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第 2 章第 05 讲 二次根式（第二课时）
1.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次根式化为最简形式；
2.掌握同类二次根式及合并同类二次根式；
3.掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算；
4.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算.
知识点01 最简二次根式
我们把满足①被开方数不含分母且分母中不含根式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
知识点02 同类二次根式
1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分
m√a+n√a=(m+n)√a(a≥0)
配律，如
知识点03 二次根式的加减
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变.
题型01 判断、化为最简二次根式
【典例】（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·广东云浮·八年级校考期中）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) (2) (3)
【变式3】（2023·上海·八年级假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式：
(1) ； (2) ； (3) （ ） (4) （ ， ， ）．
题型02 已知最简二次根式求参数
【典例】（2023春·全国·八年级专题练习）若二次根式 与 可以合并，则 的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【变式1】（2023·上海·八年级假期作业）两个最简二次根式 与 可以合并，则 _____．
【变式2】（2023春·江苏·八年级专题练习）如果两个最简二次根式 与 能合并，那么
________．
题型03 同类二次根式【典例】（2023·山东烟台·统考中考真题）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·全国·八年级假期作业）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）若最简二次根式 与二次根式 能合并，则m＝
____．
题型04 二次根式的加减运算
【典例】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考二模）计算 的结果是____________．
【变式1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）计算 的结果是___________．
【变式2】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）计算 ___________．
题型05 二次根式的混合运算
【典例】（2023春·浙江杭州·八年级浙江师范大学附属杭州笕桥实验中学校考期中）计算：
(1) ； (2) ．
【变式1】（2023春·广西梧州·八年级统考期中）计算
(1) ； (2) ．
【变式2】（2023春·黑龙江双鸭山·八年级校联考期中）计算：
(1) ； (2)题型06 二次根式中的分母有理化
【典例】（2023春·山东威海·八年级统考期中）【信息阅读】
在进行二次根式运算时，会遇到形如 、 的式子，可以按如下方法化简：
；
．
对于 ，还可以这样化简：
．
【问题解决】
利用上述方法解决下列问题：
(1) = ；
(2)化简：
① ；
② ．
【变式1】（2023春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）阅读材料：在进行二次根式的运算时，如
遇到 这样的式子，还需做进一步的化简：
方法一： ；
方法二：
这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
解决问题：(1)选择你喜欢的一种方法化简 ；
(2)下面是甲、乙两个同学 对分母有理化的过程：
甲：
乙：
请你判断，甲、乙两个同学的化简过程（ ）
A．甲、乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲、乙都错
(3)化简：
题型07 已知字母的值，化简求值
【典例】（2023春·河南安阳·八年级统考期中）已知 ，求：
(1)代数式 的值；
(2)代数式 的值．
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）先化简，再求值： ，其中
．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）已知 ， ．
(1)填空： ， ；
(2)求 的值．题型08 比较二次根式的大小
【典例】（2023春·河北邯郸·七年级邯郸市汉光中学校考期中）比较大小： _________6（填“＞”、
“＝”或“＜”）．
【变式1】（2023·全国·八年级假期作业）比较大小： __________ ．（用＞，＝或＜填空）
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）比较大小： ___________ ； ____________ ；
___________ .
一、单选题
1．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·广西百色·八年级统考期末）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·安徽蚌埠·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）下列名式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·四川德阳·八年级统考期末）若最简二次根式 与 能够合并，则a的值是
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、填空题6．（2021春·广东东莞·八年级东莞市东莞中学松山湖学校校考期中）把 化为最简二次根式，结果是
．
7．（2023春·北京朝阳·七年级期末）比较两数的大小： 3．
8．（2023春·湖北恩施·八年级校考期末）当 时， 和 两个最简二次根式是同
类二次根式．
9．（2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期末）已知 ， ，则 的值为
．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）如果 与 的值互为相反数，那么 的值为
．
三、解答题
11．（2020秋·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）计算题．
(1) ． (2)
12．（2023春·浙江宁波·八年级校考阶段练习）计算：
(1) (2)
13．（2023春·河南漯河·八年级统考期中）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
14．（2023春·山东聊城·八年级统考期末）计算：(1) (2)
(3) (4) ．
15．（2023春·山东泰安·八年级统考期中）（1）当 时，求代数式 的值．
（2）当 ， ，求代数式 的值．
16．（2023春·山东威海·八年级统考期末）【材料阅读】
把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．
例如：化简 ．
解： ．
【问题解决】
(1)若a是 的小数部分，化简： ；
(2)化简： ．
