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专题 13.1〜13.2 三角形的概念、与三角形有关的线段
（八大题型）
【题型1三角形的概念】.........................................................................................................
【题型2 三角形的分类】......................................................................................................
【题型3 构成三角形的条件】................................................................................................
【题型4 三角形三边关系的应用】............................................................................................
【题型5 三角形的稳定性】.......................................................................................................
【题型6 三角形的高】..............................................................................................................
【题型7 利用三角形的中线求长度】.......................................................................................
【 题 型 8 利 用 三 角 形 的 中 线 求 面
积】.........................................................................................
【题型1三角形的概念】
1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的
图形是三角形．据此即可解答．
【详解】
解：图形中是三角形的是
故选：B．
2．（23-24八年级上·北京·单元测试）如图，下列说法错误的是（ ）A．∠A，∠B，∠ACB是△ABC的内角
B．∠BCD 是与∠ACB相邻的角
C．∠BCD+∠A=180°
D．△ABC的三条边分别是 AB，BC，AC
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，熟知三角形的相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、∠A，∠B，∠ACB是△ABC的内角，原说法正确，不符合题意；
B、∠BCD 是与∠ACB相邻的角，原说法正确，不符合题意；
C、∠BCD+∠ACB=180°，但∠BCD+∠A不一定等于180°，原说法错误，符合
题意；
D、△ABC的三条边分别是 AB，BC，AC，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
3．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）在△ABC中，BC边的对角是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相
连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案．
【详解】解：如图，
在△ABC中，BC边的对角是∠A，
故选：A．
4．（24-25八年级上·全国·随堂练习）观察下图，回答下列问题：（1）∠ABC是△ABC的 ．
（2）图中以线段AE为边的三角形有 ．
（3）图中共有 个三角形，它们分别是 ．
【答案】 内角 △ABE，△ADE，△ACE 6 △ABE，△ADE，
△ACE，△ABD，△ACD，△ABC
【分析】本题主要考查三角形的有关概念，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键．
（1）根据三角形角的定义结合图形解答即可；
（2）观察图形可找到以线段AE为公共边的三角形；
（3）根据三角形的概念解答即可；
【详解】解：（1）∠ABC是△ABC的内角．
故答案为：内角；
（2）图中以线段AE为边的三角形有△ABE，△ADE，△ACE．
故答案为：△ABE，△ADE，△ACE；
（3）图中共有6个三角形，它们分别是△ABE，△ADE，△ACE，△ABD，
△ACD，△ABC．
故答案为：6；△ABE，△ADE，△ACE，△ABD，△ACD，△ABC．
5．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在△ABF中，顶点B的对边是 ．
【答案】AF
【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，△ABF的三边分别为AB，BF，AF，
其中AB，BF与点B相邻，AF与点B相对，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，在△ABF中，顶点B的对边是AF，
故答案为：AF．【题型2 三角形的分类】
1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分
类，则两处“？”分别为（ ）
A．等边三角形，等腰直角三角形 B．等腰直角三角形，钝角三角形
C．等边三角形，钝角三角形 D．锐角三角形，等边三角形
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系和角的大小分类是解题的关
键．根据三角形的分类进行分析即可．
【详解】将三角形按边的相等关系，
可以分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形，
将三角形按角的大小可以分为，
锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，
∴两处“？”分别为等边三角形，钝角三角形，
故选：C．
2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，△ABC被木条遮住了一部分，只露出∠A，
则∠B与∠C可能是（ ）
A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角
C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的分类，理解并掌握三角形的分类是解题的关键．
三角形根据角度分为：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，∠A是钝角，∴∠B与∠C可能是两个锐角，
故选：D ．
3．（24-25八年级上·全国·随堂练习）三角形按边可分为（ ）
A．钝角三角形、等边三角形 B．三边都不相等的三角形、等边三角形
C．等腰三角形、等边三角形 D．等腰三角形、三边都不相等的三角形
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的分类，三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和
等腰三角形，等腰三角形里包括等边三角形．按三角形的分类标准逐选项分析.
【详解】钝角三角形属于按角分类，故本选项不符合题意；
三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形里包括等边
三角形和只有两边相等的三角形，故本选项不符合题意；
三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形里包括等边
三角形和只有两边相等的三角形故本选项不符合题意；
三角形按边分类可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（23-24七年级上·山东青岛·开学考试）如图，一个三角形的下都被一张纸遮住了，只露
出了一个角，这个三角形是（ ）三角形．
A．钝角 B．锐角 C．直角 D．无法确定
【答案】D
【分析】本题考查三角形的分类，根据三角形最大的内角的大小可将三角形分为锐角三
角形，直角三角形，钝角三角形，据此即可解答．
【详解】解：根据题意无法判断被纸遮住的两个角的情况，故无法判断这个三角形是什
么类型的三角形．
故选：D
5．（23-24八年级上·河南信阳·期末）下列选项中的命题属于真命题的是（ ）
A．锐角三角形的三个内角都是锐角 B．直角三角形的三个内角都是直角
C．钝角三角形的三个内角都是钝角 D．钝角三角形的两个内角都是钝角
【答案】A【分析】本题考查真假命题的判断，熟练掌握命题的定义是解题的关键，根据三角形的
定义逐一判断即可得到答案．
【详解】解：锐角三角形的三个内角都是锐角，此命题正确，故A选项符合题意；
直角三角形只有一个角是直角，此命题错误，故B选项不符合题意；
钝角三角形只有一个角是是钝角，此命题错误，故C、D选项不符合题意；
故选：A．
6．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°．动点P
从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊
三角形依次是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
【答案】C
【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键．
【详解】解：在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等
边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形，
故选C．
【题型3 构成三角形的条件】
1．（23-24八年级上·重庆·期中）在△ABC中，如果∠A=91°+∠B，那么△ABC是
（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角
三角形
【答案】B
【分析】此题考查了三角形的分类，首先根据题意得到∠A是钝角，进而求解即可．
解题的关键是熟练掌握三角形按角可分为直角三角形，钝角三角形，锐角三角形．
【详解】∵∠A=91°+∠B>90°
∴∠A是钝角，∴△ABC是钝角三角形．
故选：B．
2．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4，4，5 B．1，3，4 C．5，6，12 D．1，6，8
【答案】A
【分析】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小
的两个数的和是否大于第三个数．根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边
之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得
A、4+4>5，能组成三角形，故此选项符合题意；
B、1+3=4，不能组成三角形，故此选项不合题意；
C、5+6<12，不能组成三角形，故此选项不合题意；
D、1+6<8，不能组成三角形，故此选项不合题意．
故选：A．
3．（2025·福建龙岩·一模）若三角形的三边长分别为3，5，m，则m的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．6 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求解即可，熟练掌握
三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：5-3<m<5+3，
∴2<m<8，
∴m的值可以是6，
故选：C．
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的
长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解
题意、列出每段铁丝的长度是解题关键．
根据三角形的三边关系，设最小的长度为1，又因任意三小段都不能拼成三角形，得
每段长度是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，90，依此类推，总和不大于144即可求解．
【详解】解：∵ n段之和为144cm，
∴若n要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小，
∵每段的长度不小于1cm，且其中任意三小段都不能拼成三角形，
∴这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，90，
∵ 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143<144，
1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+90=233>144，
∴小段的长度分别为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
∴n的最大值为10．
故选：B．
5．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm
的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个．
【答案】7
【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差
小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系．
从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的
组合数．
【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有：
2cm，3cm，4cm；
2cm，4cm，5cm；
2cm，5cm，6cm；
3cm，4cm，5cm；
3cm，4cm，6cm；
3cm，5cm，6cm；
4cm，5cm，6cm．
共有 7 种情况．
故答案为： 7 ．
【题型4 三角形三边关系的应用】
1．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知△ABC的三边长分别是a、b、c，化简
|a+b-c|-|b-a-c|的结果是（ ）
A．2a B．2(b-c) C．2(a+b) D．-2b【答案】B
【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，熟练掌握三角形三
边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系得出a+b>c，a+c>b，进而化简绝对
值，即可求解．
【详解】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴a+b>c，a+c>b，
∴a+b-c>0，b-a-c<0，
∴|a+b-c|-|b-a-c|
=a+b-c-[-(b-a-c)]
=a+b-c+b-a-c
=2(b-c)，
故选：B.
2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）三角形的三边分别为3、4-2a、5，则a的取值范围
是（ ）
A．2<a<8 B．0<a<1 C．a<1 D．-2<a<1
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的两边之和大于第三边，两边之
差小于第三边，列出不等式解答即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由三角形三边关系可得，5-3<4-2a<3+5，
解得-2<a<1，
故选：D．
3．（2025·河北唐山·二模）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图
所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（ ）
A．2 B．3 C．4或5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是x，根据题意，可得3<x<17，再由图中挡板高度进一步确定3<x≤5，结合选项即可得到答案．熟记三角
形三边关系是解决问题的关键．
【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为10，一根小棒的长度为7，
设第三根小棒的长度是x，若三根小棒可以围成三角形，
则由三角形三边关系可知10-7<x<10+7，
即3<x<17，
再由图中挡板高度为5，则3<x≤5，
结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，
故选：C．
4．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）已知a、b、c是△ABC的三边，则化简：
|a-b+c|-|-a+b-c|= ．
【答案】0
【分析】本题考查了三角形三边关系，整式化简，熟练掌握三角形三边关系是解题的
关键．
根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，判断式子的
符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．
【详解】解：∵ a、b、c是△ABC的三边，
∴a+c>b，
∴ |a-b+c|-|-a+b-c|=a+c-b-(a+c-b)=a+c-b-a-c+b=0，
故答案为：0．
5．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|a+b-c|；
(2)若a=2，b=5，第三边c的长为奇数，判断△ABC的形状．
【答案】(1)a+b+c
(2)△ABC是等腰三角形
【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形
的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分
类是解题的关键；
（1）根据三角形的三边关系可得a+b>c,b+c>a,a+c>b，然后可去绝对值，进而
问题可求解；
（2）根据三角形的三边关系可得3<c<7，则有c=5，然后问题可求解．【详解】（1）解：∵△ABC的三边长分别为a，b，c，
∴a+b>c,b+c>a,a+c>b，
∴|a-b-c|+|b-c-a|+|a+b-c|
=b+c-a+c+a-b+a+b-c
=a+b+c；
（2）解：∵a=2，b=5，
∴根据三角形三边关系可得3<c<7，
∵第三边c的长为奇数，
∴c=5，
∴b=c=5，
∴△ABC是等腰三角形．
【题型5 三角形的稳定性】
1．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使
吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（
）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可．
【详解】解：吸管一端顶住瓶壁，可以构造一个三角形，
∴这其中用到的数学原理是三角形具有稳定性．
故选：D．
2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）三角形结构在生活中有着广泛的应用，如图所示，利
用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是（ ）A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性
C．三角形的内角和等于180° D．三角形的任意两边之和大于第三边
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角
形的稳定性是解题的关键．
【详解】解：如图所示的利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是三角形的稳
定性
故选：B．
3．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的
几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，采用如图的设计是构造三角形，应用了三
角形的稳定性，理解题意是解题关键．
【详解】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性，
故选：C．
4．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，其
中的数学原理是三角形的 ．【答案】稳定性
【分析】此题考查了三角形稳定性的特性．根据三角形的稳定性进行解答即可．
【详解】解：为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角
形的稳定性，
故答案为：稳定性．
【题型6 三角形的高】
1．（24-25八年级上·北京·期中）已知△ABC，作BC边上的高，下列作图中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形高的定义，掌握三角形高的作法成为解题的关键．
根据三角形高的定义，过A点作BC的垂线即可解答．
【详解】解：作BC边上的高，作图中正确为：
故选：C．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足
分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（ ）A．AC是△ABC的高 B．DE是△BCD的高
C．DE是△ABE的高 D．AD是△ACD的高
【答案】C
【分析】本题考查三角线的高，根据三角形的高线的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、AC⊥BC，AC是△ABC的高，正确，不符合题意；
B、DE⊥BC，DE是△BCD的高，正确，不符合题意；
C、DE⊥BC，DE不是△ABE的高，原说法错误，符合题意；
D、CD⊥AB，则：CD⊥AD，故AD是△ACD的高，正确，不符合题意；
故选C．
3．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂
足为点O，∠AEC=∠B，若AF=4，BF=3，AB=5，则点F到直线AB的距离为
（ ）
A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，熟练应用平行线的
判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．
首先证明EC∥BF，再证明∠AFB=90°，最后运用面积法可求出点F到直线AB的
距离．
【详解】解：∵∠AEC=∠B，
∴EC∥BF，
∵AF⊥CE，
∴∠COF=∠COA=90°,∴∠BFA=∠COF=90°，
设点F到直线AB的距离为h，且AF=4，BF=3，AB=5，
1 1
∴S = AF·FB= AB·h，
△AFB 2 2
1 1
∴ ×3×4= ×5×h，
2 2
12
∴h= =2.4，
5
故选：C
4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，
边BC上的高AD=8，点P为BC上一点，且PE⊥AB，PF⊥AC．则PE+PF的值
为 ．
【答案】9.6
【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接AP，利用
S =S +S 即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
△ABC △ABP △ACP
【详解】解：连接AP，
∵S =S +S ，
△ABC △ABP △ACP
1 1 1
∴ ×BC×AD= AB×PE+ AC×PF，
2 2 2
1 1 1
∴ ×12×8= ×10×PE+ ×10×PF，
2 2 2
∴5(PE+PF)=48，
∴PE+PF=9.6，
故答案为：9.6．【题型7 利用三角形的中线求长度】
1．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD
的周长比△ACD的周长多3cm．若AB=10cm，则AC的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．8cm D．7cm
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做
三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算
即可．
【详解】解：∵AD是边BC上的中线，
∴BD=DC，
∵△ABD的周长比△ACD的周长多3cm，
∴(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=3cm，
∵AB=10cm，
∴AC=7cm，
故选：D．
2．（2025·云南·模拟预测）某校准备在如图所示的三角形空地ABC上种植花卉，需将其分
成面积相等的两块分别种植牡丹和芍药，小敏作出线段AD来划分，那么AD是
△ABC的（ ）
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．以上都不是
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线把三角形分为面积相
等的两部分，即可解题．【详解】解：∵ AD将三角形空地ABC分成面积相等的两部分，
∴ AD是△ABC的中线；
故选：B．
3．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若
AB=6cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC= cm．
【答案】8
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得到CE=BE，
再根据三角形周长计算公式推出AC-AB=2cm，据此可得答案．
【详解】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE=BE，
∵△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，
∴AC+CE+AE-(AB+AE+BE)=2cm，
∴AC-AB=2cm，
∵AB=6cm，
∴AC=8cm，
故答案为：8．
4．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知BD是△ABC的中线，AB=8，BC=5，
且△ABD的周长为16，则△BCD的周长是 ．
【答案】13
【分析】本题考查的知识点是三角形中线定义，解题关键是由三角形中线定义得出
AD=CD．
先根据三角形的中线定义得AD=CD，再根据三角形的周长公式即可得解．
【详解】解：∵BD是△ABC的中线，1
∴AD=CD= AC，
2
∵△ABD的周长为16，
即AB+AD+BD=16，
∴AD+BD=16-AB=16-8=8，
∵△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AD+BD=5+8=13．
故答案为：13．
5．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，△ABC中，AB=8cm，BC=5cm，BD
是△ABC的中线，则△ABD的周长比△BCD的周长大 cm．
【答案】3
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的周长，根据中线的定义可得AD=CD，
再根据三角形的周长即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∴△ABD的周长- △BCD的周长
=AB+BD+AD-(BC+BD+CD)=AB-BC=8-5=3cm，
故答案为：3．
6．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，△ABC中，AB=10,AC=8，AD为BC边上
的中线，若△ACD的周长为22，则△ABD的周长是 ．
【答案】24
【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做
三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到BD=DC，再根据三角形周长公式计算
即可．【详解】解：∵AD为BC边上的中线，
∴BD=DC，
∵△ACD的周长为22，
∴AC+AD+CD=22，
∴AC+AD+BD=22，
∵AC=8，
∴AD+BD=14，
∵AB=10，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=10+14=24，
故答案为：24．
7．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，BD是△ABC的中线，△ABC的周长为
9,AB+BC=5，求CD的长．
【答案】2
【分析】本题主要考查三角形中线的计算，掌握中线的定义是关键．
根据三角形的周长得到AC=4，由中点的定义得到AC=2CD，由此即可求解．
【详解】解：∵△ABC的周长为AB+BC+AC=9，AB+BC=5，
∴AC=4，
又∵BD是△ABC的中线，
∴点D是AC的中点，
∴AC=2CD，
∴CD=2．
8．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在△ABC中，BC=10，AB=2．
(1)若AC是偶数，求AC的长；
(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为13，求△BCD的周长．
【答案】(1)AC=10
(2)△BCD的周长为21
【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之
和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得
8<AC<12，根据AC是偶数得AC=10；
（2）根据BD是△ABC的中线得AD=CD，根据△ABD的周长为13和AB=2即可求
解．
【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：10-2<AC<10+2，
即8<AC<12，
∵AC是偶数，
∴AC=10；
（2）解：∵△ABD的周长为13，
∴AB+AD+BD=13，
∵AB=2，
∴AD+BD=11，
∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∴CD+BD=11，
∵BC=10，
∴△BCD的周长=BC+CD+BD=11+10=21．
9．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，CD，CE分别是△ABC的高和中线，若
AC=6，BC=8，AB=10，∠ACB=90°．
(1)求CD的长．
(2)求△BCE与△ACE的周长之差．
24
【答案】(1)
5
(2)2
【分析】本题考查了三角形高、中线的概念，利用面积法求三角形的高；
（1）利用面积法即可求得高CD的长；
（2）由中线的意义得BE=AE，则△EBC与△ACE的周长之差为BC-AC，从而可
求解．1 1
【详解】（1）解： S = AB⋅CD= AC⋅BC，
△ABC 2 2
∵
AC⋅BC 6×8 24
CD= = = ；
AB 10 5
∴
（2）解： CE是∠ABC的中线，
BE=AE；∵
∴△EBC与△ACE的周长之差为：
∴BE+CE+BC-(AC+CE+AE)=BC-AC=8-6=2．
【题型8 利用三角形的中线求面积】
1．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、
AD、CE的中点，若阴影部分的面积为3，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】A
【分析】本题考查了求有关三角形中线的面积问题，由三角形的面积得
1 1 1 1
S = S =3，S = S = S ，S = S ，即可求解；掌握三
△BEF 2 △BCE △BDE 2 △ABD 2 △BCE △ABD 2 △ABC
角形中线将三角形面积平分是解题的关键．
【详解】解：∵点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，
1
∴S = S =3，
△BEF 2 △BCE
1 1
S = S = S ，
△BDE 2 △ABD 2 △BCE
1
S = S ，
△ABD 2 △ABC
∴S =6，
△BCE
∴S =6，
△ABD∴ S =2×6=12，
△ABC
故选：A．
2．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分
别为BC，AD，CE的中点，且S =4 cm2 ，则阴影部分的面积为（ ）cm2．
△ABC
A．2 B．1.5 C．1 D．不确定
【答案】C
【分析】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面
积相等．易得△ABD、△ACD的面积均为△ABC面积的一半，同理可得
1
S =S = S =1cm2 ，进而得到S =2cm2 ，由F为EC中点，可得阴影部
△BDE △CDE 2 △ABD △BCE
分的面积等于△BEC的面积的一半．
【详解】解：∵ D为BC中点，
1 1
∴ S =S = S = ×4=2cm2 ，
△ABD △ACD 2 △ABC 2
∵ E为AD中点，
1 1
∴ S =S = S = ×2=1cm2 ，
△BDE △CDE 2 △ABD 2
∴ S =S +S =2cm2 ，
△BCE △BDE △CDE
∵ F为EC中点，
1
∴ S = S =1cm2 ，即阴影部分的面积为1cm2，
△BEF 2 △BCE
故选：C．
3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，
E是AC的中点，BC=3BD，BE与AD相交于点F，S =6，则△ACD的面积为
△ABE
（ ）A．9 B．12 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，据此可得
2 2
S =2S =12，再求出CD= BC，则S = S =8．
△ABC △ABE 3 △ACD 3 △ABC
【详解】解：∵E是AC的中点，S =6，
△ABE
∴S =2S =12，
△ABC △ABE
1
∵BC=3BD，即BD= BC
3
2
∴CD= BC，
3
2
∴S = S =8（等高三角形的面积之比等于底边长之比），
△ACD 3 △ABC
故选：C．
4．（2025·浙江杭州·一模）如图，在△ABC中，BC=4，BD是AC边上的中线，D点到
BC的距离为2，则S = ．
△ABC
【答案】8
【分析】本题考查了三角形的中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．
先根据三角形的面积公式可得S =4，再根据三角形中线的性质可得
△CBD
S =2S ，由此即可得．
△ABC △CBD
【详解】解：∵BC=4，D点到BC的距离为2，
1
∴S = ×4×2=4，
△CBD 2∵在△ABC中，BD是AC边上的中线，
∴S =2S =8，
△ABC △CBD
故答案为：8．
5．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，点D为BC中点，连接AD．点E为
AB上一点，连接CE交AD于F．若CF=3EF，S =1，则S = ．
△AEF △ABC
【答案】12
【分析】本题考查了三角形的中线与线段倍和差求面积，连接BF，由CF=3EF，
S =1，得S =3，又点D为BC中点，则S =S ，S =S ，设
△AEF △AFC △BFD △CFD △ABD △ACD
2 5
S =S =x，从而有S =S +S +S =1+ x+x=1+ x，解出x
△BFD △CFD △ABD △AEF △BEF △BFD 3 3
即可．
【详解】解：如图，连接BF，
∵CF=3EF，S =1，
△AEF
∴S =3，
△AFC
∵点D为BC中点，
∴BD=CD，
∴S =S ，S =S ，
△BFD △CFD △ABD △ACD
设S =S =x，
△BFD △CFD
∴S =2x，
△BCF
∵CF=3EF，
2
∴S = x，
△BEF 3
2 5
∴S =S +S +S =1+ x+x=1+ x，S =S +S =3+x，
△ABD △AEF △BEF △BFD 3 3 △ACD △AFC △DFC5
∴1+ x=3+x，
3
解得：x=3，
∴S =2S =2×(3+x)=12，
△ABC △ACD
故答案为：12．
6．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分
别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为 ．
10 3
【答案】 /1
7 7
【分析】本题考查了三角形面积，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两
部分． 根据每条中线将三角形分为面积相等的两部分，计算即可得到答案．
【详解】解：连接AE，BF，CD，
∵点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点
∴AD=DF，BE=ED，EF=FC，
∴S =S ，S =S ，S =S ，S =S ，S =S ，
△ADC △CDF △AED △ABE △BEF △EFD △EBF △BFC △ABD △BDF
S =S ，
△AEF △AFC
1
∴△ABC被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是△ABC的 ，
7
10
所以阴影部分的面积是 ．
710
故答案为： ．
7
1．（24-25八年级上·天津和平·期末）在△ABC中，AB=BC，中线AD将这个三角形的周
长分为15和21两部分，则AC的长为（ ）
A．16 B．11 C．16或8 D．11或1
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形三边关系，二元一次方程组的应用，利用
分类讨论的思想解决问题是关键．设AB=BC=2m，AC=n，则BD=CD=m，分两
种情况列二元一次方程求解，再利用三角形的三边关系检验即可．
【详解】解：设AB=BC=2m，AC=n，
∵ AD是中线，
∴BD=CD=m，
∵中线AD将这个三角形的周长分为15和21两部分，
当AB+BD=15，AC+CD=21时，
则¿，
解得：¿；
即△ABC的三边长为10、10、16，符合题意；
当AB+BD=21，AC+CD=15时，
则¿，
解得：¿；
即△ABC的三边长为14、14、8，符合题意；综上可知，AC的长为16或8，
故选：C．
2．（24-25七年级下·河北保定·期中）小颖在学习三角形时发现三角形的中线可以将三角形
的面积分成相等的两部分，课后小颖和同学们进一步研究三角形中线的问题．如图，
已知△ABC的面积为2，分别延长BC至点D，使CD=BC，延长CA至点E，使
AE=AC，延长AB至点F，使BF=AB，依次连接DE，EF，FD，则阴影部分的
面积为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接AD、BE、CF，可得
S =S =2，即得S =S =2，进而得到S =S +S =4，同理可
△ABE △ABC △BEF △ABE △AEF △ABE △BEF
得S =4，S =4，再根据S =S +S +S 即可求解．
△BDF △CDE 阴影 △AEF △BDF △CDE
【详解】解：如图，连接AD、BE、CF，
∵AE=AC，△ABC的面积为2，
∴S =S =2，
△ABE △ABC
∵BF=AB，
∴S =S =2，
△BEF △ABE
∴S =S +S =2+2=4，
△AEF △ABE △BEF
同理可得，S =4，S =4，
△BDF △CDE
∴S =S +S +S =4+4+4=12，
阴影 △AEF △BDF △CDE
故选：B．
