的边的公共点的个数为2个．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，垂径定以及垂径定理的推论，三角形的外心，勾股定理，平行四
边形的性质，直线与圆的位置关系，分类讨论是解题的关键．
【题型7 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】
【例7】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半
径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，开始时，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，
那么当⊙P的运动时间t（s）为 时，⊙P与直线CD相切．
【答案】4或8
【分析】利用⊙P的圆心在直线AB上，分别得出⊙P在O点左边和右边两种情况，并根据直角三角形的性质即可计算出结果．
【详解】解解：当点P在射线OA上时⊙P与CD相切，如图
过P作PE⊥CD与E，
∴PE＝1cm，
∵∠AOC＝30°，
∴OP＝2PE＝2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6−2）cm后与CD相切，
6-2
∴⊙P移动所用的时间t＝ ＝4（秒）；
1
当点P在射线OB时⊙P与CD相切，
如图，过P作PF⊥CD与F，
∴PF＝1cm，
∵∠AOC＝∠DOB＝30°，
∴OP＝2PF＝2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6＋2）cm后与CD相切，
6+2
∴⊙P移动所用的时间t＝ ＝8（秒）．
1
综上所述，t＝4秒或8秒．
故答案为：4或8．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合的思想并能利用直角三角形的性质得出结论是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·山东临沂·九年级统考期中）如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，
且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm
【答案】D
【详解】试题分析：连接OA，如图：
1
∵OH⊥AB，AB=8cm，∴AH= AB=4cm，∵OA=OC=5cm，∴由勾股定理可得OH=3cm，∴当直线向下
2
平移到点H与点C重合时，直线与圆相切，∴CH=OC-OH=2cm；同理：当直线向上平移到与圆相切时，
平移的距离=5+3=8cm，所以直线在原有位置移动2cm或8cm后与圆相切，故选D．
考点：垂径定理、勾股定理、直线与圆的位置关系．
【变式7-2】（2023春·天津宝坻·九年级校联考期末）如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为
1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动．
（Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系．
（Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围
【答案】相切;1cm＜d＜5cm
【详解】试题分析：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm，作O′C⊥PA于C，
∵∠P=30度，
1
∴O′C= PO′=1cm，
2
∵圆的半径为1cm，
∴⊙O与直线PA的位置关系是相切；
（2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交，
当移动到C″时，相切，
此时C″P=PO′=2，
∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交
考点：直线与圆的位置关系．
【变式7-3】（2023·天津·九年级统考期中）如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，
OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心O平移的距离为 cm．
【答案】1或5
【分析】首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm，即
可求得O′P的长，继而求得答案．
【详解】解：有两种情况：（1）如图1,当O平移到O′位置时，O与PA相切时，且切点为C，
连接O′C,则O′C⊥PA，即∠O′CP=90°，
∵∠APB=30°,O′C=1cm，
∴O′P=2O′C=2cm，
∵OP=3cm，
∴OO′=OP−O′P=1(cm).
（2）如图2，同理可得：O′P=2cm，
∴O′O=5cm.
故答案为1或5.
【点睛】本题主考考查圆与直线相切. 本题要应用分类讨论思想分别画出⊙O 与直线PA相切时的图形，
利用切线性质即可求出答案.
【题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离】
【例8】（2010·四川南充·中考真题）如图，直线l ∥l ，⊙O与l 和l 分别相切于点A和点B．点M和点
1 2 1 2
N分别是l 和l 上的动点，MN沿l 和l 平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（ ）．
1 2 1 2
4√3
A．MN= B．若MN与⊙O相切，则AM=√3
3C．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切D．l 和l 的距离为2
1 2
【答案】B
【分析】根据直线与圆的相关知识，逐一判断．
4√3
【详解】解：A、平移MN使点B与N重合，∠1=60°，AB=2，解直角三角形得MN= ，正确；
3
√3
B、当MN与圆相切时，M，N在AB左侧以及M，N在A，B右侧时，AM=√3或 ，错误；
3
C、若∠MON=90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，故CO=NO，
△MON≌△MOC，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径．正确；
D、l ∥l ，两平行线之间的距离为线段AB的长，即直径AB=2，正确．
1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆相切的判断方法和性质，全等三角形的判定及性质，平行线间的距离，熟练
掌握直线与圆相切的判断方法和性质是解题的关键．
3
【变式8-1】（2023春·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，直线y= x+b（b>0）与x轴、y轴交于点A、
4
B，在直线AB上取一点C，过点C作x轴的垂线，垂足为E，若点E（4，0）．
（1）若EC=BC，求b的值；
（2）在（1）的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，以点P
1
为圆心，作半径为 的圆，动点Q从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点Q
2
作直线l垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运动，问经过多少秒后，直线l和⊙P相切．5 25 85
【答案】（1）b=2；（2）t= 或 或 .
2 6 18
【分析】（1）作出辅助线,求出点B、C坐标代入解析式即可求解,
（2）分类讨论,利用圆心到切线的距离等于半径即可解题.
【详解】作BH⊥CE.∵E（4,0）,
3
∴OE=BH=4,把x=4代入y= x+b=3+b,∴CE=3+b.∵B(0,b),∴EH=OB=b,CH=3.在Rt△BCH中,BC=5=CE,∴C
4
3
（4,5）代入y= x+b,得b=2
4
4
（2）设点P到直线l的距离为d.作PH⊥y轴于点H,则PH= t.
5
4 1 1 1 5
①当0<t≤4时,OQ=t,d=t－ t= t,由 t= ,得t= ；
5 5 5 2 2
4 1 4 1 25 85
②当4<t≤8时,OQ=8－t,d=8－t－ t = 或 t－（8－t）= ,解得t= 或 ；
5 2 5 2 6 18
4 1 75 4 1
③当8<t<12时,OQ=t－8,d= t－（t－8）= ,解得t= ,由于 t－4> ,舍去.（第3种情况酌情给分,舍去的
5 2 2 5 2
理由合情描述即可）
5 25 85
综上所述,t= 或 或 .
2 6 18
【点睛】本题考查求解一次函数参数,直线与圆的位置关系,分类讨论是解题关键.
【变式8-2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与
x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是( )
A．-1≤x≤1 B．-√2≤x≤√2 C．-√2<x<√2 D．0≤x≤√2
【答案】B
【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与
x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可．
【详解】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°，∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC，
∴OC⊥AB，
∵⊙O的半径为1，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴OC=PC=1，
∴OA=√12+12=√2，
∴P（√2，0），
同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（-√2，0），
∴-√2≤x≤√2．
故选：B．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键．
【变式8-3】（2023·河北·统考模拟预测）等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，
⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．
（1）若 ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间 ABC的边与圆第一次相切？
（2）若△两个图形同时向右移动， ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度△为每秒1个单位，则经过多少
时间 ABC的边与圆第一次相切？△
（3）△若两个图形同时向右移动， ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时 ABC
的边长AB、BC都以每秒0.5个单△位沿BA、BC方向增大． ABC的边与圆第一次相切时，点B运动△了多
少距离？ △
5-√2 20-4√2
【答案】（1） ；（2） 5-√2；（3）
2 3【详解】分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时， ABC移至 A′B′C′处，A′C′与
⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进△而由三角形△运动的速度可得答
案；
（2）设运动的时间为t秒，根据题意得：CC′=2t，DD′=t，则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，由第（1）的
结论列式得出结果；
（3）求出相切的时间，进而得出B点移动的距离．
详解：（1）假设第一次相切时， ABC移至 A′B′C′处，
如图1，A′C′与⊙O切于点E，连接△OE并延长△，交B′C′于F，
设⊙O与直线l切于点D，连接OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l，
由切线长定理可知C′E=C′D，
设C′D=x，则C′E=x，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠A′C′B′=∠ACB=45°，
∴△EFC′是等腰直角三角形，
∴C′F=√2x，∠OFD=45°，
∴△OFD也是等腰直角三角形，
∴OD=DF，
∴√2x+x=1，则x=√2-1，
∴CC′=BD-BC-C′D=5-1-（√2-1）=5-√2，
5-√2
∴点C运动的时间为 ；
2
5-√2
则经过 秒， ABC的边与圆第一次相切；
2
△
（2）如图2，设经过t秒 ABC的边与圆第一次相切， ABC移至 A′B′C′处，⊙O与BC所在直线的切点
D移至D′处， △ △ △A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F，
∵CC′=2t，DD′=t，
∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，
由切线长定理得C′E=C′D′=4-t，
由（1）得：4-t=√2-1，
解得：t=5-√2，
答：经过5-√2秒 ABC的边与圆第一次相切；
（3）由（2）得C△C′=（2+0.5）t=2.5t，DD′=t，
则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2.5t=4-1.5t，
由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t，
由（1）得：4-1.5t=√2-1，
10-2√2
解得：t= ，
3
10-2√2 20-4√2
∴点B运动的距离为2× = ．
3 3
点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，
考查了学生数形结合的分析能力．
【题型9 利用直线与圆的位置关系求最值】
【例9】（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，M是边AB上一动
点（不含端点），将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM．当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为 ；DP的最大值为 ．
【答案】 10 2√5
【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解；
（2）结合勾股定理分析可得，当AP最大时，DP即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定
AP的最值，从而求得DP的最大值．
【详解】解：由题意可得△CDP的面积等于矩形ABCD的一半，
1 1
∴△CDP的面积为 AB⋅AD= ×4×5=10，
2 2
在Rt△APD中，PD=√AD2+AP2，
∴当AP最大时，DP即最大，
由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线CN与圆相切时，AP最大，此时C、N、M
三点共线，如图：
由题意可得：AD=ND，∠MND=∠BAD=∠B=90°，
∴∠NDC+∠DCN=90°，∠DCN+∠MCB=90°，
∴∠NDC=∠MCB
∵AD=BC，
∴DN=BC，
∴△NDC≌△BCM，∴CN=BM=√CD2-DN2=3，
∴AP=AB-BP=2，
在Rt△APD中，PD=√AD2+AP2=√42+22=2√5，
故答案为：10，2√5．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性
强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键．
【变式9-1】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，
0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为
【答案】100
【分析】设点P（x，y），表示出PA2＋PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的
最值，代入求解即可．
【详解】解：设P（x，y），
∵PA2＝（x＋1）2＋y2，PB2＝（x−1）2＋y2，
∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2（x2＋y2）＋2，
∵OP2＝x2＋y2，
∴PA2＋PB2＝2OP2＋2，
当点P处于OM与圆的交点P'处时，OP取得最大值，如图，∴OP的最大值为OP'＝OM＋P'M＝√42+32＋2＝7，
∴PA2＋PB2最大值为2×72＋2＝100．
故答案为：100．
【点睛】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最
大值，难度较大．
【变式9-2】（2023·陕西·交大附中分校校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
BC=8，⊙O的半径为√3．⊙O在△ABC内平移（⊙O可以沿边界移动），则点A到⊙O上的点的距
离最大值 ．
【答案】2√43+√3
【分析】当⊙O与BC和AB都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D，则AD为点A到⊙O上的点的距离
最大值．
【详解】解：如图，设⊙O与BC和AB的切点分别为F，E，连接OE，OF，连接AO并延长交⊙O于点
D，则OE⊥AB，OF⊥BC，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=8，
∴ ∠B=90°-∠A=60°，AB=2BC=16，
∵ OE⊥AB，OF⊥BC，OE=OF，
1
∴ ∠OBE=∠OBF= ∠B=30°，
2
∵ ⊙O的半径为√3，
∴ OE=OF=√3，
∴ OB=2OE=2√3，
∴ BE=√OB2-OE2=3，
∴ AE=AB-BE=16-3=13，
∴ AO=√AE2+OE2=√132+(√3) 2=2√43，
∴ AD=AO+OD=2√43+√3，
故答案为：2√43+√3．
【点睛】本题考查切线的定义，角平分线性质定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，
解题的关键是确定点A到⊙O上的点的距离取最大值时⊙O的位置．
【变式9-3】（2023·四川泸州·统考一模）如图，在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，以边AB的
中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC（包括端点）和半圆上的动点，连接PQ，则PQ
长的最大值与最小值的差是 ．【答案】10.5
【分析】设⊙O与AC相切与点E，连接OE，作OP ⊥BC垂足为P 交⊙O于Q ，此时垂线段OP 最短，
1 1 1 1
P Q 最小值为OP -OQ ，当Q 在AB边上时，P 与B重合时，P Q 经过圆心，经过圆心的弦最长，
1 1 1 1 2 2 2 2
P Q 最大值=5+3=8，即可求解．
2 2
【详解】解：设⊙O与AC相切与点E，连接OE，作OP ⊥BC垂足为P 交⊙O于Q ，
1 1 1
此时垂线段OP 最短，P Q 最小值为OP -OQ ，
1 1 1 1 1
∵AB=15，AC=12，BC=9，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°，
∵∠OP B=90°，
1
∴OP ∥AC，
1
∵AO=OB，
∴P C=P B，
1 1
1
∴OP = AC=6，
1 2
1
同理OE= BC=4.5，
2
∴P Q 最小值为OP -OQ =1.5；
1 1 1 1
如图，当Q 在AB边上时，P 与B重合时，P Q 经过圆心，经过圆心的弦最长，P Q 最大值
2 2 2 2 2 2
=7.5+4.5=12，∴PQ长的最大值与最小值的差是10.5，
故答案为：10.5．
【点睛】本题考查切线的性质，三角形中位线定理等，正确找到点取得最大值、最小值时的位置是解题关
键．
