第04讲二次函数y=ax²bxc的图像和性质（知识解读题型精讲随堂检测）（教师版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_知识解读与题型专练-V14_2026版

第 04 讲 二次函数 y=ax ²+bx+c 的图像和性质 【知识点1：二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 【知识点2：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 【知识点3：二次函数y=ax²+bx+c图像的变换问题】 【知识点4：二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 【知识点5：待定系数法求二次函数解析式】 1. 顶点式化成一般式 y a(xh)2 k 2. 从函数解析式 我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称 y a(xh)2 k y a(xh)2 k 为顶点式，将顶点式 去括号，合并同类项就可化成一 y ax2 bxc 般式 ． 3. 一般式化成顶点式  b   b  b  2  b  2 y ax2 bxca  x2  x  cax2 x      c  a   a 2a 2a   b  2 4acb2 a x     2a 4a ． b 4acb2 h k  对照 y a(xh)2 k ，可知 2a ， 4a ．  b 4acb2  b x  ,  ∴ 抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是  2a 4a  ．【题型1：二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 【典例1】（2025·江苏徐州·一模）将二次函数y=x2﹣2x+4化为y=(x−ℎ) 2+k的形式， 结果为( ) A．y=(x+1) 2+4 B．y=(x−1) 2+4 C．y=(x+1) 2+3 D．y=(x−1) 2+3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的三种形式，依据题意，由二次函数为 y=x2−2x+4=x2−2x+1+3=(x−1) 2+3，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵二次函数为y=x2−2x+4=x2−2x+1+3=(x−1) 2+3， ∴二次函数y=x2−2x+4化为顶点式为y=(x−1) 2+3． 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·山东德州·期中）将二次函数y=x2−4x+5化为 y=(x−ℎ) 2−k的形式，则y= ． 【答案】(x−2) 2+1 【分析】本题主要考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握配方法是解决本题的 关键． 利用配方法对二次解析式进行变形即可． 【详解】解：y=x2−4x+5 =x2−4x+4+1 =(x−2) 2+1． 故答案为：(x−2) 2+1．1 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）抛物线y=− x2−2x−1化成顶点式是 2 ． 1 【答案】y=− (x+2) 2+1 2 【分析】本题主要考查将抛物线化为顶点式，熟练掌握顶点式是解题的关键．根据顶 点式进行配方即可得到答案． 1 1 1 【详解】解：y=− x2−2x−1 =− (x2+4x+4)+2−1=− (x+2) 2+1． 2 2 2 1 故答案为：y=− (x+2) 2+1． 2 【变式3】（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）用配方法将y=3x2−6x写成 y=a(x−ℎ) 2+k的形式是 ． 【答案】y=3(x−1) 2−3 【分析】本题考查了将二次函数的一般式转化为顶点式，熟练掌握配方法，利用配方 法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可得解 【详解】解：y=3x2−6x=3(x2−2x+1−1)=3[(x−1) 2−1)=3(x−1) 2−3． 故答案为：y=3(x−1) 2−3． 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点 M，并用虚 线画出对称轴． y ax2 bxc (2)求抛物线 与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这 两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称 点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图 象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 3 .二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质 函数 y ax2 bxc 二次函数 （a、b、c为常数，a≠0） a0 a0 图象 开口方向 向上 向下 b b 对称轴 x x 直线 2a 直线 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b x x 在对称轴的左侧，即当 2a时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 2a时，y b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧， 增减性 x b 增大而减小；在对称轴的右侧，即当 2a x 时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 即当 2a 时，y 随 x 的增大而减 小．简记：左增右减 b b x x 抛物线有最低点，当 2a 时，y 有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有 最大(小)值 4acb2 4acb2 y  y  值， 最小值 4a 最大值， 最大值 4a 【题型2：二次函数y=ax²+bx+c的性质】 【典例2】（24-25八年级下·福建福州·期末）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)中，y与x的部 分对应值如表： x … 1 3 4 5 7 … y … −4 4 5 −4 …下列结论中，不正确的是（ ） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线x=4 C．当x>4时，y随x的增大而减小 D．y的最大值为5 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据当x=1时和当x=7时的函数值相 同，可得对称轴是直线x=4，进而根据表格数据可得顶点坐标为(4,5)，再由对称轴处 的函数值大于其他位置的函数值可知抛物线开口向下，则当x>4时，y随x的增大而减 小，据此可得答案． 【详解】解：∵当x=1时和当x=7时的函数值相同， 1+7 ∴对称轴为直线x= =4， 2 ∴顶点坐标为(4,5)， ∵5>4， ∴该抛物线有最大值y=5，即抛物线开口向下， ∴当x>4时，y随x的增大而减小， ∴四个选项中，只有A选项说法错误，符合题意； 故选：A． 【变式1】（2025·江苏南通·模拟预测）抛物线y=x2+4x−4的对称轴为直线（ ） A．x=2 B．x=−2 C．x=−4 D．x=4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的性质是解题的关键．利 b 用对称轴公式x=− 运算求解即可． 2a 【详解】解∶∵y=x2+4x−4， 4 ∴对称轴为直线x=− =−2， 2×1 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·四川泸州·期中）二次函数y=2x2+4x+3的图象的（ ） A．最高点在(−1,1) B．最高点在(1,−1) C．最低点在(−1,1) D．最低点在(1,−1) 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据题意可把二次函数的解析式变成顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：把二次函数y=2x2+4x+3变成顶点式得：y=2(x+1) 2+1， ∵a=2>0，即开口向上， ∴该二次函数y=2x2+4x+3有最低点(−1,1)； 故选C． 【变式3】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）关于二次函数y=x2+2x−8，下列说法正确 的是（ ） A．图象的对称轴在y轴的右侧 B．图象与y轴的交点坐标为(0,8) C．当x>−1时，y随x的增大而减小 D．y的最小值为−9 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是把解析式化为 顶点式，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：y=x2+2x−8=(x+1) 2−9， A. 图象的对称轴是直线x=−1，在y轴的左侧，故不正确； B. 图象与y轴的交点坐标为(0,−8)，故不正确； C. 当x>−1时，y随x的增大而增大，故不正确； D. y的最小值为−9，故正确； 故选D． 【题型3：二次函数y=ax²+bx+c的y值大小比较】 【典例3】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）若函数y=−x2+2x+m的图象上有两点 A(x ,y )，B(x ,y )，若x y C．y = y D．y ，y 的大小不确 1 2 1 2 1 2 1 2 定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得抛物线的对称轴，再根 据二次函数的增减性即可求解，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 2 【详解】解：抛物线的对称轴为：x=− =1， 2×(−1)∵x y ， 2 1 故选A． 【变式1】（23-24九年级上·江西赣州·期中）已知点A(−4,y )，B(−2,y )，C(3,y )在 1 2 3 抛物线y=−x2−2x+c上，则y ，y ，y 的大小关系为（ ） 1 2 3 A．y >y >y B．y >y >y 2 1 3 2 3 1 C．y >y >y D．y >y >y 1 2 3 3 1 2 【答案】A 【分析】分别计算出自变量为−4，−2和3时的函数值，然后比较函数值得大小即可． 二次函数图象上点的坐标满足其解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是本题 的关键． 【详解】解：把A(−4,y )，B(−2,y )，C(3,y )分别代入y=−x2−2x+c得 1 2 3 y =−16+8+c=−8+c,y =−4+4+c=c,y =−9−6+c=−15+c, 1 2 3 故y >y >y 2 1 3 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知点(0,y )，(1,y )，(3,y )是抛物线 1 2 3 y=x2−2x+n上的点，则y ，y ，y 的大小关系为（ ） 1 2 3 A．y 0时距离对称轴越远的点， 函数值越大是解题关键．先判断函数的开口向上，对称轴为x=1，从而得出距离对称轴 越远，函数值越大，再结合三点坐标即可判断函数值之间的大小关系． −2 【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=− =1， 2×1 ∵a=1>0，开口向上，离对称轴越远，函数值越大， 3离对称轴比0离对称轴远， ∴y y D．y ≥ y 1 2 1 2 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，把A(0,y ),B(1,y )代入y=−x2+x+2计算即可． 1 2 【详解】∵点A(0,y ),B(1,y )都在二次函数y=−x2+x+2的图象上， 1 2 ∴当x=0时y =2，当x=1时y =−12+1+2=2， 1 2 ∴y = y ， 1 2 故选：B． 【题型4：二次函数y=ax²+bx+c的图像问题】 【典例4】（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数y=ax−b图象如图所示，则二次函数 y=ax2+bx+b在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数图象与 系数的关系、二次函数的开口方向、对称轴、与y轴交点的判定方法是解题的关键． 先根据一次函数图象确定a、b的符号，再据此分析二次函数的开口方向、对称轴位置 和与y轴交点情况，从而判断二次函数图象． 【详解】解：从一次函数y=ax−b的图象来看， ∵ 图象从左到右上升，∴a>0； ∵ 图象与y轴交点在正半轴，即当x=0时，y=−b>0， ∴b<0 ． 对于二次函数y=ax2+bx+b： ∵a>0， ∴ 二次函数图象开口向上，排除A、B选项； b 对称轴为x=− ， 2a ∵a>0，b<0， b ∴− >0，即对称轴在y轴右侧； 2a 当x=0时，y=b<0，即二次函数与y轴交点在负半轴． 综上，符合条件的是C选项． 故选：C ． 【变式1】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）在同一平面直角坐标系中，函数 y=−ax+b与y=ax2+bx的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的性质，根据a、b的符号根据一次函数 与反比例函数的图象，逐项分析即可作出判断． 【详解】解：A．一次函数y=−ax+b的图象经过一、二、四象限，则a>0，b>0， 二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，则a<0，矛盾，故A错误；B．一次函数y=−ax+b的图象经过一、二、三象限，则a<0，b>0，二次函数 y=ax2+bx的图象开口向上，则a>0，矛盾，故B错误； C．一次函数y=−ax+b的图象经过一、二、三象限，则a<0，b>0，二次函数 y=ax2+bx的图象开口向上，则a>0，矛盾，故C错误； D．一次函数y=−ax+b的图象经过一、二、三象限，则a<0，b>0，二次函数 b y=ax2+bx的图象开口向下，则a<0，对称轴x=− >0，则b>0，故D正确； 2a 故选：D． 【变式2】（九年级上·山东济宁·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=a(x+c) 2的大致图象可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系．本题形数 结合，一次函数y=ax+c，可判断a、c的符号；根据二次函数y=a(x+c) 2的图象位 置，可得a，c的符号，比较即可得解． 【详解】解：A、函数y=ax+c中，a>0，c>0，y=a(x+c) 2中，a<0，c<0，故本 选项不符合题意； B、函数y=ax+c中，a<0，c>0，y=a(x+c) 2中，a<0，c>0，故选项不符合题意；C、函数y=ax+c中，a>0，c<0，y=a(x+c) 2中，a>0，c>0，故本选项不符合题 意； D、函数y=ax+c中，a<0，c>0，y=a(x+c) 2中，a>0，c<0，故本选项不符合题 意； 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图为一次函数y=ax+b的图象，则二次函 数y=ax2+bx在平面直角坐标系中的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像以及一次函数图像与系数的关系．根据一次函数 通过的象限确定a、b的正负是解题的关键． 根据一次函数的位置确定出a>0,b>0，再结合二次函数的图像与系数的关系逐选项 去分析即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，可得 a>0,b>0， A． 由二次函数图象可知，a>0,b<0，不符合题意； B． 由二次函数图象可知，a>0,b>0，符合题意； C． 由二次函数图象可知，a<0,b>0，不符合题意； D． 由二次函数图象可知，a<0,b<0，不符合题意； 故答案为：B．y=ax2 +bx+c （1）上下平移 若原函数为 {向上平移m个单位，则平移后函数为 y=ax2 +bx+c+m 向下平移m个单位，则平移后函数为 y=ax2 +bx+c−m 注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。 （2）左右平移 y=ax2 +bx+c 若原函数为 ，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式 y=a(x−h) 2 +k 然后再进行相应的变形 {若向左平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h+n) 2 +k 若向右平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h−n) 2 +k 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【题型5：二次函数y=ax²+bx+c图像的变换问题】 【典例5】（24-25九年级上·山西阳泉·期中）将抛物线y=x2−2x−3先向左平移3个单位 长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（ ） A．y=(x−4) 2−2B．y=(x−4) 2+2 C．y=(x+2) 2−2 D．y=(x+2) 2+2 【答案】C 【分析】此题主要考查了次函数图象与几何变换，根据根据二次函数平移法则“左加 右减，上加下减”法则解答即可． 【详解】解：∵y=x2−2x−3=(x−1) 2−4， ∴抛物线y=x2−2x−3向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：y=(x−1+3) 2−4+2=(x+2) 2−2． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后，所 得新抛物线的顶点式为 ． 【答案】y=(x+1) 2−3 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的 原则进行解答，再配成顶点式即可． 【详解】解：将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后所得新抛物线的表达式为 y=x2+2x−2， 即y=(x+1) 2−3． 故答案是：y=(x+1) 2−3． 【变式2】（2025·甘肃武威·二模）将抛物线y=2x2−4x−1先向左平移2个单位长度，再 向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式写成y=a(x−ℎ) 2+k的形式为 ． 【答案】y=2(x+1) 2−2 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及二次函数的一般式化为顶点式，二次 函数的平移，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．先将y=2x2−4x−1化为 顶点式，再利用左加右减，上加下减即可得出平移后的表达式． 【详解】解：y=2x2−4x−1=2(x−1) 2−3， ∵先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∴平移后的抛物线的表达式为y=2(x−1+2) 2−3+1=2(x+1) 2−2， 故答案为：y=2(x+1) 2−2． 【变式3】（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线y=x2−6x+5先向上平移5个单位 长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ．【答案】y=(x−4) 2+1 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，二次函数图像平移后的形状不变，故 a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任 意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标， 即可求出解析式． 先把y=x2−6x+5化成顶点式，然后确定顶点坐标为(3,−4)，再把顶点按照题干要 求平移得到新的顶点坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可． 【详解】解： y=x2−6x+5=(x−3) 2−4， ∵ 抛物线的顶点坐标为(3,−4)， ∴把点(3,−4)向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为(4,1)， ∴ 平移后得到的抛物线解析式为：y=(x−4) 2+1． ∴ 故答案为y=(x−4) 2+1． 【题型6：二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 【变式6】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，若二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则以下结论中正确的是（ ） A．abc>0 B．b2−4ac<0 C．9a+3b+c<0 D．a−b+c>0 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，与坐标轴交 点的计算等知识是关键．b 根据二次函数图象可得a<0,c>0,− >0，结合题意判定即可． 2a 【详解】解：根据二次函数图象可得图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点 在正半轴上，与x轴由两个交点， b ∴a<0,c>0,− >0， 2a ∴b>0， ∴abc<0，故A选项错误，不符合题意； ∵图像与x轴有两个交点， ∴Δ=b2−4ac>0，故B选项错误，不符合题意； 当x=3时，y=9a+3b+c<0，故C选项正确，符合题意； ∵对称轴为直线x=1， ∴x=−1与x=3时，y值相等， ∴当x=−1时，y=a−b+c<0，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图 象，对称轴是直线x=−1，下列结论正确的是（ ） A．4ac−b2>0 B．a+b+c>0 C．abc>0 D．2a−b<0 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，与坐标轴交 点的计算是关键． 根据二次函数图象判定各项系数的符号，由此即可求解． 【详解】解：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下， ∴a<0， b 对称轴直线为x=− =−1， 2a ∴b=2a<0，图象与y轴交于正半轴，与x轴有两个交点， ∴c>0，b2−4ac>0， ∴4ac−b2<0，故A选项错误，不符合题意； 根据图示，当x=1是，y=a+b+c<0，故B选项错误，不符合题意； ∵a<0,b<0,c>0， ∴abc>0，故C选项正确，符合题意； ∵b=2a， ∴2a−b=0，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【变式2】（24-25九年级上·云南昆明·期中）对称轴为直线x=1的抛物线 y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)如图所示，下列结论正确为（ ） A．abc>0 B．b2<4ac C．当x<−1时，y随x的增大而增大 D．4a+2b+c>0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的 开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛 物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数 y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题 的关键． 【详解】解：A∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴a>0，c<0， ∵对称轴为直线x=1， b ∴− =1， 2a ∴b=−2a<0，∴abc>0，故A正确； B.由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同交点， ∴b2−4ac>0， ∴b2>4ac，故B错误； C.由图象可知，当x<−1时，y随x的增大而减小，故C错误， D.∵对称轴为直线x=1， ∴当x=0和x=2时的函数值相等，且都小于0， ∴ y=4a+2b+c<0，故D错误； 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象 中，观察得出了下面五条信息： ①c<0；②abc>0；③a−b+c>0：④2a+b>0．你认为其中正确信息的有 ． （填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然 后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考 查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数a决定抛物线的开口方向和 大小，当a>0时，抛物线向上开口，当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二 次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在y轴左，当a与b异号时， 对称轴在y轴右，常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0,c)，是解答本 题的关键． 【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与y轴的交点在负半轴， ∴a>0，c<0，故①正确； b 1 ∵二次函数图像的对称轴x=− = ，a>0， 2a 3∴b<0， ∴abc>0，故②正确； 由图可知，当x=−1时，y=a−b+c>0，故③正确； b 1 由对称轴x=− = ，可得−3b=2a， 2a 3 ∴2a+b=−3b+b=−2b>0 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． （1）一般式：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0） 已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式。 （2）顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)。顶点坐标为（h,k)；对称 轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当 x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 （3）交点式：仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0]。 已知抛物线与x轴即y=0有交点A( , 0)和B( , 0),我们可设y=a（x- )(x- ),然后把第三点代入x、y中便可求出a。 【题型7： 待定系数法求二次函数解析式】 【典例7】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）某二次函数的图象经过原点，且顶点是 (1,−2)． (1)求此二次函数解析式； (2)求此二次函数图象如何平移可以得到y=2x2图象？ 【答案】(1)y=2(x−1) 2−2 (2)向左1个单位，向上2个单位【分析】本题考查了求二次函数的解析式，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题 的关键． （1）根据某二次函数的图象经过原点，且顶点是(1,−2)，设y=a(x−1) 2−2，把 (0,0)代入y=a(x−1) 2−2，得a=2，即可作答． （2）结合“左加右减、上加下减”进行作答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象的顶点是(1,−2)， ∴y=a(x−1) 2−2， 把(0,0)代入y=a(x−1) 2−2， 解得0=a×(0−1) 2−2， 解得a=2， ∴y=2(x−1) 2−2； （2）解：由（1）得y=2(x−1) 2−2， 则二次函数y=2(x−1) 2−2图象向左1个单位，向上2个单位平移可以得到y=2x2图 象， 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点 A(−1,0)、B(5,0)、C(0,−5)． (1)求此二次函数的解析式； (2)求△ABC的面积． 【答案】(1)y=x2−4x−5 (2)15 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数 关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）设交点式y=a(x+1)(x−5)，然后把C点坐标代入求出a，从而得到抛物线解析 式； （2）直接根据三角形的面积公式求解．【详解】（1）解：由题意得，设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−5)， 把C(0,−5)代入得−5=a×(0+1)×(0−5)， 解得a=1， ∴抛物线解析式为y=(x+1)(x−5)， 即y=x2−4x−5； （2）解：∵A(−1,0)、B(5,0)，C(0,−5) ∴AB=5−(−1)=6，OC=5 1 ∴△ABC的面积 ×6×5=15． 2 【变式2】（24-25九年级上·四川南充·期末）已知二次函数的图象与经过(1,0)，(−3,0)， (0,−3)． (1)求这个二次函数的解析式； (2)指出它的对称轴和最值． 【答案】(1)y=x2+2x−3 (2)对称轴为直线x=−1，最小值为−4 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、将一般式 化为顶点式得顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由题意，设二次函数表达式为y=a(x−1)(x+3)，再将(0,−3)代入求a即可得到 答案； （2）由（1）中求得表达式化为顶点式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点(1,0)，(−3,0)， ∴设二次函数表达式为y=a(x−1)(x+3)， ∵二次函数图象经过点(0,−3)， ∴ −3=a(0−1)(0+3)， 解得a=1， ∴二次函数表达式为y=(x−1)(x+3)=x2+2x−3； （2）解：由（1）可知二次函数表达式为y=x2+2x−3=(x+1) 2−4， ∴该抛物线的对称轴为直线x=−1， ∵1>0，抛物线开口向上， ∴函数有最小值为−4．【变式2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）根据下列条件，分别确定抛物线对应 的二次函数的表达式． (1)抛物线的顶点坐标是(2,1)，且与x轴的一个交点坐标是(3,0)； (2)抛物线y=ax2+bx+c过(−3,0)，(1,0)两点，与y轴的交点为(0,4)． 【答案】(1)y=−(x−2) 2+1 4 8 (2)y=− x2− x+4 3 3 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据已知条件选 择恰当的表达形式． （1）已知抛物线的顶点坐标，可设表达式为顶点式，然后代入点(3,0)即可求解； （2）已知抛物线与的两交点坐标，可设表达式为交点式，然后代入点(0,4)即可求解； 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为y=a(x−2) 2+1． ∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(3,0)， ∴a(3−2) 2+1=0， 解得：a=−1， ∴y=−(x−2) 2+1（或y=−x2+4x−3）； （2）解：设抛物线的表达式为y=a(x−1)(x+3)， 将(0,4)代入y=a(x−1)(x+3)得4=a(0−1)⋅(0+3)， 4 解得：a=− ， 3 4 4 8 ∴抛物线的表达式为y=− (x−1)(x+3)=− x2− x+4． 3 3 3 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点 (0,3)，(1,6)． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)−2≤x≤3时，求y的取值范围． 【答案】(1)y=x2+2x+3 (2)2≤ y≤18 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数值的取值范围：（1）利用待定系数法求解即可； （2）把解析式化为顶点式，从而得到在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左 侧，y随x增大而减小，再求出当x=−2时，y=3，当x=3时，y=18，则当 −2≤x≤3时，2≤ y≤18． {1+b+c=6) 【详解】（1）解：把(0,3)，(1,6)代入y=x2+bx+c中得： ， c=3 {b=2) ∴ ， c=3 ∴二次函数解析式为y=x2+2x+3； （2）解：∵二次函数解析式为y=x2+2x+3=(x+1) 2+2， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线x=−1，顶点坐标为(−1,2)， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小， 当x=−2时，y=(−2+1) 2+2=3，当x=3时，y=(3+1) 2+2=18， ∴当−2≤x≤3时，2≤ y≤18． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）用配方法将二次函数y=x2+8x−9化为 y=a(x−ℎ) 2+k的形式为（ ） A．y=(x−4) 2+7B．y=(x−4) 2−25C．y=(x+4) 2+7 D．y=(x+4) 2−25 【答案】D 【分析】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式，利用配方法进行求解即可． 【详解】解：y=x2+8x−9=x2+8x+16−9−16=(x+4) 2−25； 故选D． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如 下表：x … 0 1 2 3 4 … y … −1 −3 −1 5 15 … 则该二次函数图象的顶点坐标为（ ） A．(0,−1) B．(1,−3) C．(2,−1) D．(3,5) 【答案】B 0+2 【分析】本题考查二次函数的性质，根据点(0,−1)和点(2,−1)关于直线x= =1 2 对称，即可得出顶点坐标，由表可知当x=1时，y=−3，即可得出答案 0+2 【详解】解：由表可知，点(0,−1)和点(2,−1)关于直线x= =1对称， 2 ∴当x=1时，y=−3， ∴二次函数图象的顶点坐标为(1,−3)， 故选：B 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知a>0，b2−4ac>0，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口方程，与坐标轴的交点等知 识是解题的关键． 根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，a的正负决定图象的开口，b2−4ac>0表示图 象与x轴有两个不同的交点，由此即可求解． 【详解】解：在二次函数y=ax2+bx+c中，a>0， ∴图象开口向上， ∵b2−4ac>0 ∴图象与x轴有两个不同的交点， ∴符合题意的只有A选项， 故选：A ．4．（2025·浙江杭州·模拟预测）二次函数y=2(x+1) 2−7的最小值是（ ） A．−7 B．1 C．−1 D．7 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的性质，根据抛物线解析式得出开口方向，即可求解． 【详解】解：∵a=2>0，开口向上， ∴当x=−1时，y有最小值为−7， 故答案为：A． 5．（2025·河南周口·三模）二次函数y=x2−4x+m 在1≤x≤m范围内有最大值4，则m 的值为（ ） A．−1 B．4 C．7 D．4或7 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得a=1 >0，抛物线开口向上，对 称轴为直线x=2，进而分类讨论，根据题意列出方程，解方程，即可得到答案． 【详解】解：y=x2−4x+m=(x−2) 2−4+m ∵a=1 >0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=2 ①当|m−2)<2−1时，即10时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下． 根据二次函数的二次项系数即可判断抛物线的开口方向． 【详解】解：∵a=−1<0， ∴开口向下， 故答案为：下． 8．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）抛物线y=−2x2+4x−1的对称轴是 ． 【答案】x=1 【分析】此题考查抛物线对称轴的计算公式，掌握公式是解题的关键． 利用对称轴的 计算公式解答． b 4 【详解】解：抛物线y=−2x2+4x−1的对称轴是直线x=− =− =1， 2a 2×(−2) 故答案为：直线x=1． 9．（24-25九年级上·重庆荣昌·期中）若点(−4,0)在抛物线y=x2+8x+m上，则m= ． 【答案】16【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征； 把(−4,0)代入y=x2+8x+m即可求出m的值． 【详解】解：把(−4,0)代入y=x2+8x+m得0=(−4) 2+8×(−4)+m， ∴m=16， 故答案为：16． 10．（24-25九年级上·新疆巴音郭楞·期末）若点A(0,y ),B(3,y )在抛物线 1 2 y=(x−1) 2+3上，则y y ．（填“＞”“＜”或“＝”） 1 2 【答案】< 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，增减性，熟知二次函数的对称性 是解题的关键． 先求得抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性即可判断． 【详解】解：∵抛物线y=(x−1) 2+3， ∴对称轴为x=1，开口向上， ∵A(0,y ),B(3,y )在抛物线y=(x−1) 2+3上， 1 2 ∴A(0,y )关于直线x=1的对称点(2,y )在抛物线y=(x−1) 2+3上， 1 1 ∴y y /y y ， 1 2 故答案为：y >y ． 1 2 12．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）若二次函数y=mx2+x+m2−2m的图象经过 原点，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由题意可得m≠0，m2−2m=0，计算 即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数y=mx2+x+m2−2m的图象经过原点， ∴m≠0，m2−2m=0， 解得：m=2， 故答案为：2． 13．（2025·内蒙古·模拟预测）将抛物线y=ax2−bx+1向下平移3个单位长度后，经过点 (−2,3)，则8a+4b−5= ． 【答案】5 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代 入得到4a+2b=5，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线y=ax2−bx+1向下平移3个单位长度后得到 y=ax2−bx+1−3=ax2−bx−2， 把点(−2,3)代入得到，3=a×(−2) 2+2b−2， 得到4a+2b=5， ∴8a+4b−5=2(4a+2b)−5=2×5−5=5， 故答案为：5 三、解答题 14．（24-25九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数y=x2−4x+3．(1)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象； (2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数y<0时，x的取值范围是____________； 3 ②方程x+ =4的根是_______________； x ③试写出此函数的一条性质； ④已知点A(−1,y )，B(❑√2,y )，C(4,y )都在此二次函数的图象上，则 1 2 3 y ，y ，y 的大小关系是_________（用“＜”连接）． 1 2 3 【答案】(1)见解析； (2)①12时，y随 1 2 x的增大而增大；④y 2时， y随x的增大而增大； ④根据图象可知，抛物线的对称轴为直线x=2，开口向上，离对称轴越远，函数值越 大， ∵2+1>4−2>2−❑√2， ∴y