文档内容
专题 24.5 点和圆的位置关系
目 录
一． 知识梳理与题型分类精析.............................................................................................................1
【知识点一】点和圆的位置关系.........................................................................................................1
【题型1】判断点和圆的位置关系.......................................................................................................1
【题型2】已知点和圆的位置关系求半径...........................................................................................2
【知识点二】圆的确定.........................................................................................................................2
【题型3】外接圆相关概念辨析..........................................................................................................2
【题型4】求三角形外心坐标..............................................................................................................3
【知识点三】三角形外心位置.............................................................................................................4
【题型5】三角形外心位置判断三角形形状.......................................................................................4
【题型6】判断三角形外接圆圆心位置...............................................................................................4
【知识点四】反证法.............................................................................................................................5
【题型7】反证法证明中的假设..........................................................................................................5
【题型8】反证法证明命题..................................................................................................................6
【题型9】举反例..................................................................................................................................7
二. 同步练习...................................................................................................................................8
【基础巩固（16题）】........................................................................................................................8
【能力提升（16题）】......................................................................................................................10
一．知识梳理与题型分类精析
【知识点一】点和圆的位置关系
设 的半径为 ，点 到圆心的距离 ，则有
点 在圆外 ；点 在圆上 ；点 在圆内 .
【题型1】判断点和圆的位置关系
【例题1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）设 的半径为2，点P到圆心的距离 ，
且m使关于x的方程 有两个不相等的实数根，试确定点P与 的位置关系．
【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习） 中， ， ， ，于D点，以C为圆心，2.5为半径作 ，则D点与圆的位置关系是（ ）
A．点D在 上 B．点D在 外 C．点D在 内 D．无法确定
【变式2】（25-26九年级上·浙江·阶段练习）若以边长为1的正方形 的顶点A为圆心，以
为半径作 ，则点C在 （填“外”“上”或“内”） ．
【题型2】已知点和圆的位置关系求半径
【例题2】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是
1，则这个圆的半径是（ ）
A．6 B．2 C．2或3 D．4或6
【变式1】（23-24九年级上·广东广州·期末）如果 的直径为 ，且点 在 上，则
．
【变式2】（22-23九年级上·河北邯郸·期末）如图，某海域以点A为圆心、 为半径的圆形区域
为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离
是 ，如果渔船始终保持 的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进
入危险区域？
【知识点二】圆的确定
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三
条边的垂直平分线的交点，这个交点叫做这个三角形的外心.
【题型3】外接圆相关概念辨析
【例题3】（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定 的外心的
是（ ）A． B．
C． D．
【变式1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列说法错误的是（ ）
A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆
B．任意一个圆都有无数个内接三角形
C．任意一个三角形都有无数个外接圆
D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上
【变式2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，点O是 的外心， ，
，则 外接圆半径为 ．
【题型4】求三角形外心坐标
【例题4】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 、 、 的坐
标分别为 ， ， ，则以 、 、 为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 ．【变式1】（24-25八年级下·广东中山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格
点A，B，C，其中点A的坐标为 、点B的坐标为 、点C的坐标为 ，那么该圆弧所在
的圆心坐标为 ．
【变式2】（24-25九年级上·湖南·阶段练习）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，
与y轴交于C点，则 的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【知识点三】三角形外心位置
三角形类型 外心位置 特点
锐角三角形 三角形内部 外心到三个顶点距离相等
直角三角形 斜边的中点 斜边中点到三个顶点的距离相等
钝角三角形 三角形外部 外心在钝角所对边的外侧，到三个顶点距离相等【题型5】三角形外心位置判断三角形形状
【例题5】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这
个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【变式1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三
角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
【变式2】已知直角三角形的两条直角边长分别是3厘米，4厘米，则此直角三角形的重心与外心
之间的距离为 厘米．
【题型6】判断三角形外接圆圆心位置
【例题6】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过 ，
，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式1】（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图为 的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，
点O是 的 ．
【变式2】（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图， 的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆 的半径的长度为 ．
【知识点四】反证法
假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命
题成立．这种方法叫做反证法．
【题型7】反证法证明中的假设
【例题7】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大
于 ”成立时，我们利用反证法，先假设（ ），则可推出三个内角之和大于 ，这与三角形
内角和定理相矛盾．
A．一个三角形中没有一个内角不大于
B．一个三角形中至多有两个内角不大于
C．一个三角形中至多有三个内角不大于
D．一个三角形中至少有两个内角不大于
【变式1】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）用反证法证明命题：“已知 ，求证：
．”第一步应先假设 ．
【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求
证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假
设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法．
如图1，已知： 与 是直线 ， 被直线 所截得到的一对内错角， ，直线 ，
分别与直线 相交于点 ， ．求证： ．
证明：假设 ，过点N画一条直线 ，使得 ，
如图2所示，根据 ，可得 ，又因为 ，这样直线 、 都过点N，这与 矛盾．
说明假设不成立，所以 ．
【题型8】反证法证明命题
【例题8】（25-26八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：在三角形中，大角对大边．
【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）证明：三角形中至少有一个内角小于或等于 ．
已知：如图， 是 的三个内角．求证： 中至少有一个角小于或等
于 ．
证明：假设①___________，
所以，②_____________．
这与“③___________”矛盾．
所以，假设不成立， 中至少有一个角小于或等于 ．
【变式2】（2025·上海闵行·二模）如图，在等边三角形 中， 、 分别在 、 上，连接
、 交于 ，连接 交 于点 ．有下列两个命题：
①如果 ，那么 为 中点；
②如果 ，那么 ．
对于这两个命题判断正确的是（ ）
A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题；
C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题．【题型9】举反例
【例题9】（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）对于命题“如果 ，那么 、 都大
于 ”能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B． ，
C． ， D． ，
【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）已知命题：“三角形三条高线的交点一定在三角形的
内部．”琪琪想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形
【变式2】（23-24八年级上·吉林长春·期末）写出一个能说明命题“有两个角是锐角的三角形是锐
角三角形，”是假命题的反例： ．
二. 同步练习
【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知 的半径为3，点 在 外，则 的长可以是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段 ，且 ，则经过 两点且半径为3的圆
有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）三边长为6，8，10的三角形，它的外接圆半径长为（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2016·贵州毕节·中考真题）三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（ ）
A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点
5．（24-25九年级上·河南许昌·期末）熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜
子，她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图
所示，测量出弦 的长就可以得到镜子的直径．经测量弦 的长为 ，则该镜子的直径为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”
时，假设正确的是（ ）
A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角
C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角
二、填空题
7．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，
则该圆的半径是 ．
8．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图， 外接圆的圆心坐标为 ．
9．（22-23九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，点 是 的外心，连接 、 ，若
，则 的度数为 ．
10．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）平面直角坐标系内的三个点 ， ，
， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
11．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）举反例说明命题对于“对于任意实数x，代数式 的值总是正数”是假命题，你举的反例是 （写出一个x的值即可）．
12．（2025九年级·全国·专题练习）如图， 是等边三角形 的外接圆．若 ，则 的
半径是 ．
三、解答题
13．（20-21八年级下·陕西咸阳·阶段练习）用反证法证明：等腰三角形的底角小于 ．
14．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在 中， ．先作 的平
分线交 边于点P，再以点P为圆心， 长为半径作 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不
写作法）
15．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，
B，C（小正方形的边长均为1）．
（1）直接写出圆弧所在 的圆心坐标：__________；
（2） 的半径为__________；
（3）若点 ，则点 在 __________．（填“圆内”“圆上”或“圆外”）
16．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）在同一平面直角坐标系中有 个点： ， ，
， ， ．
（1）画出 的外接圆 ，则点 的坐标为_________；
（2）点 与 的位置关系为：点 在 ________；点 与 的位置关系为：点 在__________；
（3）若在 轴上有一点 ，满足 ，请直接写出点 的坐标为________．
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知 内接于 ，若 ， ，则 的半
径为（ ）
A．6 B． C．3 D．
2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图， 中，弦 的长为8，点 在 上，
， 所在的平面内有一点 ，若 ，则点 与 的位置关系是
（ ）
A．点 在 上 B．点 在 内
C．点 在 外 D．无法确定
3．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在 中， ， ， ，
则它的外心与顶点 的距离为（ ）A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·四川达州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．等腰三角形两底角的平分线相等
C．“对顶角相等”的逆命题是真命题
D．用反证法证明“ ”时应假设“ ”
5．（24-25九年级上·福建福州·期中）“七巧板”是我国古代劳动人民的发明，被誉为“东方魔
方”．小洁同学用一个边长为 的正方形纸片制作出如图①的七巧板，并拼出如图②的轴对称图
形．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·山东泰安·一模）如图，菱形 的边长为4， ， 为 边上的中点，P为直
线 上方 左侧的一个动点，且满足 ，则线段 长度的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．
二、填空题7．（2024·上海闵行·三模）若点P到 上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那
么 的半径为 ．
8．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图， 内接于 ， ，直径 交 于点 ，
若 ，则 °．
9．（2025·黑龙江佳木斯·一模）在 中， ， ， ．以 为斜边作等
腰直角三角形 ，连接 ，则 的长为 ．
10．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，则
的外心坐标为
11．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）方程 的两个根是直角三角形的两直角边的
边长，则这个直角三角形的外接圆半径为 ．
12．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，等边三角形 中，D是边 上一点，过点C
作 的垂线段，垂足为点E，连接 ，若 ，则 的最小值是 ．三、解答题
13．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知等腰三角形 ，如图．
（1）用直尺和圆规作 的外接圆；
（2）设 的外接圆的圆心为 ，若 ， ，则 的外接圆的半径为
．
14．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示， ， 是 的高，求证：E，B，C，D四
点在同一个圆上．
15．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在 中， ，点 ， ， 分别在
， ， 上，且 ， ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）用反证法证明 不可能是直角三角形．
16．（2023·广东潮州·一模）如图，抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，
是第一象限的抛物线下方一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 ，则 外接圆圆心坐标为__________；
（3）当 ，求 的最小值．
