文档内容
2.5 二次函数与一元二次方程
第2课时 利用二次函数求方程的近似根
教学内容 第2课时 利用二次函数求方程的近似根 课时 1
1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似
核心素养 根的体验.
目标 2.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方法
的思路，体验数形结合思想.
1．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；
知识目标 2．进一步体会二次函数与一元二次方程的关系．
教学重点 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
教学难点 进一步体会二次函数与一元二次方程的关系.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交
设计意图：让学生再次感
点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 知一元二次方程的根与二
次函数图象与x轴交点之
间的关系,为新知识的探
究打下了良好的基础.
二、探究 师生活动：让学生独立回答.
新知
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：利用图象法求一元二次方程的近似根
设计意图：本环节是本节
新课的重点内容，一是让
上册我们已经学习了一元二次方程的各种解
学生巩固对二次函数图象
法，今天我们尝试另外的一种解法——图象法.
的形成的认识，二是让他
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程
们运用二次函数图象与x
x2 + 2x - 10 = 0 的根吗?
轴交点的横坐标就是方程
多媒体展示函数y＝x2＋2x－10的图象.
ax2+bx+c＝0 的根的原
教师引导学生观察并估计二次函数y＝x2＋2x
理，经历一元二次方程根
－10的图象与x轴的交点的横坐标，确定出二次
的近似值的探索过程，进
函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴的交点的横坐标
一步体会二次函数与方程
的大致范围.
之间的联系.
学生观察后得出：
由图象可知，方程 x2 + 2x - 10 = 0有_两个_根，
一个根在_－5_和__－4_之间，
另一个根在__2_和_3__(填两个整数）.
议一议：这只是大概范围，究竟更接近于哪
一个数呢？请大家继续讨论.
经过讨论学生发现：既然一个根在－5与－4
之间，那这个根一定是负4点几，所以个位数就
确定下来了.
教师继续提出问题：如何确定它的十分位
呢？
学生再分组讨论，小组代表发言：十分位上
的数可以用试一试的方法确定，即分别把x＝－
14.1，－4.2，…，－4.9代入方程进行计算，哪一
个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成
立)，则这个值就是方程的根(或近似根).
教师先肯定这种方法可行，但是计算比较烦
琐，同学们可以借助计算器进行计算.
学生合作，完成下表
x … －4.1 －4.2－4.3－4.4 …
y … …
教师多媒体展示表格和所作的图象，供学生
参考.
师：现在你能确定十分位上的数了吗？
教师总结：由表格可知，当x取－4.3或－4.4
时，对应y的值由负变正，可见在－4.4和－4.3
之间一定有一个x值使y＝0，即有方程x2＋2x－
10＝0的一个根.由于当x＝－4.3时，y＝－0.11比
y＝0.56(x＝－4.4)更接近0，所以x＝－4.3更接近
方程的根.
因此，方程x2＋2x－10＝0在－5和－4之间
精确到0.1的根为x＝－4.3.
用同样的方法让学生找到2和3之间的近似
根为x＝2.3.
教师点评：用图象法求一元二次方程的近似
根时，结果只取到十分位.
师：我们得出的结论是否正确？你能用我们
学过的知识进行验证吗？
生：可以利用一元二次方程的求根公式进行
验证.
学生独立完成验证过程.
教师多媒体展示，供学生参考.
归纳总结
利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般步
骤：
① 画出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象；
② 确定抛物线与 x 轴的交点的横坐标在哪两个
设计意图：通过探究，既
数之间；
巩固了所学知识，又让学
③ 列表，在②中的连个数之间取值，进行估计.
生明白了一元二次方程
近似根就出现在对应 y 值正负交换的位置.
ax2+bx+c＝k 的根就是二
次函数 y＝ax2+bx+c的图
多媒体展示课本做一做
象与直线 y＝k(k是实数)
师：请求一元二次方程 x2＋2x－10＝3的近
交点的横坐标这一数学原
似根.
理，培养学生观察图象、
教师提示学生对比方程x2＋2x－10＝3和方
分析图象的能力.
程x2＋2x－10＝0的形式的不同之处，思考解决
问题的方法.
学生观察后得出：通过转化可以把原方程变
形为x2＋2x－13＝0，然后按照上面探究的方法进
行求解.
由图象可知方程有两根，一个在－5 和－4 之
间，另一个在 2 和 3 之间. y
1 x
–5–4–3–2–1O 1 2 3
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
–11
2 –12
–13
–14一个近似根：－4.7；另一个近似根：2.7
做一做
师：你还能求一元二次方程x2＋2x－10＝3的
近似根吗?
教师引导学生对比方程x2＋2x－10＝3和方
程x2＋2x－10＝0相应的函数表达式的y的值，讨
论y＝3时对应的x值的确定方法.
然后学生分组讨论，小组代表阐述本小组的
观点：只需要找到二次函数y＝x2＋2x－10图象和
直线y＝3的交点的横坐标即可.学生在课本的图
2-18上作出直线y＝3，确定交点.
根据图象得到近似根.
y = x2 + 2x - 10 和
直线 y = 3 交点和横坐标
就是方程 x2 + 2x - 10 = 3 的根
归纳总结
利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方
法：
①直接作出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象；
图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2
+ bx + c = 0 的根.
②先将一元二次方程变形为 ax2 + bx =－c，再在
同一直角坐标系中画出抛物线 y = ax2 + bx 和直 设计意图：加强学生对二
线 y =－c；两图象的交点的横坐标就是方程 ax2 次函数图象判别是方程
ax2+bx+c＝0的根的方法
+ bx + c = 0 的根.
运用.
练一练
1. 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所
示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为
( )
A. x ≈－2.1，x≈0.1
1 2
B. x ≈－2.5，x≈0.5
1 2
C. x ≈－2.9，x≈0.9
1 2
D. x ≈－3， x≈1
1 2
答案：B
设计意图：
师生活动：学生举手回答问题，对于有问题的加 一元二次不等式的一般形
以分析. 式为 ax2 + bx+ c>0或ax2
+ bx + c < 0 ，解一元二
知识点二：*利用函数的图象求一元二次不等式的
次不等式的关键在于确定
解集 抛物线与x轴的交点，并
合作探究 判断抛物线在x轴的上方
问题1：函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图， 还是下方，进一步体会二
次函数与方程，不等式之
间的联系.
3教师播放PPT，让学生根据图象自主探讨这几
个问题.
（1）那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是
______________；
（2）不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是
______________；
（3）不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是
____________.
让学生体会解一元二次不等式的关键在于确定抛
物线与x轴的交点，并判断抛物线在x轴的上方
还是下方.
预设：
设计意图：通过探究，既
（1）x = −1，x = 3；
1 2 巩固了所学知识，又让学
（2）x < −1 或 x > 3；
生明白了解一元二次不等
（3）−1 < x < 3.
式ax2+bx+c>k或
ax2+bx+c 2 的解集
是______________；
（3）不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集
是____________.
然后学生分组讨论，小组代表阐述本小组的观
点： 设计意图：
找到抛物线与直线y＝2交点的横坐标，并判断抛 通过一元二次不等式的解
物线在直线y＝2的上方还是下方. 集翻过来推出二次函数的
预设： 图象，然后根据图象判断
（1）x = −2，x = 4； 函数与一元二次方程的相
1 2
（2）x < −2 或 x > 4； 关知识，提升学生反推的
能力和数形结合的思想.
（3）−2 < x < 4.
问题2：如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解
集是 x ≠ 2 的一切实数，
那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____
个公共点，坐标是 ；
方程 ax2 + bx + c = 0 的根是
.
教师根据题意带领学生一起分析，二次函数
值大等于0的解集是 x ≠ 2 的一切实数，则图象
与x轴的交点是x = 2，并且只有开口向上的二
次函数才符合其函数值大于0.
根据题意让学生画出二次函数的图象，回答
相关问题：
预设：
函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有1个公共
4点，坐标是(2 ，0)；
方程 ax2 + bx + c = 0 的根是x = x = 2.
1 2
问题3：如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实
数根，
那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有
______个公共点；
不等式 ax2 + bx + c＜0 的解集是什么？
设计意图：加强学生对二
次函数图象求解一元二次
类比问题2，学生自主探究，然后小组讨论，回
不等式的解集的方法
答问题，老师针对有问题的答案，播放PPT，根
运用.
据动图形象解释.
预设：方程没有实数根意味着函数与 x轴无交
点，则分两种情况：
① 当 a＞0 时，ax2 + bx + c＜0 无解.
② 当 a＜0 时，ax2 + bx + c＜0的解集是全体实
数.
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式：
(1)① -x2+x+2=0； ② -x2+x+2>0；③ -x2+x+2<0.
(2)① x2-4x+4=0； ② x2-4x+4>0；③ x2-4x+4<0.
(3)① -x2+x-2=0； ② -x2+x-2>0； ③ -x2+x-2<0.
师生活动：
1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。
2小组内批阅。
3.对板演的内容进行评价纠错。
归纳总结
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点的坐
标与一元二次不等式的关系
a＞0
三、当堂 （1） （2） （3）
练习，巩 （1）y＜0，x＜x＜x；y＞0，x＜x 或 x＞x.
1 2 1 2
固所学
（2）y＜0，x 之外的所有实数；y＞0，无解.
0
（3）y＞0，所有实数；y＜0，无解.
a＜0
设计意图：考查学生对根
据表格判断方程的解的运
用.
（1） （2） （3）
（1）y＞0，x＜x＜x；y＜0，x＜x 或 x＞x.
1 2 1 2
（2）y＜0，x 之外的所有实数；y＞0，无解.
0
5（3）y＜0，全体实数；y＞0，无解.
三、当堂练习，巩固所学
1. 根据下列表格的对应值: 设计意图：考查学生根据
图象的对称性求解另一个
相似根.
判断方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0,a,b,c 为常数)一
个解 x 的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23
B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 0 ？
（3）x 取什么值时，y < 0 ？
利用二次函数求方程的近似根
1．利用二次函数估算一元二次方程的近似根
板书设计 2．列表或利用图象求一元二次方程的近似根
3．利用二次函数的图象求一元二次方程不等式的解集
课后小结
在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题，给
教学反思 学生提供广阔的思考空间、活动空间，为学生搭建自主学习的平台；学生则
在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成
和能力的培养相伴而行，创造“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界.
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