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第 07 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积
知识点1：弧长和扇形面积的计算
知识点2：圆内正多边形的有关计算
扇形：（1）弧长公式： ； （2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
注意：
(1)对于弧长公式，关键是要理解 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即
；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就
可以求出第三个量.
(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，
即 ；
(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中
的两个量就可以求出第三个量.【题型1求弧长】
【典例1】已知圆心角为120°的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（ ）
A．2π B．4π C．12π D．24π
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式；
nπr
根据扇形的弧长公式l= 进行计算即可．
180
120π×6
【详解】解：扇形的弧长为 =4π，
180
故选：B．
【变式1】如图，AB是圆O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，AB=6，则B´D的长为
（ ）
A．π B．4π C．2π D．45π
【答案】A
1
【分析】本题考查圆周角定理，求弧长，先求出半径OB= AB=3，再根据圆周角定
2
理得出∠BOD=2∠BCD=60°，最后根据弧长公式即可得出答案．
【详解】∵AB是圆O的直径，AB=6，
1 1
∴OB= AB= ×6=3，
2 2
∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=2∠BCD=60°，
60°π×3
∴B´D的长为 =π
180°
故选：A．
【变式2】如图，⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB=40°，则弧AB的
长为 ．4π
【答案】
3
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一
半是解题关键．由圆周角定理可得∠AOB=80°，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接OA、OB，
∵A
⌢
B=A
⌢
B
∠ACB=40°
， ，
∴∠AOB=2∠ACB=80°，
∵⊙O的半径是3，
80π×3 4π
∴弧AB的长为 = ，
180 3
4π
故答案为： ．
3
【变式3】已知圆弧所在圆的半径为8cm，所对的圆心角为45°，则这条弧的长为 cm．
【答案】2π
nπr
【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式l= ．直接利用弧长
180
公式计算，即可求解．
45×π×8
【详解】解：弧长为= =2π．
180
故答案为：2π．
【题型2求扇形半径】
4
【典例2】已知扇形的弧长是 π，圆心角120°，则这个扇形的半径是 ．
3
【答案】2
nπr
【分析】本题考查了弧长公式：l= ，其中l是弧长，r是扇形的半径，n是扇形的
180圆心角，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用弧长公式计算即可得．
【详解】解：设这个扇形的半径是r，
120πr 4
则 = π，
180 3
解得r=2，
所以这个扇形的半径是2，
故答案为：2．
【变式1】如图，PA，PB分别切⊙O于点为A，B，若∠P=50°，弧AB的长为26π，
则⊙O的半径为 ．
【答案】36
nπr
【分析】本题考查切线性质（圆的切线垂直于过切点的半径 ）与弧长公式（l=
180
），关键是利用切线性质求圆心角，结合弧长公式列方程求解．
连接 OA、OB，利用切线性质得 OA⊥PA、OB⊥PB，结合四边形内角和求圆心
角∠AOB，再用弧长公式列方程求半径．
【详解】解：连接 OA、OB
∵PA PB ⊙O A B
， 分别切 于 ，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即 ∠OAP=∠OBP=90°
∵ 四边形 OAPB 内角和为 360°，∠P=50°
∴∠AOB=360°−90°−90°−50°=130°
又 ∵ 弧 AB 长 l=26π，
130πr
∴26π=
180
解得 r=36
故答案为：36
【变式2】若弧长为20πcm的扇形的圆心角为120°，则扇形的半径 cm．【答案】30
【分析】此题主要考查了弧长公式的应用，利用弧长公式直接将已知数据代入求出即
可．熟练掌握弧长公式是解题关键．
【详解】解：∵弧长为20πcm的扇形的圆心角为120°，
120π×r
即20π= ，
180
解得：r=30，
则扇形的半径为30cm．
故答案为：30．
【题型3求圆心角】
【典例3】一个扇形的弧长是10πcm，半径是12cm，则此扇形的圆心角的度数是（ ）
A．300° B．150° C．120° D．75°
【答案】B
nπr
【分析】本题主要考查了弧长公式的应用．利用弧长公式l= 求解即可．
180
【详解】解：设圆心角为n°，根据题意得：
nπ×12
=10π，
180
解得：n=150，
∴该扇形的圆心角的度数是150°，
故选：B．
【变式1】若半径为8的扇形弧长为2π，则该扇形的圆心角度数为 ．
【答案】45°/45度
【分析】本题考查了扇形的弧长公式，熟练掌握扇形的弧长公式是解答本题的关键．
设圆心角为n°，根据扇形的弧长公式列式解答即可．
【详解】解：设圆心角为n°，
nπ×8
由题意，得 =2π，
180
解得：n=45，
∴该扇形的圆心角度数为45°，
故答案为：45°．
【变式2】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是10cm，当重物上升15.7cm时，问滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（ ）（假设绳索与滑轮之间
没有摩擦，π取3.14）
A．60° B．90° C．120° D．180°
【答案】D
【分析】重物上升15.7cm，说明点A转过的路径长为15.7cm，然后根据弧长公式计算
即可．
本题考查了弧长的计算和生活中的旋转现象，关键是熟练掌握弧长公式．
【详解】解：设OA旋转的角度为n°，
10
n×3.14×
根据题意得， 2 ，
15.7=
180
解得n=180，
所以半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为180°．
故选：D．
【变式3】“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中
⊙M,⊙N的半径分别是1cm和8cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随
之旋转n°，则n= ．
【答案】135
【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角度数．先求出点P移动的距离，再根据
弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为3×2π×1=6πcm，n⋅π⋅8
∴ =6π，
180
解得：n=135．
故答案为：135．
【题型4求某点的弧形运动路径长度】
【典例4】一副三角板如图所示摆放，BC=10，以A为旋转中心，逆时针旋转三角板
ADE，当点E再次落到边BC上时，点D走过的长度为（ ）
5π 10π
A． B．π C． D．2π
3 3
【答案】A
【分析】本题考查旋转的性质，求弧长，根据含30度角的直角三角形的性质，得到
1
AB= BC=5，进而得到AD=AE=5，根据旋转的性质推出△ABE′为等边三角形，
2
求出∠BAE′=60°，即旋转角为60度，进行利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：∠C=30°,∠BAC=90°,AD=AB=AE，∠ABC=60°，
1
∴AB= BC=5，
2
∴AD=AE=5，
∵旋转，
∴AB=AE′，∴△ABE′为等边三角形，
∴∠BAE′=60°，即：旋转角为60°，
∴∠DAD′=60°，
60π 5π
∴点D走过的长度为为 ×5= ；
180 3
故选A．
【变式1】将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到线段OB，若OA=8，则点A经过的路径
长度为 ．
【答案】2π
nπr
【分析】本题考查弧长公式、旋转性质，根据弧长公式 （r为扇形半径，n为扇
180
形圆心角的度数）求解即可．
【详解】解：由题意，∠AOB=45°，
45π×8
∴点A经过的路径长度为 =2π，
180
故答案为：2π．
【变式2】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若AC=4，则点C运动
的路径长为 ．
【答案】π
【分析】本题考查了轨迹，旋转的性质，根据弧长公式即可求出点C经过的路径长．
【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，AC=4，45π×4
∴点C经过的路径长为： =π．
180
故答案为：π．
【变式3】如图，边长为2❑√3cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足
为B，AB=17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为（ ）
A．(17+❑√3)πcmB．(17+2❑√3)πcm C．10πcm D．20πcm
【答案】C
【分析】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，弧长
公式，利用正六边形的性质和勾股定理求出OB的长度，进而得到OA的长度，最后根
据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图所示，连接OD，OC．
360°
∵∠DOC= =60°，OD=OC，
6
∴△ODC是等边三角形，
∴OD=OC=DC=2❑√3cm，
∵OB⊥CD，
∴BC=BD=❑√3cm，
∴OB=❑√OD2−BD2=3cm，
∵AB=17cm，
∴OA=OB+AB=20cm，90⋅π⋅20
∴点A在该过程中所经过的路径长= =10π(cm)．
180
故选：C．
【题型5求扇形面积】
【典例5】如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画
弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（ ）
4π 9π 5π
A． B． C．π D．
3 8 4
【答案】D
【分析】本题考查了网格的特点，勾股定理，扇形面积，根据网格的特点求得圆心角和
半径是解题的关键．
根据题意以及网格的特点求得∠CAF=45°，圆弧的半径为AD=❑√10，进而根据扇形
面积公式进行计算即可．
【详解】解：依题意，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，
∴∠CAF=45°,AD=❑√12+32=❑√10，
45°π×(❑√10) 2 5π
∴扇形AEF的面积 = ．
360° 4
故选D．
π
【变式1】已知一个扇形的圆心角为60°，其弧长为 cm，则该扇形的面积为 cm2．
6
π
【答案】
24
【分析】本题考查了弧长公式、扇形面积公式，设该扇形的半径为r，由弧长公式求出
1
r= cm，再由扇形面积公式计算即可得解．
2
【详解】解：设该扇形的半径为r，π
∵一个扇形的圆心角为60°，其弧长为 cm ，
6
60πr π
∴ = ，
180 6
1
∴r= cm，
2
(1) 2
60π×
∴该扇形的面积为 2 π .
= (cm2)
360 24
π
故答案为： ．
24
【变式2】半径为2的圆中，45°圆心角所对的扇形的面积为 ．
π
【答案】
2
πr2n
【分析】本题考查根据扇形面积= 的具体应用，解题关键是熟练掌握公式．
360
πr2n
根据扇形面积= ，把数据代入计算即可解答．
360
π×22×45° π
【详解】解： = ，
360° 2
π
∴45°的圆心角所对的扇形的面积为 ．
2
π
故答案为： ．
2
【变式3】如图，折扇的骨柄长为30cm，扇面宽度为、18cm，折扇张开的角度为120∘，
则折扇扇面的面积为 cm2（结果保留π）．
【答案】252π
【分析】本题考查了弧长公式和扇形的面积计算，注意：已知扇形的圆心角是n∘，半
nπr2
径为r，那么扇形的面积是 ．
360⏜
求出OC的长度，根据弧长公式求出
AB
的长度即可；根据扇形的面积公式求出折扇扇
面的面积即可．
【详解】解：∵OA=OB=30cm，AC=BD=18cm，
∴OC=OD=30−18=12cm，
∵折扇张开的角度为120∘，
120π×302 120π×122
∴折扇扇面的面积为 − =252π(cm2)．
360 360
故答案为：252π．
【题型6求图形旋转后扫过的面积】
【典例6】当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．
如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆OM与雨刷AB在M处固定连接（不
能转动），若测得AO=80cm，BO=20cm，当杆OM绕点O转动90°时，雨刷AB扫
过的面积是（ ）
A．1600πcm2 B．1500πcm2 C．900πcm2 D．800πcm2
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积，理解图示，掌握扇形面积的计算是关键．
⏜ ⏜
如图所示，延长 BB'交OA于点C， BB'与OA'交于点D，可得
△OAB≌△OA'B'(SSS)，则S =S ，由S =S −S 代入
△OAB △OA'B' 圆环 扇形AOA' 扇形OCD
计算即可．
⏜ ⏜
【详解】解：如图所示，延长 BB'交OA于点C， BB'与OA'交于点D，∵旋转，
∴OB=OB',OA=OA',AB=A'B'，
∴△OAB≌△OA'B'(SSS)，
∴S =S ，
△OAB △OA'B'
∴当杆OM绕点O转动90°时，雨刷AB扫过的面积是圆环A A'DC的面积，
∵AO=80cm,BO=20cm，∠AOA'=90°，
90°π×802 90π×202
∴S =S −S = − =1500πcm2，
圆环 扇形AOA' 扇形OCD 360° 360°
故选：B ．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=8cm，把
△ABC以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到AB边的延长线上点C′处，则AC边
扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．16π B．12π C．8π D．4π
【答案】A
【分析】本题考查不规则图形面积的计算．首先求出BC=4cm，AC=4❑√3cm，然后
根据S =S −S −S +S −S 结合三角形面积公式和扇
阴影 扇形A′BA △ABC 扇形BCE △A′C′B 扇形BEC′
形面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=8cm，
∴BC=4cm，AC=4❑√3cm，S =S −S −S +S −S
阴影 扇形A′BA △ABC 扇形BCE △A′C′B 扇形BEC′
S =S −S −S
阴影 扇形A′BA 扇形BCE 扇形BEC′
120π×82 60π×42 60π×42
= − −
360 360 360
64π 8π 8π
= − −
3 3 3
=16π(cm2)，
故选：A．
【变式2】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐
标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A(−1,3)，B(−4,3)，O(0,0)．
(1)画出△ABO关于x轴对称的△A B O，并写出点A 的坐标；
1 1 1
(2)画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A B O，并写出点A 的坐标；
2 2 2
(3)在（2）的条件下，求AO在旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
【答案】(1)画图见解析，A (−1,−3)；
1
(2)画图见解析，A (3,1)；
2
5
(3)线段AO扫过的图形面积为 π．
2
【分析】本题主要考查了旋转的性质，坐标与轴对称及扇形面积计算公式，熟练掌握
旋转的性质，坐标与轴对称及扇形面积计算公式是解题的关键．
（1）在平面直角坐标系中找到点A关于x轴的对称点A ，点B关于x轴的对称点B ，
1 1然后连接OA 、OB 和A B ，即可求解；
1 1 1 1
（2）根据图形旋转的作法作图即可，然后写出点A 的坐标即可；
2
（3）先根据勾股定理得出OA=❑√10，再由扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，△A B O即为所求，A (−1,−3)；
1 1 1
（2）解：如图，△A B O即为所求，A (3,1)；
2 2 2
（3）解：如图，由（2）可知，可得线段AO扫过的图形为扇形，
∵OA=❑√12+32=❑√10，∠AOA =90°，
2
90×π×(❑√10) 2 5
∴线段AO扫过的图形面积= = π．
360 2
【变式3】如图，在△OAB中，点A、B、C的坐标分别是(−4，1),(−2，5),(−1，2)，
将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′．
(1)画出△A′B′C′，并写出A′,B′,C′的坐标．
(2)求线段AB扫过的区域的面积．
【答案】(1)图见详解，A′ (1,4),B′ (5,2),C′ (2,1)
(2)3π．
【分析】本题考查了旋转作图以及勾股定理，扇形面积，点的坐标，正确掌握相关性
质内容是解题的关键．
（1）根据旋转性质，找出点A′,B′,C′，再依次连接，得△A′B′C′，即可作答．（2）先运用勾股定理算出AO=❑√17，BO=❑√29，再运用扇形AOA′−扇形BOB′，
得出线段AB扫过的区域的面积，即可作答．
【详解】（1）解：△A′B′C′如图所示：
∴A′ (1,4),B′ (5,2),C′ (2,1)．
（2）解：依题意，AO=❑√42+12=❑√17，BO=❑√52+22=❑√29，
90 90
线段AB扫过的区域的面积=(❑√29) 2 π× −(❑√17) 2 π× =3π．
360 360
【题型7求弓形面积】
【典例7】家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边AB和CD平行且
相等（如图②），小华用皮尺量出BD=1米，BC=0.5米，则阴影部分的面积为
（ ）
( π ❑√3) (π ❑√3) ( π ❑√3)
A． − 平方米B． − 平方米 C． − 平方米
12 8 6 8 12 4
(π ❑√3)
D． − 平方米
6 4
【答案】B
【分析】此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握特殊角的三角函数关系是解题关键．设圆心为O，连接CO，过点O作
OE⊥CD于点E，进而得出CD，EO的长以及∠COD的度数，进而由
S ❑ ＝S ❑ −S ❑ 得出弓形CD的面积，进一步即可求得阴影部
弓形 CD面积 扇形 COD △ COD
分的面积．
【详解】解：设圆心为O，连接CO，过点O作OE⊥CD于点E，
由题意可得出：∠BCD=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵BD=1米，BC=0.5米，
1 ❑√3
∴BC= BD，CD=❑√BD2−CD2= 米，
2 2
∴∠BDC=30°，
1 1
∴OE= OD= 米，
2 4
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠BDC=30°，
∴∠COD=120°，
(1) 2
120π×
∴ 2 1 1 ❑√3 ( π ❑√3)
S ❑ =S ❑ ﹣S ❑ = − × × = −
弓形 CD面积 扇形 COD △ COD 360 2 4 2 12 16
平方米，
( π ❑√3) (π ❑√3)
∴阴影部分的面积为：2× − = − 平方米．
12 16 6 8
∴故选：B．
【变式1】如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意
图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成
的扇面，若OA=5m，OB=3m，则阴影部分的面积是（ ）m24 8 16
A． π B． π C．4π D． π
3 3 3
【答案】D
nπR2
【分析】本题考查了扇形的面积（S= ，其中n°为圆心角的度数、R为半径），
360
熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．根据阴影部分的面积等于扇形OAD的面积减去
扇形OBC的面积即可得．
【详解】解：∵圆心角∠O=120°，OA=5m，OB=3m，
∴阴影部分的面积等于S −S
扇形OAD 扇形OBC
120×π×52 120×π×32
= −
360 360
16π
= (m2)，
3
故选：D．
【变式2】《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所
1
用的经验公式：弧田面积= （弦×矢+矢❑ 2）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦
2
围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦AB，“矢”指半径长与圆心O到弦AB的距离
（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（ ）
A．80 B．100 C．104 D．128
【答案】D
【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图
形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可．【详解】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，
由题意可知AB=24,OC=5，
1
∴AC=BC= AB=12，
2
在Rt△AOC中， OA=❑√AC2+OC2=13，
∴矢=13−5=8，
1
∴该弧田的面积为
×(24×8+82)=128，
2
故选：D．
【变式3】如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD且与AD交于
点E，连接BC．若AB=8，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积为 ．
16
【答案】 π−4❑√3
3
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积，先根据AB是
⊙O的直径，得∠ADB=90°，因为OC∥BD得∠AEO=∠ADB=90°，
AE=DE，运用圆周角定理得∠AOD=2∠AOC=120°，EO=2，则
AE=❑√AO2−EO2=2❑√3，AD=4❑√3，即可算出阴影部分的面积．
【详解】解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，AE=DE，
则A´C=C´D，
∴∠AOC=∠DOC，
∵A´C=A´C，
∴∠AOC=2∠ABC=2×30°=60°，
∴∠BAD=90°−60°=30°，∠AOD=2∠AOC=120°，
∵AB=8，
1 1
∴EO= AO= AB=2，
2 4
则AE=❑√AO2−EO2=2❑√3，
∴AD=4❑√3，
1 1
S = EO×AD= ×2×4❑√3=4❑√3，
△ADO 2 2
120 16
则S = ×42×π−4❑√3= π−4❑√3.
阴影 360 3
16
故答案为： π−4❑√3．
3
圆锥侧面展开图
（1） =
（2）圆锥的体积：注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（ ）
【题型8求圆锥侧面积】
【典例8】一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，
底面半径为2米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是多少平方米（接缝不计）
（ ）
A．2.5π B．3π C．4π D．5π
【答案】D
【分析】本题可先明确圆锥侧面积的计算公式，再将题目中给出的母线长和底面半径
代入公式进行计算，从而得出做遮阳伞所需布料的面积．本题主要考查了圆锥的侧面
积公式，熟练掌握圆锥侧面积公式S=πrl（其中r是底面半径，l是母线长）是解题的
关键．
【详解】解：∵圆锥的侧面积公式为S=πrl（其中r是底面半径，l是母线长），底面
半径r=2米，母线长l=2.5米
∴圆锥侧面积S=π×2×2.5=5π（平方米）
故选：D．
【变式1】已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为5cm．则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．15cm2 B．15πcm2 C．30cm2 D．30πcm2
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，扇形的面积公式等知识点，解题的关键
是掌握扇形的面积公式．
先求出底面圆的周长，再利用扇形面积公式进行求解即可．
【详解】解：底面圆的周长为2π×3=6πcm，底面圆的周长即为圆锥展开图扇形的弧长，
1
∴扇形的面积即为圆锥的侧面积为
×6π×5=15πcm2
，
2
故选：B．
【变式2】已知圆锥的底面圆周长为2π，母线为4，则该圆锥侧面积为 ．
【答案】4π
1
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的侧面积= 底面圆周长×母线长，把相
2
应数值代入即可求解．
1
【详解】解：圆锥的侧面积： ×2π×4=4π．
2
故答案为：4π．
【变式3】如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为90°，则圆锥的侧面积是
．
【答案】4π
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于
圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧
面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到
90π×l
2π×1= ，解得l=4，然后根据圆锥侧面积公式S =πrl，即可求解．
180 侧
【详解】解：设圆锥的母线长为l，
90π×l
根据题意得2π×1= ，解得l=4
180
所以该圆锥体的侧面积=π×1×4=4π．
故答案为：4π．
【题型9求圆锥底面半径】
【典例9】用半径为24cm，面积为120πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．6cm
【答案】A
【分析】本题主要考查了扇形和圆锥的关系，解题的关键是掌握扇形面积和弧长的关
系．
圆锥的侧面积等于扇形面积，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用这两个等量关
系即可求解．
【详解】解：由扇形面积与弧长的关系得，
1
×24l=120π，
2
解得l=10π，
根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得，
2πr=10π，
解得r=5，
故选：A．
【变式1】将一个圆锥的侧面展开后得到一个扇形，这个扇形的面积为27πcm2，半径为
9cm，这个圆锥的底面半径为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【答案】D
【分析】本题考查的是求解圆锥的底面半径，根据圆锥的侧面积公式，结合已知条件
直接求解底面半径即可.
【详解】解：圆锥的侧面积公式为S=πrl，其中r为底面半径，l为母线长（即展开后
扇形的半径），题目中给出扇形的面积为27πcm2，母线长l=9cm，代入公式得：
π⋅r⋅9=27π
解得r=3cm，
因此，圆锥的底面半径为3cm，
故选：D
【变式2】用一个圆心角为120°，半径为12的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面
半径为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥底面周长和弧长的关系．关键在于明确圆锥底面周长与扇形弧长的关系，通过正确计算弧长并建立方程即可求解．
120×π×12 24π
【详解】解：扇形弧长： l= = =8π，
180 3
设圆锥底面半径为r，依题意得，8π=2πr，
解得，r=4，
故答案为：4．
【变式3】将半径为5cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面
半径为 cm．
5 2
【答案】 /1
3 3
【分析】本题考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握
弧长公式．
根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可．
【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r，
120π×5
则2πr= ，
180
5
解得：r= ，
3
5
故圆锥的底面半径为 ．
3
5
故答案为： ．
3
【题型10求圆锥侧面展开图的圆心角】
【典例10】若圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则其侧面展开图的圆心角为
度．
【答案】160
【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．圆锥的底面半径为40cm，则底面
圆的周长是80πcm，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇
形弧长是80πcm，母线长为90cm即侧面展开图的扇形的半径长是90cm．根据弧长公
式即可计算．
nπr
【详解】解：根据弧长的公式l= 得到：
180
nπ⋅90
80π= ，
180解得n=160．
即侧面展开图的圆心角为160度．
故答案为：160．
【变式1】若一个圆锥的母线长为8，底面圆的周长是6π，则该圆锥侧面展开图的圆心角
的度数为 ．
【答案】135°/135度
【分析】本题考查圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来扇形之间的关
系是解题的关键．根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开
图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：∵底面圆的周长是6π，
∴圆锥侧面展开图的弧长是：6π，
nπ×8
设圆心角的度数为n度，母线长是8，则 =6π，
180
解得：n=135；
故答案为：135°．
【变式2】圆锥的高为2❑√2，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆
心角是 度．
【答案】120
【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角；根据扇形弧长计算公式即可求解．
【详解】解：设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为n度，
由勾股定理得圆锥底面圆的半径为：❑√32−(2❑√2) 2=1，
nπ×3
由题意得： =2π×1，
180
解得：n=120；
故答案为：120．
【变式3】圆锥的底面圆半径为2，将该圆锥沿其某条母线剪开后，其侧面展开图是扇形，
若扇形的半径为5，则该扇形的圆心角是 °．
【答案】144
【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，掌握圆锥侧面积公式是解题的关
nπl2
键．设其侧面展开扇形的圆心角为n度，则 =πrl，代入数据即可求解．
360【详解】解：设其侧面展开扇形的圆心角为n度，
nπ×52
由题知， =π×5×2，
360
解得n=144，
∴其侧面展开扇形的圆心角为144°．
故答案为：144．
一、单选题
π
1．如图，PM切⊙O于点P，弦PQ∥OM，若∠OMP=30°，劣弧PQ的弧长为 ，则
3
线段OM的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．π
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，等边三角形的性质与判定，含30度角的
直角三角形的性质；连接OP,OQ，根据切线的性质得出OP⊥PM，根据含30度角的
直角三角形的性质得出MO=2PO，进而得出△OPQ是等边三角形，则
π
∠POQ=60°，根据劣弧PQ的弧长为 ，设OP=r，得出r=1，进一步即可求解．
3
【详解】解：如图，连接OP,OQ，
∵PM切⊙O于点P，
∴OP⊥PM，∵∠OMP=30°，
∴∠POM=60°，MO=2PO
∵PQ∥OM，
∴∠OPQ=60°，
∵OP=OQ，
∴△OPQ是等边三角形，
∴∠POQ=60°
π
∵劣弧PQ的弧长为 ，设OP=r，
3
60 π
∴ πr=
180 3
解得：r=1
∴OM=2PO=2，
故选：B．
2．如图，正方形ABCD的边长为2，弧AC是以点B为圆心，AB长为半径的一段圆弧，
则弧AC的长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】A
【分析】本题考查了弧长公式，由题意可得：A´C所在圆的半径为2，圆心角为90°，
再由弧长公式进行计算即可，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：A´C所在圆的半径为2，圆心角为90°，
90×2π
∴ A´C的长为 =π，
180
故选：A．
3．小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，通过测
量得到∠AOB=150°,OA=6cm，则A´B的长为（ ）A．10π B．5π C．2π D．3π
【答案】B
nπr
【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式l= 求解即可．
180
150π×6
【详解】解：A´B的长为： =5π，
180
故选：B．
4．如图，AB为⊙O的直径，AB=8，弦CD=4❑√2，则劣弧CD的长为（ ）
π
A． B．π C．2π D．4π
2
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，弧长公式，得到△OCD是直角三角形
是解答关键．
连接OC，OD，根据勾股定理的逆定理得到△OCD是直角三角形，∠COD=90°，
再利用弧长公式求解．
【详解】解：连接OC，OD，如下图
∵AB=8
，
∴⊙O的半径为4，
即OC=OD=4．
∵OC2+OD2=42+42=32，CD2=(4❑√2) 2=32，∴OC2+OD2=CD2，
∴△OCD是直角三角形，
即∠COD=90°，
90×π×4
∴劣弧CD的长为 =2π．
180
故选：C．
5．如果一个扇形的圆心角为120°，半径为4cm，则这个扇形的面积为（ ）cm2．
4 8 16
A．π B． π C． π D． π
3 3 3
【答案】D
【分析】本题考查了扇形面积，掌握扇形面积公式是解题关键．根据扇形面积公式，
n
圆心角为n度，半径为r的扇形面积为 ⋅πr2 计算即可．
360
【详解】解：如果一个扇形的圆心角为120°，半径为4cm，
120π×42 16
则这个扇形的面积为 = π，
360 3
故选：D．
6．如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为
（ ）
4 4 2 4
A． π B． π+❑√3 C． π−❑√3 D． π−❑√3
3 3 3 3
【答案】D
【分析】连接OA,OB，过点O作OD⊥AB于点D，求出∠AOB=120°,
∠AOD=60°，OD=1，AD=❑√3，根据S =S −S 求解即可．
阴影 扇形AOB △AOB
【详解】解：连接OA,OB，过点O作OD⊥AB于点D，如图，∵等边△ABC是⊙O的内接三角形，
∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°,
∵OD⊥AB，OA=OB，
1 1
∴∠AOD= ∠AOB=60°，AD=BD= AB，
2 2
∴∠DAO=90°−∠AOD=30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OA=OB=2，
1
∴OD= OA=1，
2
由勾股定理得：AD=❑√AO2−OD2=❑√22−12=❑√3，
∴AB=2AD=2❑√3，
1 1 120π×22 4
∴S = AB⋅OD= ×2❑√3×1=❑√3，S = = π，
△AOB 2 2 扇形AOB 360 3
4
∴S =S −S = π−❑√3，
阴影 扇形AOB △AOB 3
故选：D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的
一半、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
7．圆心角为40°，半径为1的扇形的弧长是 ．
2 2π
【答案】 π/
9 9
【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．根据弧长
的公式进行计算即可．【详解】解：由题知，扇形的圆心角为40°, 半径为1，
40⋅π⋅1 2
所以扇形的弧长为： = π.
180 9
2
故答案为： π．
9
8．甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如
图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形
OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O=108°，若OA=50cm，OB=20cm，则阴影部
分的面积是 cm2．（结果用π表示）
【答案】630π
【分析】本题主要考查了扇形面积计算，根据题意可得阴影部分的面积
=S −S ，据此列式求解即可．
扇形AOD 扇形BOC
【详解】解：∵∠O=108°，OA=50cm，OB=20cm，
∴阴影部分的面积=S −S
扇形AOD 扇形BOC
108π×502 108π×202
= −
360 360
=630π(cm2)
故答案为：630π．
9．小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），
经过小黄同学测量得圆锥底面直径为12cm，圆锥的高为8cm，则根据测量数据推算，
该圆锥模型的侧面积为 cm2．（结果保留π）
【答案】60π【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆锥的
母线长、底面半径与高构成直角三角形，通过勾股定理求出母线长，再代入侧面积公
式计算．
由底面直径求半径r=6cm；用勾股定理求母线长l=10cm；代入侧面积公式πrl得结
果60π．
【详解】圆锥的侧面积公式为πrl（其中r为底面半径，l为圆锥的母线长）．
由底面直径为12cm，得底面半径r=6cm；
圆锥的高ℎ =8cm，母线长l、底面半径r与高h构成直角三角形（母线为斜边），由
勾股定理：l=❑√r2+
ℎ
2=❑√62+82 =❑√36+64=❑√100=10cm；
因此，侧面积为π×6×10=60π cm2．
故答案为：60π．
10．如图，将半径为8cm的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这
个圆锥的高是 cm．
【答案】2❑√7
【分析】本题主要考查了求圆锥的高，勾股定理，
根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出底面半径，再根据扇形的半径等于圆锥的母
线，结合勾股定理求出答案．
3
×2π×8
【详解】解：根据题意，得 4 ，AB=8cm，
OA= =6(cm)
2π
根据勾股定理，得BO2=AB2−AO2，
即BO=❑√82−62=2❑√7(cm)，
所以圆锥的高为2❑√7cm．
故答案为：2❑√7．11．如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外
侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为2m，高为2❑√3m，圆弧所在的圆
外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是 m．（结果保留π）
10π
【答案】
3
【分析】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为
数学模型是解题的关键．利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形
的性质证得△COD是等边三角形，得到∠COD=60°，进而求得门洞的圆弧所对的
圆心角为360°−60°=300°，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：如图，连接AD，BC，交于O点，
由条件可知BC是直径，
∴BC=❑√CD2+BD2=❑√22+(2❑√3) 2=4，
∵四边形ABDC是矩形，
1
∴OC=OD= BC=2，
2
∵CD=2，
∴OC=OD=CD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD=60°，∴门洞的圆弧所对的圆心角为360°−60°=300°，
300π×2 10π
∴改建后门洞的圆弧长是 = (m)，
180 3
10π
故答案为： ．
3
12．如图，在平面直角坐标系中，A(2,0),B(3,3)．
(1)作出与△ABO关于原点O对称的图形△A B O；
1 1
(2)作出△ABO绕原点O逆时针旋转90°后的△A B O；
2 2
(3)在（2）条件下，求线段OB所扫过的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
9π
(3)
2
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转与中心对称，求扇形面积，两点间的
距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键．
（1）关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此可得A 、B 的坐标，描出
1 1
A 、B ，并顺次连接A 、B 、O即可；
1 1 1 1
（2）根据网格的特点和旋转方式可确定A 、B 的位置，描出A 、B ，并顺次连接
2 2 2 2
A 、B 、O即可；
2 2
（3）线段OB所扫过的面积是扇形BOB 的面积，由两点距离计算公式可得OB2=18，
2
由旋转的性质可得∠B OB=90°，再根据扇形面积计算公式求解即可．
2
【详解】（1）解：如图所示，△A B O即为所求；
1 1
（2）如图所示，△A B O即为所求；
2 2
（3）解：由题意得，线段OB所扫过的面积是扇形BOB 的面积，
2
∵B(3,3)，∴OB2=(3−0) 2+(3−0) 2=18，
由旋转的性质可得∠B OB=90°，
2
90π⋅OB2 9π
∴线段OB所扫过的面积= =
360 2
