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第 01 讲 二次函数
课程标准 学习目标
1. 掌握二次函数概念，能够通过二次函数的概念解决
相关题目。
①二次函数的定义
2. 掌握 型二次函数的图像与性质，能够熟练
② 的图像与性质
解决有关题目。
③ 的平移与一般形式的平移
3. 掌握二次函数 与 的平移，
并能够通过平移规律解决相关题目。
知识点01 二次函数的定义
1. 二次函数的定义：
一般地，形如 的函数叫做二次函数。
其中： 是自变量， 是函数解析式的 二次项系数 ； 是函数解析式 一次项系数 ； 是函数
解析式的 常数项 。 又是二次函数的 一般形式 。
判断二次函数时，把二次函数化为 一般形式 ，右边一定要是 整式 ，最高次数是 2
且二次项系数 不等于 0 。题型考点：①判断二次函数关系。②根据二次函数定义求值。
【即学即练1】
1．如图，正方形ABCD和 O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的
面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系
⊙
分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系
【解答】解：由题意得，
4y+2 x＝20，
∴2y+ x＝10，
π
π
∴y＝ ，
即y与x是一次函数关系，
∵S＝y2﹣ x2，
即满足二次函数关系，
π
故选：B．
【即学即练2】
2．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C．y＝2x2﹣2x+2 D．y＝2x+2
【解答】解；A． ，关系式不是整式，故不是二次函数；
B． ，关系式不是整式，故不是二次函数；
C．y＝2x2﹣2x+2，自变量的次数是2，且二次项的系数不为零，故是二次函数；
D．y＝2x+2，自变量的次数不是2，是一次函数，不是二次函数；
故选：C．
【即学即练3】
3．已知y＝m x|m﹣2|+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．0或4
【解答】解：由题意得：|m﹣2|＝2，且m≠0，
解得：m＝4，
故选：C．知识点02 二次函数 的图像
1. 二次函数的图像：
二次函数的图像是一条 抛物线 ，有 开口方向 ， 顶点 ， 对称轴 。函数图像关
于对称轴对称。
2. 二次函数 的图像
（1）画函数图像的步骤：
①列表：列出 自变量 与 相应函数值 的表格。
②描点：在平面直角坐标系中找到相应的点的 位置 。
③连线：用一条圆滑的曲线把所有点连接起来。
（2）画二次函数 的函数图像。
列表：
描点与连线：在同一个坐标轴画出函数图像（自行画图）
【即学即练1】
4．把图中图象的号码，填在它的函数式后面：
（1）y＝3x2的图象是 ；（2）y＝ x2的图象是 ；
（3）y＝﹣x2的图象是 ；
（4）y＝ x2的图象是 （填序号①，②等）．
【解答】解：（1）、（2）二次项系数都＞0，那么开口都应向上，但|3|＞| |，那么（1）应对应3，
（2）应对应1；
（3）、（4）的二次项系数都＜0，那么开口都应向下，但|﹣1|＞|﹣ |，那么（3）应对应4，（4）应
对应2．
依次填3，1，4，2．
知识点03 二次函数 的性质
1. 二次函数 的性质：
由函数的图像可知二次函数的有关性质：
题
型
考 大致图像
点：
①
开口方向 开口向上 开口向下
二
顶点坐标 （ 0 ， 0 ） （ 0 ， 0 ）
次
对称轴 y 轴 y 轴
函
数
对称轴右边y随x的增大而 增大 对称轴右边y随x的增大而 减小
性 。 。
增减性
质 对称轴左边y随x的增大而 减小 对称轴左边y随x的增大而 增大
的 。 。
熟 函数值有最 小 值 函数值有最 大 值
最值
悉。 这个值是 0 。 这个值是 0 。
②
根据性质求值。
【即学即练1】
5．填写下表：y＝ax2 a＞0 a＜0
图象
开口方向 向上 向下
对称性 关于 y 轴对称 关于 y 轴对称
顶点与最高、最低 顶点是最低点 顶点是最高点
点
【解答】解：当y＝ax2（a＞0）时，开口向上，图象关于y轴对称，顶点是最低点；
当y＝ax2（a＜0）时，开口向下，图象关于y轴对称，顶点是最高点；
故答案如下：
两列依次填写：向上，关于y轴对称，顶点是最低点；
向下，关于y轴对称，顶点是最高点．
【即学即练2】
6．已知二次函数y＝﹣ x2，下列说法正确的是（ ）
A．该抛物线的开口向上
B．顶点坐标是（0，0）
C．对称轴是直线x＝﹣
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【解答】解：A、∵a＝﹣ ＜0，∴开口向下，故错误，不符合题意；
B、顶点坐标是（0，0），正确，符合题意；
C、对称轴为直线x＝0，故错误，不符合题意；
D、∵a＝﹣ ＜0，∴开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，故错误，不符合题意，
故选：B．
【即学即练3】
7．抛物线y＝ax2与y＝x2的开口大小、形状一样、开口方向相反，则a＝ ．
【解答】解：∵y＝x2的二次项系数是1，
抛物线y＝ax2与y＝x2的开口大小、形状一样、开口方向相反，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．【即学即练4】
8．已知二次函数y＝（m﹣2）x2的图象开口向下，则m的取值范围是 ．
【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣2）x2的图象开口向下，
∴m﹣2＜0，
∴m＜2，
故答案为：m＜2．
知识点04 二次函数的平移
1. 函数的平移规律：
函数的平移分左右平移与上下平移，左右平移在 自变量 上进行加减，左 加 右 减 。
上下平移在 函数解析式 上进行加减，上 加 下 减 。
① 向左平移 个单位之后得到的函数解析式为 。
② 向右平移 个单位之后得到的函数解析式为 。
③ 向上平移 个单位之后得到的函数解析式为 。
④ 向下平移 个单位之后得到的函数解析式为 。
⑤ 向左右平移 个单位后在向上下平移 个单位得到的函数解析式为 。
⑥ 向左右平移 个单位后在向上下平移 个单位得到的函数解析式为：
。
题型考点：求平移后的函数解析式。
【即学即练1】
9．将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为 ．
【解答】解：将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为y＝3
（x+1）2﹣2．
故答案为：y＝3（x+1）2﹣2．
【即学即练2】
10．将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线为（ ）
A．y＝﹣3（x+1）2﹣3 B．y＝﹣3（x﹣1）2﹣3
C．y＝﹣3（x+1）2+5 D．y＝﹣3（x﹣1）2+5
【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线为：
y＝﹣3（x+1）2+1﹣4，即y＝﹣3（x+1）2﹣3．
故选：A．
【即学即练3】11．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单
位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4
【解答】解：将二次函数y＝（x+1）2+3的图集向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所
得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．
故选：B．
【即学即练4】
12．若抛物线y＝x2+2x﹣3不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向左平移 2个单位长度，再沿铅垂方向
向下平移3个单位长度，则原抛物线的解析式应变为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x﹣1）2﹣1 C．y＝（x+3）2﹣7 D．y＝x2+4
【解答】解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向左平移2个单位长度，再沿铅垂方向向下平移3个
单位长度，这个相当于把抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴原抛物线图象的解析式应变为y＝（x+1﹣2）2﹣4+3＝（x﹣1）2﹣1．
故选：B．
题型01 二次函数的定义
【典例1】
自由落体公式h＝ gt2（g为常量），h与t之间的关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．以上答案都不对
【解答】解：因为等号的右边是关于t的二次式，所以h是t的二次函数．
故选：C．
【典例2】
下列函数中：（1）y＝2（x﹣1）（x+4）； （2）y＝3（x﹣1）2+2；（3）y＝x2+ ； （4）y＝（x﹣
3）2﹣x2．不是二次函数的是（ ）
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）【解答】解：（1）y＝2（x﹣1）（x+4），是二次函数；
（2）y＝3（x﹣1）2+2，是二次函数；
（3）y＝x2+ ，含有分式，不是二次函数，符合题意；
（4）y＝（x﹣3）2﹣x2，整理后是一次函数，符合题意；
故不是二次函数的是：（3），（4）．
故选：B．
【典例3】
已知函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，则m的取值范围为（ ）
A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意实数
【解答】解：∵函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，
∴m+3≠0，
解得：m≠﹣3，
故选：C．
【典例4】
若y＝（a2+a） 是二次函数，那么（ ）
A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3
【解答】解：根据题意，得：a2﹣2a﹣1＝2
解得a＝3或﹣1
又因为a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1
所以a＝3．
故选：D．
题型02 二次函数 的图像与性质
【典例1】
如图所示，函数y＝ax2（a≠0）和y＝﹣ax+b（a≠0）在同一坐标系中的图象可能为（ ）A． B．
C． D．
【解答】解：当a＞0时，二次函数的开口向上，一次函数中一次项的系数﹣a＜0，图象将经过二四象
限，排除A，
当a＜0时，二次函数的开口向下，一次函数中一次项的系数﹣a＞0，图象将经过一三象限，排除B、
C．
故选：D．
【典例2】
对于函数y＝6x2，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而减小
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．y随x的增大而减小
D．y随x的增大而增大
【解答】解：∵a＝6＞0，对称轴为x＝0；
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
当x＜0时，y随x的增大而减小．
故选：B．
【典例3】
抛物线y＝x2与y＝﹣x2的图象的关系是（ ）
A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同
B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同
C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同
D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同
【解答】解：∵抛物线y＝x2与y＝﹣x2的二次项系数互为相反数，
∴其开口方向相反，顶点相同，对称轴相同，
故选：A．
【典例4】
若抛物线 的开口向下，则m的值为（ ）A． B． C．3 D．﹣3
【解答】解： 的开口向下，
3+m＜0，m2﹣10＝2，
m＜﹣3，m＝ ，
∴m＝﹣2 ，
故选：B．
【典例5】
下列四个二次函数：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③y＝ ，④y＝3x2，其中抛物线开口从大到小的排列
顺序是（ ）
A．③①②④ B．②③①④ C．④②①③ D．④①③②
【解答】解：∵ 1＜|﹣2|＜3，
∴抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④，
故选：A．
题型03 二次函数的平移
【典例1】
在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所
得函数的表达式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2﹣5 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣1
【解答】解：∵将二次函数y＝x2﹣2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1）2﹣2﹣3＝（x+1）2﹣5．
故选：A．
【典例2】
把二次函数y＝x2+2x+1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（
）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x+3）2﹣1
【解答】解：y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
将二次函数y＝（x+1）2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的二次函
数y＝（x+1﹣2）2+1，即y＝（x﹣1）2+1．
故选：C．【典例3】
要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（ ）
A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
【解答】解：∵y＝2（x﹣4）2+1的顶点坐标为（4，1），y＝2x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝2x2向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1．
故选：C．
【典例4】
若抛物线 向右平移m个单位长度后经过点（3，3），则m＝（ ）
A．﹣2 B．﹣2或4 C．2或4 D．2或﹣4
【解答】解：设把抛物线 向右平移m个单位长度后得到 ，
∵经过点（3，3），
∴ ，
解得：m＝﹣2或m＝4．
故选：B．
【典例5】
将二次函数y＝ax2﹣8ax+2的图象向左平移m（m＞0）个单位后过点（5，2），则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：将二次函数y＝ax2﹣8ax+2＝a（x﹣4）2+2﹣16a的图象向左平移m个单位后的函数解析式
为y＝a（x﹣4+m）2+2﹣16a，
∵平移后的图象经过点（5，2），a≠0，m＞0，
∴a（5﹣4+m）2+2﹣16a＝2，解得m＝3或m＝﹣5（舍去），
故选：B．
【典例6】
已知抛物线C ：y＝3x2﹣6x+1，抛物线C 是由抛物线C 向右平移4个单位得到的，那么我们可以得到抛
1 2 1
物线C 和抛物线C 一定关于某条直线对称，则这条直线为（ ）
1 2
A． B．x＝3 C．x＝2 D．【解答】解：∵y＝3x2﹣6x+1＝3（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线C 的顶点坐标为（1，﹣2），对称轴为x＝1，
1
根据平移的性质得：抛物线C 的顶点坐标为（5，﹣2），
2
∴抛物线C 的对称轴为x＝5，
2
∵x＝1和x＝5关于x＝3对称，
∴抛物线C ，C 关于x＝3对称．
1 2
故选：B．
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝x3+2
C．y＝（x﹣2）2﹣x2 D．y＝x（4﹣x）
【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，不符合题意；B、y＝x3+2中，x的次数是3，不是二次函数，不符合题意；
C、y＝（x﹣2）2﹣x2可化为y＝﹣4x+4是一次函数，不符合题意；
D、y＝x（4﹣x）可化为y＝4x﹣x2，是二次函数，符合题意．
故选：D．
2． 是二次函数，则m的值是（ ）
A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝±1
【解答】解：∵ 是二次函数，
∴m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝±1且m≠1，
∴m＝﹣1．
故选：B．
3．线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作
正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y， B的面积为
S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
⊙
A．正比例函数关系，反比例函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系
D．一次函数关系，反比例函数关系
【解答】解：y＝4t，属于正比例函数关系，
S＝ （5﹣t）2，属于二次函数关系，
故选：C．
π
4．下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1
【解答】解：选项A中，函数y＝x2+1，x＜0时，y随x的增大而减小；故A不符合题意；
选项B中，函数y＝﹣x2+1，x＞0时，y随x的增大而减小；故B不符合题意；
选项C中，函数y＝2x+1，y随x的增大而增大；故C不符合题意；
选项D中，函数y＝﹣2x+1，y随x的增大而减小．故D符合题意；
故选：D．
5．对于函数y＝x2，下列判断中，正确的是（ ）
A．若m、n互为相反数，则x＝m与x＝n对应的函数值相等
B．对于同一自变量x，有两个函数值与之对应
C．对于任意一个实数y，有两个x值与之对应
D．对于任何实数x，都有y＞0
【解答】解：A、∵函数y＝x2关于y轴对称，∴若m、n互为相反数，则x＝m与x＝n对应的函数值相等正确，故本选项正确；
B、应为对于同一自变量x，有一个函数值与之对应，故本选项错误；
C、对于任意一个实数y，有两个x值与之对应错误，例如，x＝0时，y有唯一的值0对应，故本选项错
误；
D、x＝0时，y＝0，所以对于任何实数x，都有y＞0错误，故本选项错误．
故选：A．
6．抛物线y＝﹣x2的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【解答】解：抛物线y＝﹣x2的开口向下，顶点坐标为（0，0），
所以抛物线一定经过第原点、第三、四象限．
故选：B．
7．在二次函数①y＝3x2；②y＝ x2，③y＝ x2中，图象在同一坐标系中的开口大小顺序，用题号表示
应该为（ ）
A．①＞②＞③ B．①＞③＞② C．②＞③＞① D．②＞①＞③
【解答】解：∵抛物线的开口大小是由二次项系数a的绝对值的大小确定，|a|越大则开口越小．
∴开口大小按题号顺序表示为②＞③＞①．
故选：C．
8．函数y＝kx﹣k与y＝kx2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由选项中的二次函数图象可得k＞0，
所以y＝kx﹣k过一，三，四象限．
故选：B．
9．已知抛物线y＝m 的图象是不在第一、二象限，则m＝ ．
【解答】解：∵y＝m 表示抛物线解析式，
∴m2+1＝2，解得m＝±1，又∵抛物线y＝m 的图象是不在第一、二象限，
∴抛物线开口向下，m＜0，故m＝﹣1．
10．已知二次函数 的图象开口向下，则m的值是 ．
【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
11．如图所示，四个函数图象对应的解析式分别是：①y＝ax2，②y＝bx2，③y＝cx2，④y＝dx2，则
a，b，c，d的大小关系是 ．
【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，c），
（1，d），
所以，a＞b＞c＞d．
故答案为：a＞b＞c＞d．
12．已知二次函数y＝x2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 2 ﹣1 ﹣2 m 2 …
则m的值为 ．
【解答】解：把x＝﹣1，y＝2和x＝0，y＝﹣1代入y＝x2+bx+c ，解得 ，
所以二次函数为y＝x2﹣2x﹣1，
当x＝2时，y＝4﹣4﹣1＝﹣1，所以m＝﹣1．
故答案为﹣1．
13．已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3．
（1）求当x＝﹣2时，y的值．
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向．
【解答】解：（1）把x＝3，y＝3代入y＝ax2得，
a•32＝3，解得a＝ ，
所以这个二次函数的表达式为y＝ x2；
当x＝﹣2时，y＝ ×（﹣2）2＝ ；
（2）∵y＝ x2，a＝ ＞0，
∴图象开口向上；
对称轴是直线x＝0，顶点坐标是（0，0）．
14．已知y＝（k+2）x 是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
【解答】解：（1）根据题意得k+2≠0且k2+k﹣4＝2，解得k ＝﹣3，k ＝2，
1 2
∵二次函数当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴二次函数的图象的开口向下，即k+2＜0，
∴k＝﹣3；
（2）由（1）得y＝﹣x2，
∴顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．
15．已知抛物线y＝ （x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另
外一点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）试判断△ABC的形状并说明理由．
【解答】解：如图，（1）抛物线y＝ （x﹣5）2的顶点为A（5，0），
由x＝0，则y＝5，抛物线与y轴交，点B为（0，5），
因为对称轴为直线x＝5，所以点C的坐标为（10，5）；
（2）S△ABC ＝ ×10×5＝25；
（3）AB＝AC＝5 ，BC＝10，
∵AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
