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第 02 讲 线段的垂直平分线的性质和判定
知识点1：线段的垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂
线。
2.线段垂直平分线的作图
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
3.线段垂直平分线性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【题型1： 线段垂直平分线的性质】
【典例1】在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
△BCE的周长等于50，则BC的长是（ ）A．22 B．23 C．32 D．33
【变式1】如图，在△ABC中，DE 垂直平分边AC，若△ABD的周长为24cm，
BC=18cm，则AB的长为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．14cm
【变式2】如图，已知在△ABC中，AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AC于点D，交
AB于点E，连接BD，则△DBC的周长为 ．
【变式3】如图，BC=8cm，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则△APQ的周长为
cm．
【题型2： 线段垂直平分线的判定】
【典例2】如图，在 △ABC中，AD 是 ∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，
DF⊥AC于点 F．求证∶AD垂直平分EF．【变式1】如图，在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段AC
的垂直平分线上．
【变式2】风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人
们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，
其中AB=AC，∠BAD=∠CAD．求证：AD垂直平分BC．【题型3：作已知线段的垂直平分线】
【典例3】如图，在△ABC中，AC>BC．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使得
BP=CP．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°
(1)请用直尺和圆规作线段BC的垂直平分线，分别交线段BC、AC于点E、F
(2)连接BF，请找出图中和BF相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）．
【变式2】如图，在△ABC中
(1)使用直尺和圆规，作线段AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．（基
本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）所作的图形中，当AB=10,BC=8时，求△BCE的周长．【题型4： 作垂线(尺规作图】
【典例4】如图，已知△ABC，利用尺规作图作△ABC的边AC的中线BE和BC边上的高
AF，点F为垂足（不写作法，保留作图痕迹）．
【变式1】如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，请用直尺和圆规完成以下作图：
(1)过点C作CD⊥AB于点D；
(2)在CD上求作一点E，使得点E到AC的距离等于DE的长．(保留作图痕迹，不写作
法)
【变式2】如图，已知△ABC，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不
写作法）
(1)作边AB上的高CD；
(2)过点D作直线BC的垂线，垂足为E；
(3)在BC上找一点M，使MA=MB．【变式3】如图，已知△ABC，用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）．
(1)作∠A 的平分线；
(2)过点C作线段AB的垂线．
一、单选题
1．通过如下尺规作图，能得到BD=AD的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC=10，
AC=6，则△ACD的周长是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．203．如图，∠AOB内一点P，点P ，P 分别是点P关于OA，OB的对称点，P P 交OA于
1 2 1 2
点M，交OB于点N，若P P =5，则△PMN的周长是（ ）
1 2
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知△ABC(AC<BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB=BC，则
一定符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
5．到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点
6．观察如图作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的（ ）
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线
7．如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，若△ADB的周长为14，AB=6，则AC的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．11
二、填空题
1
8．如图，△ABC中，∠B=32°，分别以点B、C为圆心，大于 BC的长为半径画弧，两
2
弧在BC两侧相交于点M、N，作直线MN分别与AB、BC交于点D，E，连接CD，
则∠BCD= ．
9．如图，MN是AB的垂直平分线，点P是MN上一点，若△PAB周长是22cm，
AB=10cm，则PA的长为 cm．
10.如图，在△ABC(AB<AC)中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，
AC=15cm，△ABE的周长为24cm，则AB的长为 ．11．如图，AC=BC，AD=BD，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出
关于它的如下结论：
①△ACD≌△BCD；②AO=BO；③AB⊥CD；④∠CAB=∠ABD.其中正确结论
的序号是 .
三、解答题
12．如图，在△ABC中，请解答下列问题：
(1)请用尺规作图的方法作边AC的垂直平分线，交BC于点D，连接AD．（不写作法，
保留作图痕迹）
(2)若AB+BC=16，求△ABD的周长．
13．如图，△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直
平分线，E、G分别为垂足，△DAF的周长为16，求BC的长．
