文档文本内容
第 02 讲 线段的垂直平分线的性质和判定
知识点1：线段的垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂
线。
2.线段垂直平分线的作图
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
3.线段垂直平分线性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【题型1： 线段垂直平分线的性质】
【典例1】在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
△BCE的周长等于50，则BC的长是（ ）A．22 B．23 C．32 D．33
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到
AE=BE，再由三角形周长计算公式可得BE+CE+BC=50，进而可得AC+BC=50，
据此可得答案．
【详解】解；∵AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
∴AE=BE，
∵△BCE的周长等于50，
∴BE+CE+BC=50，
∴AE+CE+BC=50，
∴AC+BC=50，
∵AC=27，
∴BC=23，
故选：B．
【变式1】如图，在△ABC中，DE 垂直平分边AC，若△ABD的周长为24cm，
BC=18cm，则AB的长为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．14cm
【答案】A
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键.
根据垂直平分线的性质得出AD=DC，再进行等量代换后计算即可.
【详解】解：∵DE 垂直平分AC，
∴AD=DC，∴△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=24cm，
∵BC=18cm，
∴AB=24−18=6cm
故选：A．
【变式2】如图，已知在△ABC中，AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AC于点D，交
AB于点E，连接BD，则△DBC的周长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端
的距离相等．先根据线段垂直平分线的性质得出DA=DB，故可得出△DBC的周长
=CD+DB+BC=AC+BC，由此即可得出结论．
【详解】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴△DBC的周长=CD+DB+BC=AC+BC，
∵AC=6，BC=4，
∴△DBC的周长=AC+BC=10．
故答案为：10．
【变式3】如图，BC=8cm，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则△APQ的周长为
cm．
【答案】8
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此
题的关键．由线段垂直平分线的性质可得BP=AP，AQ=CQ，再根据三角形的周长
公式计算即可得解．
【详解】解：∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴BP=AP，AQ=CQ，
∴△APQ的周长=AP+AQ+PQ=BP+CQ+PQ=BC=8cm，
故答案为：8．
【题型2： 线段垂直平分线的判定】
【典例2】如图，在 △ABC中，AD 是 ∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，
DF⊥AC于点 F．求证∶AD垂直平分EF．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分
线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
根据角平分线的性质得出DE=DF，证明出Rt△ADE≌Rt△ADF，得到AE=AF，
利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得出结论．
【详解】证明：∵AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴点D在线段EF的垂直平分线上，
又∵AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF．
【变式1】如图，在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段AC
的垂直平分线上．
【答案】见解析【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点
的距离相等；线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平
分线上．
先由线段垂直平分线的性质得到PA=PB,PB=PC，则PA=PC，再由线段垂直平分
线的判定即可证明．
【详解】证明： 边AB,BC的垂直平分线交于点P，
PA=PB,PB=∵PC．
∴PA=PC．
∴点P必在AC的垂直平分线上．
【变∴式2】风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人
们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，
其中AB=AC，∠BAD=∠CAD．求证：AD垂直平分BC．
【答案】见解析
【分析】此题考查了垂直平分线的判定，全等三角形的性质和判定，
首先证明出△BAD≌△CAD(SAS)，得到BD=CD，然后结合AB=AC即可得到AD
垂直平分BC．
【详解】∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD
∴△BAD≌△CAD(SAS)
∴BD=CD
又∵AB=AC
∴AD垂直平分BC．
【题型3：作已知线段的垂直平分线】
【典例3】如图，在△ABC中，AC>BC．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使得
BP=CP．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析
【分析】本题考查了复杂作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分
线上的点到线段两端距离相等．作BC的垂直平分线交AC于点P，由垂直平分线的性
质可知BP=CP，即可完成作图．
【详解】解：如图，点P即为所求作．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°
(1)请用直尺和圆规作线段BC的垂直平分线，分别交线段BC、AC于点E、F
(2)连接BF，请找出图中和BF相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）．
【答案】(1)见解析
(2)CF=BF
【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解决问
题的关键．
（1）基本作图，作线段BC的垂直平分线MN，分别交线段BC、AC于点E、F，
点E、F即为所求作；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可得到答案．1
【详解】（1）解：如图，分别以点B和点C为圆心，以大于 BC的长为半径画弧，
2
两弧交于M,N两点，作直线MN，分别交线段BC、与AC点E、F，点E、F即为
所求作；
（2）解：∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴CF=BF．
【变式2】如图，在△ABC中
(1)使用直尺和圆规，作线段AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．（基
本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）所作的图形中，当AB=10,BC=8时，求△BCE的周长．
【答案】(1)见解析
(2)18
【分析】本题考查了尺规作图---线段垂直平分线，垂直平分线的性质，熟练掌握线段
垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据作线段垂直平分线的步骤作图即可；
（2）根据线段垂直平分线得到EA=EC，则△BCE的周长转化为BC+AB．
【详解】（1）解：如图，DE即为所求．（2）解：连接CE，
∵线段AC的垂直平分线DE，
∴EA=EC，
∵△BCE的周长=BC+BE+CE,
∴△BCE的周长=BC+AB=10+8=18．
【题型4： 作垂线(尺规作图】
【典例4】如图，已知△ABC，利用尺规作图作△ABC的边AC的中线BE和BC边上的高
AF，点F为垂足（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】作图见解析．
【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，作垂直平分线，作AC的垂直平分线交AC
于点E，然后连接BE，过A作BC的垂线，交BC延长线于点F即可，掌握作图方法是
解题的关键．
【详解】解：如图，作AC的垂直平分线交AC于点E，然后连接BE，过A作BC的垂
线，交BC延长线于点F，
∴BE，AF即为所求．
【变式1】如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，请用直尺和圆规完成以下作图：(1)过点C作CD⊥AB于点D；
(2)在CD上求作一点E，使得点E到AC的距离等于DE的长．(保留作图痕迹，不写作
法)
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了尺规作图，作垂线，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．
（1）以点C为圆心，适当长度为半径画弧交AB于点M，N，再分别以点M，N为圆
1
心，大于 MN长度为半径画弧交点T，连接CT，与AB交于一点D，此时CD⊥AB，
2
即可作答．
（2）理解点E在CD上且点E到AC的距离等于DE的长，即要求点E在∠BAC的角
平分线上，故∠BAC的角平分线上与CD的交点即为点E，所以运用圆规和直尺作出
∠BAC的角平分线，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，CD⊥AB如图所示：
（2）解：依题意，点E如图所示．
【变式2】如图，已知△ABC，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不
写作法）(1)作边AB上的高CD；
(2)过点D作直线BC的垂线，垂足为E；
(3)在BC上找一点M，使MA=MB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作垂线，熟练掌握基本作图是解题的关键；
（1）延长BA，以AC为半径，点C为圆心作圆弧交直线BA于点G，再分别以A、G
为圆心，以大于AG一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点F，连接CF，交BG于点
D，问题得解；
（2）按照（1）的方法作答即可；
（3）作AB的垂直平分线交BC于点M，即可求解．
【详解】（1）延长BA，以AC为半径，点C为圆心作圆弧交直线BA于点G，再分别
以A、G为圆心，以大于AG一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点F，连接CF，交
BG于点D，如图，
高CD即为所作；
（2）如图所示：
垂线DE即为所作；（3）如图，点M即为所求；
【变式3】如图，已知△ABC，用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）．
(1)作∠A 的平分线；
(2)过点C作线段AB的垂线．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
【分析】本题主要考查尺规作垂线，作角平分线，掌握尺规作图的方法是关键．
（1）根据尺规作角平分线即可；
（2）根据尺规作垂线即可．
【详解】（1）解：如图所示，AD即为∠BAC的角平分线，
（2）解：如图所示，CE即为线段AB的垂线．一、单选题
1．通过如下尺规作图，能得到BD=AD的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质，尺规作
图：作线段的垂直平分线．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即
可判断．
【详解】解：当点D在线段AB的垂直平分线上时，BD=AD，尺规作图是作线段AB
垂直平分线的是C中的图形．
故选：C．
2．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC=10，
AC=6，则△ACD的周长是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得
AD=BD，继而可得△ACD的周长为AC+BC，则可求得答案．解题的关键是掌握线
段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵BC=10，AC=6，
∴AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=6+10=16，
∴△ACD的周长为16．
故选：B．
3．如图，∠AOB内一点P，点P ，P 分别是点P关于OA，OB的对称点，P P 交OA于
1 2 1 2
点M，交OB于点N，若P P =5，则△PMN的周长是（ ）
1 2
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，
熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键．
由P与P 关于OA对称，得到OA为线段PP 的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：
1 1
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得MP=M P ，同理可得NP=N P ，
1 2
由P P =P M+MN+N P =5，等量代换可求得△PMN的周长．
1 2 1 2
【详解】解：∵ P与P 关于OA对称，
1
∴ OA为线段PP 的垂直平分线，
1
∴ MP=M P ，
1
同理，P与P 关于OB对称，
2
∴ OB为线段PP 的垂直平分线，
2
∴ NP=N P ，
2
∴ P P =P M+MN+N P =MP+MN+NP=5，
1 2 1 2
则△PMN的周长为5．
故选：C．
4．已知△ABC(AC<BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB=BC，则
一定符合要求的作图痕迹是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问
题．要使PA+PB=BC，则需使AP=BP，即点P在线段AB的垂直平分线上．据此即
可对各个选项进行判断．
【详解】解：∵在BC上确定一点P，使PA+PB=BC，
∴当PA+PB=BC时，点P在线段AB的垂直平分线上，
∴作图正确的是D．
故选：D．
5．到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，理解垂直平分线的性质是解题关键．
直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC三条边的垂直平分线的交点．
故选：C．
6．观察如图作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的（ ）A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线
【答案】B
【分析】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线，能掌握基本尺规作图是解题的关
键．
【详解】根据作图过程，可得所作线段为AB边上的高线，
故选B．
7．如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，若△ADB的周长为14，AB=6，则AC的
长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．11
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分
线的性质．
先根据垂直平分线的性质，证明CD=DB，再根据△ADB周长=AD+BD+AB，进
行等量代换即可．
【详解】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵AC=AD+CD，△ADB的周长=AD+DB+AB=AC+BC=AC+6=14，
∴AC=14−6=8，
故选：C．二、填空题
1
8．如图，△ABC中，∠B=32°，分别以点B、C为圆心，大于 BC的长为半径画弧，两
2
弧在BC两侧相交于点M、N，作直线MN分别与AB、BC交于点D，E，连接CD，
则∠BCD= ．
【答案】32°
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，等腰三角形的性质，熟
练掌握线段垂直平分线的相关知识点是解题关键．
根据作图描述得MN垂直平分BC，可得BD=CD，利用等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据作图可得，MN垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴∠B=∠BCD=32°．
故答案为：32°
9．如图，MN是AB的垂直平分线，点P是MN上一点，若△PAB周长是22cm，
AB=10cm，则PA的长为 cm．
【答案】6
【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出PA=PB，再求出
PA+PB=22−AB=12，进而可得出答案．
【详解】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∵△PAB周长是22cm，即PA+PB+AB=22，∴PA+PB=22−AB=22−10=12，
∴PA=6，
故答案为：6
10.如图，在△ABC(AB<AC)中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，
AC=15cm，△ABE的周长为24cm，则AB的长为 ．
【答案】9cm/9厘米
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．先根据线段垂直平分线的性质“线段垂
直平分线上的点到线段两端的距离相等”可得BE=CE，再利用△ABE的周长为24cm，
即可求出AB的长．
【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+CE=AB+AC，
∵AC=15cm，△ABE的周长为24cm，
∴AB+15=24，
解得AB=9，
故答案为：9cm．
11．如图，AC=BC，AD=BD，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出
关于它的如下结论：
①△ACD≌△BCD；②AO=BO；③AB⊥CD；④∠CAB=∠ABD.其中正确结论
的序号是 .
【答案】①②③【分析】先通过“SSS”判定两三角形全等，再利用线段垂直平分线的判定和性质即
可得到正确结论．
【详解】解：在△ACD和△BCD中，
¿，
∴△ACD≅△BCD(SSS)，故①正确；
∵AC=BC，AD=BD，
∴CD垂直平分AB，
∴AO=BO，AB⊥CD，
故②③正确；
由已知和图形无法判断∠CAB=∠ABD，
故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】该题考查了 全等三角形的判定和线段的垂直平分线的判定与性质，解决本题
的关键是牢记相关概念，该题较基础，考查了学生对教材基础知识的理解与应用，以
及学生的推理分析的能力．
三、解答题
12．如图，在△ABC中，请解答下列问题：
(1)请用尺规作图的方法作边AC的垂直平分线，交BC于点D，连接AD．（不写作法，
保留作图痕迹）
(2)若AB+BC=16，求△ABD的周长．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】本题考查尺规作图-线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直
平分线的性质是解题的关键．
（1）利用尺规作出线段AC的垂直平分线MN即可．
（2）根据线段垂直平分线的性质可得DA=DC，即可求解．【详解】（1）解：线段AC的垂直平分线MN，如图所示：
；
（2）解：∵MN垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=16．
13．如图，△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直
平分线，E、G分别为垂足，△DAF的周长为16，求BC的长．
【答案】16
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题
的关键．
由线段垂直平分线的性质可得BD=AD，CF=AF，根据已知条件可得
AD+DF+AF=16，然后利用线段的和差关系及等量代换即可得出答案．
【详解】解：∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，
∴BD=AD，CF=AF，
∵△DAF的周长为16，
∴AD+DF+AF=16，
∴BC=BD+DF+CF=AD+DF+AF=16．
