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2.5 二次函数与一元二次方程
第 1 课时 二次函数与一元二次方程
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；
(重点)
2．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两
个不等的实根、两个相等的实根和没有实根；(重点)
3．通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培
养学生的数形结合思想．(难点)
一、情境导入
一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶
点与水面的距离 OC＝2.4m.当水位上升一定高度到达点 F时，这时，离水面距离CF＝
1.5m，则涵洞宽ED是多少？是否会超过1m?
根据已知条件，要求ED宽，只要求出FD的长度．在如图所示的直角坐标系中，只要
求出点D的横坐标即可．
由已知条件可得到点D的纵坐标，又因为点D在涵洞所成的抛物线上，所以利用抛物
线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标．你会求吗？
二、合作探究
探究点一：二次函数与一元二次方程
【类型一】 求抛物线与 x 轴的交点坐标
已知二次函数y＝2x2－4x－6，它的图象与x轴交点的坐标是________________．
解析：y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x－3)＝2(x－3)(x＋1)，设2(x－3)(x＋1)＝0，解得x ＝
1
3，x ＝－1，∴它的图象与x轴交点的坐标是(3，0)，(－1，0)．故答案为(3，0)，(－1，
2
0)．
方法总结：抛物线与x轴的交点的横坐标，就是二次函数为0时，一元二次方程的解．
【类型二】 判断抛物线与 x 轴交点的个数
已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
解析：(1)只需证明Δ＝(m＋2)2－4m×2≥0即可；(2)利用因式分解法求得抛物线与 x
轴交点的横坐标，然后根据x的值来求正整数m的值．(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以 x－1＝0或mx－2＝0，解得 x ＝1，x ＝.
1 2
当m为正整数1或2时，x 为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是
2
整数．所以正整数m的值为1或2.
方法总结：解答本题的关键是明确当根的判别式Δ≥0抛物线与x轴有两个交点．
【类型三】 已知抛物线与 x 轴的交点个数 ， 求字母系数的取值范围
已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解析：应分k－3＝0和k－3≠0两种情况进行讨论，(1)当k－3＝0即k＝3时，此函数
是一次函数；(2)当k－3≠0，即k≠3时，此函数是二次函数，根据函数图象与x轴有交点
可知Δ＝b2－4ac≥0，求出k的取值范围即可．
解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，
∴k＝3；
当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与
x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4
且k≠3.
综上所述，k的取值范围是k≤4.
方法总结：由于k的取值范围不能确定，所以解决本题的关键是要注意分类讨论，不
要漏解．
【类型四】 二次函数与一元二次方程的判别式、根与系数的关系的综合
已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x ，0)，B(x ，0)，且x 、x 的平方和为3，
1 2 1 2
求a的值．
解析：(1)利用关于x的一元二次方程x2＋ax＋a－2＝0的根的判别式的符号进行证明；
(2)利用根与系数的关系写出x 、x 的平方和是x＋x＝(x ＋x)2－2xx ＝a2－2a＋4＝3，由此
1 2 1 2 1 2
可以求得a的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a
－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)解：∵x＋x＝－a，x·x＝a－2，∴x＋x＝(x＋x)2－2x·x＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.
1 2 1 2 1 2 1 2
方法总结：判断一元二次方程与x轴的交点，只要看根的判别式的符号即可，而要判
断一元二次方程根的情况，要利用根与系数关系．
探究点二：利用二次函数解决运动中的抛物线问题
如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴
上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米
高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相
同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米(取4＝7)?
(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米(取2＝5)?解析：要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确
定点A和顶点M的坐标，因为OA＝1，OB＝6，BM＝4，所以点A的坐标为(0，1)，顶点
M的坐标是(6，4)．根据顶点式可求得抛物线关系式．因为点C在x轴上，所以要求OC的
长，只要把点C的纵坐标y＝0代入函数关系式，通过解方程求得OC的长．要计算运动员
乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米，实际就是求DB的长．求解的方法有多种．
解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a(x－6)2＋4，
由已知：当x＝0时，y＝1，即1＝36a＋4，所以a＝－.
所以函数表达式为y＝－(x－6)2＋4或y＝－x2＋x＋1；
(2)令y＝0，则－(x－6)2＋4＝0，
所以(x－6)2＝48，所以x＝4＋6≈13，x＝－4＋6<0(舍去)．
1 2
所以足球第一次落地距守门员约13米；
(3)如图，第二次足球弹出后的距离为 CD，根据题意：CD＝EF(即相当于将抛物线
AEMFC向下平移了2个单位)．
所以2＝－(x－6)2＋4，解得x＝6－2，x＝6＋2，
1 2
所以CD＝|x－x|＝4≈10.
1 2
所以BD＝13－6＋10＝17(米)．
方法总结：解决此类问题的关键是先进行数学建模，将实际问题中的条件转化为数学
问题中的条件．常有两个步骤：(1)根据题意得出二次函数的关系式，将实际问题转化为纯
数学问题；(2)应用有关函数的性质作答．
三、板书设计
二次函数与一元二次方程
1.二次函数与一元二次方程
2.利用二次函数解决运动中的抛物线问题
本节课注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主探究、合作学习来主动发现问题、提出
问题、解决问题，实现师生互动，通过这样的教学实践取得一定的教学效果，再次认识到
教师不仅要教给学生知识，更要培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习，
使他们能够在独立思考与合作学习交流中解决学习中的问题.
