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第 01 讲 二次函数
知识点1：二次函数的概念
知识点2：二次函数的值
1. 二次函数的概念:
一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数.
其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．
注意：二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；
②化简后自变量的最高次数是2；
③二次项系数不为0．
2. 二次函数 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2．
⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项
注意：二次函数除了一般式y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外，
还有y=ax²，y=ax²+bx，y=ax²+c。
【题型1：列二次函数关系式】
【典例1】（2025九年级上·全国·专题练习）在△ABC中，已知边BC的长为x(x>0)，BC
边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（ ）
1 1 1
A．y= x(2x−1) B．y=− x(2x−1) C．y=x2+ x
2 2 21
D．y=−x2− x
2
【变式1】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8
万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是x，则该厂今年十一、十二
月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
w=8(1+x) 2 w=8+8(1+x)+8(1+x) 2
C． D．
w=8(1+x)+8(1+x) 2 w=8(1+x) 3
【变式2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若正方形的边长为6，边长增加x，面
积增加y，则y关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
y=(x+6) 2 y=x2+36
C．y=x2+12x D．y=x2+6x
【变式3】（24-25九年级下·全国·假期作业）已知正方体的棱长为xcm，它的表面积为
Scm2，体积为V cm3
(1)分别写出S与x、V与x之间的函数表达式；
(2)这两个函数中，哪一个是关于x的二次函数？
【题型2：二次函数的判断】
【典例2】（24-25九年级上·重庆永川·期中）下列函数表达式中，是二次函数的是（）
1
A．y= B．y=x+2 C．y=x2+1 D．y=(x+3) 2−x2
x
【变式1】（24-25九年级上·河南周口·期末）下列函数是二次函数的是（ ）
1
A．y=2x B．y= C．y=x(x−1) D．y=x2−x(x−1)
x
【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（
）
1 3
A．y=−x+2x2 B．y=2x+1 C．y= D．y= x
2x 5
【变式3】（24-25九年级下·福建泉州·开学考试）下列y关于x的函数中，属于二次函数的
是（ ）1 3
A．y=2x2−5x B．y=ax2+1 C．y= D．y= x
x 4
【题型3：利用二次函数的概念含参数取值范围】
【典例3】（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于 的函数 是二次函数，
a y=(1−m)a2+a
则m的取值范围是（ ）
A．m≠0 B．m>1 C．m<1 D．m≠1
【变式1】（23-24九年级上·广西河池·期中）若函数y=xa−2x+5为二次函数，则实数a=
．
【变式2】（24-25九年级上·广东江门·期中）当m= 时，函数
是二次函数．
y=(m−2)xm2−2−2x+1
【题型4：二次函数的一般形式】
【典例4】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数 ．
y=(x−2) 2−3x(x−1)
(1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式；
(2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数y=2x2−1的二次项系数、一次项
系数、常数项分别为（ ）．
A．2，0，−1 B．2，2，−1 C．2，2，1 D．2，0，1
【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数y=3x2−4x+5中，二次项系
数是 ，一次项系数是 ．
【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将二次函数 化为
y=(x−2) 2−3x(x+1)
一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
根据题意把x值代入函数解析式，求出y值即可。
【题型5：二次函数的函数值】【典例5】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）当x=1时，y=2x2−1的函数值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数y=ax2+2c，当x=2时，函数
值等于8，则下列关于a,c的关系式中，正确的是（ ）
A．a+2c=8 B．2a+c=4 C．a−2c=8 D．2a−c=4
【变式2】（22-23九年级上·广东广州·期末）已知函数y=x2−2x，x=a时，记函数值y为
f(a)，则f(−10) f(−1)（填写“>”“<”或“=”）．
一、单选题
1．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）下列的函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
1
A．y=ax2+bx+c B．y=2x−1 C．y=x2+ D．s=−t2
x
2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数y=3x2−5x+1的一次项系数是（ ）
A．−5 B．1 C．3 D．5
3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）若关于
x
的函数
y=(a−1)xa2+1−7x
的图象是抛物线，
则a的值为（ ）
A．−1 B．±1 C．1 D．0
4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）下列函数关系中，是二次函数的是（ ）．
A．生产100吨钢材，工作效率x和工作时间y之间的关系
B．当速度为100km/h时，汽车行驶的距离s与时间t之间的关系
C．长方形的周长一定时，长方形的长y与宽x之间的关系
D．圆的面积s与半径r之间的关系
5．（24-25九年级上·新疆巴音郭楞·期末）二次函数y=3x2+6x+5的常数项是（ ）
A．−5 B．3 C．5 D．6
二、填空题6．（2025九年级上·全国·专题练习）若 是二次函数，则 ．
y=3xm2−2 m=
7．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线 的开口向下，那么 的取值范
y=(k+2)x2+6x−5 k
围是 ．
8．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销
售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则
10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ．
9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）二次函数y=x❑ 2−6x+k的图象经过原点，
则k的值是 ．
三、解答题
10．（2025九年级下·全国·专题练习）已知关于
x
的函数
y=(m2+m)xm2−2m+2+2x−1
．
(1)若该函数为二次函数，求m的值；
(2)若该函数为一次函数，求m的值．
