文档内容
第 03 讲 角平分线
知识点1：尺规作图-作角平分线
知识点2：角平分线的性质定理
知识点3：角平分线的判定定理
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别
为D，E。∴PD=PE。
【题型1：角平分线的性质定理的应用】
【典例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，
点D在OB上．若OD=6，△POD的面积为9，则PC的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【变式1】（24-25八年级下·河南·期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分
∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB=6，CD=2，则△DBE的面积为
（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点D是△ABC的三个内角平分线的交
点，若△ABC面积为27cm2，点D到边AC的距离是3cm，则△ABC的周长为（ ）
A．18cm B．9cm C．36cm D．30cm
【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC
上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，
1
大于 EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点
2
M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN=3，AD=4MD，则AM= ．
【题型2：角平分线的性质在实际中的应用】
【典例2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，
现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处【变式1】（24-25八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建
一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草
坪（ ）
A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高线的交点处 D．以上都不对
【变式2】（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄
连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则
这个基地应该建在（ ）
A．△ABC的三条高线的交点 B．△ABC的三条中线的交点
C．△ABC的三条角平分线的交点 D．△ABC的三边垂直平分线的交点
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
重要拓展：
1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，
三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，
它们的面积比等于另外两边的长度的比。∵AD是∠BAC的角平分线；
∴DF=DE；
1 1
∵S = AB·DF；S = AC·DE；
△ADB 2 △ADC 2
S AB
△ADB
∴ = ；
S AC
△ADC
【题型3：角平分线的性质的判定】
【典例3】（22-23八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在△ABC中，D是BC的中点，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，∠EDB=∠FDC．试说明：AD是
△ABC的角平分线．【变式1】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，△ABC的外角∠CBM，∠BCN
的平分线交于点D，过点D作DE⊥AM，DF⊥AN，垂足分别为E，F．
(1)若∠A=60°，∠ABC=50°，求∠BCD及∠BDC的度数；
(2)连接AD，判断AD是否平分∠BAC？并说明理由．
【变式2】（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在△ABC中，AP,CP分别是△ABC
外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．
(1)求证：BP为∠MBN的平分线．
(2)求证：∠PAC+∠PCA=∠ABC+∠APC．
【变式3】（八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点
E，点F在AC上，BE＝FC，BD＝DF，求证：AD平分∠CAB．
【题型4：角平分线的性质的判定和性质综合】【典例4】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角
∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB，
(1)求证：BO平分∠ABC；
(2)若AC=6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长．
【变式1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB、∠CBA
的角平分线相交于点E．
(1)求证：点E在∠A的平分线上；
(2)过点E作ED⊥BC于点D，ED=4，△ABC的面积为36，则△ABC的周长为
__________．
【变式2】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)已知AC=16，DE=4，BE=2，求四边形AFDB的面积．
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
1
2、分别以M,N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
2
3、画射线OC，射线OC即为所求。【题型5：尺规作图-角平分线】
【典例5】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°．
(1)请用无刻度直尺和圆规作∠ABC的平分线，与边AC交于点D（保留作图痕迹，不
写作法）．
(2)在（1）的作图下，若△ABC的面积是24，AB+BC=16，求CD的长．
【变式1】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，在△ABC中，∠B=50°，
∠C=70°，AD⊥BC，
(1)求作：△ABC的角平分线AE；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)求∠BAC与∠EAD的度数．
【变式2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在△ABC中.(1)尺规作图：作∠BAC的平分线AD交BC于点D.（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若AB=8，AC=6，△ABD的面积为12，求△ABC的面积
【变式3】（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在四边形ABCD中，
∠B=∠C=90°,AB>CD．
(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作
法）；
(2)在（1）的条件下，若CE=BE，求证：AE平分∠DAB．一、单选题
1．（2025·云南文山·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD=4，AD=2CD，
BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1．5
2．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分
线BD交AC于点D，AD=3，则点D到边BC的距离是（ ）
A．2 B．3 C．❑√3 D．4
3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）用两把完全相同的长方形直尺作出∠AOB的角平分
线的方法：如图所示，直尺①边缘压住射线OB，直尺②边缘压住射线OA并且与直尺
①交于点P，射线OP就是∠AOB的角平分线．其理论依据是（ ）
A．等腰三角形两底角相等
B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C．角平分线上的点到角的两边距离相等
D．三线合一
4．（22-23八年级上·辽宁大连·期中）到三角形三条边的距离都相等的点是（ ）
A．两条中线的交点 B．两条高的交点
C．两条角平线的交点 D．两条边的垂直平分线的交点5．（22-23八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=2，
BC=4，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这
个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集
贸市场应建在（ ）
A．三角形的三条角平分线的交点处
B．三角形的三条中线的交点处
C．三角形的三条高的交点处
D．以上位置都不对
7．（21-22七年级下·山东济南·期末）如图，按以下方法作一个角的平分线：（1）以O为
圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N．（2）分别以点M、N为圆心，
1
大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射
2
线OC即为所求．这种作图方法的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA
8．（21-22八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平
分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝7，则△BDC的面积是（ ）A．2 B．7 C．9 D．14
9．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠A=50°，以
点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB,BC于点E，F，再分别以点E，F为圆
1
心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点G，连接BG并延长，交AC于点D，则
2
∠ADB的度数是（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
10．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，
OD⊥BC于点D，连接OA，若OD=4，AB=20，则△AOB的面积是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
11．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE平分
∠ACB，与BD交于点E，若BC=5，△BCE的面积为5，则ED的长为（ ）1
A． B．1 C．2 D．5
2
12．（2015·广东广州·一模）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB上AB
于点E，S =15，DE=3，AB=6，则AC的长是（ ）
△ABC
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
13．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角
∠ABC的平分线交于点E，若∠CAE=54°，则∠BEC的度数是 ．
14．（21-22八年级上·甘肃武威·阶段练习）在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC
交BC于点D，若CD＝8，则点D到斜边AB的距离等于 ．
15．（2025·河南商丘·二模）如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB于点E，CD=2，AB=6，则△ABD的面积是 ．
16．（24-25七年级下·上海长宁·期末）在小学，我们学习过“三角形的内角和为180°”．
如图，在△ABC中，∠A=60°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为 ．17．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于
点D，DE⊥AB于点E，若AC=6，S =6，则DE的长为 ．
△ACD
三、解答题
18．（24-25八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)尺规作图，求作∠CAB的平分线AD，交BC于点D
(2)若CD=4，AB=15，直接写出△ABD的面积．
19.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，
CF⊥AD于点F，且BC=CD．
(1)求证：△BCE≌△DCF．
(2)若AE=3．求AB+AD的值．20．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB于点E，DE=2，AB=6，BC=4，求△ABC的面积．
