文档内容
2.2.3 平方根与立方根（第 3 课时） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第二章“实
数”2.2.3 立方根（3），内容包括：理解立方根的概念，掌握立方根的性质．
2.内容解析
学生在学习立方根之前已经掌握了平方根的概念、性质及计算. 平方根和立方根在形式上有相似性，
在计算时也有一些相似之处，这为学生通过类比学习立方根提供了良好的认知基础. 但平方根与立方根在
计算、表示甚至是取值范围方面都不一样，这种差异也正是学生学习过程中需要重点关注和区分的地方.
立方根作为代数知识的重要组成部分，是连接代数与几何的桥梁. 它不仅完善了运算体系，还为高阶数学
奠基.在学习本节课的知识之后，学生能够深入理解立方根的概念与性质，获得数学运算的新工具.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握立方根的概念、性质与运算.
1.教学目标
（1）理解立方根的概念，掌握立方根的性质，熟练求解立方根.
（2）经历立方根性质的探索过程，体会类比思想和分类讨论思想．在计算立方根的过程中，逐步提
升运算推理能力.
（3）在探究立方根的过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神．在解决
实际问题中，体会数学的实用价值，增强对数学学习的兴趣和自信心 .
2.目标解析
（1）学生要能准确复述立方根的定义，并解释其与立方运算的互逆关系.能正确读写符号√3 a，区分立
方根与平方根的符号差异.归纳三类数的立方根特征，并能计算整数、分数、小数的立方根，解决含立方根
表达式的求值问题.
（2）学生在学习过程中，要通过对比平方根与立方根的性质差异，自主发现两者的异同点. 能够将实
际问题抽象为开立方运算，并在此过程中归纳出立方根的概念. 在求立方根的过程中，明白如何将将实际
问题抽象为开立方运算，感受符号化与模型思想的作用，提高运算推理能力和应用建模能力.
（3）学生在立方根概念、符号、运算及性质的探究中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司勤于思考的精神，让学生感受数学知识之间的紧密联系和数学的严谨性. 在解决实际问题中，体会数学的
实用价值，增强对数学学习的兴趣和自信心 .
学生在之前已经系统学习了有理数的概念及其各类运算，包括加、减、乘、除和乘方运算，并在本节
课学习前，已经学习了平方根的相关概念和性质.这为理解立方根与立方运算的互逆关系构筑了重要基石.
平方根中正数有两个根的情况与立方根中任何实数都只有一个立方根存在显著差异，负数没有平方根但有
立方根这一特性也容易引发混淆，这对学生的思维严谨性提出了较高要求.
1.在求立方根时，受正数有两个平方根的性质影响，导致解题错误. 因此，在教学过程中应加强对比练
习，给出一系列求正数、负数、0的立方根的题目，让学生通过练习强化记忆，并且引导学生总结规律，
加深对立方根性质的理解.
2.在教学过程中多引入需通过具体实例（如体积求棱长）直观引出立方根概念，避免直接符号灌输.
同时，鼓励学生小组合作交流，共同探讨分析解决问题的方法，培养学生的合作能力和思维能力.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：立方根与平方根的区别以及立方根性质的灵活运用.
1.温故知新
本节课将进入立方根的学习，先回顾以下问题：
(1) 平方根的概念是什么？
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根．
(2) 思考正数、0、负数的平方根各有什么特点？
正数有两个平方根，0只有一个平方根，负数没有平方根.
(3) 回忆如何用符号表示一个数的平方根？
一般用含有“√”的式子表示平方根.
(4) 开平方运算与平方运算是什么关系？计算下列各数的平方根：√9、±√25.
开平方与平方运算互为逆运算；√9=±3，±√25=∓5.
通过以上问题，猜测一下：什么是立方根？它有什么性质？让我们赶紧进入本节课的学习吧！
（设计意图：由学生回忆并回答，为学习本节的知识做铺垫）
（教学建议：教师提问，指定学生代表回答．回顾平方根的有关概念，有利于学生类比平方根展开立方根
的学习）
2.情景引入
教师拿出一个魔方,全方位给学生展示魔方的特征。
问题: 同学们都玩过魔方吧，一个标准的三阶魔方，它的体积大约是 216 立方厘米。大家知道这个魔方
的棱长是多少吗？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司如果我们想制作一个体积为 125 立方厘米的迷你魔方，棱长又该是多少呢？
(设计意图：以魔方为载体引入，能迅速吸引学生的注意力。通过思考不同体积的魔方对应的棱长，引发
学生对 “立方运算逆运算” 的思考，为立方根概念的学习营造轻松有趣的氛围)
探究点1 立方根的概念与性质
1.如图，是由大小相同的小立方块搭成的几何体。如果这个几何体的体积为216 cm³，那么每
个小立方块的棱长是多少?
正方体体积V=a3，因为63=216，所以该几何体的边长为6cm，每个小立方块的棱长为2cm
2
（1）2的立方是多少？− 的立方是多少？0的立方呢？
3
2 3 8
23=8，（− ）=− ，03=0.
3 27
2 8
（2）仔细思考几何体的棱长得出的方式，并观察以上三个式子，2是8的什么数？− 又是− 的什么数？
3 27
概念形成：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x就叫作a的立方根
（cubic root，也叫作三次方根）.
（设计意图：引入立方根的概念）
（教学建议：教师引导学生通过观察、类比，自行归纳得到立方根的概念，培养学生主动参与、合作交流、
归纳总结的意识）
2.立方根的性质探索.
（1）一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢?
一个数的立方根只有一个.
（2）求8，0，-27的立方根.
8的立方根是2，0的立方根是0，-27的立方根是-3.
（3）正数有几个立方根? 0有几个立方根? 负数呢?
正数只有一个立方根，0也只有一个立方根，负数有且只有一个立方根.
性质归纳：每个数a都有一个立方根，记作√3 a，读作“三次根号a”；正数的立方根是正数，
负数的立方根是负数，0的立方根是0.
例如：当x³=7时，x是7的立方根，记作x=√37；2是8的立方根，记作√38=2.
3.你认为立方根与平方根有什么相同之处和不同之处？
相同点：都与乘方运算紧密相关，是基于乘方运算衍生出来的逆运算概念，都是为了解决 “已知乘方结
果求底数” 的问题.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司不同点：（1）定义范围不同，平方根中，被开方数必须是非负数；而立方根中，被开方数可以是任意实
数，正数、负数、0 均可；
（2）结果个数不同；
（3）符号表示以及运算结果的正负性都有所差异.
（设计意图：总结立方根的性质）
（教学建议：教师引导学生通过计算、观察，自行总节立方根的性质，培养学生主动参与、合作交流、归
纳总结的意识）
典例分析
例 求下列各数的立方根：
8
（1）-27； （2） ； （3）0.216； （4）-5
125
解：（1）因为 ，所以-27的立方根是-3，即 ；
(−3) 3=−27 √3 （−27）=−3
（2）因为(2) 3
=
8 ，所以 8 的立方根是2，即√
3
8
=
2；
5 125 125 5 125 5
（3）因为0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即√30.216=0.6；
（4）-5的立方根是√3−5.
求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数.
探究点2 立方根的运算性质
1.（1）在以上例题中，一些数的立方根的结果没有“∛”了，这些数有什么特点？
这些数的共同特点：都是完全立方数（即可以表示为某个有理数的立方）
（2）在例题中， ，也就是 .一般的， 成立吗？
√3 （−27）=−3 √3 （−3）3=−3 √3 （a）3=a
成立，因为开立方是立方运算的逆运算，对任意实数a，有 .
√3 （a）3=a
（3） =a成立吗？与同伴交流.
（√3 a） 3
成立，该性质可由立方根的定义直接得出.
在求立方根的计算中，一般可直接使用 ， =a直接进行求解.
√3 （a）3=a （√3 a） 3
（设计意图：通过求例题中的立方根，在进行观察与总结，得出立方根的运算法号表示.）
（教学建议：引导学生独自完成例题中的练习，实现了知识的自然迁移，使学生在自主探索的过程中不知
不觉地学到了新知识，理解并掌握了立方根概念与性质，同时在对比每个小题的答案，进行总结。教学重
点得以基本达成，教学难点也取得相应突破．在归纳出立方根的性质之后，引导学生将立方根与平方根进
行对比，加深理解，体会化归思想和类比思想．注意强调：立方根的运算可以直接用运算符号表示，且不
论正负．）
典例分析
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司例 求下列各式的值：
（1）√3−8 （2）√30.064 （3）− √ 3 8 （4）(√3 9) 3
125
解：（1）
√3−8=√3 （−2）3=−2
（2）
√30.064=√3 （0.4）3=0.4
（3） − √ 3 8 =− √ 3 （ 2 ） 3 =− 2
125 5 5
（4） (√3 9) 3 =9
一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的27倍，
它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的1000倍呢？体积变为原来的n倍呢？
解：设原正方体棱长为 a ，体积为 V =a3 ；变化后体积为 V =kV （k 为体积倍数），
1 1 1 2 1
对应棱长为a
2
①体积变为原来的8倍：k=8，则 √38=2，棱长变为原来的2倍；
②体积变为原来的27倍：k=27，则 √327=3，棱长变为原来的3倍；
③体积变为原来的1000倍：k=1000，则 √31000=10，棱长变为原来的10倍；
④体积变为原来的n倍：由上述公式，棱长变为原来的√3 n倍（n>0，n 为实数）
（设计意图：对立方根与几何结合的题型进行巩固强化练习.）
（教学建议：学生分组讨论探究作答，教师汇总后订正．提醒学生：此类数形结合的题目，先要确定几何
特征，构建数量关系．在求解时，先求特殊值的情况，再由此推导到一般情况，思路清晰，逻辑严密）
1.求下列各式的值：
， ， ，
√30.008 √3 −64 √3 53 (√316) 3
解：因为 0.23=0.008，所以 √30.008=0.2；
因为 (−4) 3=−64，所以 √3−64=−4；
√3 53 ；
(√316) 3=16.
=5
2. 一个正方体，它的体积是棱长为3 cm的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？
解：原正方体棱长为3 cm，体积
V =33=27cm3
1
新体积是原体积的8倍，所以
V =27×8=216cm3
2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司设新棱长为 a，则 a3=216，解得 a=6 cm
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知
的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
类型一：求一个数的立方根
1.求64的立方根；
1
2.求- 的立方根；
8
解：1.因为43=64，所以64的立方根是4；
1 3 1
2.因为（− ）=−
2 8
类型二：利用立方根的性质化简或求值
3.化简 + ；
√3 (−27) √3125
4.已知 √3 x = 2，求 x 的值.
解：1.原式=-3+5=2
2.因为 √3 x = 2，所以x=23=8
类型三：立方根与平方根的辨析题
5.下列说法正确的是（ C ）
A. 负数没有立方根 B. 1 的平方根和立方根都是 1
C. √16的平方根是±2 D. √38的立方根是 2
类 型四：与立方根有关的方程求解
6.解方程x3 - 27 = 0；
7.解方程(x + 1) 3 = -8.
解：1.移项可得x3 =27 ，开立方可得x=3；
2.开立方得x + 1= -2，移项目=后合并同类项可得x=-3.
类型五：立方根在实际生活中的应用
8.要铸造一个体积为343dm3的正方体零件，求该零件的棱长。
解：设正方体零件的棱长为y dm，由体积公式可得y3=343。因为73=343，所以y=7，即该零件的棱长是
7 dm。
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1. （2024・甘肃）：下列运算正确的是（ C ）
A. = 3 B. = 8 C. = -2 D. = 4
√9 ± (−2) 3 √3−8 −2 2
a 3
2.（2024・山东）：若√32a − 1与√31 − 3b互为相反数，则 的值为 .
b 2
3.（2024・四川）：下列各数中，其立方根为无理数的是（ D ）
1 1
A. -8 B. 0.125 C. D.
64 3
4.（2024・湖北）：已知x满足x 3- 64 = 0，求x的值.
解：移项可得x 3=64 ，开立方可得x=4
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
设计意图：运用思维导图将本节课主要知识点清晰呈现，增强学习的主动性与连贯性.
1.必做题：随堂练习第1、2题
2.探究性作业：习题2.2 第13题.
2.2.3 立方根
1. 定义：①形式x³=a；②x就是a的立方根
2. 性质：①正数只有一个立方根；
②0也只有一个立方根；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司③负数有且只有一个立方根.
3. 运算性质：① √3 （a）3=a ②（√3 a） 3 =a
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