专题 24.5 直线与圆的位置关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 判断点与圆的位置关系】..........................................................................................................................1
【题型2 由点与圆的位置关系求半径】..................................................................................................................4
【题型3 判断直线和圆的位置关系】......................................................................................................................7
【题型4 由直线与圆的位置关系求半径】...........................................................................................................10
【题型5 由直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】...................................................................................13
【题型6 由直线与圆的位置关系求交点个数】...................................................................................................15
【题型7 由直线与圆的位置关系求最值】...........................................................................................................16
【题型8 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】.......................................................................................21
【题型9 求直线平移到与圆相切时运动的距离】...............................................................................................25
【题型10 由圆与图形的公共点的个数求参数的取值范围】...............................................................................29
知识点1：点与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。
2. 用数量关系表示：若设⊙O的半径就是r，点P到圆的距离OP=d，则有：
点P在圆外,则 d＞r；点p在圆上则d=r；点p在圆内则d＜r,反之也成立。
【题型1 判断点与圆的位置关系】
【例1】（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知⊙O的半径为1，点A到圆心O的距离为a，若关于x的方程
x2−2x+a=0不存在实数根，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，根据一元二次方程根的情况，判断
a的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的
位置关系的方法是解题的关键．
【详解】解：由题意，得Δ=b2−4ac=4−4a<0，
解得a>1，∴a>r=1，则点A在⊙O外，
故选：A．
【变式1-1】（23-24九年级·重庆梁平·期末）平面直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径作⊙O，则
点A(1，2)与⊙O的位置关系为点A在 ．
【答案】圆外
【分析】本题考查点与圆的位置关系． 若⊙O的半径为r，一点P和圆心O的距离为d，当d=r时，点P
在⊙O上；当d<r时，点P在⊙O内；当d>r时，点P在⊙O外．熟记相关结论即可．
【详解】解：∵点A(1，2)
∴OA=❑√12+22=❑√5
∵❑√5>2
∴点A(1，2)在⊙O外．
故答案为：圆外．
【变式1-2】（23-24九年级·吉林通化·期末）如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(2，4)、
C(4，2)．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）点D(3，−1)与⊙M的位置关系为点D在⊙M （填内、外、上）．
【答案】 (1，1) ❑√10 内
【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点M，点M即为所求；
（2）根据点M的位置写出坐标即可，利用勾股定理求出半径；
（3）根据点与圆的位置关系判断即可．
【详解】解：（1）如图，
∵点M是线段AB，BC的垂直平分线的交点，∴MA=MB=MC，
∴点M是经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，
∴点M(1，1)即为所求．
故答案为：(1，1)．
（2）∵M(1，1)，点A在⊙M上，
∴MA=❑√12+32=❑√10．
故答案为：❑√10．
（3）∵D(3，−1)，M(1，1)，
∴MD=❑√(3−1) 2+(−1−1) 2=2❑√2，
∵2❑√2<❑√10，
∴MD<MA，
∴点D(3，−1)在⊙M的内部．
故答案为：内．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，坐标与图形的性质，垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，三角
形的外接圆与外心等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．
【变式1-3】（2024·河北邯郸·二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线
上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形PQMN；②利用尺规分别作PQ，PN的垂直平分线，
两直线交于点O．若以点O为圆心，OP长为半径画⊙O，则不一定在⊙O上的点是（ ）A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上的任意一点，到线段
两端的距离相等是解题的关键；
连接OP，OQ，OM，ON，由线段垂直平分线的性质可得出OP=OQ=ON，据此即可得出结论．
【详解】解：连接OP，OQ，OM，ON
∵作PQ，PN的垂直平分线，两直线交于点O，
∴OP=OQ=ON，
∴点P，Q， N在点O为圆心，OP长为半径的圆上，OM与ON的大小关系不能确定，
∴点M不一定在圆上，
故选：C．
【题型2 由点与圆的位置关系求半径】
【例2】（23-24九年级·浙江·期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=4,BC=7，点D在边BC
上，且BD=3，连接AD．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的
值可能为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到圆心距离为d，半径为r，当d>r时，
点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．先根据勾股定理求出AD=❑√AB2+BD2=5，再
得出CD=BC−BD=4，根据点A，B，C中只有1个点在圆内，推出3<r≤4，即可解答．
【详解】解：∵∠B=90°,AB=4,BD=3,BC=7，
∴AD=❑√AB2+BD2=5，CD=BC−BD=7−3=4，
∵点A，B，C中只有1个点在圆内，BD<CD<AD，
∴在圆内的点为点B，
∴3<r≤4，
故选：B．
【变式2-1】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）已知⊙O半径为r，点P为⊙O内一点，OP=4，则r满足的
条件是（ ）
A．r=4 B．r>4 C．0<r<4 D．r≠4
【答案】B
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，即可求解．
【详解】解：∵⊙O半径为r，点P为⊙O内一点，OP=4，
∴r>4．
故选：B
【变式2-2】（2024·上海闵行·三模）若点P到⊙A上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，
那么⊙A的半径为 ．
【答案】3或者5
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在⊙A外和⊙A内两种情况讨论，当点P在⊙A外时，
最大距离与最小距离之差等于直径；当点P在⊙A内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得．【详解】解：点P在⊙A外时，
∵⊙O外一点P到⊙O上所有的点的距离中，最大距离是8，最小距离是2，
8−2
∴⊙O的半径长等于 =3；
2
点P在⊙A内时，
∵⊙O内一点P到⊙O上所有的点的距离中，最大距离是8，最小距离是2，
8+2
∴⊙O的半径长等于 =5，
2
故答案为：3或者5．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江宁波·期中）数轴上有两个点A和B，点B表示实数16，点A从原点出发，
以每秒2个单位的速度向右运动，运动速度为t,⊙B半径为4，若点A在⊙B外，则（ ）
A．t<6或t>10 B．6<t<10 C．t<12琙t>20 D．12<t<20
【答案】A
【分析】本题主要考查了实数与数轴，点与圆的位置关系，解不等式，根据题意可得AB=|2t−16)，再由
点A在圆外可得AB>4，即可得到|2t−16)>4，解之即可得到答案．
【详解】解：由题意得，点A表示的数为2t，
∴AB=|2t−16)，
∵⊙B半径为4，点A在⊙B外，
∴AB>4，
∴|2t−16)>4，
∴2t−16>4或2t−16<−4，
∴t<6或t>10，
故选A．
知识点2：直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。
2. 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示:
若设⊙O的半径就是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交则d ＜ r；
直线l与⊙O相切则 d = r；
直线l与⊙O相离则d ＞ r,反之也成立。
【题型3 判断直线和圆的位置关系】
【例3】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，点D在边AB上，且AD=5，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，三角形中位线定理等知识．关键要记住若半径为r，点
到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内．首先根据
1
三角形中位线的性质得出OP= AD，进而利用点与圆的位置关系得出即可．
2
【详解】解：连接OP，
∵以AC为直径作⊙O，线段CD的中点为P，
∴OP是△CAD的中位线，
1
∴OP= AD=2.5，
2
1
∵AO=CO= AC=2，
2
∴2<2.5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外．
故选：C．
【变式3-1】（23-24九年级·福建莆田·期中）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=6cm，则点A
与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若d<r，则点在圆内；若d=r，则点在圆上；若d>r，则点在圆外是解答此题的关键．直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：∵d=OA=6cm，r=5cm，
∴d>r，
∴点A在圆外，
故选：C．
【变式3-2】（23-24九年级·浙江金华·期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC=5，S =10❑√6
四边形ABCD
，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与⊙C的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能
【答案】A
【分析】根据面积公式计算点C到AD的距离d，比较d与半径BC的大小判断即可．
【详解】∵在平行四边形ABCD中，BC=5，S =10❑√6，
四边形ABCD
10❑√6
∴点C到AD的距离d= =2❑√6=❑√24＜❑√25=5=BC=R，
5
∴直线与圆C相交，
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d、r法则，熟练掌握法则是解题的关键．
【变式3-3】（2024·江苏无锡·一模）如图，在矩形BCDE中，BC=12，CD=8，以BC为直径作⊙O，
延长CB到点A，使BA=6，点Q是⊙O上的动点，线段AQ的中点为M，点P为DE上一动点．
（1）直线ED与⊙O的位置关系为 ；
（2）PC+PM的最小值为 ．【答案】 相离 17
【分析】（1）根据矩形的性质得出点O到ED距离为CD=8，根据圆心到直线大于半径即可得出结论；
（2）根据题意得出M在以B为圆心，3为半径的圆上运动，根据轴对称的性质连接C′B，交ED于点P，则
此时PC+PM取得最小值，勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵在矩形BCDE中，BC=12，CD=8，
∴OB=OC=6,点O到ED距离为CD=8，
∵6<8，
∴直线ED与⊙O的位置关系为相离，
故答案为：相离．
（2）如图所示，连接OQ，
∵OB=6，BA=6，
∴B为AO的中点，
∵线段AQ的中点为M，
1
∴BM= QO =3，
2
即M在以B为圆心，3为半径的圆上运动，
作点C关于DE的对称轴点C′，则PC=PC′
连接C′B，交ED于点P，则此时PC+PM取得最小值，
∵CC′=2CD=16,BC=12，
∴BC′=❑√BC2+CC′2=20，
∴PC+PM =PC′+PM=BC−MN=20−3=17，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，熟练
掌握以上知识是解题的关键．【题型4 由直线与圆的位置关系求半径】
【例4】（23-24九年级·湖北鄂州·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=8．若以点C为圆心，
R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是 ．
【答案】R=4.8或6<R≤8
【分析】分两种情况，①相切，画出符合条件的图形，然后根据切线性质和三角形的面积即可求出答案；
②相交，画出图形如图所示，进而确定R的取值范围，从而使问题得解．
【详解】∵∠C=90°,AC=6,BC=8
∴AB=10，
分为两种情况：①如图1，当⊙C与AB相切时，只有一个公共点，则CD⊥AB．
1 1
由三角形的面积公式得：S ❑ = ×AC×BC= ×AB×CD，
△ ABC 2 2
∴6×8=10×CD，
∴CD=4.8，
即R=4.8．
②如图2，当6<R≤8时，⊙C与AB只有一个公共点，
故答案为：R=4.8或6<R≤8．
【点睛】本题侧重考查直线与圆的位置关系类型的习题，解决本题需要掌握直线与圆的位置关系等有关知
识．
【变式4-1】（23-24九年级·重庆大足·期末）已知⊙O的圆心到直线l的距离是一元二次方程x2−x−6=0
的一个根，若⊙O与直线l相切，⊙O的半径的值为（ ）A．2 B．3 C．6 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出d=3，再根据直线
与圆相切可得出r=3，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键．
【详解】解：∵x2−x−6=0，
∴(x−3)(x+2)=0，
∴x−3=0或x+2=0，
∴x =3，x =−2，
1 2
∵ ⊙O的圆心到直线l的距离是一元二次方程x2−x−6=0的一个根，
∴d=3，
∵ ⊙O与直线l相切，
∴ ⊙O的半径r=d，即r=3，
故选：B．
【变式4-2】（23-24九年级·全国·课后作业）已知Rt△ABC的斜边AB=6，直角边AC=3，以点C为圆心
作⊙C．
(1)当半径r为________时，直线AB与⊙C相切；
(2)当⊙C与线段AB只有一个公共点时，半径r的取值范围为________；
(3)当⊙C与线段AB没有公共点时，半径r的取值范围为__________．
3❑√3
【答案】(1) ；
2
3❑√3
(2)r= 或3<r≤3❑√3；
2
3❑√3
(3)0<r< 或r>3❑√3．
2
【分析】（1）如图作CH⊥AB于H，求出CH的值即可判断；
3❑√3
（2）当⊙C与线段AB只有一个公共点时，半径r的取值范围为r= 或 3<r≤3❑√3；
2
3❑√3
（3）当⊙C与线段AB没有公共点时，半径r的取值范围为0<r< 或r>3❑√3，
2
本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，AB=6，AC=3，∠ACB=90°，
∴由勾股定理得BC=❑√AB2−AC2=3❑√3，
1 1
∵S = AC⋅BC= AB⋅CH，
△ABC 2 2
AC⋅BC 3×3❑√3 3❑√3
∴CH= = = ，
AB 6 2
3❑√3
∴当半径r= 时，直线AB与⊙C相切，
2
3❑√3
故答案为：r= ；
2
（2）观察图形可知，
3❑√3
当⊙C与线段AB只有一个公共点时，半径r的取值范围为r= 或 3<r≤3❑√3，
2
3❑√3
故答案为：r= 或3<r≤3❑√3；
2
（3）观察图形可知，
3❑√3
当⊙C与线段AB没有公共点时，半径r的取值范围为0<r< 或r>3❑√3，
2
3❑√3
故答案为：0<r< 或r>3❑√3．
2
【变式4-3】（23-24九年级·福建厦门·期中）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，以3为半径的
圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动．若过点P与OA平行的直线与⊙O有公共点，设点P在数轴上表示
的数为x．则x的取值范围是（ ）A．0≤x≤3❑√2 B．x＞3❑√2 C．﹣3≤x≤3 D．﹣3❑√2≤x≤3❑√2，且x≠0
【答案】D
【分析】首先作出圆的切线，求出直线与圆相切时的P的取值，再结合图象可得出P的取值范围，即可得
出答案．
【详解】解：∵半径为1的圆，∠AOB＝45°，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，
∴当P′C与圆相切时，切点为C，
∴OC⊥P′C，
CO＝3，∠P′OC＝45°，
OP′＝3❑√2，
∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0＜x≤3❑√2，
同理可得：
过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即﹣3❑√2≤x＜0，
综上所述：﹣3❑√2≤x≤3❑√2，且x≠0．
故选D．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关
键．
【题型5 由直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】
【例5】（23-24九年级·江苏泰州·期中）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图像上，以P为圆心，2
为半径的圆与y轴相交，则n的取值范围是 ．
【答案】1≤n<10
【详解】先分析点P(m,n)为圆心、2为半径的圆与y轴相交，得出P(m,n)横坐标m的范围，根据函数对称
轴位置确定当m取何值时n取到最值，得到n的最大值、最小值，再根据相交位置关系判断最值是否可取，
确定符号即可得出结论．
【解答】解：∵y=x2+2x+2=(x+1) 2+1，
∴二次函数y=x2+2x+2的图像开口向上，顶点(−1,1)，对称轴是直线x=−1，∵P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图像上，以P为圆心，2为半径的圆与y轴相交，
∴−2<m<2，
∵抛物线开口向上，−1−(−2)<2−(−1)，
∴当m=−1，时，n =1，
min
当m=2，时，n =10，且此时圆与y轴相切，故n不可取到10．
max
∴1≤n<10．
【点睛】本题考查了二次函数的的增减性和直线与圆的位置关系，解答关键是根据数形结合思想讨论n的
取值范围．
【变式5-1】（2024·湖北武汉·二模）如果直径为13cm的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的
距离d满足（ ）
A．d=13cm B．d=6.5cm
C．0cm≤d<6.5cm D．d>6.5cm
【答案】C
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离
d的取值范围．先求出圆的半径为6.5cm，再根据直线与圆相交时，d的取值范围．
1
【详解】解：∵圆的半径为 ×13=6.5(cm)
2
∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离0cm≤d<6.5cm，
故选：C．
【变式5-2】（2024·天津滨海新·一模）⊙O的直径为10，直线l与⊙O相交，圆心O到l的距离为d，下
列结论正确的是（ ）
A．d>5 B．d<5 C．d=5 D．d=10
【答案】B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系的性质．
根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，得d<5．
【详解】解：∵⊙O的直径为10，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为d，
10
∴d< ，即d<5，
2
故选：B．
【变式5-3】（23-24九年级·湖北武汉·期末）平面内，⊙O的半径为5，若直线l与⊙O相离，则圆心O到
直线l的距离可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A
【分析】本题考查直线与圆相离的判定，根据相离的判定逐项验证即可得到答案，熟记直线l与⊙O相
离，得到圆心O到直线l的距离大于⊙O半径是解决问题关键．
【详解】解：∵ ⊙O的半径为5，若直线l与⊙O相离，
∴由相离定义可知圆心O到直线l的距离大于半径5，
∴根据四个选项中的距离可知，只有6符合要求，
故选：A．
【题型6 由直线与圆的位置关系求交点个数】
【例6】（23-24九年级·全国·期末）已知，Rt△ABC中，∠C=90∘，斜边AB上的高为5cm，以点C为圆
心，4.8为半径的圆与该直线AB的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直
线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【详解】解：∵5cm＞4.8cm，
∴d> r.
∴圆与该直线AB的位置关系是相离，交点个数为0，
故选A．
【点睛】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，关键是掌握d与r的大小关系所决定的直线与圆
的位置关系．
【变式6-1】（23-24九年级·河北石家庄·期中）已知⊙O的半径是一元二次方程x2−2x−3=0的一个根，
圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O有 个交点．
【答案】0
【分析】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，解出方程根据圆的半径大于0舍去方程得负
数根，根据“圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆无交点；圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆
相切，有一个交点；圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆有两个交点”得到结果，是解题的关键．
【详解】解：解x2−2x−3=0，可得x =3,x =−1，
1 2
∵⊙O的半径是一元二次方程x2−2x−3=0的一个根，
∴圆的半径为3，
∵圆心O到直线l的距离为4，
∴直线l与⊙O有0个交点，故答案为：0．
【变式6-2】（2024·广西梧州·一模）已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与
⊙O的交点个数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【详解】试题分析：根据直线和园的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆距离，则直线l与O的位置关
系是相离．
解答：解：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，
∴直线l与O的位置关系是相交，所以交点的个数为2．
故选C.
考点：直线与圆的位置关系.
【变式6-3】（23-24九年级·天津河北·期中）若直线l与圆心O的距离大于 O的半径，则直线l与 O的
交点个数为 ． ⊙ ⊙
【答案】0
【分析】根据直线和圆的位置关系填空即可．
【详解】解：∵直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径，
∴直线l与⊙O相离，
∴直线l与⊙O无交点，
故答案为:0．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，当直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径，直线l与⊙O相离，
直线l与⊙O无交点；当直线l与圆心O的距离等于⊙O的半径，直线l与⊙O相切，直线l与⊙O有1个交
点；当直线l与圆心O的距离小于⊙O的半径，直线l与⊙O相交，直线l与⊙O有2个交点．
【题型7 由直线与圆的位置关系求最值】
3
【例7】（2024·山东·一模）如图，已知直线y＝ x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，
4
1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则 PAB面积的最小值是（ ）
△11 9
A．6 B． C．5 D．
2 2
【答案】B
1
【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得， ×AB×CM=
2
1 3 16 11
×OA×BC，可知圆C上点到直线y= x-3的最短距离是 −1= ，由此求得答案．
2 4 5 5
3
【详解】解：∵直线y＝ x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
4
∴当x=0时，y=-3；y=0时，x=4
∴OB=3；OA=4
由勾股定理得，AB=❑√OA2+OB2=5
∵C（0，1）
∴OC=1
∴BC=OB+OC=3+1=4
过C作CM⊥AB于M，连接AC，如图，1 1
则由三角形面积公式得， ×AB×CM= ×OA×BC，
2 2
∴5×CM=16，
16
∴CM= ，
5
3 16 11
∴圆C上点到直线y= x-3的最小距离是 −1= ，
4 5 5
1 11 11
∴△PAB面积的最小值是 ×5× = ，
2 5 2
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是
求出圆上的点到直线AB的最小距离．
【变式7-1】（2024·江苏无锡·一模）如图，在矩形BCDE中，BC=12，CD=8，以BC为直径作⊙O，
延长CB到点A，使BA=6，点Q是⊙O上的动点，线段AQ的中点为M，点P为DE上一动点．
（1）直线ED与⊙O的位置关系为 ；
（2）PC+PM的最小值为 ．
【答案】 相离 17
【分析】（1）根据矩形的性质得出点O到ED距离为CD=8，根据圆心到直线大于半径即可得出结论；
（2）根据题意得出M在以B为圆心，3为半径的圆上运动，根据轴对称的性质连接C′B，交ED于点P，则
此时PC+PM取得最小值，勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵在矩形BCDE中，BC=12，CD=8，
∴OB=OC=6,点O到ED距离为CD=8，
∵6<8，
∴直线ED与⊙O的位置关系为相离，
故答案为：相离．
（2）如图所示，连接OQ，
∵OB=6，BA=6，∴B为AO的中点，
∵线段AQ的中点为M，
1
∴BM= QO =3，
2
即M在以B为圆心，3为半径的圆上运动，
作点C关于DE的对称轴点C′，则PC=PC′
连接C′B，交ED于点P，则此时PC+PM取得最小值，
∵CC′=2CD=16,BC=12，
∴BC′=❑√BC2+CC′2=20，
∴PC+PM =PC′+PM=BC−MN=20−3=17，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，熟练
掌握以上知识是解题的关键．
【变式7-2】（2024·江苏连云港·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以A
为圆心4为半径D圆上的一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最小值是 ．
【答案】3
【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中
位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．
【详解】作AB的中点E，连接EM、CE，在直角△ABC中，AB=❑√AC2+BC2=❑√62+82=10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
1
∴CE= AB=5，
2
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
1
∴ME= AD=2，
2
∴在△CEM中，5-2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7，
∴最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半解答．
【变式7-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知AB为半圆的直径，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，
BC＝3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是 ．
【答案】2+❑√2
【分析】五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积只要求出△CDP面积的最小值，作
EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小．
【详解】解：∵五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积，
∴只要求出△CDP面积的最小值，
作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，
易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小，
易知AD＝2❑√2，
1 1 1 1
∵四边形ABCD的面积＝ （1+3）×2＝4＝ ×1×1+ •AD•OH+ •1•3，
2 2 2 2
∴OH＝❑√2，
∴PH＝❑√2﹣11，
∴△CAD的面积最小值为2﹣❑√2，
∴五边形ABCDP面积的最大值是4﹣（2﹣❑√2）＝2+❑√2．
故答案为2+❑√2．
【点睛】本题主要考查了求解多边形的面积知识点，结合圆的切线的性质进行求解是解题的重要步骤．
【题型8 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】
【例8】（2024·河北·模拟预测）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为2cm的P的圆心在
射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直
线CD相切时☉P运动的时间是（ ）
A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒
【答案】D
【分析】作PH⊥CD于H，根据直角三角形的性质得到OP＝2PH，分点P在OA上、点P在AO的延长线上两种情况可，根据切线的性质解答．
【详解】解：作PH⊥CD于H，
在Rt△OPH中，∠AOC＝30°，
∴OP＝2PH，
当点P在OA上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm，
∴点P运动的距离为6﹣4＝2，
∴⊙P运动的时间是2秒，
当点P在AO的延长线上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm，
∴点P运动的距离为6+4＝10，
∴⊙P运动的时间是10秒，
故选：D．
【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关
键．
【变式8-1】（2024·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为
(−3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是
．
【答案】1<d<5/5>d>1
【分析】分两种情况讨论：⊙P位于y轴左侧和⊙P位于y轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分
别求解，即可得到答案．
【详解】解：⊙P的圆心P的坐标为(−3,0)，
∴OP=3，
∵⊙P的半径为2，∴AP=BP=2，
∴OA=1，OB=5，
∴当⊙P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1，
当⊙P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5，
∴平移的距离d的取值范围是1<d<5，
故答案为：1<d<5．
【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的
距离等于圆的半径．
【变式8-2】（2024九年级·浙江宁波·学业考试）如图，RtΔACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，半径
为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】连接OA，OB，OC，设此时点O到AC的距离为h，根据S =S +S +S ，求出
△ABC △AOC △BOC △AOB
S ，即可求出h，即可得到答案．
△AOC
【详解】当⊙O与AB，BC相切时，如图，连结OA，OB，OC，设此时点O到AC的距离为h，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB=❑√AC2+BC2=10，
∴S =S +S +S ，
△ABC △AOC △BOC △AOB
1 1
∴ AC·BC=S + （AB+BC）×1，
2 △AOC 2
1 1
∴ ×6×8=S + ×（8+10）×1，
2 △AOC 2
1 1
∴S =24-9=15= AC·h= ×6×h，
△AOC 2 2
∴h=5，
∴⊙O的平移距离为5-1=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的面积，勾股定理，掌握知识点是解题关键．
【变式8-3】（23-24九年级·浙江杭州·期末）如图，在边长为6cm的菱形ABCD中，∠BAD=60°，半径
为1cm的⊙P沿着射线AC以1cm/s的速度运动，运动的时间为t，PA=1cm． 则动点P运动时间
（单位：s）时，⊙P与菱形ABCD的边没有交点．
【答案】3<t<6❑√3−1或t>6❑√3+2．
【分析】作出⊙P运动过程中恰好与菱形有交点时的图形，求出P，P，P 与P点的距离，可得出运动时
1 2 3
间，从而得出无交点时的时间范围．
【详解】如图所示，⊙P运动过程中恰好与与菱形有交点时有三个位置：P，P，P，
1 2 3
连接BD，与AC交于点H，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°
∴BD⊥AC，AH=HC，∠DAC=30°
在Rt△ADH中，AD=6cm
❑√3
∴AH=AD⋅cos30°=6× =3❑√3cm
2
∴AC=2AH=6❑√3cm
①当P运动到P 时，圆与AD相切与点E，连接PE，
1 1
∴PE⊥AD
1
在Rt△AP E中，PE=PA=1cm，∠PAE=30°
1 1 1
∴PA=2 P E=2cm，
1 1
∴PP= P A+PA=3cm
1 1
3
∴P运动到P 位置时，时间t= =3s
1 1 1
②当P运动到P 时，圆与CD相切与点F，连接PF，
2 2
∴PF⊥CD
2
同①可得PC=2cm，
2
此时PA=AC-P C=(6❑√3−2)cm，PP=P A+PA=(6❑√3−1)cm
2 2 2 2
6❑√3−1
∴P运动到P 位置时，时间t= =(6❑√3−1)s
2 2 1
③当P运动到P 时，点C在圆上且圆心在点C的右侧，
3
此时PP=P C+AC+PA=1+6❑√3+1=(6❑√3+2)cm
3 3
6❑√3+2
∴P运动到P 位置时，时间t= =(6❑√3+2)s
3 3 1
由图可知，当圆P运动到PP 之间（不含P、P），或者运动到P 右侧时，与菱形的边无交点，
1 2 1 2 3
∴动点P运动时间3<t<6❑√3−1或t>6❑√3+2
故答案为：3<t<6❑√3−1或t>6❑√3+2．
【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，熟练掌握切线的性质，作出临界点的图形进行分析是解题的关
键．
【题型9 求直线平移到与圆相切时运动的距离】
【例9】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，⊙O半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l
交⊙O于A，B两点，AB=16cm，将直线l沿OC所在直线向下平移，若l恰好与⊙O相切时，则平移的距离为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．16cm
【答案】B
【分析】连接OA，由垂径定理和勾股定理得OH=6，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得
CH=OC−OH=2cm．
【详解】解：连接OA，
∵l⊥OC，
1
∴AH= AB=8，OA=OC=10，
2
∴OH=❑√OA2−AH2=❑√102−82=6，
∵将直线l沿OC所在直线向下平移，若l恰好与⊙O相切时，
∴CH=OC−OH=4cm，
即直线在原有位置向下移动4cm后与圆相切．
故选：B．
【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键．
【变式9-1】（2024九年级·全国·专题练习）已知：直线y=kx(k≠0)经过点(3,−4).
（1）求k的值；
（2）将该直线向上平移m(m>0)个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相离（点O为坐标原
点），试求m的取值范围.4
【答案】（1）− ；（2）m>10
3
【分析】（1）利用待定系数法解答；
（2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关
系的判定解答．
【详解】（1）因为直线y=kx(k≠0)经过点(3,−4)，
所以−4=3k，
4
即k=− ，
3
4
故答案为−
3
4
（2）由（1）及题意知，平移后得到的直线l所对应的函数关系式为y=− x+m(m>0)，设直线l与x轴、
3
y轴分别交于点A、B（如图所示），
3
当x=0时，y=m；当y=0时，x= m.
4
(3 ) 3
所以A m,0 ，B(0,m)，即OA= m，OB=m.
4 4
√ 9 5
在RtΔOAB中，AB=❑√OA2+OB2=❑ m2+m2= m.
16 4
过点O作OD⊥AB于D，
1 1
因为S = OD⋅AB= OA⋅OB，
ΔABO 2 2
1 5 1 3
所以 OD⋅ m= ⋅ m⋅m，
2 4 2 4
3
因为m>0，解得OD= m.
53
依题意得： m>6，
5
解得m>10，
即m的取值范围为m>10.
【点睛】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识．
【变式9-2】（2024·四川凉山·模拟预测）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦
AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移( )
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与
⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度．
【详解】解：作OC⊥AB，
又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm
∴BO＝5，BC＝4，
∴由勾股定理得OC＝3cm，
∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键．
【变式9-3】（2024·四川南充·中考真题）如图，直线l ∥l ，⊙O与l 和l 分别相切于点A和点B．点M和
1 2 1 2
点N分别是l 和l 上的动点，MN沿l 和l 平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（ ）．
1 2 1 24❑√3
A．MN= B．若MN与⊙O相切，则AM=❑√3
3
C．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切D．l 和l 的距离为2
1 2
【答案】B
【分析】根据直线与圆的相关知识，逐一判断．
4❑√3
【详解】解：A、平移MN使点B与N重合，∠1=60°，AB=2，解直角三角形得MN= ，正确；
3
❑√3
B、当MN与圆相切时，M，N在AB左侧以及M，N在A，B右侧时，AM=❑√3或 ，错误；
3
C、若∠MON=90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，故CO=NO，
△MON≌△MOC，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径．正确；
D、l ∥l ，两平行线之间的距离为线段AB的长，即直径AB=2，正确．
1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆相切的判断方法和性质，全等三角形的判定及性质，平行线间的距离，熟练
掌握直线与圆相切的判断方法和性质是解题的关键．
【题型10 由圆与图形的公共点的个数求参数的取值范围】
【例10】（23-24九年级·黑龙江大庆·期末）如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB=5，BC=3，
点P在边AB上运动以P为圆心，PA为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP
的长度满足条件是 ．20 12 5
【答案】 <AP< 或AP=
9 5 2
【分析】求出⊙P与BC，CD相切时AP的长以及⊙P经过A，B，C三点时AP的长即可判断．
【详解】解：如图1中，当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=❑√AB2−BC2=4，
设AP=x，则BP=5-x，PE=x，
∵⊙P与边BC相切于点E，
∴PE⊥BC，
∵BC⊥AC，
∴AC∥PE，
PE PB
∴ = ，
AC AB
x 5−x
∴ = ，
4 5
20 20
∴x= ,AP= ；
9 9
如图2中，当⊙P与CD相切时，设切点为E，连接PE．1
∵S =2× ×3×4=5PE，
平行四边形ABCD 2
12
∴PE= ，
5
20 12
观察图象可知： ＜AP＜ 时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
9 5
②⊙P过点A、B、C三点，如图3，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
5
此时AP= ，
2
20 12 5
综上所述，AP的值的取值范围是： <AP< 或AP= ．
9 5 2
20 12 5
故答案为： <AP< 或AP= ．
9 5 2
【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会利用特
殊位置解决问题．
【变式10-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在Rt△ABC中，BC=3cm，AC=4cm，动点P从
点C出发，沿C→B→A→C运动，点P在运动过程中速度始终为1cm/s，以点C为圆心，线段CP长为
半径作圆，设点P的运动时间为t(s)，当⊙C与△ABC有3个交点时，此时t的值不可能是（ ）A．2.4 B．3.6 C．6.6 D．9.6
【答案】B
【分析】根据⊙C与△ABC有3个交点，可知⊙C与Rt△ABC只有三个交点的半径r只有2个，一个是
r=3，另一个是r=2.4（此时圆与斜边AB相切），依此作答即可．
【详解】以C为圆心，作半径为r的圆，则与Rt△ABC只有三个交点的半径r只有2个，一个是r=3，另一
个是r=2.4（此时圆与斜边AB相切），其余情况都不能满足与Rt△ABC只有三个交点，所以以2.4和3为
半径做圆，与Rt△ABC相交的点有6个，t分别为2.4，3，4.8，6.6，9，9.6．
故选B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是由⊙C与△ABC有3个交点得出可能的情况数，
有一定的难度．
【变式10-2】（2024·浙江杭州·一模）如图，直线l经过边长为10的正方形中心A，且与正方形的一组对
边平行，⊙B的圆心B在直线l上，半径为r，AB＝7，要使⊙B和正方形的边有2个公共点，那么r的取值
范围是 ．
【答案】2＜r＜12或r＝13．
【分析】求出圆与正方形的右边和左边相切时的半径,在这个范围内⊙B和正方形的边都有2个公共点;当圆
的半径为点B到左边顶点距离时,也有两个公共点;
【详解】解：圆与正方形的右边相切时，r=AB﹣5=2，
与左边相切时，r=AB+5=12，
∴2＜r＜12，
当公共点是左边顶点时， r=❑√52+122=13，
所以，x的取值范围是2＜r＜12或r=13．故答案为2＜r＜12或r=13．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系,解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系
完成判定.
【变式10-3】（2024·上海长宁·二模）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，
在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，如果△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么
它的半径r的取值范围是 ．
【答案】r=3.2或4<r<2❑√17
【分析】本主要考查三角形重心以及点与圆的位置关系，根据重心的性质得OD=2,AO=4,由勾股定理求
出OB=OC=2❑√17，运用面积法求出OE=OF=3.2，从而得出结论
【详解】解：设点O为△ABC的重心，
∵AB=AC=10,BC=16,AD为中线，
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,
1
∴BD=CD= BC=8,AD=❑√AC2−CD2=❑√102−82=6,
2
连接BO,CO,则OD=2,AO=4,
∴BO=❑√BD2+OD2=❑√82+22=2❑√17,
过点O作OE⊥AC,OF⊥AB,于点E，F，
∴OE=OF
1 1 1 1
∵S = BC⋅AD= ×16×6=48, S = ×BC×OD= ×16×2=16,
△ABC 2 2 △BOC 2 2
1 1
∴S =S = (48−16)=16= AC×OE,
△AOB △AOC 2 2∴OE=3.2,
∴△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是r=3.2或
4<r<2❑√17
故答案为：或
