文档内容
专题 24.6 直线和圆的位置关系
目 录
一． 知识梳理与题型分类精析.............................................................................................................1
【知识点一】直线和圆的位置关系.....................................................................................................1
【题型1】判断直线和圆的位置关系...................................................................................................2
【题型2】已知直线和圆的位置求值...................................................................................................2
【知识点二】切线的判定定理.............................................................................................................3
【题型3】切线的证明..........................................................................................................................3
【知识点三】切线的性质定理.............................................................................................................3
【题型4】切线的性质..........................................................................................................................4
【题型5】切线的性质与判定综合.......................................................................................................5
【知识点四】切线长定理.....................................................................................................................6
【题型6】利用切线长定理求值..........................................................................................................6
【题型7】利用切线长定理证明..........................................................................................................7
【知识点五】圆外切四边形性质.........................................................................................................7
【题型8】圆的外切四边形..................................................................................................................8
【知识点六】三角形的内切圆.............................................................................................................8
【题型9】特殊三角形的内切圆..........................................................................................................9
【题型10】一般三角形的内切圆........................................................................................................9
二. 同步练习.................................................................................................................................10
【基础巩固（16题）】......................................................................................................................10
【能力提升（16题）】......................................................................................................................14
一．知识梳理与题型分类精析
【知识点一】直线和圆的位置关系
（1） 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
（2） 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的
公共点叫做切点．
（3） 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
根据直线和圆相交、相切、相离的定义,容易得到:
即：直线 和⊙O相交 ；直线 和⊙O相切 ；
直线 和⊙O相离 ；
【题型1】判断直线和圆的位置关系
【例题1】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）设 的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，
并且方程 无实数根，则直线l与 的位置关系是 ．
【变式1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图， 的半径为2，直线 与 相切，若某一条
直线上存在点到圆心O的距离为 ，则这条直线是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图， 是 的角平分线， ，以
点 为圆心， 为半径画圆，过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ．求证： 是 的
切线．
【题型2】已知直线和圆的位置求值
【例题2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知 的半径为3，圆心 始终在抛物
线 上运动，当 与 轴相切时，圆心 的坐标为 ．【变式1】（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）在 中， ， ， ，
以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线 相离，则r的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图， ，点M在 上，且 ，
以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线 的公共点个数之间的对应关系．
【知识点二】切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线的判定方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强
调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.
【题型3】切线的证明
【例题3】（24-25八年级下·北京·期末）如图， 是 的直径，点C在 上，连接 ， ，
延长 至T，连接 ．在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件 ，使得直线
是 的切线．
【变式1】（23-24九年级上·河北衡水·月考）如图， 是 的直径，C是 上一点，D是外一点，过点A作 ，垂足为E，连接 ．若使 切 于点C，添加的下列条件中，
不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【知识点三】切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
【题型4】切线的性质
【例题4】（2025·青海西宁·三模）如图所示， 的两条切线 和 相交于点 ，与圆 相切于
两点， 是圆 上的一点，若 ，则 ．
【变式1】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图， ， 是 的切线，A，C为切点，
若 是 的直径，且 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图， 是 的直径，点 在 的延长线上，与 相切于点 ，若 ，则 °．
【变式3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图， 是 的直径，点C在 上，连接 ，
．作 交 于点D，交 于点E．
（1）求证： ；
（2）过点D作 的切线交 的延长线于点F，若 ， ．求 的长．
【题型5】切线的性质与判定综合
【例题5】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形 是正方形，以点A为圆心，
为半径画弧，交以 为直径的半圆于点E，连接 并延长，交 于点F．
（1）求证： ．
（2）若 ，求 ．
【变式1】（2024·安徽·二模）如图， 与 的边 相切于点D，与边 交于点B，D为
的中点，连接 ， ， ．
（1）求证： 是 的切线；（2）若 ， ，求 的面积．【变式2】（2023·陕西渭南·一模）如图， 是 的直径， 与 相切于点A， ，
的延长线交 于点P，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【知识点四】切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
【要点说明】切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直
线，而非线段.
2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹
角.
【要点说明】切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
【题型6】利用切线长定理求值
【例题6】（2025·浙江舟山·一模）如图，将量角器和含 角的一块直角三角板紧靠着放在同一平
面内，使三角板的 刻度线与量角器的 刻度线在同一直线上，直径 是直角边 的两倍，
过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则 的度数是 ．
【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的两条
切线，B、C是切点，若 ， ，则 的长度为（ ）A．1 B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，过点A作 的切线 ， ，切点分别是 ，
，连接 ．过 上一点D作的 切线，交 ， 于点E，F．若 ， 的周
长为2，则 的长为 ．
【题型7】利用切线长定理证明
【例题7】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线 ， 与 相切，切点分别为 ， ，
连接 并延长，交 于点 ，连接 ， ．求证 ．
【变式1】（2025·广东中山·二模）如图， 是 的直径， 和 是它的两条切线， 切
于点 ，交 于点 ，交 于点 ，求证： ．【变式2】（23-24九年级上·广西梧州·期末）一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为
50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点．
（1）求 的长度；
（2）求M、N两点的距离．
【知识点五】圆外切四边形性质
圆外切四边形的两组对边之和相等.
【题型8】圆的外切四边形
【例题8】（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形 是 的外切四边形， ，
．则四边形 的周长为 ．
【变式1】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图， 是四边形 的内切圆．若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024九年级·全国·专题练习）如图所示，已知 的外切等腰梯形 ，
，梯形中位线为 ，求证： .【知识点六】三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
要点诠释：
（1） 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
（2） 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半
径乘积的一半，即 （S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径）.
（3） 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心（三角形外接圆的 三角形三边中垂线的交 （1）OA=OB=OC；（2）外
圆心） 点 心不一定在三角形内部
内心（三角形内切圆的 三角形三条角平分线的 （1）到三角形三边距离
圆心） 交点 相等；（2）OA、OB、OC
分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB；
（3）内心在三角形内部.
【题型9】特殊三角形的内切圆
【例题9】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）一个直角三角形的两条直角边长是方程
的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为 ．
【变式1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若直角三角形斜边长为 ，两条直角边长
分别为 ， ，则直角三角形内切圆半径为（ ）
A．12 B．2 C．3 D．6【变式3】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图 中， ．
（1）尺规作图：求作 ，使它与三边 、 、 都相切（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若 ，求 的半径．
【题型10】一般三角形的内切圆
【例题10】（2025九年级上·全国·专题练习）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相
切于点D，E，F，且 ， ， ．
（1）求 的长．
（2）已知 ，求 的长．
【变式1】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）在 中， ， ． 是
的内切圆，连接 、 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知 的面积是24，周长为12，则 的
内切圆的半径为 ．
二. 同步练习【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知 的半径为5，圆心O到直线l上一点的距离为5，则直线l
和 的位置关系可能是（ ）
①相交；②相切；③相离
A．①②③ B．② C．①③ D．①②
2．（22-23九年级上·江苏泰州·月考）如图， 半径 ，直线 ，垂足为H，且l交
于A，B两点， ，将直线l沿 所在直线向下平移，若l恰好与 相切时，则平移
的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（11-12九年级上·河北·期末）如图，两个圆是以 为圆心的同心圆，大圆的弦 与小圆相切于
点，则下列结论可能错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，P为 外一点， ， ， 分别切 于A，
B，C三点，且切线 分别交 ， 于点M，N．若 ，则 的周长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
5．（2025九年级下·浙江·专题练习）已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（ ）
A．3 B．5 C． D．
6．（17-18九年级上·天津·期中）如图为 的内切圆，点D，E分别为边 ， 上的点，且
为 的切线，若 的周长为21， 边的长为6，则 的周长为（ ）
A．15 B．9 C．7.5 D．7
二、填空题
7．（2025九年级下·浙江·专题练习）在 中， ，以 为圆心， 为
半径画圆，若 与边 有两个公共点，则 的取值范围是 ．
8．（20-21九年级·全国·课后作业）如图， 为 的直径， ，当
时，直线 与 相切．
9．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图， 与 相切于点 ，连接 并延长交 于点 ，
连接 ．若 ，则 的度数为 ．
10．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图， 分别切 于点A，B，
，那么 的长为 ．11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知 ， ， 的长分别是一元
二次方程 的两根，则 的外接圆的半径为 ，内切圆的半径为
．
12．（24-25九年级上·江苏·期中）如图， 是 的内切圆，若 ，则 的度数
为 ．
三、解答题
13．（2025·山东青岛·模拟预测）如图， 中， ，点 为 边上一点，以点 为
圆心， 为半径作圆与 相切于点 ，连接 ．求证： ．
14．（2021·陕西·一模）如图，在等腰 中， ，以 为直径的 与 相交于点 ，
过点 作 交 的延长线于点 ，垂足为点 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 ，求 的长．15．（2020·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于 ，
点 在线段 上，且 ．
（1）求证： 是 的切线； （2）若 ， ，求 的半径．
16．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务
探究三角形的特殊点
通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多
特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获．
定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点．
性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上．
如图，已知 是锐角三角形， 是其外接圆，点 是 的垂心，分别连接
并延长，交 于点 ．
求证：点 分别是点 关于边 的对称点．
证明：如图，连接 ．
∵点 是 的垂心，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
又 （依据），
∴ ，
∴直线 和 关于 对称．
∴点 和点 关于 对称．
任务：
（1）上面日记中“依据”指的是 ；
（2）下列说法正确的是 ；
A．锐角三角形的垂心在三角形外 B．直角三角形的垂心在直角顶点处
C．钝角三角形的垂心在三角形内 D．等腰三角形的内心和外心重合
（3）请仿照小宇的思路证明点 和点 关于 对称．
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形 中， ， ， ，以点C为圆心作
，半径为 ，已知直线 和 有交点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·河南周口·开学考试）如图， 为等边三角形 的高，点O 在 的延长
线上，且 ， 的半径为1，若将 绕点 C 按顺时针方向旋转 ，在旋转的过
程中， 与等边三角形 的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次
3．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，半圆O的直径 ，在 中， ，， ，半圆O以 的速度从左向右运动．在运动过程中，点P，Q始终在直
线 上，设运动时间为 ，当 时，半圆O在 的左侧， ．当 的一边与
半圆O相切时，t的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或 或
4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在 中， ， 的内切圆的半径为
2，三个切点分别为 ，若 ，则 的面积是（ ）
A．14 B．24 C．28 D．
5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图， ， 与 的两边都相切且半径为1，
Q为 上一动点，以Q为圆心， 长为半径的 交 两边于E、F两点，连接 ，则线段
长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知，如图， 为 的直径， 内接于 ，， ， ，延长 交 于点D，连接 ． 的直径是 ， ，
则 的长等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
二、填空题
7．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， 的半径是1，直线 与x
轴交于点 ，且与x轴的正半轴夹角为 ，若直线 与 有公共点，则x值的范围是
．
8．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段 的两个端点A、B分别在 轴和 轴上滑动，
设线段 的中点 的运动轨迹为 ，当 的图象与 只有1个交点时， ．
9．（2025·浙江·三模）如图，以 边 为直径作 交 于点 ， 恰好是 的切线，
为切点，连接 ．若 ，则 的度数为 ．10．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ，以D为圆心，
为半径的弧恰好与 相切，切点为E，若 ， ，则 的长为 ．
11．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，正方形 内接于 ．点E为 上一点，连接
、 ，若 ， ，则 的长为 ．
12．（20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，P是以点
为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段 的中点，连接 ，则线段 的最大值是
．
三、解答题
13．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，四边形 内接于 ， ，点 在
的延长线上，且
（1）判断 与 的位置关系，并说明理由；（2）若 ， ， ，求 的长．
14．（22-23九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知： 内接于 ，过点A作直线 ．
（1）如图1， 为直径，要使 为 的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：
①___________；②_____________．
（2）如图2， 是非直径的弦， ，求证： 是 的切线．
15．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在 中， ，以 为直径的 交
于点D，点Q为 延长线上一点，延长 交 于点P，连接 ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 时，求 的长．
16．（18-19九年级上·北京昌平·期末）有这样一个问题：
如图， 的内切圆与斜边 相切于点 ， ， ，求 的面积（用含 的
式子表示）.小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：
解：如图，令 ， ，
设 的内切圆分别与 相切于点 ， 的长为
根据切线长定理，得 ， ，
根据勾股定理得，
整理，得
所以
请你参考小冬的做法.
解决以下问题：
（1）当 时，求 的面积；
（2）当 时，直接写出 的面积（用含 的式子表示）为 .
