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第 03 讲 三角形的内角与外角
知识点1：三角形的内角
知识点2：三角形的外角
①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内
角。
测量法： 剪角拼角法 ：
【题型1三三角形的内角和定理】
【典例1】（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）学习了“平行线的性质和判定”后，聪
明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角
和等于180°．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务：
如图1，△ABC中的三个内角分别为∠1，∠2，∠3．将∠2撕下，按图2的方式拼
摆，使∠2与∠1的顶点重合，∠2的一边与AB重合．理由：由操作可知∠B=∠2，
所以AD ∥________ （依据：________）．
所以，∠DAC+________=180°（依据：________）．
即∠1+________+________=180°．
所以，三角形的内角和等于180°
【答案】BC；内错角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同旁内角互补；∠2；
∠3
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和的证明方法，先由内错
角相等，两直线平行得到AD∥BC，再由两直线平行，同旁内角互补得到
∠DAC+∠3=180°，据此可证明∠1+∠2+∠3=180°．
【详解】证明；由操作可知∠B=∠2，
所以AD∥BC（依据：内错角相等，两直线平行）．
所以，∠DAC+∠3=180°（依据：两直线平行，同旁内角互补）．
即∠1+∠2+∠3=180°．
【变式1】（24-25七年级下·广东河源·期中）已知三角形的一个内角是50°，另两个内角的
度数比为2:3，则最大内角的度数是（ ）
A．78° B．80° C．90° D．100°
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
由另两个内角的度数比为2:3，可设度数为2x,3x，由三角形内角和定理建立方程
50°+2x+3x=180°，求出另外两个内角的度数，即可比较．
【详解】解：∵另两个内角的度数比为2:3，
设度数为2x,3x，
∴50°+2x+3x=180°，
解得：x=26°，
∴另外两个内角度数为：52°，78°，∴最大内角的度数是78°，
故选：A．
【变式2】（2025·河南信阳·三模）一副三角板按如图方式叠合在一起，AD与BE相交于点
H，则∠BHD的度数是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．55°
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算，对顶角相等，以及直角三角形两锐角互
余，由三角板可知∠EAB=45°,∠DAC=30°，与角的和差可得出
∠EAD=∠EAB−∠DAC=15°，再根据对顶角相等以及直角三角形两锐角互余
∠BHD=∠EHA=90°−15°=75°．
【详解】解：根据题意可知∠EAB=45°,∠DAC=30°，
则∠EAD=∠EAB−∠DAC=15°，
∴∠BHD=∠EHA=90°−15°=75°
故选 A
【变式3∶ 】（2025·湖北襄阳·二模）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板
(∠BAC=30°)按如图所示放置，并且顶点A、C分别落在直线a,b上，若∠1=23°，
则∠2的度数为（ ）
A．17° B．53° C．37° D．60°
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，过点B作BD∥a，则
a∥b∥BD，由平行线的性质得到∠DBA=∠1=23°，∠DBC=∠2，再由三角形内
角和定理求出∠ABC=60°，据此由角的和差关系可得答案．
【详解】解：如图所示，过点B作BD∥a，∵a∥b，
∴a∥b∥BD，
∴∠DBA=∠1=23°，∠DBC=∠2，
∵∠ABC=180°−90°−30°=60°，
∴∠2=∠DBC=∠ABC−∠DBA=37°，
故选：C．
【题型2 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】
【典例2】（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，
AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
(1)若∠B=50°，求∠DAE的度数．
(2)若AB=6,AC=8,BC=10，求AD的长．
【答案】(1)5°
(2)4.8
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，与三角形的高有关的计算.
（1）根据三角形的内角和定理，求出∠BAD的度数，角平分线求出∠BAE的度数，
再根据角的和差关系进行求解即可；
（2）等积法求出AD的长即可．
【详解】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠BAD=180°−90°−50°=40°，
∵∠BAC=90°，AE平分∠BAC．
∴∠BAE=45°，∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=45°−40°=5°；
（2）∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
1 1
∴S = AB⋅AC= BC⋅AD，
△ABC 2 2
∵AB=6,AC=8,BC=10，
∴6×8=10AD，
∴AD=4.8．
【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分
∠BAC，∠B=60°,∠C=40°，则∠DAE= 度．
【答案】10
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形高的含
义．先由三角形的内角和定理求解∠BAC的大小，再由角平分线的性质求解∠BAE
的大小，再利用直角三角形的两锐角互余求出∠BAD，最后利用角的和差关系可得答
案．
【详解】解：在△ABC中，∠B=60°,∠C=40°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−60°−40°=80°，
∵AE平分∠BAC，
1 1
∴．∠BAE= ∠BAC= ×80°=40°，
2 2
∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−30°=10°．
故答案为：10．
1 1
【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）在△ABC中，∠A= ∠B= ∠ACB，
2 3
CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，则∠DCE= ．【答案】15°/15度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义．
根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出
∠ACB，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，最后根据角平分线的定义求
出∠ACE即可．
1 1
【详解】解：∵∠A= ∠B= ∠ACB，
2 3
设∠A=x，
∴∠B=2x，∠ACB=3x，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴x+2x+3x=180°，
解得：x=30°，
∴∠A=30°，∠ACB=90°，
∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°−30°=60°，
∵CE是∠ACB的角平分线，
1
∴∠ACE= ×90°=45°，
2
∴∠DCE=∠ACD−∠ACE=60°−45°=15°．
故答案为：15°．
【变式3】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，
AD是BC边上的高．
(1)在图中将图形补充完整；(2)当∠BAC=80°，∠C=72°时，求∠DAE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)22°
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质，主要
围绕三角形中的角平分线和高展开，通过三角形内角和定理以及角之间的关系来求解
角度，熟练运用三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质来建立角之
间的关系是解题的关键．
（1）根据高的定义补充图形；
（2）根据角平分线性质求出∠BAE，最后结合直角三角形的性质求出∠DAE．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）解：∵在△ABC中，∠BAC=80°，AE平分∠BAC，
1
∴∠CAE= ∠BAC=40°．
2
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°−∠C=18°，
∴ ∠DAE=∠CAE−∠CAD=40°−18°=22°．
【题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题】
【典例3】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=80°，
∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：∵____①____（已知），
1 1
∴∠PBC= ∠ABC= ×80°=40°．
2 2
同理可得∠PCB=____②____．
在△BPC中，三角形三个内角和等于180°，
∴____③____=180°，
∴∠BPC=180°−____④____（等式的性质）
=____⑤____．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解
题的关键．
根据角平分线的定义求出∠PBC,∠PCB的值，后根据三角形内角和求解即可．
【详解】解：∵ BP平分∠ABC，（已知），
1 1
∴∠PBC= ∠ABC= ×80°=40°．
2 2
1 1
同理可得∠PCB= ∠ACB= ×50°=25°．
2 2
在△BPC中，三角形三个内角和等于180°，
∴ ∠BPC+∠PBC+∠PCB =180°，
∴∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB（等式的性质）
=115°．
【变式3-1】（2025·河南信阳·三模）如图，Rt△ABC中，∠B=50°，∠C=90°，线段
AD是∠CAB的平分线，∠ADB的度数为（ ）
A．80° B．100° C．110° D．150°
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的计算，熟练掌握三角形的内角和
定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得∠BAC=40°，再根据角平分线的定义可得
∠BAD=20°，然后根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】解： 在△ABC中，∠B=50°，∠C=90°，
∴∠BAC=18∵0°−50°−90°=40°，
AD平分∠BAC，
∴∵ ∠BAD=20°，
∴∠ADB=180°−∠B−∠BAD=110°，
故选：C．
【变式3-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，点O是△ABC内一点，OA、OC分
别平分∠BAC、∠BCA，∠B=64°，则∠O= ．
【答案】122°/122度
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定
1
理，并掌握整体法是解题的关键．利用角平分线定义得出∠OAC= ∠BAC，
2
1
∠OCA= ∠BCA，再利用三角形内角和定理得出∠BAC+∠BCA=116°，则可得
2
1
∠OAC+∠OCA= (∠BAC+∠BCA)=58°，再利用三角形内角和定理求解即可．
2
【详解】解：∵OA、OC分别平分∠BAC、∠BCA，
1 1
∴∠OAC= ∠BAC，∠OCA= ∠BCA，
2 2
∵∠B=64°，
∴∠BAC+∠BCA=180°−∠B=116°，
1 1 1 1
∴∠OAC+∠OCA= ∠BAC+ ∠BCA= (∠BAC+∠BCA)= ×116°=58°，
2 2 2 2
∴∠C=180°−∠OAC−∠OCA=180°−(∠OAC+∠OCA)=180°−58°=122°，
故答案为：122°．【变式3-3】（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，在△ABC中，AD，CE是
△ABC的角平分线，∠BAC=60°,∠ACE=40°，则∠AOC= ．
【答案】110°/110度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由角平分线的定义可
得∠OAC的度数，再由三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
1
∴∠OAC= ∠BAC=30°，
2
又∵∠ACE=40°，∠AOC+∠OAC+∠OCA=180°，
∴∠AOC=110°，
故答案为：110°．
①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角
②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不
相 邻的任何一个角。
【题型4 三角形外角性质】
【典例4】（2025·内蒙古包头·二模）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°,∠3=20°，则∠2的度数等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质求出∠4，根据三角形的外角的性质计算即可．本题考查了
平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图：
∵AB∥CD
，
∴∠4=∠2，
∵∠4=∠1+∠3=50°，
∴∠2=50°，
故选：C．
【变式4-1】（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如图，∠A=45°，∠B=55°，则
∠DCA的度数为（ ）
A．100° B．80° C．55° D．90°
【答案】A
【分析】此题考查了三角形外角的性质．∠DCA是△ABC的外角，∠A=45°，
∠B=55°，利用三角形外角的性质即可求出∠DCA的度数．
【详解】解：∵∠A=45°，∠B=55°，∠DCA是△ABC的外角，
∴∠DCA=∠A+∠B=45°+55°=100°，
故选：A
【变式4-2】（2023·四川宜宾·中考真题）如图， AB∥CD，且∠A=40°，∠D=24°，则∠E等于（ ）
A．40° B．32° C．24° D．16°
【答案】D
【分析】可求∠ACD=40°，再由∠ACD=∠D+∠E，即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠A=40°，
∵∠ACD=∠D+∠E，
∴24°+∠E=40°，
∴∠E=16°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的
关键．
一、单选题
1．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，
若∠ACD=40°，则∠BCD=（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．由直角三角形的性质求出∠A=50°，由等腰三角形的性质得到
1
∠B=∠ACB= ×(180°−50°)=65°,即可求出∠BCD的度数．
2
【详解】解：∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=90°,
∴∠A=90°−∠ACD=90°−40°=50°,
∵AB=AC,
1
∴∠B=∠ACB= ×(180°−50°)=65°,
2
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=65°−40°=25°.
故选：C．
2．（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，已知点O是ΔABC内一点，且点O到△ABC
三边的距离相等，若∠A=80°，则∠BOC=（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，由题意可知点
1 1
O为△ABC的三条角平分线的交点，可得∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，可得∠OBC+∠OCB的度数，再根据
三角形内角和定理求出∠BOC的度数即可．正确得出点O为△ABC的三条角平分线
的交点是解题的关键．
【详解】解：∵点O到△ABC三边距离相等，
∴点O为△ABC的三条角平分线的交点，
1 1
∴ ∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=100°，1
∴ ∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=50°，
2
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=130°，
故选：D．
3．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中
∠AOB的度数为（ ）
A．45° B．50° C．110° D．105°
【答案】D
【分析】本题考查三角形的外角性质，根据三角板的度数以及三角形的外角性质求解即
可．
【详解】解：如图，
由题意，∠ACO=45°−30°=15°，∠A=90°，
∴∠AOB=∠A+∠ACO=90°+15°=105°，
故选：D
二、填空题
4．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，
∠B=39°，∠ACD=110°，则∠A等于 ．
【答案】71°/71度【分析】本题考查的是三角形的外角性质．根据“三角形的一个外角等于和它不相邻
的两个内角的和”即可求解．
【详解】解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠B+∠A，
∵∠B=39°，∠ACD=110°，
∴∠A=∠ACD−∠B=110°−39°=71°，
故答案为：71°．
5．（24-25八年级上·河南开封·期中）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，
则∠BAC的度数为 ．
【答案】75°/75度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，根
据等边对等角求得度数是解题的关键．
根据题意，由AB=AD可得∠B=∠ADB=70°，进而根据AD=CD，可得
∠DAC=∠ACD，根据三角形的外角性质可得∠ADB=∠DAC+∠ACD=70°，
进而可得∠ACD=35°，根据三角形内角和定理即可得解．
【详解】解：∵AB=AD，∠B=70°，
∴∠B=∠ADB=70°，
∵AD=CD，
∴ ∠DAC=∠ACD，
∵∠ADB=∠DAC+∠ACD=70°，
∴∠DAC=∠ACD=35°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠ACD=180°−70°−35°=75°，
故答案为：75°．
6．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是某款婴儿车的几何示意图，若AD∥BC，
∠1=125°，∠3=40°，则∠2的度数是 °．【答案】95
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，先证明∠A=∠3=40°，
∠ADE=180°−∠1=55°，再利用三角形的外角的性质解答即可．
【详解】∵AD∥BC，∠1=125°，∠3=40°，
∴∠A=∠3=40°，∠ADE=180°−∠1=55°，
∴∠2=∠A+∠ADE=40°+55°=95°．
故答案为：95
三、解答题
7．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）如图，AD平分∠BAC,∠EAD=∠EDA．
(1)求证：∠EAC=∠B；
(2)若∠B=45°,∠CAD:∠E=2:5，求∠E的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)50°
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的外角的性质、三角形内角和定理、
一元一次方程的应用等知识点，审清题意、灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）由角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再结合∠EAD=∠EDA运用三角形
外角的性质即可解答；
（2）设∠CAD=2x°，则∠E=5x°，易得∠EAC=∠B=45°、
∠EAD=∠EDA=(2x+45)°，再根据三角形内角和定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠EAD−∠CAD=∠EDA−∠BAD=∠B；
（2）解：设∠CAD=2x°，则∠E=5x°，
∵∠B=45°，
∴∠EAC=∠B=45°，
∴∠EAD=∠EDA=(2x+45)°，
在△EAD中，∠E+∠EAD+∠EDA=180°，
∴5x+2(2x+45)=180，解得：x=10．
∴∠E=50°．
8．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．
(1)若∠B=32°，∠C=60°，求∠DAC和∠DAE的度数．
(2)若AB⊥AC，AC=6，AB=8，求AD的长．
【答案】(1)∠DAC=30°，∠DAE=14°
(2)4.8
【分析】本题考查了三角形的高与角平分线，勾股定理．
（1）先根据三角形内角和性质得∠BAC=88°，再结合角平分线的定义得
∠EAC=44°，再结合AD是高，得出∠DAC的度数，再根据角的关系进行运算得出
∠DAE的度数，即可作答；
（2）先根据勾股定理求出AB，再运用等面积法进行列式
1 1
S = ×AB×AC= BC×AD，代入数值进行化简，即可作答．
△ABC 2 2
【详解】（1）解：∵∠B=32°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−32°−60°=88°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
1
∴∠EAC= ∠BAC=44°，
2
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=60°，∴∠DAC=90°−∠C=30°，
∴∠DAE=∠EAC−∠DAC=44°−30°=14°，
∴∠DAC的度数为30°，∠DAE的度数为14°；
（2）解：∵AB⊥AC，AC=6，AB=8，
∴ ，
BC=❑√AB2+AC2=❑√82+62=10
又∵AD是高，
1 1
∴S = ×AB×AC= BC×AD，即AB×AC=BC×AD，
△ABC 2 2
AB×AC 6×8
∴AD= = =4.8．
BC 10
9．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的
高和角平分线，若∠B=30°，∠C=80°，求∠DAE的度数．
【答案】25°
【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质等知识；解题
的关键是掌握，三角形内角和为180°，角平分线平分角．
根据三角形内角和定理为180度，得∠BAC，根据三角形角平分线平分∠BAC，三
角形高为直角，即可求出∠DAE的度数．
【详解】解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°且∠B=30°，∠C=80°
∴∠BAC=70°
∵AE是△ABC的角平分线
∴∠BAE=35°
∴∠AED=∠B+∠BAE=65°，
又∵AD是△ABC的高
∴∠ADE=90°
∴∠EAD=180°−90°−65°=25°．
10．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上．(1)若∠1=∠2=35°，∠3=∠4，求∠DAC的度数；
(2)若AD为△ABC的中线，AB=9cm，AC=6cm，则△ABD的周长比△ACD的周长
大多少？
【答案】(1)∠DAC=40°
(2)3cm
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，
三角形中线的定义，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和，三
角形内角和为180度进行求解是解题的关键．
（1）根据三角形外角的性质得到∠3=∠4=∠1+∠2=70°，再根据三角形内角和定
理即可得到答案；
（2）根据三角形中线的定义得到BD=CD，再由三角形周长公式结合已知条件推出
AB−AC=3，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵∠1=∠2=35°，
∴∠3=∠1+∠2=70°，
∴∠3=∠4=70°，
∴∠DAC=180°−∠3−∠4=40°；
（2）解：AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴AB=9cm，AC=6cm，
∴AB−AC=3cm，
∴△ABD的周长比△ACD的周长大3cm．
