文档内容
专题 21.4 一元二次方程与动点问题
【例题精讲】
【例1】如图所示，在 中． ， ， ，点 从点 开始沿
边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．
（1）如果 、 分别从 、 同时出发，那么几秒后， 的面积为 ．
（2）如果 、 分别从 、 同时出发，那么几秒后， 的长度等于 ．
（3）在（1）中 的面积能否等于 ？说明理由．
【解答】解：（1）设 秒后， 的面积为 ，此时 ， ，
，
由 ，得 ，
整理得： ，
解得： 或 （舍去）．
当 时， ，说明此时点 越过点 ，不合要求，舍去．
答：1秒后 的面积为 ．
（2）由 ，得 ，整理得 ，
解方程得： （舍去）， ．
所以2秒后 的长度等于 ；
（3）不可能．
设 ，整理得 ，
，
方程没有实数根，
所以 的面积为的面积不可能等于 ．
【题组训练】
一．选择题（共5小题）
1．如图， 中， ， ， ，点 从点 开始出发向点 以
的速度移动，点 从 点出发向点 以 的速度移动，若 、 分别同时从
， 出发， 秒后四边形 是 面积的 ．
A．2 B．4.5 C．8 D．7
【解答】解： 中， ，
是直角三角形，
由勾股定理，得 ．
设 秒后四边形 是 面积的 ，则 秒后， ， ．
根据题意，知 ，
，
即 ，
解得 或 （舍去）．
故选： ．
2．在 中， ， ， ，动点 从点 沿线段 向点 移
动，一动点 从点 沿线段 向点 移动，两点同时开始移动，点 的速度为 ，
点 的速度为 ，当 到达点 时两点同时停止运动．若使 的面积为 ，
则点 运动的时间是
A． B． C． 或 D． 或
【解答】解：设点 运动的时间为 ，则 ， ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
当 到达点 时两点同时停止运动，
，
，
．
故选： ．3．如图所示， ， ， ， 为矩形的四个顶点， ， ，动点 ，
分别从点 ， 同时出发，点 以 的速度向 移动，一直到达 为止；点 以
的速度向 移动．当 ， 两点从出发开始几秒时，点 和点 的距离是 ．
（若一点到达终点，另一点也随之停止运动）
A． 或 B． 或 C． D． 或
【解答】解：设当 、 两点从出发开始 秒时 ，点 和点 的距离是 ，
此时 ， ，
根据题意得： ，
解得： ， ．
答：当 、 两点从出发开始到2秒或 秒时，点 和点 的距离是 ．
故选： ．
4．如图，在 中， ， ， ．动点 ， 分别从点 ，
同时开始移动，点 的速度为 秒，点 的速度为 秒，点 移动到点 后停止，
点 也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使 的面积为 的是A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
【解答】解：设动点 ， 运动 秒后，能使 的面积为 ，
则 为 ， 为 ，由三角形的面积计算公式列方程得，
，
解得 ， （当 时， ，不合题意，舍去）．
动点 ， 运动3秒时，能使 的面积为 ．
故选： ．
5．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 沿边 向点 以
的速度移动；同时，点 从点 沿边 向点 以 的速度移动，经过 秒
后 的面积等于 ，则 的值为
A．1或4 B．1或6 C．2或4 D．2或6
【解答】解：设出发秒 时 的面积等于 ．
，化简整理得 ，
解得 ， ，
答：2秒或4秒后 的面积等于 ．
故选： ．
二．填空题（共5小题）
6．如图， 中， ， ， ，点 从 点开始沿 向 点以
的速度移动，点 从 点开始沿 边向 点以 的速度移动．如果 、 分
别从 、 同时出发，经过 3 秒钟 的面积等于 面积的 ．
【解答】解：根据题意，知 ， ．
的面积等于 面积的 ，
则根据三角形的面积公式，得 ，
，
，
解得 ．
故经过3秒钟 的面积等于 面积的 ．
故答案是：3．
7．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发，沿方向运动，速度是 ；同时，动点 从点 出发，沿 方向运动，速度是
，则经过 1 0 后， ， 两点之间相距 ．
【解答】解：设 秒后 、 两点相距 ，
则 ， ，
由题意得， ，
解得， ， （舍去），
则10秒后 、 两点相距 ．
故答案是：10．
8．如图， 中， ， ， ，一动点 从点 出发沿着 方
向以 的速度运动，另一动点 从 出发沿着 边以 的速度运动， ， 两
点同时出发，运动 2 秒时， 的面积是 面积的 ．
【解答】解： ， ，
，整理得 ，
解得 ．
即：运动2秒时 的面积为 面积的 ．
故答案是：2．
9．在平面直角坐标系 中，过原点 及点 、 作矩形 ， 的平
分线交 于点 ．点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向移
动；同时点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 轴正方向移动．设移动时间
为 秒，当 为 2 或 或 时， 为直角三角形．
【解答】解：作 于点 ，在 中，
，
，
，
，
点 ，
又 ， ，
根据勾股定理可得： ， ， ，
①若 ，则有 ，即： ，
整理得： ，
解得： （舍去）， ，
，
②若 ，则有 ，
，
整理得： ，
解得： ．
当 或 或 时， 为直角三角形．
故答案为：2或 或 ．
10．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿 以 的
速度向点 运动，同时点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动，点 到达终点
后， 、 两点同时停止运动，则 2 或 3 秒时， 的面积是 ．
【解答】解：设运动时间为 秒，则 ， ，依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
或3秒时， 的面积是 ．
故答案为：2或3．
三．解答题（共30小题）
11．如图所示，在等边三角形 中， ，射线 ，点 从点 出发沿射
线 以 的速度运动，同时点 从点 出发沿射线 以 的速度运动，设运
动时间为 ．
（1）连接 ，当 经过 边的中点 时，求证：四边形 是平行四边形；
（2）①当 为何值时，四边形 是菱形；
②当 为为何值时， 的面积是 的面积的2倍．
【解答】（1）证明：如图1， ，
， ，
经过 边的中点 ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解：①如图2， 是等边三角形，
，四边形 是菱形，
，且点 在 延长线上，
由运动知， ， ，
，
，
解得： ，
将 代入 中，得 ，符合题意，
即当 时，四边形 是菱形；
②设平行线 与 的距离为 ，
边 上的高为 ， 的边 上的高为 ，
的面积是 的面积的2倍，
，
当点 在线段 上时 ， ， ，
，
解得： ；
当点 在 的延长线上时 ， ， ，
，
解得： ，
即当 为 或 时， 的面积是 的面积的2倍．12．如图， 、 、 、 为矩形的四个顶点， ， ，动点 、 分
别从点 、 同时出发，点 以 的速度向点 移动，一直到达 为止，点 以
的速度向 移动．
（1） 、 两点从出发开始到几秒时，四边形 的面积为 ；
（2） 、 两点从出发开始到几秒时，点 和点 的距离是 ．
【解答】解：（1）设 、 两点从出发开始到 秒时四边形 的面积为 ，
则 ， ，
根据梯形的面积公式得 ，
解之得 ，
（2）设 ， 两点从出发经过 秒时，点 ， 间的距离是 ，
作 ，垂足为 ，则 ， ，
， ，
，
由勾股定理，得 ，
解得 ， ．
答：（1） 、 两点从出发开始到5秒时四边形 的面积为 ；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点 和点 的距离是 ．
13．如图，在长方形 中， ， ，点 以 的速度从顶点 出
发，沿折线 向点 运动，同时点 以 的速度从顶点 出发，沿 向点
运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）两动点运动几秒时，四边形 的面积是长方形 面积的 ？
（2）是否存在某一时刻，使得点 与点 之间的距离为 ？若存在，求出该时刻；若
不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设两动点运动 秒，使四边形 的面积是矩形 面积的 ．
根据题意，得 ， ，矩形的面积是12．
则有 ，
解得 ；
（2）设两动点经过 秒使得点 与点 之间的距离为 ．
①当 时，如图1，则有 ，
解得 或 ；
②当 时，如图2，则有 ，
得方程 ，
此时△ ，此方程无解．
综上所述，当 或 时，点 与点 之间的距离 ．
14．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发沿边向点 以 的速度移动，同时动点 从点 出发沿边 向点 以 的速度
移动，当 运动到 点时 、 两点同时停止运动，设运动时间为 ．
（1） ； ；（用 的代数式表示）
（2） 是 的中点，连接 、 ， 为何值时 的面积为 ？
【解答】解：（1）根据题意得： ， ，
所以 ，
故答案是： ； ；
（2）如图，过点 作 于 ，
，即 ．
．
又 是 的中点，
， 是 的中位线．
．
根据题意，得 ，
整理，得 ．
解得： ， ，
即当 或4时， 的面积是 ．15．如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿 向
点 以 的速度运动，点 从点 开始沿 向点 以 的速度运动， ， 同
时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为 ．
（1）下列说法正确的是 ② ．（填写所有正确结论的序号）
① 可以平分 的周长；
② 可以平分 的面积．
（2）当 为何值时， 的面积等于 ？
【解答】解：（1） ，
由勾股定理得： ，
当 时，
（舍 ，
当 时，
解得 或 （舍 ，
时， 可以平分 的面积，故答案为：②；
（2）①由题意知： ， ，
，
解得： 或7（舍去），
当 时， 的面积等于 ．
当点 停止时， ，
，
综上： 或 ．
16．如图， 中， ， ， ，点 从 沿 边向 点以
的速度移动，在 点停止，点 从 点开始沿 边向点 以 的速度移动，
在 点停止．
（1）如果点 ， 分别从 、 同时出发，经过2秒钟后， 8 ；
（2）如果点 从点 先出发 ，点 再从点 出发，问点 移动几秒钟后 ？
（3）如果点 、 分别从 、 同时出发，经过几秒钟后 ？
【解答】解：（1）由题意，得 ，
答： 、 同时出发，经过 ， ．
故答案是：8；（2）设 出发 时 ，则 运动的时间为 秒，由题意得：
，
，
解得：
因此经4秒点 离 点 ，点 离 点 ，符合题意．
答： 先出发 ， 再从 出发 后， ．
（3）设经过 秒钟后 ，则 ， ， ，
，
解得 ， （不合题意，舍去）
答：经过 秒钟后 ．
17．如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿射线
向点 以 的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向点 以 的速度
移动．如果 、 分别从 、 同时出发，运动的时间为 ，当点 运动到点 时，两点
停止运动．
（1）当点 在线段 上运动时， 、 两点之间的距离 ．（用含 的代
数式表示）
（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积是 面积的 ．若存
在，求 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1） 中， ， ， ，
中， ，
又 点 从点 开始沿射线 向点 以 的速度移动，
，
当点 在线段 上运动时， 、 两点之间的距离 ；
故答案为： ；
（2） 的面积为 ，
①当 时， ， ，
，
，
即 ，
△ ，
该一元二次方程无实数根，
该范围下不存在；
②当 时， ， ，
，，
即 ，
解得 或 （舍去），
综上所述，存在，当 时， 的面积是 面积的 ．
18．如图，已知正方形 的边长为 ，动点 从点 出发，以 的速度沿
方向向点 运动，动点 从点 出发，以 的速度沿 方向向点
运动，若 、 两点同时出发运动时间为 ．
（1）连接 、 、 ，求当 为何值时， 的面积为 ？
（2）当点 在 上运动时，是否存在这样的 使得 是以 为一腰的等腰三角形？
若存在，请求出符合条件的 的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当 在 上时
如图：根据题意，得， ， ， ，
，
整理，得 ，
解得 ．
当 在 上时，此时
答：当 为1秒或 秒时， 的面积为 ．
（2）①当 时，根据勾股定理，得
，
解得 ， （不符合题意，舍去）．
②当 时，根据勾股定理，得
，整理得：
解得 ， （不符合题意，舍去）．
答：存在这样的 秒或 秒，使得 是以 为一腰的等腰三角形．
19．如图，在矩形 中， ， ，动点 从点 出发，以 的速
度沿 向点 移动，同时，点 从点 出发，以 的速度沿 向点 移动（点
到达点 停止时，点 也随之停止运动），设点 运动时间为 秒．
（1）试求当 为何值时四边形 为矩形；
（2） 、 两点出发多长时间，线段 的长度为 ．
【解答】解：（1） 四边形 为矩形，
，
，
，
．
（2）过点 作 于点 ，
，
四边形 是矩形．
，
，在 中， ，即 ，
解得 ， ，
答：当出发 或 时，线段 的长度为 ．
20．如图，在 中， ， ， ．现有动点 从点 出发，
沿 向点 方向运动，动点 从点 出发，沿线段 向点 方向运动，如果点 的速
度是 ，点 的速度是 ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就
停止运动．设运动的时间为 ， 的面积 ．
（1）用含 的代数式表示 ．
（2）当运动多少秒时， 的面积等于 ？
【解答】解：（1）由题意得： ， ，
，
， ，
；（2）当 时，
，
解得： ， ，
即当 或 时， 的面积等于 ．
21．如图，已知等边三角形 的边长为 ，点 从点 出发，沿 的方向
以 的速度向终点 运动，同时点 从点 出发，沿 的方向以 的速度
向终点 运动．当点 运动到点 时，两点均停止运动．运动时间记为 ，请解决下列
问题：
（1）若点 在边 上，当 为何值时， 为直角三角形？
（2）是否存在这样的 值，使 的面积为 ？若存在，请求出 的值，若不存在，
请说明理由．
【解答】解：（1） 是等边三角形
， ，
当点 在边 上时，由题意知， ， ，
当 时， ，即 ，解得 ，
当 时， ，即 ，解得 ，
所以，点 在边 上，当 为 或 时， 为直角三角形；
（2）存在，①当点 在边 上时，此时 ，
过点 作 于点 ，
在 中， ， ，
，即 ，
， ，
由 得 ；
②当点 在边 上时，此时 ，
如图，过点 作 于点 ，
在 中， ， ，
，即 ，
， ，
由 得 ， （不合题意，舍去），
因此，当 的值是 或 时， 的面积为 ．
22．如图1，在 中， ， ， ，现有动点 从点 出发，沿射线 方向运动，动点 从点 出发，沿射线 方向运动，已知点 的速度是
，点 的速度是 ，它们同时出发，设运动时间是 ．
（1）当 时，求 的面积．
（2）经过多少秒时， 的面积是 面积的一半．
【解答】解：（1） 点 的速度是 ，点 的速度是 ，
当 时， ， ，
， ，
．
（2）设经过 秒 的面积是 面积的一半．
根据题意得： ，
当 时如图
，
整理得 ，
解得 （舍去）或 ．当 时如图
，
整理得 ，
△ ，无解．
当 时如图
，
整理得 ，
解得 或 （舍去）．
综上所述：经过2秒或12秒 的面积是 面积的一半．
23．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知 可取任何实数，试求二次三项式 最小值．
解：
无论 取何实数，总有 ．，即 的最小值是 ．
即无论 取何实数， 的值总是不小于 的实数．
问题：
（1）已知 ，求证 是正数．
知识迁移：
（2）如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，从点
向点 以 的速度移动，点 在 边上以 的速度从点 向点 移动．若点
， 同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设 的面积为 ，
运动时间为 秒，求 的最大值．
【解答】证明：（1）
．
．
．
．
是正数．
（2）由题意： ， ， ．．
．
．
当 时， 有最大值 ．
24．如图，在 中， ， ．点 从点 出发，沿 边以
的速度向点 移动；点 从点 同时出发，沿 边以 的速度向点 移动．规定其
中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后， ， 两点的距离
是 ？
【解答】解：设经过 秒后， ， 两点的距离是 ，
根据题意，得 ，
整理，得 ，解得 ， ．
当 时， ，符合题意，
答： 秒或2秒后， ， 两点间的距离等于 ．
25．如图，在边长为 的等边三角形 中，点 从点 开始沿 边向点 以每秒
钟 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以每秒钟 的速度移动．若 、
分别从 、 同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：
（1）经过6秒后， 6 ， ；
（2）经过几秒后， 是直角三角形？
（3）经过几秒 的面积等于 ？
【解答】解：（1）由题意，得
， ．
是等边三角形，
，
．
故答案为：6、12．
（2） 是等边三角形，
， ，当 时，
，
．
， ，
，
，
当 时，
，
，
，
答6秒或 秒时， 是直角三角形；
（3）作 于 ，
，
，
，
在 中，由勾股定理，得
，，
解得； ， ，
时， ，故舍去
．
答：经过2秒 的面积等于 ．
26．已知：如图， 是边长为 的等边三角形，动点 、 同时从 、 两点出发，
分别沿 、 方向匀速移动，它们的速度都是 ，当点 到达点 时， 、 两
点停止运动，设点 的运动时间 ，解答下列各问题：
（1）经过 秒时，求 的面积；
（2）当 为何值时， 是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻 ，使四边形 的面积是 面积的三分之二？如果存在，
求出 的值；不存在请说明理由．【解答】解：（1）经过 秒时， ， ，
是边长为 的等边三角形，
， ，
，
的面积 ；
（2）设经过 秒 是直角三角形，
则 ， ，
中， ， ，
，
中 ， ， ， 若 是 直 角 三 角 形 ， 则 或
，
当 时， ，
即 ， （秒 ，
当 时， ，
， （秒 ，
答：当 秒或 秒时， 是直角三角形．
（3）过 作 于 ，
中， ，，
，
，
与 的关系式为 ，
假设存在某一时刻 ，使得四边形 的面积是 面积的 ，
则 ，
，
，
，
方程无解，
无论 取何值，四边形 的面积都不可能是 面积的 ．
27．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿线段 、以 的速度向终点 运动；同时，点 从点 出发沿线段 、 以 的速度
向终点 运动 、 两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．
（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？
（2）在运动过程中， 的面积能否等于 ？若能，需运动多长时间？若不能，请
说明理由．
【解答】解：（1）点 从开始到运动停止用的时间为： ，
点 从开始到运动停止用的时间为： ，
，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，
点 先到终点，此时点 离终点的距离是： ，
答：点 先到终点，此时点 离终点的距离是 ；
（2）在运动过程中， 的面积能等于 ，
当 从点 运动到点 的过程中，设点 运动时间为 ，
的面积能否等于 ，
，
解得，此方程无解；
当点 从 到 的过程中，设点 运动的时间为 ，
的面积能否等于 ，，
解得， ， （舍去），
即需运动 ， 的面积能等于 ．
28．如图①，在矩形 中， ， ．点 从点 出发，沿
运动，速度为每秒2个单位长度；点 从点 出发向点 运动，速度为每秒1个单位长度．
、 两点同时出发，点 运动到点 时，两点同时停止运动，设点 的运动时间为
（秒 ．连接 、 、 、 ．
（1）点 到点 时， 6 ；当点 到终点时， 的长度为 ；
（2）用含 的代数式表示 的长；
（3）当三角形 的面积为9时，求 的值．
【解答】解：（1）在矩形 中， ， ，
点 到点 时，所走路程为 ，
当点 到终点时， ， 点回到 中点，
；
（2）当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
（3）当 时，
， ， （舍去）
当 时，
，
当 时，
， （舍弃），
综上所述，当三角形 的面积为9时 或 ．
29．如图已知直线 的函数解析式为 ，点 从点 开始沿 方向以1个单位
秒的速度运动，点 从 点开始沿 方向以2个单位 秒的速度运动．如果 、
两点分别从点 、点 同时出发，经过多少秒后能使 的面积为8个平方单位？
【解答】解： 直线 的函数解析式为 ，
点 ，点 ．
设运动时间为 ，则 ， ，根据题意，得： ，
解得： ， ， （舍去）， ．
经过2秒、4秒或 秒后能使 的面积为8个平方单位
30．如图所示，在 中， ， ， ，
（1）点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向
点以 的速度移动，如果点 ， 分别从 ， 同时出发，经过几秒钟后， 的
面积等于 ？
（2）如果点 ， 分别从 ， 同时出发，并且点 在 边上沿 的路线以
的速度移动，点 在 边上沿 的路线以 的速度移动，求经过几
秒钟后， 的面积等于 ．
【解答】解：（1）设经过 秒后， 的面积等于 ．
由题意得： ，
解得： ， ，
答：经过2秒或4秒后， 的面积等于 ．
（2）设经过 秒后， 的面积等于 ．分三种情况：①当 时，
， ，则 ， ，
由题意得： ，
解得： ，或 （不合题意舍去），
；
②当 时，
， ，则 ， ，
由题意得： ，
整理得： ，此方程无解；
③当 时， ， ，
则 ， ，
由题意得： ，
解得： （不合题意舍去），或 ，
；
综上所述，经过2秒或8秒钟后， 的面积等于 ．
31．如图，在梯形 中， ， ， ， ， ．
动点 从点 出发，沿线段 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点 从点 出
发，在线段 上以每秒1个单位长度的速度向点 运动．点 ， 分别从点 ， 同时
出发，当点 运动到点 时，点 随之停止运动．设运动时间为 ，当 为何值时，以， ， 三点为顶点的三角形为等腰三角形？
【解答】解：如图1，当 时，作 于 ，
，
，
，
，
．
．
解得： ．
如图2，当 时，作 于 ，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
， ．
在 中，由勾股定理，得．
，
解得： ；
如图3，当 时，作 于 ，
，
，
，
，
，
在 中，
，
，
△ ，
故方程无解．
综上所述， 或 时，以 ， ， 三点为顶点的三角形为等腰三角形．32．如图，正方形 的边长为 ，点 从 开始沿折线 以
的速度移动，点 从 开始沿 边以 的速度移动，如果点 、
分别从 、 同时出发，当其中一点到达 时，另一点也随之停止运动．
设运动时间为 ．
（1） 为何值时， 为直角三角形；
（2）①设 面积为 ，写出 与 的函数关系式；
② 为何值时， 面积为正方形 面积的 ？
【解答】解：（1）要使 为直角三角形，则需 或
，
， ， ，
即 或 ，或 或 ．
（2）①当 时， ；
当 时， ，
② 时， 面积为正方形面积的 ．
33．如图， 已知 、 、 、 为矩形的四个顶点， ， ，
动点 、 分别从点 、 同时出发， 点 以 的速度向点 移动，
一直到点 为止， 点 以 的速度向点 移动 ． 设移动时间为 ，
问
（1） 当 为何值时， 、 两点间的距离是 ？
（2） 当 为何值时， 、 两点间距离最小？最小距离为多少？
（3） 、 两点间距离能否是 ？若能， 求出 的值；若不能， 请说明理
由 ．
【解答】解： （1） 设出发 秒后 、 两点间的距离是 10 厘米 ．
则 ， ，作 于 ，
则 ，，
解得： 或 ，
答： 、 出发 1.6 和 4.8 秒时， ， 间的距离是 10 厘米；
（2） ，
当 时， 即 时， 最小， 最小为 6 ；
（3） ，
、 两点间距离不能是 ．
34．如图所示，在 中． ， ， ，点 从点 开始沿
边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．当
、 两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果 、 分别从 、 同时出发，那么几秒后， 的面积为 ．
（2）如果 、 分别从 、 同时出发，那么几秒后， 的长度等于 ．
（3）在（1）中 的面积能否等于 ？说明理由．【解答】解：（1）设 秒后， 的面积为 ，此时 ， ，
，
由 ，得 ，
整理得： ，
解得： 或 （舍去）．
当 时， ，说明此时点 越过点 ，不合要求，舍去．
答：1秒后 的面积为 ．
（2）由 ，得 ，
整理得 ，
解方程得： （舍去）， ．
所以2秒后 的长度等于 ；
（3）不可能．
设 ，整理得 ，
，
方程没有实数根，所以 的面积为的面积不可能等于 ．
35．（A）如图1，在 中， ， ， ，点 、 、同时由
、 两点出发分别沿 、 方向向点 匀速移动，它们的速度都是 ，几秒后
的面积为 面积的一半？
（B）如图2， 中， ， ， ，一动点 从 出发沿着
方向以 的速度运动，另一动点 从 出发沿着 方向以 的速度运动， 、
两点同时出发，运动时间为 ．
（1）当 为几秒时， 的面积是 面积的 ？
（2） 的面积能否为 面积的一半？若能，求出 的值；若不能，说明理由．
【解答】解：（A）设经过 秒后 的面积是 面积的一半，
则： ，
解得 （舍去）， ．
答： 秒后 的面积是 面积的一半；（B）（1） ， ，
，
整理得 ，
解得 ．
答：当 时 的面积为 面积的 ；
（2）当 时， ，
整理得 ，
△ ，
此方程没有实数根，
的面积不可能是 面积的一半．
36．如图，在 中， ， ，点 从 出发沿射线 以
的速度做直线运动，点 从 出发沿边 的延长线以 的速度做直线运动．如果 ，
分别从 ， 同时出发，经过几秒， 的面积为 ？
【解答】解：设当点 运动 秒时， 的面积为 ，①当 在线段 上，此时 ， ，
化简得
解得 或4；
② 在线段 的延长线上，此时 ，
化简得
解得 或 ，负根不符合题意，舍去．
所以当点 运动4秒、6秒或12秒时 的面积为 ．
37．如图，在 中， ， 、 的长恰好为方程 的两根，
且 ．
（1）求 的值．
（2）动点 从点 出发，沿 的路线向点 运动（不包括端点）；点 从点 出发，
沿 的路线向点 运动（不包括端点）．若点 、 同时出发，速度都为每秒2个单
位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为 秒，在整个运动过程中，
设 的面积为 ，试求 与 之间的函数关系式；并指出自变量 的取值范围和 的范
围．【解答】解：（1） 、 的长为方程 的两根，
，
又 ，
， ，
；
（2）作 ，垂足为 ，
，
．
，
，
，即 ，
解得 ，
，
当 时， ．
38．如图，矩形 中， ， ，点 从点 出发，沿着 的方
向以 的速度向终点 匀速运动；点 从点 出发，沿着 的方向以
的速度向终点 匀速运动；点 ， 同时出发，当 ， 中任何一个点到达终点时，另
一个点同时停止运动，点 运动时间为 ，连接 ， 的面积为 ．
（1）求 关于 的函数解析式，并直接写出自变量 的取值范围；
（2） 的面积可以是矩形 面积的 吗？如能，求出相应的 值，若不能，请说
明理由．【解答】解：（1）如图，矩形 中， ，
当 时，点 在边 上，点 在边 上，此时 ， ，
，
．
当 时，点 在边 上，点 在边 上，此时 ， ，
．
．
综合以上可得， ；
（2） 的面积是矩形 面积的 ，
，当 时，令 ，
整理得 ，
△ ，
原方程无实数根，
当 时，令 ，
解方程得， ， （舍去），
综上所述，当 时， 的面积是矩形 面积的 ．
39．如图，在矩形 中， ， ，点 沿 边从点 开始向点 以
的速度移动，点 沿 边从点 开始向点 以 的速度移动，如果 、 同
时出发，用 表示移动的时间 ，那么：
（1）求四边形 的面积；
（2）当 为何值时， 的面积是 ？
【解答】解：（1）当运动时间为 时， ， ， ，
，．
答：四边形 的面积为 ．
（2）依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
答：当 的值为1或5时， 的面积是 ．
40．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿 以 的
速度向点 运动，同时，点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动．设运动时间
为 ．
（1） ， ；（用含 的式子表示）
（2）若 的面积为 ，求 的值．
【解答】解：（1）由题意可得： ， ，
故答案为： ， ；
（2）由题意可得：，
解得： ， ，
当 的面积为 ，则 的值为1或5．
