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2.5 二次函数与一元二次方程
第 1 课时 二次函数与一元二次方程
学习目标:
体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与
x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两
个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的
横坐标．
学习重点:
本节重点把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．
掌握此点，关键是理解二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点，即y=0，即ax2＋bx＋c=0，从
而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x轴的交
点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位．
学习难点:
应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．
此点一定要结合二次函数的图象加以记忆．
学习过程:
一、实例讲解：
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式
2
h=-5t +v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面
以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？
(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
二、议一议：
2 2 2
在同一坐标系中画出二次函数y=x +2x,y=x -2x+1,y=x -2x+2的图象并回答下列问题：
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根
吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什
么关系?
第 1 页 共 4 页三、例题：
【例1】已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为
．
【例2】抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离
为2，求此抛物线表达式．
【例5】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．
请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式 ．
四、随堂练习：
1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．
（1）y=x2－2x；（2）y=x2－2x－3．
2．你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交
点、一个交点，何时没有交点？
五、课后练习：
1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 ．
2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，
则它的表达式为 ．
3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过 象限．
4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是 ．
5．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= ．
第 2 页 共 4 页6．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．
7．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 ．
8．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ．
a
9．抛物线y=x2－2 x＋a2的顶点在直线y=2上，则a的值是 ．
10．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无
a b c
11．如图1所示，函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则bc ca ab 的值是
（ ）
1 1
A．－3 B．3 C．2 D．－2
12．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图2所示，
则下列关系正确的是（ ）
b b b b
A．0＜－ ＜1 B．0＜－ ＜2 C．1＜－ ＜2 D．－ =1
2a 2a 2a 2a
13．已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．
14．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．
（1）当实数k为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
15．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过
P′、Q、P三点，画出抛物线草图．
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