文档内容
2.2.4 平方根与立方根（第 4 课时） 导学案
1.掌握无理数估算的基本方法，学会比较无理数与有理数、无理数与无理数的大小.
2.经历平方运算估算无理数范围的过程，体会转化思想在数学中的作用．在 “夹逼法” 缩小无理数范围
的过程中，培养数感和近似计算能力.
3.结合生活实例，感受无理数估算在建筑安全、测量等实际场景中的应用，体会 “数学源于生活、用于生
活 ”.
重点：利用有理数的平方（或立方）“夹逼” 无理数范围.
难点：估算的合理性与精度控制：如何快速找到合适的 “参考有理数”.
第一环节 自主学习
温故知新：
本节课将进入无理数的估算与大小比较的学习，先回顾以下问题：
1、立方根的概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x就叫作a的立方根．
2、无理数的定义：无理数是无限不循环小数，如√32（答案不唯一）就是一个无理数.
3、无限不循环小数的发现过程：通过平方运算不断确无限不循环小数的小数部分，最终发现这样的
小数不仅小数部分没有规律，更是无法完全计算出来.
新知自研：自研课本第36-37页的内容
【学法指导】
自研课本P36页思考交流上方的内容，完成下列问题：
1.某块地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，
它的面积为400000 m²。
（1）公园的宽大约是多少？它有1000 m吗？
①设公园的宽为xm，则长为2xm，根据面积公式得：2xx=400000
②x2=200000（化系数为1），则x=√200000（等号两⋅边同时开平方）
③因为10002=1000000，而200000<1000000，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以√200000<1000，公园的宽没有1000 m。
（2）如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流？
①针对计算的精度，题目要求计算到10m,因此计算10的倍数的平方：
②4402=193600（与200000差6400）
③4502=202500（与200000差2500）
因为202500 更接近200000，所以√200000≈450m
（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m²，你能估计它的半径吗（结果精确到1 m）？
√S
①圆形面积公式S=πr2，得r= 。
π
②代入S=800m2，π≈3.14：
√ 800
r≈ ≈√254.78
3.14
③因为152=225，162=256，所以15<√254.78<16
④因为152×3.14=706.5
162×3.14=803.84，16更接近800，所以半径大约是16 m.
2.在例题中，每一小问都涉及都无理数的估算，我们发现估算无理数时，总是通过找到临近的数字的平方，
并取更加逼近无理数的那个数，该过程可归结如下：
（1）确定 “夹逼” 方向，锁定整数范围：
先找两个邻近的整数，使它们的平方（立方，对应开平方、开立方）分别小于、大于被开方数；
（2）细化精度，缩小范围：
若需要更精确的估算，则在第一步的整数区间内，找一位小数的平方继续 “夹逼”；
（3）确定近似值（结合需求取整或截断）：
根据题目要求的精度（如 “精确到 ”“精确到 ” ），从夹逼出的范围中取更接近无理数的近似
值。
1 0.1
以上步骤称为“夹逼法”，“夹逼法” 的核心是用已知有理数的平方、立方等，逼近未知
无理数的范围，通过“大范围→小范围”， 逐步缩小边界，最终根据需求确定近似值。
3.
请你用夹逼法估算√11，结果精确到小数点后一位
4. ①首先，寻找两个整数，使得它们的平方分别小于和. 大于11：
；
32=9 42=16
因此，√11的整数部分是3，即：3<√11<4
②接下来，在3.0到4.0之间，寻找一位小数，使得它们的平方分别小于和大于11：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司试3.3：3.32=10.89
试3.4：3.42=11.56
此时，√11在3.3和3.4之间：3.3<√11<3.4
③11−3.32=11−10.89=0.11
3.42−11=11.56−11=0.56
由于0.11<0.56，因此√11≈3.3
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下，思考以下问题：
1.（ ）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流。
， ，
1√0.43 √3 900 √2536
≈0.066 ≈96 ≈60.4
①√0.43≈0.066：错误.
理由：0.0662=0.004356 ，远小于0.43 ，因此√0.43应大于 0.066 ；
②√3 900≈96：错误.
理由： =884736，远大于900，因此 应小于 96；
963 √3 900
③√2536≈60.4：错误.
理由：60.42=3648.16，远大于2536，因此√2536应小于 60.4。
（2）你能估计√3 900的大小吗（结果精确到1）？
①寻找整数 和 ，使得 ：
a a+1 a3<900<(a+1) 3
， ，因此 。
93=729 103=1000 9<√3 900<10
②计算中间值的立方，缩小范围：
， .
9.63=884.736 9.73=912.673
③比较差值：
900−884.736=15.264，912.673−900=12.673
由于 更接近900，故 ≈10（精确到1）.
9.73 √3 900
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司√5−1 √5−1 1
（3）宽与长之比为 的长方形称为“黄金矩形”。你能比较 与 的大小吗？你是
2 2 2
怎么想的？
√5−1 1
①结论： >
2 2
②理由如下：
代数推理：√5>2，因此√5−1>1
√5−1 1
两边除以2： >
2 2
2.经过以上的计算，我们对于无理数的估算已经有了方法技巧，在比较大小的时候，我们发现可以将两个
数都平方，将他们化为有理数进行比较.如√5与2在比较时，若是比较它们的平方，那么两数的大小将会
很直观的呈现.
以上比较方法叫做平方法，适用于有理数与无理数或无理数与无理数之间的比较.
3. 平方法：将两个无理数平方（或立方）转化为有理数，比较平方（或立方）后的结果.
4. 典例分析
1
例 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定。
3
如图，现有一架长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗？
1
解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为x m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的 。
3
根据勾股定理，有
1
x² + (6× )² = 6²，
3
即x²=32，x=√32
因为5.6²=31.36＜32，所以√32＞5.6;
因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头。
5.总结归纳立方根的定义、性质与运算性质.（完成在随堂笔记处）
第三环节 自研自探
1.除了估算，我们也可以利用计算器进行开方运算
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键？利用计算器求下列各式的值（结果
精确到0.0001）：①√5.89；②√3−1285
解：常用按键：平方根用“√”（或“sqrt”）键，立方根用“x√y（任意根）键或专门的“³√”键。
①√5.89：按“√”→输入“5.89”→按“=”，结果精确到0.0001为 2.4269 .
②√3−1285：按“x√y”→输入“-1285”→按“x√y”→输入“3”→按“=”，结果精确到0.0001
为-10.8700
（2）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运
算……随着开平方次数的增加，你发现了什么？改另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的
规律。
①很大的正数（如10000）：反复开平方→100→10→3.162→1.772→1.331→…→趋近于1。
②小于1的正数（如0.0001）：反复开平方→0.01→0.1→0.316→0.562→0.750→…→趋近于1。
③结论：无论初始是很大的正数还是小于1的正数，反复开平方后结果均趋近于1。
2.计算机开方操作总结.
（1）平方根：①按“√”键；② 输入被开方数；③按“=”键
（2）立方根：① 按“x√y”键；②输入被开方数；③按“x√y”键；④输入根指数“3”；⑤按“=”键。
3.拓展提升
物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度，它的计算公式为
，其中 ， ，求第一宇宙速度（结果精确到100 m/s）。
v=√gR g=9.8m/s2 R=6.37×106m
解：v=√gR
=62.426
gR=9.8m/s2×6.37×106m =6.2426×107m2/s2
要计算 ，先寻找接近624260000的平方数：
√6.2426×107
79002=62410000，由于结果精确到100m/s.
因此第一宇宙速度约为7900 m/s
1.估计下列各数的大小：
（1）√13.6（结果精确到0.1）；
（2）√3800（结果精确到1）.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解：寻找相邻的一位小数，使其平方接近13.6：
， .
3.62=12.96 3.72=13.69
13.6−12.96=0.64，13.69−13.6=0.09
13.69更接近13.6。
结论：√13.6≈3.7
2.比较√6与2.5的大小。你是怎么做的？
解:寻找相邻的整数，使其立方接近800：
，
93=729 103=1000
计算中间值的立方：9.33=804.357，9.23=778.688
比较差值：800−778.688=21.312，804.357−800=4.357，
9.33更接近800
结论：√800≈9
3.利用计算器比较 和 的大小.
√33 √2
解：用计算器计算：√33≈1.442，√2≈1.414.
比较数值：1.442>1.414.
结论：√33>√2
类型一：估算无理数的近似值
1.估算 √10的值，精确到 0.1.
解：确定整数范围：
， 精确到 0.1：
32=9<10 42=16>10
计算一位小数的平方：
，
3.12=9.61<10 3.22=10.24>10
10−9.61=0.39， 10.24−10=0.24
3.2更接近 √10，因此√10的近似值时3.2
类型二：无理数与有理数的大小比较
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司2.比较 与 2.7 的大小;
√7
3.比较 与 3.1416 的大小.
π
2.解：
√7 2=7 2.72=7.29
7<7.29→ √7<2.7
3. 解：π≈3.1415926535...
3.1415926535<3.14160 → π<3.1416
类型三：两个无理数的大小比较
4.比较 √15 与 √17的大小;
5.比较√3 与√36的大小.
4.解：15<17 → √15<√17
5.解：统一为 6 次方（2 和 3 的最小公倍数）：
（√3）
6=33=27
（√36） 6=62=36
因为36>27，所以√3 <√36.
类型四：利用估算解决实际问题
6某物体的长度为√50 厘米，已知一个盒子的内部长度为 7.2 厘米，这个物体能否放入盒子？
解： =50； =51.84
（√50） 2 7.22
因为51.84>50所以√50<7.2
因此这个物体能够放入这个盒子。
1.（2024・天津）估算√10的值在（ C ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
2.（2024·重庆） 题目：已知m=√35，则实数mm的范围是（ D ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A. 2___ 2（填>、<或=）
1、无理数的估算方法：“夹逼法”：用已知有理数的幂（平方、立方等），逼近未知无理数的范围，通
过“大范围→小范围”， 逐步缩小边界，最终根据需求确定近似值。
2、用计算机计算无理数的近似数的步骤：
（1）平方根：①按“√”键；② 输入被开方数；③按“=”键
（2）立方根：① 按“x√y”键；②输入被开方数；③按“x√y”键；④输入根指数“3”；⑤按“=”键。
3、无理数与其他数的大小比较方法：平方法：将两个无理数平方（或立方）转化为有理数，比较平方
（或立方）后的结果.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
