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第 07 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积
知识点1：弧长和扇形面积的计算
知识点2：圆内正多边形的有关计算
扇形：（1）弧长公式： ； （2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
注意：
(1)对于弧长公式，关键是要理解 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即
；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就
可以求出第三个量.
(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，
即 ；
(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中
的两个量就可以求出第三个量.【题型1求弧长】
【典例1】已知圆心角为120°的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（ ）
A．2π B．4π C．12π D．24π
【变式1】如图，AB是圆O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，AB=6，则B´D的长为
（ ）
A．π B．4π C．2π D．45π
【变式2】如图，⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB=40°，则弧AB的
长为 ．
【变式3】已知圆弧所在圆的半径为8cm，所对的圆心角为45°，则这条弧的长为 cm．
【题型2求扇形半径】
4
【典例2】已知扇形的弧长是 π，圆心角120°，则这个扇形的半径是 ．
3
【变式1】如图，PA，PB分别切⊙O于点为A，B，若∠P=50°，弧AB的长为26π，
则⊙O的半径为 ．
【变式2】若弧长为20πcm的扇形的圆心角为120°，则扇形的半径 cm．
【题型3求圆心角】
【典例3】一个扇形的弧长是10πcm，半径是12cm，则此扇形的圆心角的度数是（ ）
A．300° B．150° C．120° D．75°【变式1】若半径为8的扇形弧长为2π，则该扇形的圆心角度数为 ．
【变式2】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是10cm，当重物上升15.7cm时，问滑
轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（ ）（假设绳索与滑轮之间
没有摩擦，π取3.14）
A．60° B．90° C．120° D．180°
【变式3】“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中
⊙M,⊙N的半径分别是1cm和8cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随
之旋转n°，则n= ．
【题型4求某点的弧形运动路径长度】
【典例4】一副三角板如图所示摆放，BC=10，以A为旋转中心，逆时针旋转三角板
ADE，当点E再次落到边BC上时，点D走过的长度为（ ）
5π 10π
A． B．π C． D．2π
3 3
【变式1】将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到线段OB，若OA=8，则点A经过的路径长度为 ．
【变式2】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若AC=4，则点C运动
的路径长为 ．
【变式3】如图，边长为2❑√3cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足
为B，AB=17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
(17+❑√3)πcm (17+2❑√3)πcm 10πcm 20πcm
【题型5求扇形面积】
【典例5】如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画
弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（ ）
4π 9π 5π
A． B． C．π D．
3 8 4π
【变式1】已知一个扇形的圆心角为60°，其弧长为 cm，则该扇形的面积为 cm2．
6
【变式2】半径为2的圆中，45°圆心角所对的扇形的面积为 ．
【变式3】如图，折扇的骨柄长为30cm，扇面宽度为、18cm，折扇张开的角度为120∘，
则折扇扇面的面积为 cm2（结果保留π）．
【题型6求图形旋转后扫过的面积】
【典例6】当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．
如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆OM与雨刷AB在M处固定连接（不
能转动），若测得AO=80cm，BO=20cm，当杆OM绕点O转动90°时，雨刷AB扫
过的面积是（ ）
A．1600πcm2 B．1500πcm2 C．900πcm2 D．800πcm2
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=8cm，把
△ABC以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到AB边的延长线上点C′处，则AC边
扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．16π B．12π C．8π D．4π
【变式2】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐
标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A(−1,3)，B(−4,3)，O(0,0)．(1)画出△ABO关于x轴对称的△A B O，并写出点A 的坐标；
1 1 1
(2)画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A B O，并写出点A 的坐标；
2 2 2
(3)在（2）的条件下，求AO在旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
【变式3】如图，在△OAB中，点A、B、C的坐标分别是(−4，1),(−2，5),(−1，2)，
将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′．
(1)画出△A′B′C′，并写出A′,B′,C′的坐标．
(2)求线段AB扫过的区域的面积．
【题型7求弓形面积】【典例7】家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边AB和CD平行且
相等（如图②），小华用皮尺量出BD=1米，BC=0.5米，则阴影部分的面积为
（ ）
A．( π ❑√3)平方米B．(π ❑√3)平方米 C．( π ❑√3)平方米
− − −
12 8 6 8 12 4
D．(π ❑√3)平方米
−
6 4
【变式1】如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意
图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成
的扇面，若OA=5m，OB=3m，则阴影部分的面积是（ ）m2
4 8 16
A． π B． π C．4π D． π
3 3 3
【变式2】《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所
1
用的经验公式：弧田面积= （弦×矢+矢
❑
2）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦
2
围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦AB，“矢”指半径长与圆心O到弦AB的距离
（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（ ）
A．80 B．100 C．104 D．128
【变式3】如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD且与AD交于点E，连接BC．若AB=8，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积为 ．
圆锥侧面展开图
（1） =
（2）圆锥的体积：
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（ ）
【题型8求圆锥侧面积】
【典例8】一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，
底面半径为2米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是多少平方米（接缝不计）
（ ）
A．2.5π B．3π C．4π D．5π
【变式1】已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为5cm．则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．15cm2 B．15πcm2 C．30cm2 D．30πcm2
【变式2】已知圆锥的底面圆周长为2π，母线为4，则该圆锥侧面积为 ．
【变式3】如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为90°，则圆锥的侧面积是．
【题型9求圆锥底面半径】
【典例9】用半径为24cm，面积为120πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆
锥的底面圆的半径为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．6cm
【变式1】将一个圆锥的侧面展开后得到一个扇形，这个扇形的面积为27πcm2，半径为
9cm，这个圆锥的底面半径为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【变式2】用一个圆心角为120°，半径为12的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面
半径为 ．
【变式3】将半径为5cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面
半径为 cm．
【题型10求圆锥侧面展开图的圆心角】
【典例10】若圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则其侧面展开图的圆心角为
度．
【变式1】若一个圆锥的母线长为8，底面圆的周长是6π，则该圆锥侧面展开图的圆心角
的度数为 ．
【变式2】圆锥的高为2❑√2，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆
心角是 度．
【变式3】圆锥的底面圆半径为2，将该圆锥沿其某条母线剪开后，其侧面展开图是扇形，
若扇形的半径为5，则该扇形的圆心角是 °．
一、单选题π
1．如图，PM切⊙O于点P，弦PQ∥OM，若∠OMP=30°，劣弧PQ的弧长为 ，则
3
线段OM的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．π
2．如图，正方形ABCD的边长为2，弧AC是以点B为圆心，AB长为半径的一段圆弧，
则弧AC的长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
3．小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，通过测
量得到∠AOB=150°,OA=6cm，则A´B的长为（ ）
A．10π B．5π C．2π D．3π
4．如图，AB为⊙O的直径，AB=8，弦CD=4❑√2，则劣弧CD的长为（ ）
π
A． B．π C．2π D．4π
2
5．如果一个扇形的圆心角为120°，半径为4cm，则这个扇形的面积为（ ）cm2．
4 8 16
A．π B． π C． π D． π
3 3 3
6．如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）
4 4 2 4
A． π B． π+❑√3 C． π−❑√3 D． π−❑√3
3 3 3 3
二、填空题
7．圆心角为40°，半径为1的扇形的弧长是 ．
8．甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如
图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形
OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O=108°，若OA=50cm，OB=20cm，则阴影部
分的面积是 cm2．（结果用π表示）
9．小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），
经过小黄同学测量得圆锥底面直径为12cm，圆锥的高为8cm，则根据测量数据推算，
该圆锥模型的侧面积为 cm2．（结果保留π）
10．如图，将半径为8cm的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这
个圆锥的高是 cm．11．如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外
侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为2m，高为2❑√3m，圆弧所在的圆
外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是 m．（结果保留π）
12．如图，在平面直角坐标系中，A(2,0),B(3,3)．
(1)作出与△ABO关于原点O对称的图形△A B O；
1 1
(2)作出△ABO绕原点O逆时针旋转90°后的△A B O；
2 2
(3)在（2）条件下，求线段OB所扫过的面积．
