文档内容
专题 24.5 点和圆的位置关系（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 点和圆的位置关系】..................................................................................................................................3
【题型2 判断确定圆的条件】..................................................................................................................................3
【题型3 确定圆心（尺规作图）】..........................................................................................................................4
【题型4 求能确定的圆的个数】..............................................................................................................................6
【题型5 画圆（尺规作图）】..................................................................................................................................6
【题型6 三角形的外接圆】......................................................................................................................................7
【题型7 求三角形外心坐标】..................................................................................................................................8
【题型8 求三角形外接圆的半径】..........................................................................................................................9
【题型9 最小覆盖圆】............................................................................................................................................10
【题型10 反证法】....................................................................................................................................................11
知识点 1 点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为
{点P在圆内⟺dr．
知识点 2 三角形的外接圆
1. 圆的确定
不在同一条直线上的三点确定一个圆.
经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤：
如图，（1）连接AB，BC；
（2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O；
（3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求．2. 三角形的外接圆
（1）经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
（2）三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点．
（3）三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径．
（4）三角形的外心的位置
类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图示
位置 外心在三角形内部 外心是斜边的中点 外心在三角形外部
知识点 3 反证法
1. 概念：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题
成立，这种方法叫做反证法．
2. 常见的矛盾类型
（1）与所学定义、定理以及基本事实相矛盾；
（2）与已知条件相矛盾；
（3）自相矛盾．
3. 用反证法证明命题的一般步骤
否定结论 假设命题的结论不成立
从假设出发，经过推理论证，得出与定义、
指出矛盾
公理、定理或已知条件相矛盾的结论
由矛盾判断出所作假设不正确，从而得出
【题肯型定1 结 点论和圆的位置关系】
原命题的结论正确
【例1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中
点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C D．A，B，C
【变式1-1】（2025·上海黄浦·二模）已知点P在半径为5的⊙O内，那么点P到圆心O的距离不可能是
（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【变式1-2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
若以C为圆心，r为半径画⊙C，请根据下列条件，求半径r的值或取值范围．
(1)⊙C与斜边AB有1个公共交点；
(2)⊙C与斜边AB有2个公共交点；
(3)⊙C与斜边AB没有公共交点．
【变式1-3】已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一
公共点，则r的取值范围为（ ）
A．3≤r≤4 B．3≤r＜5 C．3≤r<4 D．3≤r≤5
【题型2 判断确定圆的条件】
【例2】（2025·福建厦门·二模）如图，已知线段AB，AD，点C在线段AB上，下列说法正确的是（ ）A．经过点A，B，C，只能作一个圆
B．经过点A，B，D，只能作一个圆
C．经过点A，以AD的长为半径只能作一个圆
D．经过点A，B，以AD的长为半径只能作一个圆
【变式2-1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一
块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式2-2】平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（ ）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
【变式2-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知M(1,2)，N(3,−3)，P(x,y)三点可以确定一个
圆，则以下P点坐标不满足要求的是（ ）
A．(3,5) B．(−3,5) C．(−1,7) D．(1,−3)
【题型3 确定圆心（尺规作图）】
【例3】将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重
合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ．
【变式3-1】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2❑√5，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当1
的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径作弧相交
2
1
于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，
2
交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为 ．
【变式3-2】（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧
AB于点C，交弦AB于点D．
(1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)已知：AB=16，CD=4．求（1）中所作圆的半径．
【变式3-3】（24-25九年级上·福建福州·期中）“七巧板”是我国古代劳动人民的发明，被誉为“东方魔
方”．小洁同学用一个边长为2❑√2的正方形纸片制作出如图①的七巧板，并拼出如图②的轴对称图形．过
该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为（ ）3❑√2 5 73 73
A． B． C． D．
2 2 32 16
【题型4 求能确定的圆的个数】
【例4】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最
多能作出( )．
A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆
【变式4-1】如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作
个．
【变式4-2】已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上．
（1）当直线l与直线AB不垂直时，可作几个圆？
（2）当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，可作几个圆？
（3）当直线l是线段AB的垂直平分线时，可作几个圆？
【变式4-3】请你在如图所示的12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的
个格点．
【题型5 画圆（尺规作图）】
【例5】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知锐角△ABC中，AC=BC．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
48
(2)在（1）的条件下，若AB= ，⊙O的直径为10，则AC= ．（如需画草图，请使用图2）
5
【变式5-1】求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．
【变式5-2】（2025·甘肃定西·模拟预测）有趣的倍圆问题：根据圆的面积公式πr2，圆面积扩大的倍数是
半径扩大倍数的平方，也就是半径扩大2倍，面积会扩大4倍．
应用：如图，校园里有个圆形花坛，记为⊙O，为美化校园，准备春季改造，想把该花坛的面积扩大成原
来面积的8倍，但原来花坛在新花坛的内部，请你根据他们的设计的步骤，完成下面的作图题：（按如下
步骤完成，保留作图痕迹）
1
①在⊙O中作直径AB，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点
2
C，作射线OC；
②延长直径AB，在延长线上截取OD=2OB，同样在射线OC上截取OE=2OB，连接DE；
③以点O为圆心，DE的长为半径画圆，大⊙O为所求作的花坛．
【变式5-3】（2025·江苏扬州·三模）尺规作图：（保留作图痕迹即可）
(1)请在图①中作菱形DEBF，使得点E在AD上，点F在BC上；（保留作图痕迹即可）
(2)请在图②中以矩形ABCD的AD边为边作菱形ADEF，使得点E在BC上；（保留作图痕迹即可）
(3)请在图③中以矩形ABCD的AD边为直径作⊙O，并在⊙O上确定点P，使得ΔBCP的面积与矩形
ABCD的面积相等．（写出必要的文字说明）
【题型6 三角形的外接圆】
【例6】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知△ABC是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则△ABC的面积是（ ）
A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32
【变式6-1】如图，三角形ABC是⊙O的内接三角形，BO与AC相交于点D，设∠ABC＝m∠ABD﹣45°，
∠ADB＝n∠ABD+45°，则m、n的等量关系为 ．
【变式6-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）半径为6的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，
AB=AC，连接OB，OC，延长CO交弦AB于点D，若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为 ．
【变式6-3】数学活动课上，九（1）班同学在研究Rt△ABC（∠ACB=90°）和等腰△≝¿（FD=FE
）的外接圆时，有以下发现：
小明说“当∠ABC=∠DFE，AC=DE时，这两个三角形的外接圆是等圆”；
小刚说“当S =S ，AC=DE时，这两个三角形的外接圆是等圆”．
△ABC △≝¿¿
你认为说法正确的是（ ）
A．小明对小刚不对 B．小刚对小明不对
C．小明小刚都对 D．小明小刚都不对
【题型7 求三角形外心坐标】
【例7】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点
O,A(4,0),B(4,3)三点，则下列说法中错误的是（ ）5 ( 3)
A．这条圆弧所在圆的半径为 B．这条圆弧所在圆的圆心为 2,
2 2
C．点N(0,3)在这条圆弧所在圆上 D．点M(2,5)在这条圆弧所在圆上
【变式7-1】（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐
标系，一条圆弧经过格点A(0,2)，B(4,2)，C(6,0)．圆心为D，则D的坐标是 ．
1
【变式7-2】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y=− x+2分别交x轴，y
2
轴于点A，点B，则△ABO的外心坐标是 ．
【变式7-3】如图，△ABC，A(−1,3)，B(−2,−2)，C(4,−2)，则△ABC外心的坐标为（ ）
A．(0,0) B．(1,1) C．(1,0) D．(1,−2)
【题型8 求三角形外接圆的半径】
【例8】如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1,3)、B(−2,−2)、C(4,−2)，则△ABC外接圆半径的长为（ ）.
A．3❑√2 B．2❑√3 C．❑√10 D．❑√13
【变式8-1】把一条长2m的铁丝折成顶角为120°的等腰三角形，那么这个三角形外接圆的半径为
m．
【变式8-2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D，
E，F分别是AB，BC，AC的中点，则△≝¿的外接圆半径为 ．
【变式8-3】如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，BD=BE=6，CD=CA=10，则
△AED的外接圆半径为（ ）
10 11
A．3 B． C． D．4
3 3
【题型9 最小覆盖圆】
【例9】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆
就是以线段AB为直径的圆．
（1）请分别作出下图中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）．
【变式9-1】如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个
圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ．【变式9-2】△ABC中，AB = AC = 10 cm，BC = 16 cm，若要剪一张圆形纸片盖住这个三角形，则圆形纸
片的最小半径为 cm．
【变式9-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一个△ABC．
(1)利用网格，只用无刻度的直尺作出△ABC的外接圆的圆心O，并写出圆心坐标是______；
(2)判断点E(2,0)与⊙O的位置关系，说明理由；
(3)△ABC最小覆盖圆的半径为______．
【题型10 反证法】
【例10】（24-25八年级上·福建泉州·期末）阅读正文并解答下列问题：
如图，已知在△ABC中，AB>AC，求证：∠ACB>∠ABC．
证明：假设∠ACB≤∠ABC，
①若∠ACB<∠ABC，则在BC上取点D，连接AD，使∠ADB=∠B．
∵∠ADB=∠B，
∴AD=AB；
在AC上取点E，使AE=AD，则AC=AE+CE=AD+CE>AD，
即：AC>AD，∴AC>AB．
这与已知AC∠ABC．
(1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）；
A．直接证明法； B．反证法．
(2)请你补充②中所缺失的部分．
【变式10-1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角不小于60°
”时，应先假设这个三角形中（ ）
A．内角都不小于60° B．锐角都不大于60°
C．内角都小于60° D．锐角都大于60°
【变式10-2】（24-25八年级下·山西运城·期中）用反证法证明命题：“如果a∥b,a∥c，那么b∥c”．
如图，若假设b与c相交于点P，则需要推出的矛盾为（ ）
A．两点确定一条直线
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．同位角相等，两直线平行
【变式10-3】证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．
