文档内容
第 01 讲 二次函数
知识点1：二次函数的概念
知识点2：二次函数的值
1. 二次函数的概念:
一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数.
其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．
注意：二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；
②化简后自变量的最高次数是2；
③二次项系数不为0．
2. 二次函数 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2．
⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项
注意：二次函数除了一般式y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外，
还有y=ax²，y=ax²+bx，y=ax²+c。
【题型1：列二次函数关系式】
【典例1】（2025九年级上·全国·专题练习）在△ABC中，已知边BC的长为x(x>0)，BC
边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（ ）
1 1 1
A．y= x(2x−1) B．y=− x(2x−1) C．y=x2+ x
2 2 21
D．y=−x2− x
2
【答案】C
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式。根据已知得出三角形的高，再利
用三角形的面积公式列式即可．
【详解】解：∵BC边长为x(x>0)，BC边上的高比它的2倍多1，
∴这条边上的高为：2x+1，
1 1
根据题意得出：y= x（2x+1）=x2+ x.
2 2
故选：C．
【变式1】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8
万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是x，则该厂今年十一、十二
月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
w=8(1+x) 2 w=8+8(1+x)+8(1+x) 2
C． D．
w=8(1+x)+8(1+x) 2 w=8(1+x) 3
【答案】C
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品
的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为8(1+x)，十二月份新产品的
研发资金的为 ，即可求解．
8(1+x) 2
【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品
的研发资金为 ，十二月份新产品的研发资金的为 ，
8(1+x) 8(1+x) 2
∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为
，
w=8(1+x)+8(1+x) 2
故选：C．
【变式2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若正方形的边长为6，边长增加x，面
积增加y，则y关于x的函数关系式为（ ）A． B．
y=(x+6) 2 y=x2+36
C．y=x2+12x D．y=x2+6x
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据正方形的面积公式正确列出函数解析式
是解题的关键．
根据x和y表示的含义，利用正方形的面积公式列出函数关系式即可．
【详解】解：∵原正方形的边长是6，面积是62=36，
∴增加后的边长是 ，面积是 ，
(x+6) (x+6) 2
∴增加的面积 ，
y=(x+6) 2−36=x2+12x
故选：C．
【变式3】（24-25九年级下·全国·假期作业）已知正方体的棱长为xcm，它的表面积为
Scm2，体积为V cm3
(1)分别写出S与x、V与x之间的函数表达式；
(2)这两个函数中，哪一个是关于x的二次函数？
【答案】(1)S=6x2，V =x3
(2)S=6x2是关于x的二次函数
【分析】此题主要考查了正方体的表面积和体积公式以及二次函数的定义，正确记忆
二次函数的定义是解题关键．
（1）直接利用正方体的表面积和体积公式分别求出即可；
（2）利用二次函数的定义得出答案．
【详解】（1）解：∵正方体的棱长为xcm，它的表面积为Scm2，体积为V cm3
∴S=6x2，V =x3；
（2）解：依题意，S=6x2是关于x的二次函数．
【题型2：二次函数的判断】
【典例2】（24-25九年级上·重庆永川·期中）下列函数表达式中，是二次函数的是（）
1
A．y= B．y=x+2 C．y=x2+1 D．y=(x+3) 2−x2
x
【答案】C【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
根据二次函数的定义判断，形如 的函数为二次函数即可判定．
y=ax2+bx+c(a≠0)
1
【详解】解：A．y= 是分式函数，分母含x，属于反比例函数，不符合二次函数定义，
x
故该选项不符合题意；
B．y=x+2是形如一次函数y=kx+b，次数为1，不是二次函数，故该选项不符合题意；
C．y=x2+1符合y=ax2+bx+c的形式(a=1≠0)，是二次函数，故该选项符合题意；
D． 化简后为 ，属于一次函数，次数为1，不是二次函数，故
y=(x+3) 2−x2 y=6x+9
该选项不符合题意；
故选：C．
【变式1】（24-25九年级上·河南周口·期末）下列函数是二次函数的是（ ）
1
A．y=2x B．y= C．y=x(x−1) D．y=x2−x(x−1)
x
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数定义，根据二次函数的定义：一般地，形如
y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，逐项进行分析．
【详解】解：A、y=2x是一次函数，故此选项不符合题意；
1
B、y= ，含有分式，不是二次函数，故此选项不符合题意；
x
C、 是二次函数，故此选项正确；
y=x(x−1)=x2−x
D、 是一次函数，故此选项不符合题意．
y=x2−x(x−1)=x2−x2+x=x
故选：C．
【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（
）
1 3
A．y=−x+2x2 B．y=2x+1 C．y= D．y= x
2x 5
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．一般地，形如是常数， 的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可．
y=ax2+bx+c(a,b,c a≠0)
【详解】解：y=−x+2x2符合二次函数的定义，它是二次函数；
1 3
y=2x+1,y= ,y= x不符合二次函数的定义，它们不是二次函数，
2x 5
故选：A.
【变式3】（24-25九年级下·福建泉州·开学考试）下列y关于x的函数中，属于二次函数的
是（ ）
1 3
A．y=2x2−5x B．y=ax2+1 C．y= D．y= x
x 4
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义“形如y=ax2+bx+c（
a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数”进行判断即可．
【详解】解：A、y=2x2−5x是二次函数，故本选项符合题意；
B、当a≠0时，y=ax2+1是二次函数，故本选项不符合题意；
1
C、y= 右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
x
3
D、y= x是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
4
故选：A．
【题型3：利用二次函数的概念含参数取值范围】
【典例3】（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于 的函数 是二次函数，
a y=(1−m)a2+a
则m的取值范围是（ ）
A．m≠0 B．m>1 C．m<1 D．m≠1
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键．
二次函数的一般式为 ，由此判定即可．
y=ax2+bx+c(a≠0)
【详解】解：关于 的函数 是二次函数，
a y=(1−m)a2+a
∴1−m≠0，解得，m≠1，
故选：D ．
【变式1】（23-24九年级上·广西河池·期中）若函数y=xa−2x+5为二次函数，则实数a=
．
【答案】2
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的一般式为y=ax2+bx+c（
a≠0，a,b,c为常数）是解本题的关键．
根据二次函数的定义即可得出答案．
【详解】解：∵函数y=xa−2x+5是二次函数，
∴a=2．
故答案为：2．
【变式2】（24-25九年级上·广东江门·期中）当m= 时，函数
是二次函数．
y=(m−2)xm2−2−2x+1
【答案】−2
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数是二次函
数．
【详解】解：由题意可知：m2−2=2，
解得m=±2
又∵(m−2)≠0，即m≠2，
综上所述：m=−2
故答案为−2．
【题型4：二次函数的一般形式】
【典例4】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数 ．
y=(x−2) 2−3x(x−1)
(1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式；
(2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】(1)y=−2x2−x+4
(2)二次项系数是−2，一次项系数是−1，常数项是4．
【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟
练掌握以上知识点是解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得
到答案．【详解】（1）解：
∵y=(x−2) 2−3x(x−1)=x2−4x+4−3x2+3x=−2x2−x+4
∴该二次函数的一般形式是y=−2x2−x+4；
（2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是−2，一次项系数是−1，常数项是
4．
【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数y=2x2−1的二次项系数、一次项
系数、常数项分别为（ ）．
A．2，0，−1 B．2，2，−1 C．2，2，1 D．2，0，1
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的一般式，根据二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a≠0，
a、b、c为常数）即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键．
【详解】解：二次函数y=2x2−1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为
2，0，−1，
故选：A．
【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数y=3x2−4x+5中，二次项系
数是 ，一次项系数是 ．
【答案】 3 −4
【分析】本题考查了二次函数的定义，对于二次函数ax2+bx+c=0（a、b，c是常数
且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项．
根据二次函数的定义解答即可．
【详解】解：∵y=3x2−4x+5，
∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是−4，常数项是5．
故答案是：3，−4．
【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将二次函数 化为
y=(x−2) 2−3x(x+1)
一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】−2x2−7x+4，二次项系数是－2、一次项系数是－7、常数项是4
【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把 化为一般形式，
y=(x−2) 2−3x(x+1)
即可得到答案．
【详解】解： ；
y=(x−2) 2−3x(x+1)=x2−4x+4−3x2−3x=−2x2−7x+4其中二次项系数是−2、一次项系数是−7、常数项是4．
根据题意把x值代入函数解析式，求出y值即可。
【题型5：二次函数的函数值】
【典例5】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）当x=1时，y=2x2−1的函数值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键．把x=1
代入函数解析式进行计算即可得解．
【详解】解：当x=1时，y=2x2−1的函数值为y=2×12−1=1，
故选：B．
【变式1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数y=ax2+2c，当x=2时，函数
值等于8，则下列关于a,c的关系式中，正确的是（ ）
A．a+2c=8 B．2a+c=4 C．a−2c=8 D．2a−c=4
【答案】B
【分析】把x=2,y=8代入计算即可．
【详解】解：由题意得：
把x=2,y=8代入y=ax2+2c得：
8=4a+2c
等号两边同除以2得：2a+c=4
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握代入法转化为关于a,c的关系式是解决本
题的关键．
【变式2】（22-23九年级上·广东广州·期末）已知函数y=x2−2x，x=a时，记函数值y为
f(a)，则f(−10) f(−1)（填写“>”“<”或“=”）．
【答案】>【分析】分别当x=−10，x=−1时，求出f(−10)，f(−1)的值比较即可．
【详解】解：由题意得
( )
f −10 =(−10) 2−2×(−10)
=120，
( )
f −1 =(−1) 2−2×(−1)
=3，
∵120>3，
∴ f(−10)> f(−1)，
故答案：>．
【点睛】本题主要考查了求函数值，掌握求法是解题的关键．
一、单选题
1．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）下列的函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
1
A．y=ax2+bx+c B．y=2x−1 C．y=x2+ D．s=−t2
x
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因
此此题可根据“形如 的函数”进行排除选项即可．
y=ax2+bx+c(a≠0)
【详解】解：A、当a=0时，则y=ax2+bx+c就不是二次函数，故不符合题意；
B、y=2x−1不是二次函数，故不符合题意；
1
C、y=x2+ 不是二次函数，故不符合题意；
x
D、s=−t2是二次函数，故符合题意；
故选D．
2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数y=3x2−5x+1的一次项系数是（ ）
A．−5 B．1 C．3 D．5
【答案】A【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常
数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中a,b,c分别为二次项系数，一次项系数，常
数项．据此分析，即可求解．
【详解】解：二次函数y=3x2−5x+1的一次项系数是−5
故选：A．
3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）若关于
x
的函数
y=(a−1)xa2+1−7x
的图象是抛物线，
则a的值为（ ）
A．−1 B．±1 C．1 D．0
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且
a≠0）的函数叫做二次函数，其图象为抛物线是解题关键．根据据二次函数的定义求
解即可．
【详解】解：∵关于 的函数 的图象是抛物线，
x y=(a−1)xa2+1−7x
∴a2+1=2，a−1≠0，
∴a=−1．
故选A．
4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）下列函数关系中，是二次函数的是（ ）．
A．生产100吨钢材，工作效率x和工作时间y之间的关系
B．当速度为100km/h时，汽车行驶的距离s与时间t之间的关系
C．长方形的周长一定时，长方形的长y与宽x之间的关系
D．圆的面积s与半径r之间的关系
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
100
A．根据题意得到工作效率x和工作时间y之间的关系为y= ，利用二次函数的定义
x
来判断．
B．根据题意得到汽车行驶的距离s与时间t之间的关系为s=100t，利用二次函数的定
义来判断．
C
C．根据题意得到长方形的长y与宽x之间的关系为y= −x，利用二次函数的定义来
2判断．
D．根据题意得到圆的面积s与半径r之间的关系为s=πr2，利用二次函数的定义来判
断．
100
【详解】解：A．生产100吨钢材，工作效率x和工作时间y之间的关系为y= ，它
x
不是二次函数，故此项不符合题意．
B．当速度为100km/h时，汽车行驶的距离s与时间t之间的关系为s=100t，它不是二
次函数，故此项不符合题意．
C
C．长方形的周长一定时，长方形的长y与宽x之间的关系为y= −x，它不是二次函
2
数，故此项不符合题意．
D．圆的面积s与半径r之间的关系为s=πr2，它是二次函数，故此符合题意．
故选：D．
5．（24-25九年级上·新疆巴音郭楞·期末）二次函数y=3x2+6x+5的常数项是（ ）
A．−5 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的一般形式，直接利用 中 为常
y=ax2+bx+c(a≠0) c
数项即可得到答案．
【详解】解：二次函数y=3x2+6x+5的常数项是5；
故选：C
二、填空题
6．（2025九年级上·全国·专题练习）若 是二次函数，则 ．
y=3xm2−2 m=
【答案】±2
【分析】本题考查了二次函数的定义。由定义得出自变量的最高指数是2，且二次项
的系数不为0列出方程求解即可。
【详解】解：由题意得，m2−2=2，
解得m=±2.
故答案为：±2 ．7．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线 的开口向下，那么 的取值范
y=(k+2)x2+6x−5 k
围是 ．
【答案】k<−2
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象，根据题意，
抛物线 的开口向下，可得 ，求出 ，即可．
y=(k+2)x2+6x−5 k+2<0 k
【详解】解：∵抛物线 的开口向下，
y=(k+2)x2+6x−5
∴k+2<0，
解得：k<−2．
故答案为：k<−2．
8．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销
售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则
10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ．
【答案】
y=20000(1−x) 2
【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份
的楼盘出售均价为 元，则10月份的楼盘出售均价为 元，据
20000(1−x) 20000(1−x) 2
此可得答案．
【详解】解：由题意得， ，
y=20000(1−x) 2
故答案为： ．
y=20000(1−x) 2
9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）二次函数y=x❑ 2−6x+k的图象经过原点，
则k的值是 ．
【答案】0
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，直接把原点坐标代入二次函数解
析式中得到关于k的方程，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意得：0=02−6×0+k，
解得：k=0，
故答案为：0．三、解答题
10．（2025九年级下·全国·专题练习）已知关于
x
的函数
y=(m2+m)xm2−2m+2+2x−1
．
(1)若该函数为二次函数，求m的值；
(2)若该函数为一次函数，求m的值．
【答案】(1)m=2
(2)m=1，m=0，m=−1
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念，熟练掌握其概念并能正确分类
讨论是解决此题的关键．
（1）根据二次函数的概念得m2−2m+2=2，且m2+m≠0，求解即可；
（2）根据一次函数的概念得m2−2m+2=1且m2+m+2≠0，m2+m=0，求解即可．
【详解】（1）解：依题意，得m2−2m+2=2，且m2+m≠0，
解得m=2
∴m=2时，该函数为二次函数；
（2）解：依题意，当首项次数为1，且合并同类项后一次项系数不为零时，
m2−2m+2=1且m2+m+2≠0，
解得，m=1
当首项系数为零时，m2+m=0，
解得m=0和m=−1，
综上，m=1，m=0和m=−1时，该函数为一次函数．
