文档内容
专题 24.6 直线和圆的位置关系
目 录
一． 知识梳理与题型分类精析.............................................................................................................1
【知识点一】直线和圆的位置关系.....................................................................................................1
【题型1】判断直线和圆的位置关系...................................................................................................2
【题型2】已知直线和圆的位置求值...................................................................................................3
【知识点二】切线的判定定理.............................................................................................................6
【题型3】切线的证明..........................................................................................................................6
【知识点三】切线的性质定理.............................................................................................................7
【题型4】切线的性质..........................................................................................................................8
【题型5】切线的性质与判定综合.....................................................................................................12
【知识点四】切线长定理...................................................................................................................15
【题型6】利用切线长定理求值........................................................................................................16
【题型7】利用切线长定理证明........................................................................................................18
【知识点五】圆外切四边形性质.......................................................................................................21
【题型8】圆的外切四边形................................................................................................................21
【知识点六】三角形的内切圆...........................................................................................................23
【题型9】特殊三角形的内切圆........................................................................................................24
【题型10】一般三角形的内切圆......................................................................................................27
二. 同步练习.................................................................................................................................29
【基础巩固（16题）】......................................................................................................................29
【能力提升（16题）】......................................................................................................................44
一．知识梳理与题型分类精析
【知识点一】直线和圆的位置关系
（1） 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
（2） 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的
公共点叫做切点．
（3） 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
根据直线和圆相交、相切、相离的定义,容易得到:
即：直线 和⊙O相交 ；直线 和⊙O相切 ；
直线 和⊙O相离 ；
【题型1】判断直线和圆的位置关系
【例题1】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）设 的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，
并且方程 无实数根，则直线l与 的位置关系是 ．
【答案】相交
【分析】本题考查根的判别式，判断直线和圆的位置关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
通过方程无实数根的条件，利用判别式得到d与r的关系，再根据圆心到直线的距离与半径的大小
关系判断直线与圆的位置关系即可．
解：∵方程 无实数根，
∴ ，即 ．
∵圆心到直线的距离 小于半径 ，
∴直线 与 相交．
故答案为：相交．
【变式1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图， 的半径为2，直线 与 相切，若某一条
直线上存在点到圆心O的距离为 ，则这条直线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，直接根据直线与圆的位置关系可得出结论．
解：∵ 的半径是2，圆心O到直线l的距离是 ， ，
∴直线与 相交．
故选：B．【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图， 是 的角平分线， ，以
点 为圆心， 为半径画圆，过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ．求证： 是 的
切线．
【答案】见分析
【分析】本题考查的是角平分线的性质，切线的判定有关知识，过点O作 ，垂足为点 ，
根据角平分线性质定理可得 ，从而可知 为 的切线，熟练掌握以上知识点并灵活运
用是解此题的关键．
解：证明：过点O作 ，垂足为点 ，如图，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ 是 的切线．
【题型2】已知直线和圆的位置求值
【例题2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知 的半径为3，圆心 始终在抛物
线 上运动，当 与 轴相切时，圆心 的坐标为 ．【答案】 或 或
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数的图象与性质，由题意可得点 的纵坐标为 ，
分两种情况求解即可．
解：∵ 与 轴相切， 的半径为3，
∴点 到 轴的距离为 ，
∴点 的纵坐标为 ，
当 时， ，
解得： 或 ，
此时 的坐标为 或 ，
当 时， ，
解得： ，
此时 的坐标为 ，
综上所述，圆心 的坐标为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【变式1】（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）在 中， ， ， ，
以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线 相离，则r的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及勾股定理．根据题意画出草图，过点 作
于点 ，利用勾股定理求出 ，再根据直线 与圆相离得到 ，最后利用等面积
法求解，即可解题．解：根据题意画图如下，
过点 作 于点 ，
， ， ，
，
以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线 相离，
，
，
解得 ，
故选：C．
【变式2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图， ，点M在 上，且 ，
以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线 的公共点个数之间的对应关系．
【答案】当 时， 与射线 没有公共点；当 或 时， 与射线 只有一个
公共点；当 时， 与射线 有两个公共点
【分析】此题考查了直线与圆的交点个数问题．作 于点N，求出 ，
分情况讨论求解即可．
解：作 于点N，如图，∵ ，
∴ ，
∴当 时， 与射线OA只有一个公共点；
当 时， 与射线OA没有公共点；
当 时， 与射线OA有两个公共点；
当 时， 与射线OA只有一个公共点．
∴当 时， 与射线OA没有公共点；当 或 时， 与射线OA只有一个公共点；
当 时， 与射线OA有两个公共点．
【知识点二】切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线的判定方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强
调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.
【题型3】切线的证明
【例题3】（24-25八年级下·北京·期末）如图， 是 的直径，点C在 上，连接 ， ，
延长 至T，连接 ．在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件 ，使得直线
是 的切线．【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题主要考查了切线的定义，要使得直线 是 的切线，只要使 即可．
解：∵ 是⊙O的直径，
∴ ，
∴ ．
当 时，
则 ，即 ，
又 是 的半径，
∴直线 是 的切线，
故答案为： （答案不唯一）．
【变式1】（23-24九年级上·河北衡水·月考）如图， 是 的直径，C是 上一点，D是
外一点，过点A作 ，垂足为E，连接 ．若使 切 于点C，添加的下列条件中，
不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案．
解：A、∵ ，
∴ ，
当 时，则 ，即 ，
∴ 切 于点C，该选项正确，不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，当 时，则 ，即 ，
∴ 切 于点C，该选项正确，不符合题意；
C、当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 切 于点C，该选项正确，不符合题意；
D、当 时，由 得到 ，
∴ 是等腰三角形，无法确定 ，
∴不能得到 切 于点C，该选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键．
【知识点三】切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
【题型4】切线的性质
【例题4】（2025·青海西宁·三模）如图所示， 的两条切线 和 相交于点 ，与圆 相切于
两点， 是圆 上的一点，若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的切线的性质，四边形的内角和，圆周角定理．
连接 ，先根据圆的切线的性质可得 ，再根据四边形的内角和可得的度数，然后根据圆周角定理即可得．
解：如图，连接 ，
∵ ， 分别与 相切于 两点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由圆周角定理得： ，
故答案为： ．
【变式1】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图， ， 是 的切线，A，C为切点，
若 是 的直径，且 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；由切线的性质得 ，
由等腰三角形的性质得 ，即可求解．
解：连接 ，， 是 的切线，
， ，
，
，
，
，
故选：C．
【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图， 是 的直径，点 在 的延长线上，
与 相切于点 ，若 ，则 °．
【答案】33
【分析】本题考查了切线的性质，三角形的外角以及等腰三角形的性质，已知圆的切线常用的辅助
线是连接圆心和切点．
连接 ，根据切线的性质可得 是直角三角形，则 的度数即可求得，然后根据等腰三
角形的外角的性质 即可求得．
解：连接 ，
∵ 是圆的切线，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：33．
【变式3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图， 是 的直径，点C在 上，连接 ，
．作 交 于点D，交 于点E．
（1）求证： ；
（2）过点D作 的切线交 的延长线于点F，若 ， ．求 的长．
【答案】（1）见分析；（2）3
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，平行线的性质可得出 ，然后根据垂径定
理即可得证；
（2）根据切线的性质以及（1）的结论可证明四边形 是矩形，则 ，根据垂径定
理得出 ，在 中，根据勾股定理求出 ，然后根据三角形中位线定理
求解即可．
解：（1）证明：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，∵ 是 的切线，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∵ ， ，
∴ ．
【点拨】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，中位线
定理等知识，熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键．
【题型5】切线的性质与判定综合
【例题5】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形 是正方形，以点A为圆心，
为半径画弧，交以 为直径的半圆于点E，连接 并延长，交 于点F．
（1）求证： ．
（2）若 ，求 ．
【答案】（1）见分析；（2）1；
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理
等知识点，解决此题的关键合理的作出辅助线；（1）先根据全等三角形的判定定理得到三角形全等，根据切线的判定定理判定切线，进而可以得
到答案；
（2）设出未知数，根据正方形的性质用未知数表示出对应边的长度，运用勾股定理进而可以得到
答案；
解：（1）解：如图，设 的中点为O，连接 ， ，
在正方形 中，
由题可知： ，
又∵ ，
∴
∴ ，
又∵ 是半径，
∴ 是 的切线，
又∵ 是 的切线，
∴ ；
（2）解：在正方形 中， ，
∴ ， ，
设 为 ，则 ，
∴ ，
在 中，
即 ，
解得： ，
∴ 的长为1．
【变式1】（2024·安徽·二模）如图， 与 的边 相切于点D，与边 交于点B，D为
的中点，连接 ， ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的面积．【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据切线的性质可得 ，然后利用三线合一得出 ，
证明 ，求出 即可；
（2）先根据直角三角形斜边中线的性质求出 ，再根据垂径定理和勾股定
理求出 ，然后计算即可．
解：（1）证明：连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是 的切线；
（2）解：如图，设 与 交于点E，
∵ ，D为 的中点，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角
形斜边中线的性质，垂径定理和勾股定理等知识点，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关
键．
【变式2】（2023·陕西渭南·一模）如图， 是 的直径， 与 相切于点A， ，
的延长线交 于点P，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：本题主要考查了圆相关．熟练掌握圆切线判定和性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，是
解决问题的关键．
由等腰三角形的性质得到 ，由三角形外角的性质求出 的度数，由切线的性
质得到 ，由直角三角形的性质即可求出 的度数．
【解答】解： ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 相切于点A，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．【知识点四】切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
【要点说明】切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直
线，而非线段.
2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹
角.
【要点说明】切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
【题型6】利用切线长定理求值
【例题6】（2025·浙江舟山·一模）如图，将量角器和含 角的一块直角三角板紧靠着放在同一平
面内，使三角板的 刻度线与量角器的 刻度线在同一直线上，直径 是直角边 的两倍，
过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则 的度数是 ．
【答案】 /60度
【分析】本题考查垂直平分线性质和判定，三线合一，切线长定理，解题的关键在于熟练掌握相关
知识．
记量角器圆弧所在圆的圆心为 ，连接 ，根据题意推出 垂直平分 ，结合等腰三角形
性质得到 ，再结合切线长定理进行求解，即可解题．
解：记量角器圆弧所在圆的圆心为 ，连接 ，直径 是直角边 的两倍，
，
，
垂直平分 ，
，
，
为 半径， ，
为 切线，
为 切线，
，
；
故答案为： ．
【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的两条
切线，B、C是切点，若 ， ，则 的长度为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的性质和判定，连接 ，证明
是等边三角形，得到 ，由圆周角定理和切线的性质证得 ，
进而证得 ，即可求出答案．
解：连接 ，∵ 是 的两条切线，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
【变式2】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，过点A作 的切线 ， ，切点分别是 ，
，连接 ．过 上一点D作的 切线，交 ， 于点E，F．若 ， 的周
长为2，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键，
利用切线长定理得出 ， ， ，再根据三角形周长等于2，可求得
，从而利用勾股定理可求解．解：∵ ， 是 的切线，切点分别是 ， ，
∴ ，
∵ 、 是 的切线，切点是D，
∴ ， ，
∵ 的周长为2，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故答案为： ．
【题型7】利用切线长定理证明
【例题7】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线 ， 与 相切，切点分别为 ， ，
连接 并延长，交 于点 ，连接 ， ．求证 ．
【答案】见分析
【分析】此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接
，由射线 ， 与 相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得 ， 平分
，则 垂直平分 ，所以 ．
解：证明：连接 ，
∵射线 ， 与 相切，切点分别为A，B，
∴ ， 平分 ，∴ 垂直平分 ，
∵ 的延长线交 于点C，
∴ ．
【变式1】（2025·广东中山·二模）如图， 是 的直径， 和 是它的两条切线， 切
于点 ，交 于点 ，交 于点 ，求证： ．
【答案】见分析
【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理，垂直平分线的判定，掌握相关知识是解决问题的关
键．连接 、 ，如图，先根据切线长定理得到 ，再判断 垂直平分 ，接着根据
圆周角定理得到 ，然后根据平行线的判定方法得到结论．
解：证明：连接 交 于 ，连接 ，如图，
和 为 的切线，
，
，
垂直平分 ，
是 的直径，
，
，
．
【变式2】（23-24九年级上·广西梧州·期末）一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为
50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点．
（1）求 的长度；
（2）求M、N两点的距离．【答案】（1） 米；（2） 米．
【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线长定理、切线
的性质定理是关键．
（1）连接 ，根据切线的性质和勾股定理进行解答即可；
（2）设线段 与 相交于点 ，证明 垂直平分线段 ，由
得到 ，即可得到答案．
解：（1）解：如图，连接 ，
由题意可得， 均是 的切线，
∴ ，
∵ 米， 米，
∴ 米，
∴ 米，
即 的长度为 米；
（2）设线段 与 相交于点 ，
∵ 均是 的切线，
∴ ,
∵ ，
∴ 垂直平分线段 ，∴ ，
∴ 米，
∴ 米，
故M、N两点的距离为 米．
【知识点五】圆外切四边形性质
圆外切四边形的两组对边之和相等.
【题型8】圆的外切四边形
【例题8】（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形 是 的外切四边形， ，
．则四边形 的周长为 ．
【答案】48
【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关
键．
根据切线长定理得到 ，得到 ，根据
四边形的周长公式计算，得到答案．
解：如图，令 与边 的切点分别为E，F，G，H，
∵四边形 是 的外切四边形，
∴ ，
∴
∴ ，∴四边形 的周长为
．
故答案为：48．
【变式1】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图， 是四边形 的内切圆．若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案；
解：∵ 是四边形 的内切圆，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
故选：A；
【点拨】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到
．
【变式2】（2024九年级·全国·专题练习）如图所示，已知 的外切等腰梯形 ，
，梯形中位线为 ，求证： .
【答案】见分析.
【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得
EF=AB.解：∵等腰梯形ABCD是 的外切等腰梯形，
∴AD+BC=AB+CD=2AB，
∵梯形中位线为EF，
∴AD+BC=2EF，
∴EF=AB.
【点拨】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一
点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键.
【知识点六】三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
要点诠释：
（1） 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
（2） 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半
径乘积的一半，即 （S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径）.
（3） 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心（三角形外接圆的 三角形三边中垂线的交 （1）OA=OB=OC；（2）外
圆心） 点 心不一定在三角形内部
内心（三角形内切圆的 三角形三条角平分线的 （1）到三角形三边距离
圆心） 交点 相等；（2）OA、OB、OC
分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB；
（3）内心在三角形内部.
【题型9】特殊三角形的内切圆
【例题9】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）一个直角三角形的两条直角边长是方程
的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为 ．【答案】2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，勾股定理，三角形的内切圆，熟练掌握一元二次方程的
解法，勾股定理，三角形的内切圆的性质是解题的关键．先求出方程的解，根据勾股定理求出斜边
边长，再结合切线长的性质，即可求解．
解： ，
∴ ，
解得： ，
∴直角三角形的两条直角边长分别为5，12，
∴斜边长为 ，
【变式1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若直角三角形斜边长为 ，两条直角边长
分别为 ， ，则直角三角形内切圆半径为（ ）
A．12 B．2 C．3 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，利用内切圆半径 （a、b为直角边，c为斜
边）易得这个三角形的内切圆的半径．
解：因为直角三角形斜边长为 ，两条直角边长分别为 ， ，
则这个三角形的内切圆的半径 ．
故选：B．
【变式2】如图，在 中， ，设 为 的内
切圆，与三边的切点分别为D，E，F，连接 ，设 的半径为r，
∴ ，∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
即此直角三角形的内切圆的半径为2．
故答案为：2
【变式3】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图 中， ．
（1）尺规作图：求作 ，使它与三边 、 、 都相切（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若 ，求 的半径．
【答案】（1）见分析；（2）2
【分析】本题主要考查了作三角形的内切圆，切线长定理：
（1）分别作 的平分线交于点P，过点P作 边的垂线，垂足为点E，再以点P为圆
心， 长为半径作圆，即可；
（2）证明四边形 为正方形，可得 ，再根据切线长定理可得
，即可求解．
解：（1）解：如图， 即为所求；（2）解：如图，设 与三边 、 、 的切点分别为F，E，D，连接 ，设 的半径为
r，
∵ ，
∴ ，
∵ 与三边 、 、 都相切，
∴ ， ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
即 的半径为2．
【题型10】一般三角形的内切圆
【例题10】（2025九年级上·全国·专题练习）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相
切于点D，E，F，且 ， ， ．
（1）求 的长．
（2）已知 ，求 的长．【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出
方程是解题的关键．
（1）由切线长定理可知： ， ， ，设 ，则 ，
，根据 ，列方程求解即可；
（2）先计算三角形的半周长s，再利用 ，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，
即可求解出 的长．
解：（1）解：∵ 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，
， ， ，
设 ，
则 ， ，
根据题意得：
解得：
， ， ，
则 的长为 ；
（2）解： ， ， ，
∴半周长 ，
又 ，
，
，
则 的长为 ．
【变式1】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）在 中， ， ． 是
的内切圆，连接 、 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切圆的定义得
、 分别平分 、 ，则 ， ，再根据
三角形内角和定理求解即可．
解：∵ 是 的内切圆，
∴ 、 分别平分 、 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：C．
【变式2】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知 的面积是24，周长为12，则 的
内切圆的半径为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查三角形内切圆．如图所示，点O是 内切圆圆心，D、E、F分别是切点，
设圆O的半径为r，利用三角形面积法可得 由此即可求解．
解：如图所示，点O是△ABC内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，∴ ，
∴
，
∵ 的面积是24，周长为12，
∴ ，
∴ ，
∴ 的内切圆的半径为4，
故答案为：4．
二. 同步练习
【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知 的半径为5，圆心O到直线l上一点的距离为5，则直线l
和 的位置关系可能是（ ）
①相交；②相切；③相离
A．①②③ B．② C．①③ D．①②
【答案】D
【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离和半径之间的关系即可解决．
解：设圆心O到直线l的距离为d，
根据题意，在直线l上存在一点P，使得 ，
因为垂线段最短，所以圆心O到直线l的距离 ，即 ，
又因为圆的半径 ，所以 ，
当 时，直线l与 相切；
当 时，直线l与 相交，
故直线l和 的位置关系可能是相切或相交
故选：D．
2．（22-23九年级上·江苏泰州·月考）如图， 半径 ，直线 ，垂足为H，且l交于A，B两点， ，将直线l沿 所在直线向下平移，若l恰好与 相切时，则平移
的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，由垂径定理和勾股定理得 ，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得
．
解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵将直线l沿 所在直线向下平移，若l恰好与 相切时，
∴ ，
即直线在原有位置向下移动 后与圆相切．
故选：B．
【点拨】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关
键．
3．（11-12九年级上·河北·期末）如图，两个圆是以 为圆心的同心圆，大圆的弦 与小圆相切于
点，则下列结论可能错误的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形三线合一，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接
，由切线的性质，可知 ，结合 ，可知 ，从而得出答案．
解：连接 ，如图所示：
两个圆是以 为圆心的同心圆，大圆的弦 与小圆相切于 点，
不一定能得到 ，
，故B正确；
、 都是大圆的半径，
，故D正确；
，故A正确；
故选：C．
4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，P为 外一点， ， ， 分别切 于A，
B，C三点，且切线 分别交 ， 于点M，N．若 ，则 的周长为（ ）
A．6 B．8 C． D．【答案】C
【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
利用切线长定理得出 ， ， ，再利用三角形周长公式求解即可．
解：∵P为 外一点， ， ， 分别切 于A，B，C三点，且切线 分别交 ，
于点M，N， ，
∴ ， ， ，
∴ 的周长为
，
故选：C．
5．（2025九年级下·浙江·专题练习）已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径
为（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质可得 ，根据切线长定理和勾股定理可得 ，进而
可求内切圆的半径．本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形内心的性质．
解：如图，
根据题意，得
，
设圆O是等腰 的内切圆， 切圆于点D， 切圆于点E，
连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，根据切线长定理可知：
，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理，得
，
解得 ．
∴内切圆O的半径为 ．
故选：C．
6．（17-18九年级上·天津·期中）如图为 的内切圆，点D，E分别为边 ， 上的点，且
为 的切线，若 的周长为21， 边的长为6，则 的周长为（ ）
A．15 B．9 C．7.5 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了切线以及切线长定理，解决本题的关键是充分利用圆的切线的性质，及圆
切线长定理．
根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得 ， ， ， ，则
，所以 的周长 ，代入求出即可．
解：∵ 的周长为21， ，
∴ ，
设 与 的三边 的切点为 ，切 于 ，
，
，，
故选：B．
二、填空题
7．（2025九年级下·浙江·专题练习）在 中， ，以 为圆心， 为
半径画圆，若 与边 有两个公共点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置
关系是解题的关键．
作 于 ，由勾股定理求出 ，由三角形的面积求出 ，由 ，可得以 为圆心，
为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点；若 与斜边 有两个公共点，即可得出 的取
值范围．
解：作 于 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ 的面积 ，
∴ ，即圆心 到 的距离 ，
∵ ，
∴以 为圆心， 为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点，
∴若 与斜边 有两个公共点，则 的取值范围是 ．
故答案为： ．
8．（20-21九年级·全国·课后作业）如图， 为 的直径， ，当
时，直线 与 相切．
【答案】1
【分析】直线 与 相切时， ，根据勾股定理即可求出 ．
解：当 时，直线 与 相切，
∴ （cm），
故答案为：1．
【点拨】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键．
9．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图， 与 相切于点 ，连接 并延长交 于点 ，
连接 ．若 ，则 的度数为 ．
【答案】 /31度
【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．连接 ，根据切线的
性质可得 ，再由三角形外角的性质可得 ，即可求解．解：连接 ，
∵ 与 相切于点 ，，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：
10．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图， 分别切 于点A，B，
，那么 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解决本
题的关键．
由切线长定理知 ，根据已知条件即可判定 是等边三角形，由此可求得 的长．
解：∵ 分别切 于点A，B，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
故答案为：2．
11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知 ， ， 的长分别是一元二次方程 的两根，则 的外接圆的半径为 ，内切圆的半径为
．
【答案】 5 2
【分析】此题考查三角形的内切圆，解一元二次方程．先解一元二次方程可得 和 的长，根
据勾股定理计算 的长，进而解答即可．
解：∵ 和 的长分别是一元二次方程 的两根，
可得： ，
解得 或8，
不妨设 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
设圆O切 于D，切 于F，切 于E，内切圆的半径为 ，连接 、 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
由切线长定理得 ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 的外接圆的半径为5，内切圆的半径为2，
故答案为：5；2．
12．（24-25九年级上·江苏·期中）如图， 是 的内切圆，若 ，则 的度数
为 ．【答案】130
【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
根据三角形内角和定理得到 ，再根据三角形内切圆圆心是其角平
分线的交点得到 ，据此求出 ，则由三角形
内角和定理可得答案．
解： ，
∵ ，
∴ 是 的内切圆，
∵ 分别平分 ，
∴
，
∴
，
∴
，
∴故答案为： ．
三、解答题
13．（2025·山东青岛·模拟预测）如图， 中， ，点 为 边上一点，以点 为
圆心， 为半径作圆与 相切于点 ，连接 ．求证： ．
【答案】见分析
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，是解题的关键，连接 ，根
据题意可得 ，根据余角的性质可得 ，根据圆周角定理可得
，等量代换即可得证．解：证明：如图，连接 ，
∵ 为切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ．
14．（2021·陕西·一模）如图，在等腰 中， ，以 为直径的 与 相交于点 ，
过点 作 交 的延长线于点 ，垂足为点 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形，需熟练掌握圆的
相关性质，包括直径所对的圆周角为 ．
（1）根据等边对等角可得 ， ，由此可得 ，即可得平行，再由
平行线的性质即可证明．
（2）根据直径所对的圆周角为 ，可得 ，再设 ，由勾股定理即可求解．
解：（1）证明：连接 ，如图，，
．
，
，
，
．
，
，
与 相切．
（2）解： 为 的直径，
，
，
设 ，则 ，
在 中，则 ，
又 ，
即 ，
，
．
15．（2020·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于 ，
点 在线段 上，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．【答案】（1）证明见分析；（2）1
【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等边对等角，正确的作出辅助线是解
题的关键．
（1）连接 ．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据切线的性质得到 ，求得 ．根据直角三角形的性质即可得到结
论．
解：（1）证明：连接 ．
，
，
，
，
，
．
，
，
是 的切线；
（2）解： ， 为直径，是 的切线．
是 的切线，
，
，
．
，
在 中， ，
，
．
的半径为1．
16．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务
探究三角形的特殊点
通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多
特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获．
定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点．
性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上．
如图，已知 是锐角三角形， 是其外接圆，点 是 的垂心，分别连接
并延长，交 于点 ．
求证：点 分别是点 关于边 的对称点．
证明：如图，连接 ．
∵点 是 的垂心，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
又 （依据），
∴ ，
∴直线 和 关于 对称．
∴点 和点 关于 对称．
任务：
（1）上面日记中“依据”指的是 ；
（2）下列说法正确的是 ；
A．锐角三角形的垂心在三角形外 B．直角三角形的垂心在直角顶点处
C．钝角三角形的垂心在三角形内 D．等腰三角形的内心和外心重合
（3）请仿照小宇的思路证明点 和点 关于 对称．
【答案】（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）B；（3）证明过程见详解
【分析】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握垂心，内心，外心的定义，同弧或等弧所对圆周角
相等是解题的关键．
（1）根据图示可得 与 所对的弧均是 ，由此即可求解；
（2）根据垂心的定义，内心的定义，外心的定义进行判定即可求解；
（3）根据材料提示方法证明即可．
解：（1）解：根据图示可得， 与 所对的弧均是 ，
∴依据是：同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）解：根据图示可得，
A、锐角三角形的垂心在三角形内部，故原选项错误，不符合题意；
B、直角三角形的垂心在直角顶点处，正确，符合题意；
C、钝角三角形的垂心在三角形外，故原选项错误，不符合题意；
D、等腰三角形的内心是角平分线的交点，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，不一定重
合，故原选项错误，不符合题意；
故选：B；
（3）证明：如图所示，连接 ，设 于 交于点 ，∵点 是 的垂心，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
又 （同弧或等弧所对圆周角相等），
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴点 与点 是对应点，
∴直线 和 关于 对称．
∴点 和点 关于 对称．
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形 中， ， ， ，以点C为圆心作
，半径为 ，已知直线 和 有交点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作 于D，由勾股定理求出 ，由
三角形的面积求出 ，可得以C为圆心， 为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点，即
可得直线 和 有交点， 的取值范围．
解：作 于D，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ 的面积 ，
∴ ，即圆心C到 的距离 ，
∴以C为圆心的⊙C与直线 有交点，则 的取值范围是： ．
故选：D．
2．（23-24九年级下·河南周口·开学考试）如图， 为等边三角形 的高，点O 在 的延长
线上，且 ， 的半径为1，若将 绕点 C 按顺时针方向旋转 ，在旋转的过
程中， 与等边三角形 的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次
【答案】C
【分析】本题考查直线与圆的位置关系．延长 交 于点 ，根据线段的和差关系求出
，根据等边三角形的性质，得到 ，再根据直线和圆的位置关系进行
判断即可．
解：如图，延长 交 于点 ，，
；
；
是等边三角形， 为等边三角形 的高，
，
又∵ 的 半径为1，
∴在旋转过程中， 与 边只有一个公共点的情况有 2次，与 边有2次，与 边有1次，
即交点为点 ，共5次．如图：
故选 C．
3．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，半圆O的直径 ，在 中， ，
， ，半圆O以 的速度从左向右运动．在运动过程中，点P，Q始终在直
线 上，设运动时间为 ，当 时，半圆O在 的左侧， ．当 的一边与
半圆O相切时，t的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或 或
【答案】D
【分析】本题考查了圆的切线以及含 度角的直角三角形，分类讨论 与半圆 相切，半圆O与
相切于点D，半圆O与 相切三种情况即可求解；
解：①如图1，当点Q运动到与点B重合时， ， 与半圆 相切，此时半圆O运动的距
离为 ，所求运动时间 ．②如图2，当半圆O与 相切于点D时，则 ，
∵ ， ，则 ，此时点O与点B重合，
∴半圆O运动的距离为 ，所求运动时间 ．
③如图3，当半圆O与 相切时，此时点P与点B重合，半圆O运动的距离为 ，
∴运动时间 ．
综上所述，t的值为 或 或 ．
故选：D．
4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在 中， ， 的内切圆的半径为
2，三个切点分别为 ，若 ，则 的面积是（ ）
A．14 B．24 C．28 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的
判定方法得出四边形 是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案．
解：连接 ， ，
是 的内切圆，切点分别为 ， ， ，， ， ， ，
又 ，
四边形 是矩形，
又 ，
矩形 是正方形，
，
设 ，则 ， ，
在 中
，
解得： ， ，
， ，或 ， ，
．
故选：B．
5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图， ， 与 的两边都相切且半径为1，
Q为 上一动点，以Q为圆心， 长为半径的 交 两边于E、F两点，连接 ，则线段
长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质
等知识点，找到线段 长度的最大值的条件成为解题的关键．
如图：连接 ，由圆周角定理可得 ，如图：过Q作 ，由垂径定理可得、 ，则 可得 ；再根据勾股定理可得
，则 ，即当 最大时， 取最大值；如图：设 与
的两边都相切于G、H，连接 ， 再根据切线的性质证明 可得
，则 ，进而得到当 三点共线时， 的最大值为
，进而确定线段 长度的最大值即可．
解：如图：连接 ，
∵在 中， ，
∴ ，
如图：过Q作 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴当 最大时， 取最大值；
如图：设 与 的两边都相切于G、H，连接 ，∵ 与 的两边都相切且半径为1，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 的最大值为 ．
∴ 取最大值为 ．
故选D．
6．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知，如图， 为 的直径， 内接于 ，
， ， ，延长 交 于点D，连接 ． 的直径是 ， ，
则 的长等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理；由圆周角定理得出 ，由
得出 ，连接 ，由圆周角定理得出 ，证出 是等
腰直角三角形，得出 ，由勾股定理可求 的长，即可得出结果．
解：连接 ，过点B作 于H，如图所示：∵ 为直径，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 （此时 不合题意，舍去）．
故选D
二、填空题
7．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， 的半径是1，直线 与x
轴交于点 ，且与x轴的正半轴夹角为 ，若直线 与 有公共点，则x值的范围是
．【答案】
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键．
设直线 的解析式为 ，当直线与圆相切时切点为C，连接 ，则 ，由于直线
与x轴正方向夹角为 ，所以 是等腰直角三角形，故 ，再根据勾股定理求出
的长即可．
解：
∵直线 与x轴正方向夹角为 ，
∴设直线 的解析式为 ，切点为C，连接 ，
∴ ，
∵ 的半径为1，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得，当直线与x轴负半轴相交时， ，
∴ ．
8．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段 的两个端点A、B分别在 轴和 轴上滑动，设线段 的中点 的运动轨迹为 ，当 的图象与 只有1个交点时， ．
【答案】
【分析】该题考查了切线的性质，一次函数与几何综合，得出点 的运动轨迹是解题的关键．
根据题意得出点 的运动轨迹 为以4为半径的 ，得出当 的图象与 只有1个交
点时，即 与 的图象相切，根据等面积法求解即可．
解：设 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
故点 的运动轨迹 为以4为半径的 ，
在 中，令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
则 ，当 的图象与 只有1个交点时，
即 与 的图象相切，
此时 ，
如图，则 ，即 ，
解得： ，
故答案为： ．
9．（2025·浙江·三模）如图，以 边 为直径作 交 于点 ， 恰好是 的切线，
为切点，连接 ．若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：
，再根据三角形内角和定理求出 ，最后再根据圆周角定理可求 ．
解： 为 直径， 是 的切线， 为切点，
，
在 中， ，
，
对应的圆心角为 ，圆周角为 ，
．
10．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ，以D为圆心，
为半径的弧恰好与 相切，切点为E，若 ， ，则 的长为 ．【答案】
【分析】连接 、 ，根据切线的判定可证 是 的切线，再根据切线长定理可得
， ，由切线的性质可得 ，再由平行线的性质与等腰三角形的
判定可得 ，可得 ，再利用勾股定理求解即可．
解：连接 、 ，
∵ ， 是 的半径，
∴ 是 的切线，
∵ 是 的切线，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，
熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键．
11．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，正方形 内接于 ．点E为 上一点，连接
、 ，若 ， ，则 的长为 ．【答案】
【分析】连接 、 、 ，由圆内接正方形的性质可得到 ，
， ，进而证得 是等边三角形，得到 ，根据勾股定
理求出 ，即可得到 ．
解：如图，连接 、 、 ，
∵正方形 内接于 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证
得 是等边三角形是解决问题的关键．
12．（20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，P是以点
为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段 的中点，连接 ，则线段 的最大值是
．【答案】
【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹
圆最值问题是解题的关键．连接 、 ，利用勾股定理可得 ，可知 是 的中位线，
则 ，当B、C、P三点共线，且点C在 之间时， 最大，则此时 最大，求解即可．
解：如图，连接 、 ，
令 ，则 ，
故点 ，
∵ ，
∴ ，
设圆的半径为 ，则 ，
∵点Q、O分别为 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
当B、C、P三点共线，且点C在 之间时， 最大，
则此时 最大，
此时 ，故答案为： ．
三、解答题
13．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，四边形 内接于 ， ，点 在
的延长线上，且
（1）判断 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1） 与 相切，理由见分析；（2）
【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、垂直平分线的判定和性质等内容，熟练掌握相
关知识是解题的关键．
（1）由题易得 为直径，再证 ，即可得解；
（2）先证 垂直平分 ，再利用等面积求出 长即可．
解：（1）解： 与 相切，理由如下：
四边形 内接于 ，
为 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
为 的切线，即 与 相切；（2）解：如图，记 、 交于点 ，
，
，
，
为直径，
垂直平分 ，
，
，
，
根据等面积可得 ，
．
14．（22-23九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知： 内接于 ，过点A作直线 ．
（1）如图1， 为直径，要使 为 的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：
①___________；②_____________．
（2）如图2， 是非直径的弦， ，求证： 是 的切线．
【答案】（1）① （或 ）（答案不唯一）；② ；（答案不唯
一）；（2）见分析
【分析】（1）①根据切线的判断由 或 可判断 为 的切线；②当
，根据圆周角定理得 ，所以 ，即 ，于是也可判断 为 的切线；
（2）作直径 ，连接 ，由 为直径得 ，则 ，根据圆周角定理
得 ，而 ，所以 ，根据切线的判定定理得到 为
的切线；
解：（1）解：①当 （或 ）可判断 为 的切线；
②当 ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的切线；
故答案为∶ ① （或 ）（答案不唯一）、② ；（答案不唯一）
（2）证明：如图，作直径 ，连接 ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的切线；
【点拨】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考
查了圆周角定理．
15．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在 中， ，以 为直径的 交于点D，点Q为 延长线上一点，延长 交 于点P，连接 ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 时，求 的长．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）连接 ，根据圆周角定理得到 ，由于 ，得到
，根据余角的性质得到 ，于是得到结论；
（2）连接 ，根据切线的判定定理得到 是 的切线，求得 ，得到 ，
根据平行线分线段成比例定理得到 ，根据三角形的中位线的性质得到 ，根据射影定
理即可得到结论．
解：（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ，
∵ ，，
∴ 是 的切线；
（2）解：连接 ．
∵ 为半径，
∴ 是 的切线，
∴ ，
，
∴ ，
，
，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线
的性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．（18-19九年级上·北京昌平·期末）有这样一个问题：
如图， 的内切圆与斜边 相切于点 ， ， ，求 的面积（用含 的
式子表示）.小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：
解：如图，令 ， ，
设 的内切圆分别与 相切于点 ， 的长为
根据切线长定理，得 ， ，
根据勾股定理得，
整理，得
所以
请你参考小冬的做法.
解决以下问题：
（1）当 时，求 的面积；
（2）当 时，直接写出 的面积（用含 的式子表示）为 .
【答案】（1）35；（2）
【分析】（1）模仿例题求解即可解决问题;
（2）探究规律，利用规律即可解决问题．
解：（Ⅰ）如图，令设 的内切圆分别与 相切于点 ， 的长为
根据切线长定理，得 ， ， ，
据勾股定理得，
整理，得
所以
（Ⅱ）由（1）可知：
【点拨】本题考查了三角形的面积，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
