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第 01 讲 圆的基本概念和性质
知识点1：圆的定义和性质
知识点2：圆的有关概念
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个长端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
备注：圆心确定圆的位置，半径度确定圆的大小。
【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
【题型1 圆的基本辨析】
【典例1】下列图形为半圆的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查圆的基本性质，解题的根据熟知半圆的定义：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．根据半圆的定义即可判断．
【详解】解：半圆是直径所对的弧，但是不含直径，
故选：C．
【变式1】如图所示，点P是⊙O上的任意一点，则以点P为端点的半径（ ）
A．有1条 B．有2条 C．有无数条 D．不存在
【答案】A
【分析】本题考查了圆的认识，掌握与圆有关的概念是解题的关键；根据圆的半径的定
义求解即可．
【详解】解：以点P为端点的半径为OP，有1条，
故选：A．
【变式2】下列说法正确的是（ ）
A．圆上任意两点间的部分叫作圆弧
B．圆上任意两点间的线段叫作弧
C．圆上任意两点间的线段长度叫作弧
D．任意两点间的部分叫作弧
【答案】A
【分析】此题考查了圆弧的认识．根据：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，逐一判断即
可．
【详解】解：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，圆上任意两点间的线段叫作弦．
观察四个选项，只有选项A说法正确，
故选：A．
【变式3】战国时期的著作《墨经》中“……，一中同长也”描述的图形是（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆
【答案】D
【分析】本题考查了文学常识，战国时期墨家所著的《墨经》一书中记载：“圜（圆），
一中同长也．”据此解答即可．
【详解】解：战国时期的著作《墨经》中“……，一中同长也”描述的图形是圆，故选：D．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作 ，读
AB
作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
【题型2求圆中弦的条数】
【典例2】如图，在⊙O中，点A，O，D在一条直线上，点B，O，C在一条直线上，那
么图中有弦（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直
径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
【详解】解：弦为AB、CE、BC．
故选：B．【变式1】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据弦的定义求解即可．
【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数
为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦．
【变式2】如图，图中的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】根据弦的定义解答即可．
【详解】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故选B．
【点睛】本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键．
【变式3】如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有
（ ）条弦.A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】根据弦的概念，AB、BC、EC为圆的弦，共有3条弦.
故选B.
【题型3求过圆内一点的最长弦】
【典例3】若A，B是半径为4的⊙O上的两个点，则弦AB的长不可能是（ ）
A．2 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，求出圆的直径，根据直径是
圆中最长的弦判断即可．
【详解】解：∵圆的半径为4，
∴圆的直径为8，
∵AB是半径为4的圆的一条弦，
∴0<AB≤8，
∴弦AB的长不可能是10．
故选：D．
【变式1】已知⊙O的半径是3，A、B是圆周上的两点，则AB两点间的最长距离是
（ ）
A．3 B．6 C．12 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题主要查了圆的基本性质．根据圆的基本性质解答，即可求解．
【详解】解：经过圆心的弦最长，即直径是最长的弦，
∵⊙O的半径是3，
∴AB两点间的最长距离是6．
故选：B ．【变式2】已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．3cm B．6cm C．1.5cm D．3cm
【答案】B
【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．
【详解】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，
∴⊙O中最长的弦长为2×3=6(cm)．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的认识：需要熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、
半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
【变式3】已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为( )cm．
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
【详解】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选：B.
【点睛】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．
【题型4圆的周长和面积问题】
【典例4】如图，在⊙O中，∠AOB=60°，弦AB的长为3，则⊙O的面积为（ ）
A．3π B．6π C．8π D．9π
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆的面积公式，证明△AOB为等边
三角形得出OA=OB=AB=3，再由圆的面积公式计算即可得解．
【详解】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=OB=AB=3，∴⊙O的面积为π×32=9π，
故选：D．
【变式1】由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面
积为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】C
【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．
【详解】解：由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的
图形的面积为以2为半径的圆与以1为半径的圆组成的圆环的面积，
即π×22−π×12=3π，
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键．
【变式2】圆的面积扩大为原来的 4 倍，则半径 （ ）
A．扩大为 4 倍 B．扩大为 16倍 C．不变 D．扩大为2倍
【答案】D
【分析】根据圆面积公式S=πr2作答即可．
【详解】解：设原来圆面积为S，当圆的面积扩大为原来的 4 倍，即4S，根据圆面
积公式 ，那么 ，所以则半径扩大为2倍；
S=πr2 4S=π×(2r) 2
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是圆面积公式，正确掌握圆面积公式是解题的关键．
【变式3】平面内，长为5cm的线段OP绕着端点O旋转一周，线段OP的中点M所经过的
路径长为
【答案】5πcm
【分析】先分析出M的路径是圆，根据题意求出圆M的周长即可．本题考查圆的相关
性质，得到M的轨迹是解题的关键。
【详解】解：由题意得P的路径是O为圆心，5为半径的圆，
则OP中点M的路径是O为圆心，2.5为半径的圆，
所以圆M的周长为2×π×2.5=5π(cm)，
故答案为：5πcm．
【题型5点与圆上一点的最值问题】【典例5】如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，以A为圆心，2为半径作⊙A．若点
E在⊙A上，点P在BC上，则PE+PD的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】延长DC到点M，使得DC=CM，连接MA交⊙A于点O，交BC于点N，
当点E与点O重合，点P与点N重合时，PE+PD=NO+MN=MO=MA−OA此时
取得最小值，利用矩形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：延长DC到点M，使得DC=CM，连接MA交⊙A于点O，交BC于点
N，
∵PE+PM≥ME，
∴当点E，P，M三点共线时，PE+PM取得最小值，此时为ME，
∵点E是⊙A上动点，
∴当E与点O重合时，ME最小，此时为MO，
∴当点E与点O重合，点P与点N重合时，PE+PD=NO+MN=MO=MA−OA此
时取得最小值，∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，以A为圆心，2为半径作⊙A．
∴DM=2AB=8，AD=BC=6，∠ADC=90°，
∴ ，
MA=❑√AD2+DM2=10
∴MO=MA−OA=8，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质，两点之间线段最短，熟
练掌握矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质是解题的关键．
1
【变式1】如图，抛物线y= x2−1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0,4)为圆心，1为
9
半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（
）
3 5 3❑√2
A． B．2 C． D．
2 2 2
【答案】B
【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC
1
长为5，利用三角形中位线性质可知OE= BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，
2
据此进一步求解即可.
1
【详解】∵y= x2−1，
9
1
∴当y=0时，0= x2−1，
9
解得：x=±3，
∴A点与B点坐标分别为：(−3，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，
∴O点为AB的中点，
又∵圆心C坐标为(0，4)，
∴OC=4，
∴BC长度= ，
❑√OB2+OC2=5
∵O点为AB的中点，E点为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
1
即：OE= BD，
2
∵D点是圆上的动点，
由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径，
∴BD的最小值为4，
1
∴OE= BD=2，
2
即OE的最小值为2，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关
概念是解题关键.
1
【变式2】如图，抛物线y= x2−4与x轴交于A，B两点，P是以点C(0,3)为圆心，❑√3
4
为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ、则线段OQ的最大值是（ ）5−❑√3 5+❑√3 5+2❑√3
A． B．3 C． D．
2 2 2
【答案】C
【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又
1
Q是AP上的中点可知OQ= BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于
2
点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值.
1
【详解】∵抛物线y= x2−4与x轴交于A、B两点
4
∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4.
在直角三角形COB中
BC=
❑√OC2+OB2=❑√32+42=5
∵Q是AP上的中点，O是AB的中点
1
∴OQ为△ABP中位线，即OQ= BP
2
又∵P在圆C上，且半径为❑√3，
∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大
此时BP=BC+CP=5+❑√3
1 5+❑√3
OQ= BP= .
2 2
故选：C.
【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位
线，与圆相离的点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长
时的情况.【变式3】如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，
过P作PA⊥PB， A、B都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ．
【答案】6
【分析】连接OP，由直角三角形的性质可知AB=2OP，则求AB的最小值即为求OP的
最小值，当O、P、M三点共线时，OP长度最小.
【详解】解：连接OP，由于PA⊥PB，故由直角三角形的性质可知AB=2OP，则OP最短
时，AB最短；由图可知，O、P、M三点共线时，OP长度最小，OP=OM-MP=
，则AB的最小长度为6，
❑√32+42−2=3
故答案为6.
【点睛】将求AB最短问题转化为求OP最短是解题关键.
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．直径是弦，弦是直径
B．半圆是弧
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．长度相等两条弧是等弧
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆的相关概念，根据圆的基本概念逐一分析选项．
【详解】解：A．直径是弦，但弦不一定是直径（只有过圆心的弦才是直径），故A错
误．
B． 半圆是圆周的一部分，属于弧，且为180°的弧，故B正确．C． 过圆心可以作无数条直径，过圆内非圆心的点不能作直径，故C错误．
D．等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定为等弧，故D错
误．
故选：B
2．一个半圆的周长10.28厘米，这个半圆的直径（ ）厘米
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了圆的周长．半圆的周长等于圆的周长的一半再加直径，设圆的直
径为d，由“一个半圆的周长是10.28厘米”即可求出圆的直径，从而问题得解．
【详解】解：设圆的直径为d厘米，
则3.14d÷2+d=10.28，
1.57d+d=10.28，
2.57d=10.28，
d=4；
答：这个半圆的直径是4厘米．
故选：B．
3．下列说法正确的是（ ）
A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧
C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧
【答案】B
【分析】本题考查圆的基本概念，需逐一分析各选项的正误
【详解】解：选项A：直径是经过圆心的线段，而非直线，直线是无限延伸的，而直
径两端在圆上，有固定长度，故A错误；
选项B：半圆是圆上一条直径将圆分成的两部分，每部分均为弧，且弧的度数为180°，
故B正确；
选项C：优弧是大于半圆（180°）的弧，劣弧是小于半圆的弧，但选项未限定“在同
圆或等圆中”，且“大于劣弧”的弧可能仍为劣弧（如70°弧大于60°劣弧，但仍是
劣弧），故C错误；
选项D：等弧需满足长度相等且在同圆或等圆中能完全重合，仅长度相等未必是等弧
（如不同半径的圆中可能存在长度相等的弧），故D错误；
故选B4．一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（ ）次．
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了找圆心，沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即
为圆心，据此可得答案．
【详解】解：∵圆的圆心一定在其直径上，
∴沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心，
∴一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折2次，
故选：B．
5．如图，A，B，C三点在⊙O上，若OA∥CB，∠C=40°，则∠A的度数是（ ）
A．140° B．90° C．70° D．60°
【答案】C
【分析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，平行线的性质．利用半径相等结合
等边对等角求得∠OBC=∠C=40°，∠OAB=∠OBA，再根据平行线的性质列式
计算即可求解．
【详解】解：连接OB，
∵OB=OC，∠C=40°，
∴∠OBC=∠C=40°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵OA∥CB，∴∠A+∠ABC=180°，
∴∠A+∠ABO+40=180°，即2∠A+40=180°，
∴∠A=70°，
故选：C．
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB
于点D，连接CD，则∠ACD=（ ）
A．15° B．10° C．12° D．50°
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．
先求得∠B=50°，再由等腰三角形的性质求出∠BCD=180°−2×50°=80°，则
∠ACD与∠BCD互余．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠B=50°，
∵CD=CB，
∴∠BCD=180°−2×50°=80°，
∴∠ACD=90°−80°=10°；
故选：B．
7．如图，MN为⊙O的弦，∠MON=120°，则∠M等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】A
【分析】本题重点考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质，并且利用三角形的内角
和定理求解角的度数，难度不大．根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵OM=ON，
∴∠M=∠N，
∵∠MON=120°，
∴∠M=(180°−∠MON)÷2=30°，
故选：A．
8．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E．若DE=OB,∠C=40°,则∠E等于
（ ）
A．20° B．10° C．30° D．40°
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握三角形外角的性质和等腰三角形的性质是
解题的关键．连接，根据等腰三角形的性质证明∠DOE=∠E，利用三角形外角的
性质得到∠ODC=2∠E，再由等腰三角形的性质得到∠ODC=∠C，从而计算
∠E的度数即可．
【详解】解：如图，连接OD．
∵DE=OB，OB=OD
，
∴DE=OD，
∴∠DOE=∠E，
∴∠ODC=∠E+∠DOE=2∠E，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠C，
∵∠C=40°，
∴2∠E=40°，∴∠E=20°．
故选：A．
二、填空题
9．如图，⊙O的半径为10，AC是⊙O的弦，半径OB⊥AC于点D．若OD=6，则AD
的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查圆的基本知识，勾股定理，根据题意得OA=10，∠ADO=90°，
利用勾股定理得 ，代入数据计算即可．掌握圆的基本知识是解题
AD=❑√OA2−OD2
的关键．
【详解】解：∵⊙O的半径为10，
∴OA=10，
∵OB⊥AC，OD=6，
∴∠ADO=90°，
∴ ，
AD=❑√OA2−OD2=❑√102−62=8
即AD的长为8．
故答案为：8．
10．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O，A重合），过点B作OA的
垂线交⊙O于点C．以OB，BC为邻边作矩形OBCD，连接BD．若CD=6，BC=8，
则AB的长为 ．【答案】4
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，矩形的性质，连接OC，由矩形
的性质得到OB=CD=6，∠OBC=90°，由勾股定理求出OC的长，进而求出OA的
长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OC，
∵四边形OBCD是矩形，
∴OB=CD=6，∠OBC=90°，
∴ ，
OC=❑√OB2+BC2=10
∴OA=OC=10，
∴AB=OA−OB=4，
故答案为：4．
11．如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB长50mm．∠AOB的度数 ．
【答案】60°/60度
【分析】本题考查了圆的性质，等边三角形的性质与判定，得出△AOB是等边三角
形是解题的关键．
根据半径为50mm，弦AB长50mm，可以判断△AOB是等边三角形，根据等边三角
形的性质即可求解．【详解】解：∵AO=BO=50mm，AB=50mm，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故答案为：60°．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的
圆分别交AB、AC于点D、点E，则∠BCD的度数为 ．
【答案】40°
【分析】本题考查了圆的相关性质，等边对等角，三角形内角和定理．先利用互余计
算出∠B=70°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB=∠B=70°，则
根据三角形内角和定理可计算出∠BCD．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=20°，
∴∠B=70°，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠B=70°，
∴∠BCD=180°−70°−70°=40°，
故答案为：40°．
13．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社
会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．
下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是
（填写所有正确选项的序号）．
①圆是轴对称图形；
②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等；③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上；
④圆中垂直于弦的直径平分弦．
【答案】②③
【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的
点的集合解答即可．
【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直
线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上，
∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是②③．
故答案为：②③．
34．已知⊙O中最长的弦为14厘米，则此圆半径为 厘米．
【答案】7
【分析】本题主要考查了圆的认识，掌握“直径是圆中最长的弦”是解题的突破口．
直径是圆中最长的弦，根据圆的直径是14厘米求解即可．
【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，⊙O中最长的弦为14厘米，
∴⊙O的直径是14厘米．
∴⊙O的半径是7厘米．
故答案为：7．
14．如图，抛物线y=x2−4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），
点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径
为1的圆上，则DE+EF的最小值是 ．
【答案】❑√58−1/−1+❑√58
【分析】首先根据抛物线的对称性求出点D的坐标，再找到点D关于y轴的对称点H，
连接BH交y轴于点E，交圆B于点F，则点E、F为所求点，根据两点之间线段最短可知DE+EF的最小值为线段HF的长度，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式
求出最小值．
【详解】解：当y=0时，可得方程x2−4x+3=0，
解方程得：x =1，x =3，
1 2
∴点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(3,0)，
当x=0时，y=x2−4x+3=3，
∴点C的坐标为(0,3)，
−4
抛物线y=x2−4x+3=3的对称轴为直线x=− =2，
2
∴C的对称点D的坐标为D(4,3)，
如下图所示，过点D作y轴的对称点H(−4,3)，连接BH交y轴于点E，交圆B于点F，
则点E、F为所求点，
∵ H D y
点 、 关于 轴对称，则
EH=ED，
则DE+EF=HE+EF=HF为最小，
则 最小值为 ．
DE+EF HF=HB−1=❑√(−4−3) 2+(3−0) 2−1=❑√58−1
故答案为：❑√58−1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理，圆的基本性质，解
决本题的关键是作出点D关于y轴的对称点，利用对称的性质求出DE+DF最小值．
