第04讲二次函数y=ax²bxc的图像和性质（知识解读题型精讲随堂检测）（学生版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_知识解读与题型专练-V14_2026版

第 04 讲 二次函数 y=ax ²+bx+c 的图像和性质 【知识点1：二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 【知识点2：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 【知识点3：二次函数y=ax²+bx+c图像的变换问题】 【知识点4：二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 【知识点5：待定系数法求二次函数解析式】 1. 顶点式化成一般式 y a(xh)2 k 2. 从函数解析式 我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称 y a(xh)2 k y a(xh)2 k 为顶点式，将顶点式 去括号，合并同类项就可化成一 y ax2 bxc 般式 ． 3. 一般式化成顶点式  b   b  b  2  b  2 y ax2 bxca  x2  x  cax2 x      c  a   a 2a 2a   b  2 4acb2 a x     2a 4a ． b 4acb2 h k  对照 y a(xh)2 k ，可知 2a ， 4a ．  b 4acb2  b x  ,  ∴ 抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是  2a 4a  ．【题型1：二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 【典例1】（2025·江苏徐州·一模）将二次函数 化为 的形式， y=x2﹣2x+4 y=(x−ℎ) 2+k 结果为( ) A． B． y=(x+1) 2+4 y=(x−1) 2+4 C． D． y=(x+1) 2+3 y=(x−1) 2+3 【变式1】（24-25九年级上·山东德州·期中）将二次函数y=x2−4x+5化为 的形式，则 ． y=(x−ℎ) 2−k y= 1 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）抛物线y=− x2−2x−1化成顶点式是 2 ． 【变式3】（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）用配方法将y=3x2−6x写成 的形式是 ． y=a(x−ℎ) 2+k 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点 M，并用虚 线画出对称轴． y ax2 bxc (2)求抛物线 与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这 两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、 D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称 点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图 象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 3 .二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质 函数 y ax2 bxc 二次函数 （a、b、c为常数，a≠0） a0 a0 图象 开口方向 向上 向下 b b 对称轴 x x 直线 2a 直线 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b x x 2a 2a 在对称轴的左侧，即当 时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 时，y b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧， 增减性 x b 增大而减小；在对称轴的右侧，即当 2a x 时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 即当 2a 时，y 随 x 的增大而减 小．简记：左增右减 b b x x 抛物线有最低点，当 2a 时，y 有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有 最大(小)值 4acb2 4acb2 y  y  值， 最小值 4a 最大值， 最大值 4a 【题型2：二次函数y=ax²+bx+c的性质】 【典例2】（24-25八年级下·福建福州·期末）抛物线 中， 与 的部 y=ax2+bx+c(a≠0) y x 分对应值如表： x … 1 3 4 5 7 … y … −4 4 5 −4 … 下列结论中，不正确的是（ ）A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线x=4 C．当x>4时，y随x的增大而减小 D．y的最大值为5 【变式1】（2025·江苏南通·模拟预测）抛物线y=x2+4x−4的对称轴为直线（ ） A．x=2 B．x=−2 C．x=−4 D．x=4 【变式2】（24-25九年级上·四川泸州·期中）二次函数y=2x2+4x+3的图象的（ ） A．最高点在(−1,1) B．最高点在(1,−1) C．最低点在(−1,1) D．最低点在(1,−1) 【变式3】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）关于二次函数y=x2+2x−8，下列说法正确 的是（ ） A．图象的对称轴在y轴的右侧 B．图象与y轴的交点坐标为(0,8) C．当x>−1时，y随x的增大而减小 D．y的最小值为−9 【题型3：二次函数y=ax²+bx+c的y值大小比较】 【典例3】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）若函数y=−x2+2x+m的图象上有两点 ， ，若 ，则（ ） A(x ,y ) B(x ,y ) x y C．y = y D．y ，y 的大小不确定 1 2 1 2 1 2 1 2 【变式1】（23-24九年级上·江西赣州·期中）已知点 ， ， 在 A(−4,y ) B(−2,y ) C(3,y ) 1 2 3 抛物线y=−x2−2x+c上，则y ，y ，y 的大小关系为（ ） 1 2 3 A．y >y >y B．y >y >y 2 1 3 2 3 1 C．y >y >y D．y >y >y 1 2 3 3 1 2 【变式2】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知点 ， ， 是抛物线 (0,y ) (1,y ) (3,y ) 1 2 3 y=x2−2x+n上的点，则y ，y ，y 的大小关系为（ ） 1 2 3 A．y y D．y ≥ y 1 2 1 2 【题型4：二次函数y=ax²+bx+c的图像问题】 【典例4】（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数y=ax−b图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+b在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）在同一平面直角坐标系中，函数 y=−ax+b与y=ax2+bx的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（九年级上·山东济宁·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数 的大致图象可以为（ ） y=a(x+c) 2 A． B．C． D． 【变式3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图为一次函数y=ax+b的图象，则二次函 数y=ax2+bx在平面直角坐标系中的图象大致为（ ） A． B． C． D． y=ax2 +bx+c （1）上下平移 若原函数为 {向上平移m个单位，则平移后函数为 y=ax2 +bx+c+m 向下平移m个单位，则平移后函数为 y=ax2 +bx+c−m 注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。 （2）左右平移 y=ax2 +bx+c 若原函数为 ，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式 y=a(x−h) 2 +k 然后再进行相应的变形{若向左平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h+n) 2 +k 若向右平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h−n) 2 +k 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【题型5：二次函数y=ax²+bx+c图像的变换问题】 【典例5】（24-25九年级上·山西阳泉·期中）将抛物线y=x2−2x−3先向左平移3个单位 长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（ ） A． B． C． D． y=(x−4) 2−2 y=(x−4) 2+2 y=(x+2) 2−2 y=(x+2) 2+2 【变式1】（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后，所 得新抛物线的顶点式为 ． 【变式2】（2025·甘肃武威·二模）将抛物线y=2x2−4x−1先向左平移2个单位长度，再 向上平移 个单位长度，得到的抛物线的表达式写成 的形式为 1 y=a(x−ℎ) 2+k ． 【变式3】（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线y=x2−6x+5先向上平移5个单位 长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ． 【题型6：二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 【变式6】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，若二次函数 的图象如图所示，则以下结论中正确的是（ ） y=ax2+bx+c(a≠0)A．abc>0 B．b2−4ac<0 C．9a+3b+c<0 D．a−b+c>0 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图 象，对称轴是直线x=−1，下列结论正确的是（ ） A．4ac−b2>0 B．a+b+c>0 C．abc>0 D．2a−b<0 【变式2】（24-25九年级上·云南昆明·期中）对称轴为直线x=1的抛物线 ， ， 为常数，且 如图所示，下列结论正确为（ ） y=ax2+bx+c(a b c a≠0) A．abc>0 B．b2<4ac C．当x<−1时，y随x的增大而增大 D．4a+2b+c>0 【变式3】（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象 中，观察得出了下面五条信息：①c<0；②abc>0；③a−b+c>0：④2a+b>0．你认为其中正确信息的有 ． （填写序号） （1）一般式：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0） 已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式。 （2）顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)。顶点坐标为（h,k)；对称 轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当 x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 （3）交点式：仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0]。 已知抛物线与x轴即y=0有交点A( , 0)和B( , 0),我们可设y=a（x- )(x- ),然后把第三点代入x、y中便可求出a。 【题型7： 待定系数法求二次函数解析式】 【典例7】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）某二次函数的图象经过原点，且顶点是 (1,−2)． (1)求此二次函数解析式； (2)求此二次函数图象如何平移可以得到y=2x2图象？ 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点 A(−1,0)、B(5,0)、C(0,−5)． (1)求此二次函数的解析式；(2)求△ABC的面积． 【变式2】（24-25九年级上·四川南充·期末）已知二次函数的图象与经过(1,0)，(−3,0)， (0,−3)． (1)求这个二次函数的解析式； (2)指出它的对称轴和最值． 【变式2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）根据下列条件，分别确定抛物线对应 的二次函数的表达式． (1)抛物线的顶点坐标是(2,1)，且与x轴的一个交点坐标是(3,0)； (2)抛物线y=ax2+bx+c过(−3,0)，(1,0)两点，与y轴的交点为(0,4)． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点 (0,3)，(1,6)． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)−2≤x≤3时，求y的取值范围． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）用配方法将二次函数y=x2+8x−9化为 的形式为（ ） y=a(x−ℎ) 2+k A． B． C． D． y=(x−4) 2+7 y=(x−4) 2−25 y=(x+4) 2+7 y=(x+4) 2−252．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如 下表： x … 0 1 2 3 4 … y … −1 −3 −1 5 15 … 则该二次函数图象的顶点坐标为（ ） A．(0,−1) B．(1,−3) C．(2,−1) D．(3,5) 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知a>0，b2−4ac>0，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象可能是（ ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）二次函数 的最小值是（ ） y=2(x+1) 2−7 A．−7 B．1 C．−1 D．7 5．（2025·河南周口·三模）二次函数y=x2−4x+m 在1≤x≤m范围内有最大值4，则m 的值为（ ） A．−1 B．4 C．7 D．4或7 二、填空题 6．（23-24九年级上·广东江门·期中）以顶点坐标A(2,0)，且过点B(0,−1)的抛物线的解 析式： 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，函数y=−x2−x−1的图象的开口 向 ． 8．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）抛物线y=−2x2+4x−1的对称轴是 ． 9．（24-25九年级上·重庆荣昌·期中）若点(−4,0)在抛物线y=x2+8x+m上，则m= ． 10．（24-25九年级上·新疆巴音郭楞·期末）若点 在抛物线 A(0,y ),B(3,y ) 1 2上，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） y=(x−1) 2+3 y y 1 2 11．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若二次函数 的图象经过点 ， y=x2−4x+k (−1,y ) 1 ，则 与 的大小关系为 ． (3,y ) y y 2 1 2 12．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）若二次函数y=mx2+x+m2−2m的图象经过 原点，则m的值为 ． 13．（2025·内蒙古·模拟预测）将抛物线y=ax2−bx+1向下平移3个单位长度后，经过点 (−2,3)，则8a+4b−5= ． 三、解答题 14．（24-25九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数y=x2−4x+3． (1)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象； (2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数y<0时，x的取值范围是____________； 3 ②方程x+ =4的根是_______________； x ③试写出此函数的一条性质； ④已知点 ， ， 都在此二次函数的图象上，则 A(−1,y ) B(❑√2,y ) C(4,y ) 1 2 3 y ，y ，y 的大小关系是_________（用“＜”连接）． 1 2 315．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知抛物线y=ax2+bx+5经过点(1,4)，(2,7)． (1)求这个二次函数的解析式； (2)写出这条抛物线的对称轴和顶点坐标．