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第 04 讲 二次函数 的图像和性质
1. 会用描点法画出二次函数 y=a(x-h)2（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物
线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；
2. 掌握二次函数 y=a(x-h)2（a≠0）性质，掌握 y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h)2
（a≠0）之间联系。
知识点 1 y=a（x-h)²的图像性质：
1．二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象.
先列表：
描点、连线，画出这两个函数的图象:根据所画图象，填写下表：
顶点坐
抛物线 开口方向 对称轴 增减性
标
当 x＜0 时，y 随 x 的增大而
开口向上 y轴 （0,0） 减小；当 x＞0 时，y 随 x 的
增大而增大。
当x＜2时，y随x的增大而
开口向上 x=2 （2,0） 减小；当x＞2时，y随x的
增大而增大。
【问题2】在同一直角坐标系中，画出二次函数 、 与
的图象．
先列表：
描点、连线，画出这两个函数的图象:
根据所画图象，填写下表：
开口方
抛物线 对称轴 顶点坐标 增减性
向当x＜0时，y随x的增大而
减大；
开口向
y轴 （0,0）
下
当x＞0时，y随x的增大而
增小。
当x＜－1时，y随x的增大
而减大；
开口向
x=－1 （－1,0）
下
当x＞－1时，y随x的增大
而增小。
当x＜1时，y随x的增大而
减大；
开口向
x=1 （1,0）
下
当x＞1时，y随x的增大而
增小。
总结：由【问题1】【问题2】总结二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0
对称轴 直线x=h 直线x=h
当x＜h时，y随x的增大 当x＜h时，y随x的增大
增减性 而减小；当x＞h时，y随 而增大；当x＞h时，y随
x的增大而增大。 x的减小而减小。
知识点2： y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²+c（a≠0）之间的关系
二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到.
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变
【题型1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】【典例1】（2022秋•承德县期末）抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标为（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0）
【变式1-1】（2023•丰顺县校级开学）二次函数y＝（x﹣1）2的顶点坐标为
．
【变式1-2】抛物线 的开口_________，对称轴是____，顶点坐标是
______，对称轴左侧，y随x的增大而_____，对称轴右侧，y随x的增大而
____．
【题型2 二次函数y=a(x-h)²图像变换问题】
【典例2】（2023•东莞市一模）将抛物线 y＝4x2向右平移2个单位，可得到抛
物线 ．
【变式2-1】（2022秋•盘龙区期末）二次函数 y＝x2的图象平移或翻折后经过
点（2，0），则下列4种方法中错误的是（ ）
A．向右平移2个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向下平移4个单位长度
D．沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
【变式2-2】（2022秋•津南区期末）抛物线 y＝（x﹣2）2是由抛物线y＝x2平
移得到的，下列平移正确的是（ ）
A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度
【变式2-3】（2022秋•大连期末）把抛物线y＝﹣（x+1）2向左平移1个单位，
再向上平移3个单位，则平移后抛物线为（ ）
A．y＝﹣（x+2）2﹣3 B．y＝﹣x2﹣3
C．y＝﹣x+3 D．y＝﹣（x+2）2+3
【题型3 二次函数y=a(x-h)²的性质】
【典例3】（2023•常州模拟）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象的特征，下
列描述正确的是（ ）
A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上【变式3-1】（2022•兴化市模拟）关于二次函数 的图象，下列说法
正确的是（ ）
A．开口向下
B．经过原点
C．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标是（﹣1，0）
【变式3-2】（2022·绵阳市·九年级专题练习）关于x的二次函数
与 的性质中，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点坐标相同
D．当 时， 随x的增大而减小； 随x的增大而增大
12.关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．当x<1时，y值随x值的增大而增大 B．当x<1时，y值随x值的增大而减小
C．当 时，y值随x值的增大而增大D．当 时，y值随x值的增大而减小
【题型4 二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】
【典例4】（2022秋•大兴区校级期末）已知函数 y＝（x﹣2）2的图象上有A
（﹣1，y ），B（1，y ），C（4，y ）三点，则 y 、y 、y 的大小关系
1 2 3 1 2 3
（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
【变式4-1】（2022秋•丹徒区期末）点A（2，y）、B（3，y）在二次函数y
1 2
＝2（x﹣1）2的图象上，则（ ）
A．y＜0＜y B．y＜0＜y C．0＜y＜y D．0＜y＜y
1 2 2 1 1 2 2 1
【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）在抛物线 经过（m，
n）和（m+3，n）两点，则n的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 二次函数y=a(x-h)²图像与一次函数综合】【典例5】（2022秋•武清区校级月考）如图，二次函数 y＝（x+a）2与一次函
数y＝ax﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5】（2022秋•武清区校级月考）如图，二次函数y＝（x+a）2与一次函
数y＝ax﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
1.下列二次函数中，对称轴是直线 的是（ ）
A． B． C． D．2.知二次函数 的图象经过点 ，且 ，则m的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.在抛物线 经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（ ）
A． B． C． D．
4.若抛物线 的对称轴是直线x=-1，且它与函数 的形状相同，开
口方向相同，则a和h的值分别为（ ）
A．3和 -1 B．-3和1 C．3和1 D．-1和3
5．（2023•三明模拟）将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度得到的抛物线表达
式是 ．
6.已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范
围是__________．
7.在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线
与线段PQ有交点，则a 的取值范围是______．
1．（2022秋•天河区期末）抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
2．（2022秋•密云区期末）将抛物线 y＝x2向右平移一个单位，得到的新抛物
线的表达式是（ ）
A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣1）2 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
3．（2023•增城区一模）已知 A（0，y ），B（3，y ）为抛物线y＝（x﹣2）2
1 2
上的两点，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2A．y ＞y B．y ＝y C．y ＜y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
4.关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线 B．开口向下
C．最大值是3 D．当 时， 随 的增大而减小
5.关于x的二次函数 与 的性质中，下列说法错误的是
（ ）
A．开口方向相同 B．对称轴相同
C．顶点坐标相同 D．当 时， 随x的增大而减小；
随x的增大而增大
6．若点 、 都在二次函数 的图象上，则a与b的大小关系
（ ）
A． B． C． D．无法确定
7.二次函数 的顶点坐标为_______．
8.二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2的图象，平
移的方法是( )
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
9.抛物线 关于y轴对称的抛物线的表达式为______．
10.有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点：
甲：与x轴只有一个交点；乙：对称轴是直线x＝4；丙：与y轴的交点到原点
的距离为3．
满足上述全部特点的二次函数的解析式为_____．
11.二次函数y＝（x﹣1）2，当x＜1时，y随x的增大而___（填“增大”或“减
小”） ．
12.已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 ．
13．（2023•龙川县校级开学）已知二次函数 y＝2（x﹣1）2的图象如图所示，
求△ABO的面积．
