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第 2 章第 05 讲 二次根式（第二课时）
1.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次根式化为最简形式；
2.掌握同类二次根式及合并同类二次根式；
3.掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算；
4.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算.
知识点01 最简二次根式
我们把满足①被开方数不含分母且分母中不含根式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
知识点02 同类二次根式
1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分
m√a+n√a=(m+n)√a(a≥0)
配律，如
知识点03 二次根式的加减
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变.
题型01 判断、化为最简二次根式
【典例】（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：A中 ，不是最简二次根式，故不符合要求；
B中 ，是最简二次根式，故符合要求；
C中 ，不是最简二次根式，故不符合要求；
D中 ，不是最简二次根式，故不符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
【变式1】（2023春·广东云浮·八年级校考期中）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解： ． 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
. 是最简二次根式，故本选项符合题意；
. 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
. 的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选： ．
【点睛】本题考查了最简二次根式，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二
次根式叫最简二次根式： 被开方数的因数是整数，因式是整式， 被开方数中不含有能开得尽方的因
数和因式．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）把下列二次根式化成最简二次根式：(1) (2) (3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把32写成16×2，然后化简；
（2）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简；
（3）分子分母都乘以3，然后化简．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式3】（2023·上海·八年级假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式：
(1) ； (2) ； (3) （ ） (4) （ ， ， ）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；
（2）将小数化为分数，根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；
（3）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；
（4）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解．
【详解】（1）解： ．
（2）解：（3）解： ．
（4）解： ．
【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，掌握二次根式的性质，二次根式分母有理化的计算
方法是解题的关键．
题型02 已知最简二次根式求参数
【典例】（2023春·全国·八年级专题练习）若二次根式 与 可以合并，则 的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】B
【分析】把a的值依次代入即可判断求解．
【详解】当a=6时， = ，不能与 可以合并，
当a=5时， = ，能与 可以合并，
当a=4时， = ，不能与 可以合并，
当a=2时， = ，不能与 可以合并，
故选B．
【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的化简方法．
【变式1】（2023·上海·八年级假期作业）两个最简二次根式 与 可以合并，则 _____．
【答案】5
【分析】根据最简二次根式的定义即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
∴ ，
∴ ，
但当 时， ，不是最简二次根式，应舍去，
∴ ；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键．
【变式2】（2023春·江苏·八年级专题练习）如果两个最简二次根式 与 能合并，那么
________．
【答案】4
【分析】根据题意得到 ，求出a即可求解．【详解】解：∵最简二次根式 与 能合并，
∴ ，
解得 ．
故答案为：4
【点睛】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，解题的关键是根据题意判断最简二次根式 与
是同类二次根式．
题型03 同类二次根式
【典例】（2023·山东烟台·统考中考真题）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、 ，与 不是同类二次根式，不符合题意；
B、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
C、 ，与 是同类二次根式，符合题意；
D、 ，与 不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二
次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【变式1】（2023·全国·八年级假期作业）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将二次根式化简为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，故A不符合题意；
B、 与 不是同类二次根式，故B不符合题意；
C、 与 是同类二次根式，故C符合题意；
D、 与 不是同类二次根式，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查同类二次根式和化简二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键．【变式2】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）若最简二次根式 与二次根式 能合并，则m＝
____．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的定义解决此题．
【详解】解： ，
若最简二次根式 与二次根式 能合并，则 ．
．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握最简二次根式、同类二次根式的定义是解
决本题的关键．
题型04 二次根式的加减运算
【典例】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考二模）计算 的结果是____________．
【答案】0
【分析】先化简二次根式，再根据二次根式的减法计算法则求解即可．
【详解】解： ，
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了二次根式的减法计算，化简二次根式，正确计算是解题的关键．
【变式1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）计算 的结果是___________．
【答案】0
【分析】先化简二次根式 ，再合并同类项即可得．
【详解】解：原式= = =0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了二次根式的的加减运算，解题的关键是正确化简二次根式．
【变式2】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）计算 ___________．
【答案】 /
【分析】先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【详解】解：原式 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键．
题型05 二次根式的混合运算
【典例】（2023春·浙江杭州·八年级浙江师范大学附属杭州笕桥实验中学校考期中）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式加减法法则合并同类二次根式即可；
（2）先利用完全平方公式计算，再去括号，最后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）原式 ；
（2）原式 ．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题关键在于熟练掌握完全平方公式：
．
【变式1】（2023春·广西梧州·八年级统考期中）计算
(1) ； (2) ．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式混合运算的法则求解即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）原式 ．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，属于基础题型，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
【变式2】（2023春·黑龙江双鸭山·八年级校联考期中）计算：
(1) ； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求解；
（2）根据二次根式的运算法则即可求解．【详解】（1） ．
（2） ．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则．
题型06 二次根式中的分母有理化
【典例】（2023春·山东威海·八年级统考期中）【信息阅读】
在进行二次根式运算时，会遇到形如 、 的式子，可以按如下方法化简：
；
．
对于 ，还可以这样化简：
．
【问题解决】
利用上述方法解决下列问题：
(1) = ；
(2)化简：
① ；
② ．
【答案】(1)
(2)① ；②44
【分析】（1）根据材料的方法即可求解，
（2）①根据材料的方法：利用平方差公式进行分母有理化即可求解，
②先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律后面的第二项和前面的第一项抵消，得出答案．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ．（2）① ，
②原式=
．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．
【变式1】（2023春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）阅读材料：在进行二次根式的运算时，如
遇到 这样的式子，还需做进一步的化简：
方法一： ；
方法二：
这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
解决问题：
(1)选择你喜欢的一种方法化简 ；
(2)下面是甲、乙两个同学 对分母有理化的过程：
甲：
乙：
请你判断，甲、乙两个同学的化简过程（ ）
A．甲、乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲、乙都错
(3)化简：
【答案】(1)
(2)A
(3)
【分析】（1）根据乘以有理化因式或根据平方差公式因式分解化简计算即可；（2）根据（1）中方法进行判断即可；
（3）根据方法一，进行分母有理化计算即可
【详解】（1）方法一：
方法二： ；
（2）解：根据（1）中的方法进行判断可知，甲、乙都对
故选A；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．
题型07 已知字母的值，化简求值
【典例】（2023春·河南安阳·八年级统考期中）已知 ，求：
(1)代数式 的值；
(2)代数式 的值．
【答案】(1)代数式 的值为
(2)代数式 的值为
【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可求解；
（2）先提公因式 ，然后代入字母的值，根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）先化简，再求值： ，其中
．
【答案】 ，
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代值计算即可．【详解】原式 ；
∴当 时，原式 ．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握平方差公式和完全平方公式，正确的进行计算，是解题
的关键．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）已知 ， ．
(1)填空： ， ；
(2)求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据二次根式的加法法则、乘法法则计算即可；
（2）根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式变形，代入计算，得到答案．
【详解】（1）解： ， ；
故答案为： ， ；
（2）解：原式 ；
∵ ， ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，乘除运算，同时考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握相
关运算法则，是解题的关键．
题型08 比较二次根式的大小
【典例】（2023春·河北邯郸·七年级邯郸市汉光中学校考期中）比较大小： _________6（填“＞”、
“＝”或“＜”）．
【答案】
【分析】由 ，再根据 即可得出答案．
【详解】解：
又
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，比较简单，中考易考题型．
【变式1】（2023·全国·八年级假期作业）比较大小： __________ ．（用＞，＝或＜填空）
【答案】＞【分析】先根据分母有理化的法则进行计算， 化简为 ，再根据实数比较大小的方法：若
，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，实数的大小比较，平方差公式，掌握相应的法则是
解题的关键．
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）比较大小： ___________ ； ____________ ；
___________ .
【答案】
【分析】根据二次根式性质比较大小即可得到结论．
【详解】解：① ，
；
② ，
；
③ ，
，
，
，即 ；
故答案为： ； ； ．
【点睛】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式性质是解决问题的关键．一、单选题
1．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A． ，选项不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B． 是最简二次根式，故本选项符合题意；
C． ，选项不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D． 的被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条
件的二次根式，叫最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽
方的因数或因式．
2．（2023春·广西百色·八年级统考期末）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可.
【详解】解：A. 与 不是同类二次根式，此选项不符合题意;
B. 与 是同类二次根式，此选项符合题意；
C. 与 不是同类二次根式，此选项不符合题意；
D. 与 不是同类二次根式，此选项不符合题意；
故选：B.
【点睛】本题主要考查同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方
数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式.
3．（2023春·安徽蚌埠·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则计算判断即可．
【详解】A. 不是同类二次根式，无法计算，不符合题意；B. ，不符合题意；
C. ，符合题意；
D. ，不符合题意；
故选Ｃ．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）下列名式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质进行求解即可．
【详解】解：A、 ，原式化简错误，不符合题意；
B、 ，原式化简错误，不符合题意；
C、 ，原式化简正确，符合题意；
D、 ，原式化简错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键．
5．（2023春·四川德阳·八年级统考期末）若最简二次根式 与 能够合并，则a的值是
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据最简同类二次根式可以合并，即被开方数相同即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式 与 能够合并，
∴ ，
解得： ．
故选C．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的定义．解题的关键是熟知同类最简二次根式的被
开方数相同．
二、填空题
6．（2021春·广东东莞·八年级东莞市东莞中学松山湖学校校考期中）把 化为最简二次根式，结果是
．【答案】 /
【分析】根据二次根式的性质解答即可．
【详解】解： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和最简二次根式，掌握二次根式的性质是解题关键．
7．（2023春·北京朝阳·七年级期末）比较两数的大小： 3．
【答案】＜
【分析】先将两数都写成二次根式的形式，再比较被开方数的大小即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，解题关键是将它们都写成二次根式的形式．
8．（2023春·湖北恩施·八年级校考期末）当 时， 和 两个最简二次根式是同
类二次根式．
【答案】3
【分析】根据同类二次根式的定义列一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵ 和 两个最简二次根式是同类二次根式，
∴ ，解得： ．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义列出一元一次方程是解答本题的
关键．
9．（2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期末）已知 ， ，则 的值为
．
【答案】14
【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而计算得出答案．
【详解】解： ．
∵ ， ，
∴原式．
故答案为：14．
【点睛】此题考查二次根式的化简求值，完全平方公式和平方差公式．正确运用完全平方公式是解题关键．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）如果 与 的值互为相反数，那么 的值为
．
【答案】 /
【分析】根据相反数的性质可得 ，根据二次根式的非负性可得 ， ，代入所求代
数式，利用二次根式的性质计算即可．
【详解】解： 与 的值互为相反数，
，
， ，
， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查相反数、二次根式的非负性、二次根式的混合运算等，解题的关键是根据二次根式的非
负性求出a，b的值．
三、解答题
11．（2020秋·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）计算题．
(1) ． (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再计算即可；
（2）根据二次根式的性质化简，再计算即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．12．（2023春·浙江宁波·八年级校考阶段练习）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，根据二次根式的加减混合运算即可求解；（2）利用完全
平方公式和平方差公式即可求解 ．
【详解】解：（1） ；
（2） ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、乘法公式等知识点．掌握相关运算法则是解题关键．
13．（2023春·河南漯河·八年级统考期中）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简，进而合并得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算，进而合并得出答案；
（3）直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而合并得出答案．
【详解】（1） ；
（2） ；
（3）．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
14．（2023春·山东聊城·八年级统考期末）计算：
(1) (2)
(3) (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并即可；
（2）先把除法运算化为乘法运算，再计算即可；
（3）利用平方差公式与完全平方公式先计算乘法运算，再合并即可；
（4）先化简二次根式与绝对值，再合并即可．
【详解】（1）解： ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【点睛】本题考查的是二次根式的加减乘除乘方运算，二次根式的混合运算，熟练的利用乘法公式进行简
便运算是解本题的关键．
15．（2023春·山东泰安·八年级统考期中）（1）当 时，求代数式 的值．
（2）当 ， ，求代数式 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用完全平方公式去根号，再代入 的值求解即可；
（2）利用完全平方公式变形求值即可．
【详解】解：（1） ，
，故代数式 的值是 ．
（2） ， ，
， ，
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及完全平方公式的运用，灵活运用完全平方公式计算是解题关键．
16．（2023春·山东威海·八年级统考期末）【材料阅读】
把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．
例如：化简 ．
解： ．
【问题解决】
(1)若a是 的小数部分，化简： ；
(2)化简： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）估算出 的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入 并化简即可；
（2）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：（1）∵ ，
∴ ，
即 的整数部分为2，
∴ ．
当 时， ．（2）解：原式=
= ．
【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，读懂题中材料：分母有理化的方法是解题的关
键．
