文档内容
考向 33 双曲线
1.（2022·全国乙（理）T11）11. 双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D
的切线与C的两支交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ， ，
由 ，即 ，则 ， ， ，
在 中，
，
由正弦定理得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线的离心率
2.（2022·全国甲（文）T15） 记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线
与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足 皆可）
【解析】 ，所以C的渐近线方程为 ,
结合渐近线的特点，只需 ，即 ，
可满足条件“直线 与C无公共点”，所以 ，
又因为 ，所以 ，，故答案为：2（满足 皆可）3.（2022·全国甲（理）T14）. 若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
_________．
【答案】
【解析】双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
4.（2022·北京卷T12）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 __________．
【答案】
【解析】对于双曲线 ，所以 ，即双曲线的标准方程为 ，
则 ， ，又双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，即 ，解得 ；
5.（2022·浙江卷T16） 已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率
是_________．
【答案】
【解析】过 且斜率为 的直线 ，渐近线 ，
联立 ，得 ，由 ，得
而点 在双曲线上，于是 ，解得： ，所以离心率 .
6.（2022·新高考Ⅰ卷T21） 已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两点，
直线 的斜率之和为0．
（1）求l的斜率；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1） ； （2） ．
【解析】（1）因为点 在双曲线 上，所以 ，解得 ，即双曲线
易知直线l的斜率存在，设 ， ，
联立 可得， ，
所以， ， ．
所以由 可得， ，
即 ，
即 ，
所以 ，
化简得， ，即 ，
所以 或 ，
当 时，直线 过点 ，与题意不符，舍去，
故 ．
（2）不妨设直线 的倾斜角为 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
即 ，解得 ，
于是，直线 ，直线 ，联立 可得， ，
因为方程有一个根为 ，所以 ， ，
同理可得， ， ．
所以 ， ，
点 到直线 的距离 ，
故 的面积为 ．
7.（2022·新高考Ⅱ卷T21） 设双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为
．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且
．过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M，请从下面①②③中选
取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）右焦点为 ，∴ ,∵渐近线方程为 ，∴ ，∴ ，∴
，∴ ，∴ ．
∴C的方程为： ；
（2）由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴
上，即为焦点 ,此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，已知不符；
总之，直线 的斜率存在且不为零.
设直线 的斜率为 ,直线 方程为 ,
则条件① 在 上，等价于 ；
两渐近线的方程合并为 ,
联立消去y并化简整理得：
设 ,线段中点为 ,则 ,
设 ,
则条件③ 等价于 ,
移项并利用平方差公式整理得：
，,即 ,
即 ；
由题意知直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 ,
∴由 ,
∴ ,
所以直线 的斜率 ,
直线 ,即 ,
代入双曲线的方程 ,即 中，
得： ,
解得 的横坐标： ,
同理： ，
∴
∴ ,
∴条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上，等价于 ；条件② 等价于 ；
条件③ 等价于 ；
选①②推③:
由①②解得： ,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得： ， ，
∴ ，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得： ， ，∴ ，
∴ ，∴①成立.
1.“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧
(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用．
(2)技巧：经常结合||PF|－|PF||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF||PF|的联系．
1 2 1 2
2.用待定系数法求双曲线方程的步骤：
(1)作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；
(2)设方程：根据上述判断设方程－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)；
(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组；
(4)得方程，解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
3.双曲线＋＝1(mn＜0)的渐近线方程为＋＝0；以mx＋ny＝0为渐近线的双曲线方程可设为(mx)2－(ny)2＝λ(λ≠0)．
4.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，b，c的方程或不等式，
利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
1．双曲线中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF| ＝a＋c，|PF| ＝c－a.
1 2 1min 2min
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为
2a.
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则
直线PA与PB的斜率之积为.
(5)过双曲线焦点F 的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F 构成的△ABF 的周长为4a＋2|
1 2 2
AB|.
2．巧设双曲线方程
(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
3.双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐
近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2；
1．集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|FF|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
1 2 1 2
(1)当2a<|FF|时，P点的轨迹是双曲线．
1 2
(2)当2a＝|FF|时，P点的轨迹是两条射线．
1 2
(3)当2a>|FF|时，P点不存在．
1 2
2．双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x2，y2前的系数的正负．
3．关于双曲线离心率的取值范围问题，不要忘记双曲线离心率的取值范围是(1，＋∞)．
4.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1 (a>0，b>0)的两条渐近线方程．
一、单选题
1．已知双曲线的一个顶点是 ，其渐近线方程为 ，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
2．设 ， 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上的一点，且 ，则 的面积
等于（ ）
A．24 B． C． D．30
3．已知点F是双曲线 的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点
Q是双曲线渐近线上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线 ： 的离心率为2，则 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．若双曲线 的一个焦点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率为（ ）A． B． C．2 D．
6．已知双曲线C经过点 ，且对称轴都在坐标轴上，其渐近线方程为 ，测双曲线C的标准方程
为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线 满足 ，且与椭圆 有公共焦点，则双曲线 的方程
为（ ）
A． B．
C． D．
8．设双曲线C： 的左、右焦点分别为 、 ，过 且斜率为 的直线与双曲线C
的右支交于点A．若 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
二、多选题
9．已知双曲线 经过点 ，则（ ）
A． 的实轴长为 B． 的焦距为
C． 的离心率为 D． 的渐近线方程是
10．已知 为双曲线 的两个焦点， 为双曲线 上任意一点，则（ ）A． B．双曲线 的渐近线方程为
C．双曲线 的离心率为 D．
11．已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，过 作倾斜角为 的直线分别交 轴
与双曲线右支于点 ， ，下列判断正确的是（ ）
A． ， B．
C． 的离心率等于 D． 的渐近线方程为
12．（多选）已知点P在双曲线C： 上， ， 分别是双曲线C的左、右焦点，若 的面
积为20，则（ ）
A．点P到x轴的距离为 B．
C． 为钝角三角形 D．
三、填空题
13．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线与双曲线的左右两支分别交于 ，
两点.若 ，且 ，则该双曲线的离心率为___________.
14．已知双曲线 的实轴为 ，对于实轴 上的任意点 ，在实轴 上都存
在点 ，使得 ，则双曲线 的两条渐近线夹角的最大值为___________；15．已知 ， 分别是双曲线C： 的左右焦点，双曲线C的右支上一点Q满足 ，O
为坐标原点，直线 与该双曲线的左支交于P点，且 ，则双曲线C的渐近线方程为______．
16．已知F是椭圆 ： （ ）的右焦点，A为椭圆 的下顶点，双曲线 ：
（ ， ）与椭圆 共焦点，若直线 与双曲线 的一条渐近线平行， ， 的离心率分别为 ，
，则 的最小值为______．
一、单选题
1．（2022·河南洛阳·三模（文））设 ， ， 满足 ，且 ，
则 的面积为（ ）
A．3 B． C．9 D．
2．（2022·四川凉山·三模（理））如果一双曲线的实轴及虚轴分别是另一双曲线的虚轴及实轴，则称此两
双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线 ， 互为共轭双曲线， 的焦点分别为 ， ，顶点分别为 ，
， 的焦点分别为 ， ，顶点分别为 ， ，过四个焦点的圆的面积为 ，四边形 的面积
为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．3．（2021·广东惠州·一模）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆
锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕
普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他
指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当 时，轨迹为椭圆；
当 时，轨迹为抛物线；当 时，轨迹为双曲线.现有方程 表示的曲线
是双曲线，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·安徽合肥·三模（理））图上半部分为一个油桃园．每年油桃成熟时，园主都要雇佣人工采摘，
然后沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C处销售．路径1：先将油桃集中到A处，再沿
公路 运送；路径2：先将油桃集中到B处，再沿公路 运送．已知 ， ．为了减少
运送时间，园主在油桃园中画定了一条界线，使得位于界线一侧的采摘工按路径1运送路程较近，另一侧
的采摘工按路径2运送路程较近若这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
5．（2021·江西南昌·二模（理））将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲
线 的图象绕原点逆时针旋转 后，能得到反比例函数 的图象（其渐近线分别为 轴和
轴）；同样的，如图所示，常见的“对勾函数” 也能由双曲线的图象绕原点旋转得
到（其渐近线分别为 和 轴）．设 ， ，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长
为（ ）A． B．4 C． D．
6．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知 为焦点在 轴上的双曲线，其离心率为 ， 为 上一
动点（除顶点），过点 的直线 ， 分别经过双曲线的两个顶点，已知直线 的斜率 ，则直线
的斜率 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·辽宁·抚顺市第二中学模拟预测）在抚顺二中运动会开幕式中，某班级的“蝴蝶振翅”节目获得
一致称赞，其形状近似于双曲线，在“振翅”过程中，双曲线的渐近线与对称轴的夹角 为某一范围内变
动， ，则该双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·新疆·布尔津县高级中学三模（理））已知 分别为双曲线 的左右顶点， 为双曲
线的右焦点，动点 到 的距离是到 的距离的3倍，若点 的轨迹与双曲线的渐近线的公共点为 ，
则 的面积是（ ）A． B．1 C． D．2
二、多选题
9．（2021·广东·模拟预测）已知方程 ，则（ ）
A．存在实数 ，该方程对应的图形是圆，且圆的面积为
B．存在实数 ，该方程对应的图形是平行于 轴的两条直线
C．存在实数 ，该方程对应的图形是焦点在 轴上的双曲线，且双曲线的离心率为
D．存在实数 ，该方程对应的图形是焦点在 轴上的椭圆，且椭圆的离心率为
10．（2022·广东茂名·模拟预测）双曲线具有如下光学性质：如图 ， 是双曲线的左、右焦点，从右焦
点 发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点 ．若双曲
线C的方程为 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．当n过 时，光由 所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则D．若 ，直线PT与C相切，则
11．（2021·湖北湖北·模拟预测）初中学习过反比例函数 ，( )，了解其图像是关于原点 中心对
称的双曲线.下列关于双曲线 ，( )的几何性质正确的是（ ）
A．实轴和虚轴长都为 B．焦点坐标为 ，
C．离心率 D．渐近线方程为 ，对称轴方程为
12．（2021·湖南湘潭·一模）已知双曲线 （ ， ）的左，右焦点为 ， ，右顶点
为 ，则下列结论中，正确的有（ ）
A．若 ，则 的离心率为
B．若以 为圆心， 为半径作圆 ，则圆 与 的渐近线相切
C．若 为 上不与顶点重合的一点，则 的内切圆圆心的横坐标
D．若 为直线 （ ）上纵坐标不为0的一点，则当 的纵坐标为 时，
外接圆的面积最小
三、填空题
13．（2021·全国·模拟预测）已知△ABC为等边三角形，点O为△ABC的中心，若以A、O为双曲线E的
两顶点，且双曲线E过点B，则双曲线E的离心率为 _____________.
14．（2021·江西·临川一中实验学校模拟预测（文））已知圆 上有一动点 ， 轴上有一定点
，直线 垂直平分线段 ，且直线 和直线 交于点 ，设点 的运动轨迹为曲线 ，则曲线
的离心率为___________.15．（2022·辽宁丹东·一模）设双曲线 的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上， 的顶点 在 轴上，
顶点 在 的左支上，直线 分别与 的右支交于 两点，若 ，且 ，则 的
渐近线方程为___________.
16．（2022·广东广州·二模）写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程__________．
①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为 ﹔③焦距大于10
1．(2021年高考全国甲卷理科)已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为 ( )
A． B． C． D．
2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两
条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C： (a>0，b>0) 的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，离
心率为 ．P是C上一点，且FP⊥FP．若△PFF 的面积为4，则a= ( )
1 2 1 2
A．1 B．2 C．4 D．8
4．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)双曲线C： =1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O
为坐标原点，若 ，则△PFO的面积为 ( )A． B． C． D．
5．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设 为双曲线 的右焦点， 为坐标
( )
原点，以 为直径的圆与圆 交于 ， 两点，若 ，则 的离心率为
(
)
A． 2 B． 3 C． D． 5
6．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设 是双曲线 的左、右焦点，
是坐标原点，过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的离心率为(
)
A． B． C． D．
7．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为(
)
A． B． C． D．
8．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知双曲线 , 为坐标原点， 为 的右焦点,过
的直线与 的两条渐近线的交点分别为 ．若 为直角三角形,则
( )
A． B． C． D．
x2 y2
C: 1a0,b0
a2 b2
9．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线 的一条渐近线方程为
5 x2 y2
y x 1
2 ,且与椭圆 12 3 有公共焦点，则 C 的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
1 1 1 1
8 10 4 5 5 4 4 3
A． B． C． D．x2 y2
1
C: a2 b2 a0 b0
10．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科)若双曲线 ( ， )的一条渐近线被圆
x22 y2 4
C
所截得的弦长为2，则 的离心率为 ( )
2 3
A．2 B． 3 C． 2 D． 3
11．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知 是双曲线 的左，右焦点，点 在 上，
与 轴垂直， ,则 的离心率为 ( )
A． B． C． D．2
12．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离
为4，则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
1．【答案】C
【解析】由题意得： 双曲线的一个顶点是 ，
焦点在 轴上，设双曲线方程为 ，
渐近线方程为 ， ， ， 该双曲线的标准方程为 ．故选：C
2．【答案】A
【解析】由 ，可得
又 是是双曲线 上的一点，则 ，
则 ， ，又
则 ，则
则 的面积等于
故选：A
3．【答案】B
【解析】由双曲线方程可得，点F坐标为 ，将 代入双曲线方程，得 ，
由于点P在第一象限，所以点P坐标为 ，
双曲线的渐近线方程为 ，点P到双曲线的渐近线的距离为 ．
Q是双曲线渐近线上的动点，所以 的最小值为 ．
故选：B．
4．【答案】D
【解析】由已知可得 ，∴ ，渐近线方程为 .
故选：D.
5．【答案】C
【解析】依题意得，双曲线的一条渐近线为 ，一个焦点为 ，根据点到直线的距离公式：
，于是 ，离心率 .故选：C
6．【答案】B
【解析】依题意设双曲线方程为 ，又双曲线过点 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线方程为 ；
故选：B
7．【答案】A
【解析】由椭圆的标准方程为 ，可得 ，即 ，
因为双曲线 的焦点与椭圆 的焦点相同，所以双曲线 中，半焦距 ，
又因为双曲线 满足 ，即 ，
又由 ，即 ，解得 ，可得 ，
所以双曲线 的方程为 .
故选：A．
8．【答案】D
【解析】由题意可知 ，
由双曲线的定义可得 ，
设 ，则 ，进而有 ，
由余弦定理可得，
，
则有 ，
化简得 即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：D
9．【答案】BC
【解析】由题意得 ，得 即双曲线方程为 ．
所以，双曲线的实轴长是 ，焦距是 ，离心率为 ，渐近线方程是
故BC正确，AD错误，
故选：BC
10．【答案】CD
【解析】双曲线 ： 焦点在 轴上， ， ，
对于A选项， ，而 点在哪支上并不确定，故A错误
对于B选项，焦点在 轴上的双曲线渐近线方程为 ，故B错误
对于C选项， ，故C正确，对于D选项，
设 ，则 （ 时取等号）
因为 为 的中点，所以 ，故D正确
故选：CD
11．【答案】BCD
【解析】如下图所示，因为 ，即 为 中点， 为 中点，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ， ，A错误，B正确；
由 知： ，又 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，解得： ，C正确；
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 的渐近线方程为 ，D正确．
故选：BCD．
12．【答案】BC
【解析】设点 ．因为双曲线 ，所以 ．
又 ，所以 ，故A错误．
将 代入 得 ，得 ．
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为 ，得 ．
由双曲线的定义得 ，所以 ，故B正确．
在 中， ，且 ，则 为钝角，所以 为钝角三角形，故C正确．
由余弦定理得 ，所以 ，故D错误．
故选：BC．
13．【答案】
【解析】因为 在双曲线的左右支上，所以 ，
① ②得， ，即 ，又 ，所以 ，得 ，又 ,
所以离心率 .
故答案为： .
14．【答案】
【解析】对于实轴 上的任意点 ，在实轴 上都存在点 ，使得 ，
当点 位于原点时，则要 ，才能满足要求，
所以 ，设渐近线与x轴的夹角为 ，则 ，
因为 ，则双曲线 的两条渐近线夹角为 ，
故答案为：
15．【答案】【解析】
设 ，则 ， ．由双曲线的定义知， ， ，∴
， ．又 ，∴ ．在 中，有
，∴ ①．在 中，有 ，∴
②，由②化简可得 ，将其代入①中，得 ，即
，
∴双曲线的渐近线方程为 ．
故答案为： ．
16．【答案】
【解析】设 的半焦距为c（ ），则 ，又 ，
所以 ，又直线 与 的一条渐近线平行，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，即 的最小值为 ．
故答案为：
一、单选题
1．【答案】A
【解析】依题意 ， ，所以 ，
又 ，即 ，所以 ，
所以 ；
故选：A
2．【答案】A
【解析】不妨设 ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
，当且仅当 时等号成立
故选：A．
3．【答案】C
【解析】已知方程可以变形为 ，即 ，
∴
其表示双曲线上一点 到定点 与定直线 之比为常数 ，又由 ，可得 ，
故选：C.
4．【答案】C
【解析】由题意可知，假设曲线E上一点为P，
则满足 时，由P点到C点的两条路径一样长，
即 ，即点P的轨迹为双曲线的左支，
当在双曲线左边时，按路径1运送，当在双曲线右边时，按路径2运送，
结合题意曲线E应为双曲线左支与油桃园的交集部分，
故选：C.
5．【答案】C
【解析】旋转后两条渐近线分别为 和 ，夹角为 ，
旋转前后两条渐近线的夹角不变，实轴所在直线是两条渐近线所夹角的平分线，
所以旋转后，双曲线的实轴所在直线的倾斜角为 ，斜率为 ，方程为 ，
联立 ，解得 或 ，
所以旋转后的双曲线的两个顶点为 或 ，
所以实轴长为 .
故选：C
6．【答案】C
【解析】设双曲线的方程为 为 上一动点，上顶点 下顶点
离心率为 ，即 可得
直线 为直线PA, 直线 为直线PB,则 ，
，又 ， ，可得 ，
故选：C
7．【答案】C
【解析】双曲线的渐近线为 ，由题可知双曲线的渐进线方程倾斜角的范围是 ，
， ，即 ，
故选：C
8．【答案】C
【解析】双曲线 的左顶点 ，右顶点 ，右焦点 ，渐近线方程为 ，
设 ，由 得： ，
所以点M的轨迹方程为 ，
由 得 ，即点 ，
，点 到直线CD： 的距离 ，
的面积是 .
故选：C
9．【答案】CD
【解析】对于A：若存在，只需 ，即 ，得 ，可取 ，
方程即为： ，圆的半径满足 ，故圆面积为： ，故A错；对于B：令 ，则必有 ，方程化为： ，显然不成立，故B错误；
对于C：取 ，得 ，取 ，则方程为： ，为等轴双曲线的方程，故离
心率为 ，故C正确；
对于D：将方程化为标准形式： ，故 ， ，则由已知得
，整理得 ，解得 ，该方程显然有解，故
D正确．
故选：CD．
10．【答案】CD
【解析】对于A：若 ，则 .
因为P在双曲线右支上，所以 .由勾股定理得：
二者联立解得： .故A错误；
对于B：光由 所经过的路程为
.故B错误；
对于C：双曲线 的方程为 .设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当 与 同向共线时， 的方向为 ，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为 .即 .
故C正确.
对于D：设直线PT的方程为 .
，消去y可得： .
其中 ，即 ，解得
代入 ，有 ，解得：x=9.
由P在双曲线右支上，即 ，解得： （ 舍去），所以 .所以 .
故D正确
故选：CD
11．【答案】CD
【解析】反比例图象为特殊双曲线，其渐近线为两坐标轴，即a=b，即为等轴双曲线，
不妨令 ，则实轴为 ，
对于A：当 时， 与 的交点为 ， ，即为实轴两个端点，
所以实轴 ，所以实轴和虚轴长都为 ，故A错误；
对于B： ，解得 ，
设焦点坐标 ，则 ，解得 ，
所以焦点坐标为 ， ，故B错误；
对于C：因为a=b，所以离心率 ，故C正确；
对于D：渐近线方程为x=0和y=0，即 ，对称轴为 ，故D正确.
故选：CD
12．【答案】ABD
【解析】对于A中，因为 ，所以 ，故 的离心率 ，所以A正确；
对于B中，因为 到渐近线 的距离为 ，所以B正确；对于C中，设内切圆与 的边 分别切于点 ，设切点 ，
当点 在双曲线的右支上时，可得
，解得 ，
当点 在双曲线的左支上时，可得 ，
所以 的内切圆圆心的横坐标 ，所以C不正确；
对于D中，由正弦定理，可知 外接圆的半径为 ，
所以当 最大时， 最小，
因为 ，所以 为锐角，故 最大，只需 最大．
由对称性，不妨设 （ ），设直线 与 轴的交点为 ，
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
又由
，
当且仅当 ，即 时， 取最大值，由双曲线的对称性可知，当 时， 也取得最大值，所以D正确．
故选：ABD．
13．【答案】
【解析】如图，不妨设 为 的中点，则 = ,
以 的中点 为原点， 方向为x轴， 的中垂线为 轴建立直角坐标系如图所示，
∵ ,∴ ,即双曲线的半实轴 ,∴双曲线的方程可以设为： ，
将 的坐标 ,代入解得 ,
∴ ,
∴ ,
故答案为： .
14．【答案】2
【解析】由题可知， 为线段 垂直平分线上的点，所以 ，
所以 ，R的轨迹为双曲线， ，
且 ， ，离心率为 .
故答案为：2.
15．【答案】【解析】设 的斜率分别为 ，
当 时， ，可得 ，
从而直线 的斜率之积 .
设 ，则 ，
所以 ， .
所以 ，
所以 .
所以 的渐近线方程为 .
故答案为：
16．【答案】 （答案不唯一，写出一个即可）
【解析】由①中心在原点，焦点在y轴上知，可设双曲线方程为：
由②一条渐近线方程为 知， ，即
由③知， ，即 ，
则可取 （此处也可取大于 的其他数）
又 ， ，则同时满足下列性质①②③的一个双曲线方程为：
故答案为： （答案不唯一, 写出一个即可）.
1．【答案】A
【解析】因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 ，即 ．
故选：A
2．【答案】B
【解析】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得 故联立 ，解得 ，故
， 面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
的焦距的最小值：
3．【答案】A
【解析】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
4．【答案】A
【解析】由 ，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在 上，则 ．
，故选A．
5．【答案】A
【解析】设 与 轴交于点 ，由对称性可知 轴，又∵ ，∴ ，
PQ x A PQ xc
为以 为直径的圆的半径，∴ 为圆心|OA| ．∴ ，又 点在圆 上，
OF 2 x2 y2 a2
∴ ，即 ，∴ ，∴ ，故选A．
6．【答案】C
【解析】法一：根据双曲线的对称性，不妨设过点 作渐近线 的垂线，该垂线的方程为
，联立方程 ，解得
由
整理可得 即
即 即 ，所以 ，所以 ，故选C．
法二：由双曲线的性质易知 ， ，所以
在 中，
在 中，由余弦定理可得所以 ，整理可得 ，即
所以 ，所以 ，故选C．
7．【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，渐进线的方程为
，故选A．
8．【答案】B
【解析】双曲线 的渐近线方程为： ，渐近线的夹角为： ，不妨设过
的直线为： ，则 解得 ; 解得：
，则 ，故选B．
9．【答案】 B
5 x2 y2
y x
【解析】由渐近线的方程 2 ，可设双曲线的方程为 4 5
x2 y2
1 3,0
12 3
又椭圆 的焦点坐标为
x2 y2
1
0 4532 1 C 4 5
所以 ，且 ，故所求双曲线 的方程为： ，故选B．
10．【答案】 A
【解析】解法一：常规解法
b
y x
根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为 a ，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到
b b
2 2
a a
3
b 2 b 2
1 1
渐进线的距离为 3，∴ 圆心到渐近线的距离为 a ，即 a ，解得e2．
解法二：待定系数法设渐进线的方程为 ykx ，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为 3，
2k 2k
3
∴ 圆心到渐近线的距离为 1k2 ，即 1k2 ，解得k2 3；由于渐近线的斜率与离心率
关系为k2 e2 1，解得e2．
解法三：几何法
从题意可知： OAOO 1 O 1 A2 ， OO 1 A 为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为 3
由于k tan，可得k 3，
渐近线的斜率与离心率关系为k2 e2 1，解得e2．
解法四：坐标系转化法
根据圆的直角坐标系方程： x22 y2 4 ，可得极坐标方程 4cos ，由4cos2可得极
角 3 ，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以k 3，
渐近线的斜率与离心率关系为k2 e2 1，解得e2．
解法五：参数法之直线参数方程
b
y x 2cos,2sin
如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为 a ，可以表示点A的坐标为 ，
a b 2a 2b
cos sin ,
∵ c ， c ∴ 点A的坐标为 c c ，代入圆方程中，解得e2．
【知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容（理科），一般与三角形﹑直线与圆﹑向量
相结合，属于中档偏上的题，但随着二卷回归基础的趋势，圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上
位置，但难度逐年下降．
11．【答案】A
【解析 1】由题可令 ，则 所以 ， ，所以 ，所以
故选Ａ．
【解析2】离心率 ，由正弦定理得 ．故选A．
12．【答案】A
【解析】 表示双曲线，则 ，∴
由双曲线性质知： ，其中 是半焦距
∴焦距 ，解得 ∴ 故选A．
