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1.2 一定是直角三角形么（勾股定理逆向运用）
题型一 勾股数的判断与直角三角形的判断
1．下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（ ）
A．3，4，5 B．0.6，0.8，1 C．9，12，16 D．5，12，13
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若三角形三边满足“较小两边的平方和等于最大边的平方”，则该
三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可．
【详解】A． ，符合勾股定理，能构成直角三角形，不合题意；
B． ，符合勾股定理，能构成直角三角形，不合题意；
C． ，不符合勾股定理，不能构成直角三角形，符合题意；
D． ，符合勾股定理，能构成直角三角形，不合题意；
故选C．2．（2025·山东淄博·二模）下列长度的三条线段，能组成钝角三角形的是（ ）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可．
【详解】解： ，
可构成直角三角形，且斜边为5，故选项B不符合题意；
∵ ，且 ，
∴ 可构成钝角三角形，故选项C符合题意；
∵ ，故选项D不能构成三角形，不符合题意；
∵ ，故选项A不符合题意；
故选：C．
3．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）欲检验一矩形画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为 和
，对角线为 ，则该画框 （填“合格”或“不合格”）．
【答案】合格
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理计算即可判断画框的两边是否垂直，掌握勾
股定理逆定理是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴画框的两边垂直，
故答案为：合格．
4．（22-23八年级上·宁夏中卫·期中）在 中，若 ，则 度．
【答案】90
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握如果三角形有两边的平方和等于第三边
的平方，那么这个三角形是直角三角形是解题关键．由题意可知 ，即可求解．
【详解】解： 在 中， ，
是直角三角形，且 是斜边，
，，
故答案为：90．
5．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知三角形三边长分别是8，15和17，则三角形的面积是 ．
【答案】60
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用直角三
角形面积公式求解．
【详解】解：∵三角形的三边长分别是8、15、17， ，
∴这个三角形为直角三角形，
∴这个三角形的面积是 ．
故答案为：60．
6．（23-24八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，分别以 的三边为直径向三角形外作半圆，图中有
阴影的三个半圆的面积 的关系为 ，则 是 三角形．
【答案】直角
【分析】本题考查勾股定理逆定理， 根据圆的面积公式，结合题意求出 是解题
关键．分别求出 ，再结合 ，即可得出 ，说明 是直角三角形．
【详解】解：∵ ， ， ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ 是直角三角形．
故答案为：直角．
题型二 勾股数与整式化简
7．已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值．
【答案】m＝1
【难度】0.65
【分析】根据勾股数定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数可得：(3m+2)2+ ( 4m+8) 2= ( 5m+8) 2，
再解方程即可．
【详解】解： m＞0， 3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，
（3m+2）2+（4m+8）2＝（5m+8）2，
解得：m＝1．
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数定义．
题型三 证明直角三角形
8．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方．那么
以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形．若连续的两个整数为 、 ，请证明结论．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，
如果一个三角形的三条边 、 、 满足 ，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股定理的逆定
理进行验证即可．
【详解】解：连续的两个整数为 、 ，
，
，
，
以 ， ， 为边长的三角形是直角三角形．
9．（2025·河北唐山·三模）已知：整式 ，且整式 ． 、 、 的值均为正
数，则以整式 、 、 为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由．
【答案】直角三角形，理由见解析【难度】0.85
【分析】本题主要查求代数式的值，勾股定理的逆定理：根据勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】解：以整式 、 、 为边长的三角形是直角三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴这个三角形是直角三角形．
题型四 在网格中判断直角三角形
10．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，
点 ， ， 都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 的面积为10 D．点 到直线 的距离是2
【答案】C
【难度】0.85
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握
勾股定理及其逆定理是解题的关键．
利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可．
【详解】解：A、 ，本选项结论正确，不符合题意；
B、 ， ， ，
，
， 本选项结论正确，不符合题意；
C、 ，本选项结论错误，符合题意；
D、点A到 的距离 ，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连
接 、 ，则 的度数为 ．
【答案】 /45度
【难度】0.65
【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到 ， ， 的长度，继
而可得出 的度数．
【详解】解：连接 ，
根据勾股定理可以得到： ， ，
∵ ，即 ，
∴ 是等腰直角三角形．
∴ ．
故答案为： ．
12．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，每个小正方形的
顶点称为格点， 的顶点均在网格的格点上． 为 中 边上的高线．
(1)求证： ；(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【难度】0.65
【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理可得 ， ，继而得到
，根据勾股定理的逆定理得到 是直角三角形，即可得到结论；
（2）由（1）得 ，利用三角形面积公式求出 ．
【详解】（1）证明：由勾股定理可得 ， ，
，
是直角三角形，
．
（2）解：由（1）得 ，
， ，
，
，
．
题型五 与勾股数有关的简单规律探究
13．（24-25八年级上·四川成都·期中）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和
“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边．
观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事
实上，勾是3时，股和弦的算式分别是 ， ；勾是5时，股和弦的算式分别是 ，
．根据你发现的规律：
（1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果）（2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有
间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且 ）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ．
【答案】 60，61
【难度】0.85
【分析】本题主要考查了勾股数，
对于（1），通过计算，发现规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，从而写出结果；
对于（2），根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方
的四分之一加1．
【详解】解：（1）勾是11时，股和弦的算式分别是 ；
故答案为：60，61；
（2）6，8，10，可以写成 ；
8，15，17，可以写成 ，
根据规律，可知这些勾股数的股为： ．
故答案为： ．
14．（2024·四川德阳·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．
观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为
1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的
勾为 （ ，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）．
【答案】
【难度】0.85
【分析】本题考查了勾股数的定义及求法：满足 的三个正整数称为勾股数；根据题意得 为
偶数，设其股是 ，则玄为 ，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：∵m为正整数，
∴ 为偶数，
设其股是a，则弦为 ，根据勾股定理得， ，
解得： ，
故答案为： ．
题型六 勾股定理逆向运用与三角形的面积
15．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李
测量了草坪各边得知： 米， 米， 米， 米，且 ．则这块草坪的面积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定
理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
体会数形结合的思想的应用．连接 ，根据勾股定理，求得 ，再根据勾股定理的逆定理，判断
是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
【详解】解：连接 ，如图，
，
，
米， 米，
米，米， 米，
，
为直角三角形，
这块草坪的面积 ，
故选：A．
16．如图所示的一块地， ， ， ， ， ，求这块地的面积．
【答案】这块地的面积是216平方米
【难度】0.65
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中正
确的判定 是直角三角形是解题的关键．
连接 ，根据直角 可以求得斜边 的长度，根据 ， ， 可以判定 为直角三角形，
要求这块地的面积，求 与 的面积之差即可．
【详解】解：连结 ，如图所示：
，由勾股定理得： ，
又 ，
是直角三角形；
这块地的面积 ，
即这块地的面积是216平方米．
17．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，求四边形 的面
积．
【答案】【难度】0.85
【分析】本题主要考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，连接 ，由勾股定理可得 ，
再证明 得到 ，再由 ，列式计算即可．
【详解】解：如图所示，连接 ，
，
为直角三角形，
， ，
∴根据勾股定理得： ，
又 ， ，
， ，
．
为直角三角形，
，
∴ ．
题型一 勾股定理与解三角形
1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图， 是 的高．(1)若 ，则 的长为_______， 的长为_______；
(2)若 ，且 ，求证： 是直角三角形．
【答案】(1)15；20
(2)见解析
【难度】0.65
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）在 中，根据勾股定理可求得 ，在 中，根据勾股定理可求得 ；
（2）先利用勾股定理证明 ， ，从而证得 ，根据勾股定理的逆
定理得出 是直角三角形．
【详解】（1）解： ，
是直角三角形，
在 中， ， ， ，
，
又 ，
是直角三角形，
在 中，
， ， ，
；
故答案为：15；20．
（2）证明： 是 的高，
．
∴在 中， ，
即 ．
同理， ．
∵ ，，
是直角三角形．
2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在 中， 于点D．
(1)已知 ， ， ，求证： ；
(2)已知 ．
①若 ， ，求 2；
②若设 ， ， ，则m，n，k的数量关系为__________．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②
【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解
题的关键．
（1）由勾股定理可得 、 ，再根据勾股定理逆定理即可证明结论；
（2）设 ，则 ，由勾股定理可得 求解即可：②由勾股定理
可得 ，进而得到 求解即可．
【详解】（1）证明∶∵ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：①设 ，则 ，∴ ，
∴ ，即 ，解得： （已舍弃负值），
∴ ．
②根据勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ．
故答案为： ．
题型二 新定义问题
3．（2024八年级上·全国·专题练习）定义：如图，点 、 把线段 分割成 、 、 ，若以
、 、 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 、 是线段 的勾股分割点．
(1)已知 、 把线段 分割成 、 、 ，若 ， ， ，则点 、 是线
段 的勾股分割点吗？请说明理由．
(2)已知点 、 是线段 的勾股分割点，且 为直角边，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)是，见解析；
(2) 或
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，不能漏解．
（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点 、 是线段 的勾股分割点；
（2）设 ，则 ，分两种情形： 当 为最长线段时，
； 当 为最长线段时， ；分别列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：是，理由：
， ，
，
、 、 为边的三角形是一个直角三角形，点 、 是线段 的勾股分割点；
（2）解：设 ，则 ，
当 为最长线段时，依题意 ，
即 ，
解得 ；
当 为最长线段时，依题意得 ，
即 ，
解得 ，
综上所述， 或 ．
题型三 与勾股数有关的规律探究问题（含分类讨论思想）
4．（2025·湖南·模拟预测）三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；
7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，观察可知本原勾股数的第一个数是从3开始的
连续的奇数，且第一个数的平方等于第二个数加上第三个数，并且第三个数等于第二个数加1，据此规律
求解即可．
【详解】解：3，4，5；
5，12，13；
7，24，25；
9，40，41…，
…．．，
以此类推，可知，第n组本原勾股数的第一个数为 ，且第三个数比第二个数大1，且第二个数和第三
个数的和等于第一个数的平方，
设第n组本原勾股数的第二个数为 ，则第三个数为 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
5．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）勾股定理 本身就是一个关于 ， ， 的方程，满足这个
方程的正整数解 通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式
可以构造出如下勾股数组： ．分析上面勾股数组可以发现，
，分析上面规律，第9个勾股数组为 ．
【答案】（19，180，181）
【难度】0.65
【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理．
由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，
，…可得第9组勾股数中间的数为：
，进而得出（19，180，181）．
【详解】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，
，…可得第9组勾股数中间的数为：
，进而得出（19，180，181）．
故答案为（19，180，181）．
6．（23-24八年级下·福建厦门·期中）将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题：
3 8 15 24 35 48 …
4 6 8 10 12 14 …5 10 17 26 37 50 …
(1)当 时，直接写出 的值；
(2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理
由；
(3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的
另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
【答案】(1)
(2)不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71，理由见解析
(3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两
条边的长都是正整数．理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股数问题，勾股定理的逆定理，正确理解题意是解题的关键。
（1）观察表格可知， （ ，且 为整数），据此根据b的值求出m的值，
进而求出a的值即可；
（2）分别令 的值等于71，看m是否有大于等于2的正整数解即可；
（3）根据 可知若一个三角形三边长分别为 ， ， （ ，且
为整数），则该三角形为直角三角形，据此可得结论．
【详解】（1）解：观察表格可知， （ ，且 为整数），
∴当 时，则 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71，理由如下：
当 时，此时 ，不符合题意；
当 时，此时 ，不符合题意；
当 时，此时 ，不符合题意；
综上所述，不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71；
（3）解：以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形
的另两条边的长都是正整数．理由如下：对于一组数： ， ， （ ，且 为整数）．
∵
∴若一个三角形三边长分别为 ， ， （ ，且 为整数），则该三角形为直角三角形．
∵当 ，且 为整数时， 表示任意一个大于2的偶数， ， 均为正整数，
∴以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两
条边的长都是正整数．
1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在 的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端
点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b， 恰好能作为直角三角形三边，则满足条件
的格点Q有（ ）
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了网格作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，分两种情况讨论即可得出答案，掌握相关
知识是解题的关键．
【详解】解：由网格可得：
，
，
∵线段a，b， 恰好能作为直角三角形三边，当 作为斜边时， ，
∴ ，
∵ ，
∴取格点 ， ，则点 ， 即为所求的点，如图：
当 作为斜边时， ，
网格中，找不到一个格点 ，使得 ，
综上，符合条件的点只有 个，
故选：B．
2．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【知识回顾】
（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两
直角边长分别为 ， ，斜边长为 ．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了
勾股定理 ．请写出证明过程．
【类比迁移】
（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若 ， ，则空白部分的面积为
___________．
【能力提升】
（3）如图3，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 的长为 ，请求出
的值．【答案】（1）见解析；（2）13；（3）
【难度】0.65
【分析】（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为 的正方形的面积建立方
程，即可得出结论；
（2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案；
（3）设 的长为 ，则 ，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为 ，
大的正方形的面积还可以表示为
∴
∴
∴ ；
（2）空白部分的面积 边长为c的正方形的面积 个直角三角形的面积 ，
∵ ， ，
∴空白部分的面积 ；
（3）∵设 的长为 ，则
∵ 是 边上的高
∴
∴
∴
解得 ．【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数 ，称
为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这
组数的整数倍，如 等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如
等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数 才能满足关系式 ．设
为一组勾股数，观察下表回答问题：
表1 表2
a b c a b c
3 4 5 6 8 10
5 12 13 8 15 17
7 24 25 10 24 26
9 40 41 12 35 37
(1)根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）；
观察可得：表1中b、c与 之间的关系是________；（填勾股定理不得分）
(2)根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）；
观察可得：表2中b、c与 之间的关系是________；（填勾股定理不得分）
(3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？
（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如 ）
【答案】(1)60；61；
(2)63；65；
(3) 或【难度】0.65
【分析】本题考查了勾股数，数字的变化类-规律型．
（1）观察表1中的数据，可得 ， ，先将 代入 得 ，再根据
，可求得b、c的值；
（2）观察表1中的数据，可得 ， ，先将 代入 得 ，再根据
，可求得b、c的值；
（3）利用表1与表2的规律分别计算验证即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：当a为大于1的奇数，b、c的数量关系 ，b、c与 之
间的关系是： ，
∴当 时， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：60，61， ；
（2）解：根据表格中的数据可知：当a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是 ， b、c与 之
间的关系是 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
故答案为：63，65， ；
（3）解：由题意得 ，
如果满足表1的规律，那么 ， ，
∴ ，∴ ，符合题意；
如果满足表2的规律，那么 ， ，
∴ ，
∴ ，符合题意；
综上所述，这组勾股数可能为 或 ．
4．数学探究课上李老师出这样一道题：“等边 中有一点 ，且 ， ， ，试求
的度数．”小明和小军一起讨论时发现了一种求 度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，
请按照下列思路要求画图或判断．
(1)在图中画出 绕点A顺时针旋转 后的 (尺规作图)；
(2)试判断 的形状，并说明理由；
(3)试判断 的形状，并说明理由；
(4)由（2）（3）两问可知， _________．
【答案】(1)见解析
(2) 是等边三角形；理由见解析
(3) 为直角三角形，理由见解析
(4)
【分析】（1）以点 为圆心 为半径作弧，再以点 为圆心 长为半径作弧，两弧交于点 ，连接 ，
，则 即为所作；
（2）连接 ，由旋转的性质可得 ，则 是等边三角形；
（3）由勾股定理的逆定理即可得到 为直角三角形；
（4）由（2）（3）可得 ， ，再根据 进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：如图， 即为所作，（2）解： 是等边三角形；理由如下：
如图，连接 ，由旋转的性质可得 ，
则 是等边三角形；
（3）解： 为直角三角形，理由如下：
由（2）得 是等边三角形，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
，
∴ 为直角三角形；
（4）解：由（2）可得 是等边三角形，
，
由（3）可得 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了作图—旋转变换，旋转的性质，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定与性质，熟练
掌握旋转的性质，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定与性质，是解题的关键．
