文档内容
2.2.3 平方根与立方根（第 3 课时） 导学案
1.理解立方根的概念，掌握立方根的性质，熟练求解立方根.
2.经历立方根性质的探索过程，体会类比思想和分类讨论思想．在计算立方根的过程中，逐步提升运算推
理能力.
3.在探究立方根的过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神．在解决实际问题
中，体会数学的实用价值，增强对数学学习的兴趣和自信心 .
重点：掌握立方根的概念、性质与运算.
难点：立方根与平方根的区别以及立方根性质的灵活运用..
第一环节 自主学习
温故知新：
本节课将进入立方根的学习，先回顾以下问题：
1.平方根的概念:一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根．
2.思考正数、0、负数的平方根:正数有两个平方根，0有一个平方根，负数没有平方根.
3.平方根的符号表示：一般用含有“√”的式子表示平方根.
4.开平方与平方运算互为逆运算；如：√9=±3，±√25=∓5.
新知自研：自研课本第34-35页例5的内容
【学法指导】
自研课本P34页随堂练习下方的内容，完成下列问题：
1.如图，是由大小相同的小立方块搭成的几何体。如果这个几何体的体积为216 cm³，那么每
个小立方块的棱长是多少?
首先明确正方体的体积V=a3，因为63=216，所以该几何体的边长为6cm，每个小立方块的棱长为2cm
（1）类似于以上的计算，先计算一些常规的数的立方：23=_____8____，
2 3 8
（− ）=___− ___，03=0.
3 27
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）仔细思考几何体的棱长得出的方式，并观察以上三个式子，容易发现以下特点：
2 8
①2的立方是8；− 的立方是− .
3 27
②概念形成：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x就叫作a的立方
根（cubic root，也叫作三次方根）.
2.立方根的性质探索.
（1）一个数的平方根可能有两个，通过以上计算，猜测：一个数的立方根可能有一个.
（2）验证以上的猜测：8的立方根是2，0的立方根是0，-27的立方根是-3.
（3）通过以上的计算，可以进一步确定：一个数的立方根只有一个.
（4）在学习实数时，将它分类成了正实数、0、负实数，对应的：正数有一个立方根，0也有一个立方根，
负数有一个立方根.
性质归纳：每个数a都有一个立方根，记作√3 a，读作 “三次根号 a ” ；且正数的立方根是正
数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
例如：当x³=7时，x是7的立方根，记作x=√37；2是8的立方根，记作√38 =2 .
3.你认为立方根与平方根有什么异同之处？
①相同点：都与乘方运算紧密相关，是基于乘方运算衍生出来的逆运算概念，都是为了解决 “已知乘方
结果求底数” 的问题.
②不同点：（1）定义范围不同，平方根中，被开方数必须是非负数；而立方根中，被开方数可以是任意
实数，正数、负数、0 均可；
（2）结果个数可能不同；
（3）符号表示以及运算结果的正负性都有所差异.
典例分析
例 求下列各数的立方根：
8
（1）-27； （2） ； （3）0.216； （4）-5
125
解：（1）因为 ，所以-27的立方根是-3，即 ；
(−3) 3=−27 √3 （−27）=−3
（2）因为(2) 3
=
8 ，所以 8 的立方根是2，即√
3
8
=
2；
5 125 125 5 125 5
（3）因为0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即√30.216=0.6；
（4）-5的立方根是√3−5.
4. 求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做 被开方数 .
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下，思考以下问题：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1.（1）在平方根中，开平方之后没有根号的数我们成为完全平方数，那么在以上例题中，一些数的立方根
8
的结果没有“
∛
”了，如-27、 、0.126.而这些数一定是具有这样的共同特点的：都是完全立方数
125
（2）在例题中， ，也就是 .若是将-3抽象成a，那么对于任意实数
√3 （−27）=−3 √3 （−3）3=−3
a，
有 .
√3 （a）3=a
（3）类似于以上的运算性质，我们不妨从几个例子来看看另一个运算性质是否成立. ，
（√33） 3
=3
， 从以上计算不难看出，对于是正数、负数还是 ，都满足 =a.
（√3−6） 3 （√30） 3 （√3 a） 3
=-6 =0. 0
在求立方根的计算中，一般可直接使用 ， =a 直接进行求解.
√3 （a）3=a （√3 a） 3
典例分析
例 求下列各式的值：
（1）√3−8 （2）√30.064 （3）− √ 3 8 （4）(√3 9) 3
125
解：（1）
√3−8=√3 （−2）3=−2
（2）
√30.064=√3 （0.4）3=0.4
（3） − √ 3 8 =− √ 3 （ 2 ） 3 =− 2
125 5 5
（4） (√3 9) 3 =9
2.总结归纳立方根的定义、性质与运算性质.（完成在随堂笔记处）
3.拓展提升
一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的27
倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的1000倍呢？体积变为原来的n倍呢？
解：设原正方体棱长为 a ，体积为 V =a3 ；变化后体积为 V =kV （k 为体积倍数），
1 1 1 2 1
对应棱长为a
2
①体积变为原来的8倍：k=8，则 √38=2，棱长变为原来的2倍；
②体积变为原来的27倍：k=27，则 √327=3，棱长变为原来的3倍；
③体积变为原来的1000倍：k=1000，则 √31000=10，棱长变为原来的10倍；
④体积变为原来的n倍：由上述公式，棱长变为原来的√3 n倍（n>0，n 为实数）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1.求下列各式的值：
， ， ，
√30.008 √3 −64 √3 53 (√316) 3
解：因为 0.23=0.008，所以 √30.008=0.2；
因为 (−4) 3=−64，所以 √3−64=−4；
√3 53 ；
(√316) 3=16.
=5
2. 一个正方体，它的体积是棱长为3 cm的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？
解：原正方体棱长为3 cm，体积
V =33=27cm3
1
新体积是原体积的8倍，所以
V =27×8=216cm3
2
设新棱长为 a，则 a3=216，解得 a=6 cm
类型一：求一个数的立方根
1.求64的立方根；
1
2.求- 的立方根；
8
解：1.因为43=64，所以64的立方根是4；
1 3 1
2.因为（− ）=−
2 8
类型二：利用立方根的性质化简或求值
3.化简 + ；
√3 (−27) √3125
4.已知 √3 x = 2，求 x 的值.
解：1.原式=-3+5=2
2.因为 √3 x = 2，所以x=23=8
类型三：立方根与平方根的辨析题
5.下列说法正确的是（ C ）
A. 负数没有立方根 B. 1 的平方根和立方根都是 1
C. √16的平方根是±2 D. √38的立方根是 2
类 型四：与立方根有关的方程求解
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司6.解方程x3 - 27 = 0；
7.解方程(x + 1) 3 = -8.
解：1.移项可得x3 =27 ，开立方可得x=3；
2.开立方得x + 1= -2，移项目=后合并同类项可得x=-3.
类型五：立方根在实际生活中的应用
8.要铸造一个体积为343dm3的正方体零件，求该零件的棱长。
解：设正方体零件的棱长为y dm，由体积公式可得y3=343。因为73=343，所以y=7，即该零件的棱长是
7 dm。
1. （2024・甘肃）：下列运算正确的是（ C ）
A. = 3 B. = 8 C. = -2 D. = 4
√9 ± (−2) 3 √3−8 −2 2
a 3
2.（2024・山东）：若√32a − 1与√31 − 3b互为相反数，则 的值为 .
b 2
3.（2024・四川）：下列各数中，其立方根为无理数的是（ D ）
1 1
A. -8 B. 0.125 C. D.
64 3
4.（2024・湖北）：已知x满足x 3- 64 = 0，求x的值.
解：移项可得x 3=64 ，开立方可得x=4
1、立方根的定义： 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a ，即 x ³ = a ，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根
2、立方根的性质：
（1）正数只有一个立方根；
（2）0也只有一个立方根；
（3）负数有且只有一个立方根.
3、立方根的运算性质
① ② =a
√3 （a）3=a （√3 a） 3
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