文档内容
专题 20 特殊四边形中的面积转换
解题思路
类型一：利用”同底等高“解决平行四边形的面积”问题
【模型归纳】
类型二：特殊平行四边形中等面积法应用
典例分析
【类型一：利用”同底等高“解决平行四边形的面积”问题】
【典例1】（2021春•满城区期末）如图，平行四边形 ABCD的对角线AC和
BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点F，E，若设该平行四边
形的面积为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．1 C． D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD，
在△AOB和△COD中，，
∴△AOB≌△COD（SSS），
∴S ＝S ，
△AOB △COD
同理可证：
△AFO≌△CEO（ASA），△BOE≌△DOF（ASA），
∴S ＝S ，S ＝S ，
△AFO △CEO △BOE △DOF
∴阴影部分的面积＝S ＝ S ＝1．
四边形ABEF 平行四边形ABCD
故选：B．
【变式1-1】（2021春•宜城市期末）如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，
BC＝10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为（ ）
▱
A．6 B．15 C．30 D．60
【答案】C
【解答】解：观察并结合平行四边形的性质可知，图中下半部分的阴影面积
等于上半部分的空白面积，
∴S ＝ S ，
阴影 ABCD
▱
∵BC＝10，BC边上的高为6，
∴S ＝10×6＝60，
ABCD
▱
∴S ＝ ×60＝30．
阴影
故选：C．
【变式1-2】（2021春•商河县校级期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相
交于 O，EF 经过点 O，分别交 AD，BC 于 E，F，已知 ABCD 的面积是
▱
20cm2，则图中阴影部分的面积是（ ）
▱A．12 cm2 B．10 cm2 C．8cm2 D．5cm2
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴S ＝S ＝ S ＝5（cm2），
阴 △BOC 平行四边形ABCD
故选：D．
【变式1-3】（2021秋•岷县期中）如图，平行四边形 ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是
．
【答案】
【解答】解：作AM⊥BC于M，如图所示：
则∠AMB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝ AB＝ ×2＝1，
在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2，
∴AM＝ ＝ ＝ ，∴S ＝BC•AM＝3 ，
平行四边形ABCD
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴S ＝S ，
△BOE △DOF
∴图中阴影部分的面积＝ ABCD的面积＝ ，
▱
故答案为： ．
【类型二：特殊平行四边形中等面积法应用】
【典例2】（2020•东坡区校级模拟）如图，已知菱形 ABCD的对角线AC、BD
的长分别为10cm、24cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）cm．
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵对角线AC、BD的长分别为10cm，24cm，
∴AO＝CO＝5cm，BO＝DO＝12cm，∴BC＝CD＝AB＝AD＝13cm，
∴ AC×BD＝BC×AE，
∴AE＝ ＝ ＝ （cm）．
故选：D．
【变式2-1】（2020春•南宁期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝2 ，BD＝
2，DH⊥AB于点H，则DH的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵在菱形ABCD中，AC＝2 ，BD＝2，
∴AO＝CO＝ ，BO＝DO＝1，
∴AB＝2，
∴DH×2＝ AC×BD，
∴DH＝ ＝ ．
故选：D．
【变式 2-2】（2021 秋•金水区校级月考）如图，已知菱形 ABCD 的对角线
AC，BD的长分别为4，6，AE⊥BC于点E，则AE的长是 ．【答案】
【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝ AC＝2，BO＝ BD＝3，AC⊥BD，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝ ，
∵S ＝BC•AE＝ AC•BD＝ ×4×6＝12，
菱形ABCD
∴ AE＝12，
∴AE＝ ，
故答案为： ．
【典例3】（2020•广州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝
6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为
F，则OE+EF的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AC＝ ＝10，
∴AO＝DO＝ AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S ＝S +S ，即12＝ AO×EO+ DO×EF，
△AOD △AOE △DOE
∴12＝ ×5×EO+ ×5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF＝ ，
故选：C．
【变式3-1】（2020秋•历城区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于
点 O，AB＝3，BC＝4，过点 O 作 OE⊥AC，交 AD 于点 E，过点 E 作
EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为12，AC＝ ，
∴AO＝DO＝ AC＝ ，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为3，∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S ＝S +S ，即3＝ AO×EO+ DO×EF，
△AOD △AOE △DOE
∴3＝ × ×EO+ ×EF，
∴5（EO+EF）＝12，
∴EO+EF＝ ，
故选：C．
【变式3-2】（2021春•平邑县期末）如图，正方形 ABCD的边长为2，E为对
角线AC上一点，且CE＝CB，点P为线段BE上一动点，且PF⊥CE于F，
PG⊥BC于G，则PG+PF的值为 ．
【答案】
【解答】解：连接CP，BD，交AC于M，
∵四边形ABCD 为正方形，BC＝2，
∴BD⊥AC，垂足为M，BM＝MC＝ BC＝ ，
∵S ＝ CE•BM，S ＝ CE•PF，S ＝ BC•PG，S ＝
△BCE △PCE △BCP △BCE
S +S ，
△PCE △BCP
∴ CE•BM＝ CE•PF+ BC•PG，∵BC＝CE，
∴BM＝PF+PG，
∴PG+PF＝ ．
故答案为 ．
夯实基础
1．（2021春•齐齐哈尔期末）如图， ABCD中，AC．BD为对角线，BC＝3，
BC边上的高为2，则阴影部分的面积为（ ）
▱
A．3 B．6 C．12 D．24
【答案】A
【解答】解：∵ ABCD 中，AC．BD 为对角线，BC＝3，BC 边上的高为
2，
▱
∴S ＝3×2＝6，AD∥BC，
ABCD
∴O▱A＝OC，∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴S ＝S ，
△AOE △COF
同理：S ＝S ，S ＝S ，
△EOG △FOH △DOG △BOH
∴S ＝S ＝ S ＝ ×6＝3．
阴影 △ABD ABCD
▱
故选：A．2．（2021•建华区三模）如图，平行四边形 ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC
＝5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB
于E，且PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC
∵PE∥BC，
∴PE∥AD
∵PF∥CD，
∴PF∥AB，
∴四边形AEPF为平行四边形，
设 AEPF 的对角线 AP、EF 相交于 O，则 AO＝PO，EO＝FO，∠AOE＝
∠POF，
▱
∴△POF≌△AOE（SAS），
∴图中阴影部分的面积等于△ABC的面积，
过A作AM⊥BC交BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝4，
∴AM＝2 ，
∴S ＝ ×5×2 ＝5 ，
△ABC即阴影部分的面积等于5 ．
故选：B．
3．（2021秋•毕节市期末）如图，在菱形 ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OC＝OA，OB＝OD，
∵AC＝6，DB＝8，
∴OC＝3，OB＝4，
∴BC＝ ，
∵AC＝6，DB＝8，
∴菱形ABCD的面积＝ ，
∵BC＝5，
∴AE＝ ＝ ，
故选：C
4．（2021 春•吉林期末）如图，E 是 ABCD 内任意一点，连接 AE、BE、
CE、DE．若 ABCD的面积是10，则阴影部分图形的面积是 ．
▱
▱【答案】5
【解答】解：过E作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴EN⊥AD，
∵S ＝ AD•EN，S ＝ BC•EM，
△AED △BCE
∴S +S ＝ AD•EN+ BC•EM＝ BC•MN＝ 平行四边形ABCD的面积
△ADE △BCE
＝ ×10＝5，
∴阴影部分的面积＝5，
故答案为：5．
5．（2021秋•诸城市期末）如图，菱形ABCD的周长为40，P是对角线BD上
一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，若PE+PF＝8，则菱形
ABCD的面积为 ．
【答案】80
【解答】解：连接AP，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵菱形ABCD的周长为40，
∴AB＝AD＝10，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴菱形ABCD的面积＝2S ＝2×（S +S ）＝2（ ×10PE+ ×10PF）
△ABD △ABP △ADP
＝10（PE+PF）＝10×8＝80，
故答案为：80．
6．（2021•香坊区一模）如图，矩形 ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点
O 作 OE⊥AC，交 AD 于点 E，过点 E 作 EF⊥BD，垂足为 F，BC＝8，
OE+EF＝ ，则线段AB的长为 ．
【答案】6
【解答】解：∵矩形ABCD中，BC＝8，
∴AC＝ ＝ ，
∴AO＝ AC，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积＝ 矩形ABCD的面积＝ ×AB•BC＝2AB，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S ＝S +S ，
△AOD △AOE △DOE
即2AB＝ AO×EO+ DO×EF，
∴2AB＝ ×AO（EO+EF）＝ AC× ＝ AC，
∴2AB＝ ，
∴5AB＝3 ，
解得AB＝6或AB＝﹣6（舍去），
故答案为：6．
7．（2020秋•莱州市期末）如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD
＝20．今沿两对角线将四边形 ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．
若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成一个对称图形戊，如图 2所示．则图
形戊中的四边形两对角线长度和为（ ）
A．29 B．26 C．24 D．25
【答案】B
【解答】解：如图，连接AD、EF，
则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．
∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20，
∴BC＝AD＝20， EF×AD＝ ×120，
∴EF＝6，
又BC＝20，∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6＝26，
故选：B．
