文档内容
2025 学年度第一学期期末九年级自适应练习（2026.1）
数学试卷
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．试卷满分150分．考试时间100分钟．
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律
无效．
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
4．填空题须在对应矩形框内作答，超出对应边框作答无效．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸
的相应位置上】
1. 已知 ，下列式子一定成立的是（ ）
A. ， B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了比例的基本性质，分式的性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质．由已知比例
，通过代数变形验证各选项即可．
【详解】解：选项A：x和y不一定为5和2，可能为其他比例相同的数，不符合题意；
选项B：由比例得 ，不符合题意；
选项C：应由 得 ，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司选项D： ，符合题意；
故选D．
2. 在 中， ，如果 ， ，那么 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据勾股定理得出 是解题的关键，由
求解即可．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴由勾股定理， ，
∴ ，
故选A．
3. 下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的对称轴，掌握抛物线的对称轴为 是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司逐项验证 时的坐标和对称轴即可．
【详解】解：选项A： 经过 ，对称轴为直线 ，不符合题意；
选项B： 经过 ，对称轴为直线 ，不符合题意；
选项C： 经过 ，对称轴为直线 ，符合题意；
选项D： 经过 ，对称轴为直线 ，不符合题意；
故选C．
4. 设非零向量 、 、 ，如果 ， ，那么下列说法中错误的是（ ）
A. B. 与 方向相反
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，根据非零向量 、 、 ，有 ，
，即可推出 ，然后逐一判断各选项的正确性．
【详解】解：∵ ，且 ，
∴ ，
对于 A：∵ ，∴ ，正确；
对于 B：∵ ，∴ 与 方向相反，正确；
对于 C： ，正确；
对于 D： ，错误；
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学科网（北京）股份有限公司故选 D．
5. 如图，在 中，点D在边 上，点E、F在边 上， ．下列条件中，不一定能判定
的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是由平行得相似三角形，相似三角形的性质与判定，灵活运用定理、找准对应关系是
解题的关键，根据相似三角形的性质与判定，逐项判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
选项 A：∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴
，不符合题意；
选项B：∵ ，∴ ，不能得到 ，符合题意；
选项C：∵ ， ，∴ ，∴ ，∵
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学科网（北京）股份有限公司，∴ ，∴ ，不符合题意；
选项D：∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴
，∴ ，∴ ，不符合题意；
故选：B．
6. 如图，在等边三角形 中，点 在边 上，点 关于直线 的对称点分别是点 ，
那么关于线段 与线段 之间的数量关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识
点的应用是解题的关键．
连接 ，过 作 于点 ，由轴对称性质可得 ， ，
， ，又 是等边三角形，则 ，即
，可得 ，所以 ，故有 ，然后通
过勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，过 作 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵点 关于直线 的对称点分别是点 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算： =___．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】2
【解析】
【分析】根据立方根的定义进行计算．
【详解】解：∵23=8，
∴ ，
故答案为：2．
8. 函数 的定义域是______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查函数的定义域，根据分母不为0求解即可．
【详解】∵函数 ，
∴ ，
∴函数 的定义域是 ，
故答案为： ．
9. 已知反比例函数 ，其图象在所在的每一个象限内 都随 的增大而增大，则 的取值范围是
______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增
减性可得 ，由此即可得．
【详解】解： 反比例函数 的图象在每一个象限内， 都随 的增大而增大，
∵
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
10. 已知二次函数 的图像经过点 、 ，那么这个二次函数的解析式为
___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将点A和点B的坐标代入二次函数解析式，得到关于b和
c的方程组，然后求解方程组即可．
【详解】解：∵二次函数 的图像经过点 、 ，
∴代入点 得： ，即 ，
代入点 得： ，即 ，
解方程组： ，
两式相加得： ，解得 ，
把 代入 得： ，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
为
故答案 ．
11. 已知抛物线 的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数 图的象及其性质，二次函数的对称轴，与y轴的交点为 ．由抛物
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学科网（北京）股份有限公司线对称轴是 y 轴，得 ，代入 求出 ，再代入解析式得到
，最后求顶点坐标即可．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴是y轴，
∴对称轴方程为 ，
解得 ，代入 得 ，
当 时， ，
∴顶点坐标为 ．
故答案为 ．
12. 将两根长度相同的细铜丝均在其黄金分割点处弯折（不计弯折处损耗），再首尾相接围成一个矩形
（ ），连接 ，那么 的正切值等于___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查黄金分割 的定义，矩形的性质，正切的定义，熟练掌握以上知识点是做题的关键．
先根据黄金分割定义，设出细铜丝的长度，进而表示出矩形的长和宽，再利用矩形的性质和正切的定义，
进行计算即可．
【详解】解：设每根细铜丝的长度为 ，（ ）,
由黄金分割的定义可得，较长线段的长度为 ，
较短线段的长度为 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
根据题意可得，矩形 的长 ，宽 ．
四边形 为矩形，
，
在 中， ．
故答案为： ．
13. 如图，在 中， ， 为中线，点E在边 上， ．如果 ，
，那么 ___________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了利用余切求边长和直角三角形斜边中线的性质，由直角三角形斜边中线等于斜边一半
可知 ，进而得出 ，再由 即可得出结果．
【详解】∵ ， 为中线， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴
即 ．
故答案为：6．
14. 已知四边形 对角线 与 交于点O， ， ．如果
，那么 ___________度．
【答案】68
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点是做题的关键﹒由条件 ，
，可得 ，同理可得 ，再根据角之间的关系，即可求
出 的度数﹒
【详解】解：如图，
， （对顶角相等），
，
﹒
同理可得， ，
﹒
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
﹒
因为 ，即 ，
解得 ，
又 ，
﹒
故答案为：68﹒
15. 如图，斜坡 的坡度为 ，如果将斜坡的铅垂高度从A处沿射线 的方向延伸2米，并保持坡
度不变，那么需从B处沿射线 的方向延伸___________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，坡度比的相关问题，根据坡度比设 ， ，由题
意可知： ， ，则 ，
列方程求解即可．
【详解】解：如图所示：斜坡 的坡度为 ，设 ， ，
由题意可知： ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 即 ，
解得 ，
故答案为 ．
16. 如图， 中， 、 分别平分 、 ，点M、N分别在边 、 上．过点O
的线段 ．如果 ， ， ，那么 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例，根据题意得
， ，得 ，得 ，设 ， ，列比例
方程求解即可．
【详解】解：如图所示：
∵ 、 分别平分 、 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ；
设 ， ，
∵ ， ， ，则 ， ， ，
解得 ，
∴ ，
故答案为 ．
17. 我们把一个三角形一条边上的中线与另一条边上的高的交点称为这个三角形的中垂点．已知在
中， ， ， 为 边上的高，点O在 上，连接 并延长交 于点E，
如果点O是 的中垂点，那么 的值为___________．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，余弦的定义，勾股定理等知识点，
熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据中垂点的定义，利用相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性
质，分情况讨论即可．
【详解】解： ， 为 边上的高，
点 为 的中点， ．
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学科网（北京）股份有限公司点O是 的中垂点，
或点 为 的中点．
如图，
当点 为 的中点， 时，
， ．
在 中， ，
设 ，则 ，
， ．
， ，
，
，
即 ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司；
当点 为 的中点， 时，
， 为 边上的高，
点 为 的中点．
如图，连接 ，
即 为 的中位线，
， ，
，
．
综上， 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
18. 如图， 中， ， ， ，点D在边 上，将 沿着 翻折得
，其中点A与点 对应，连接 ，如果 ，那么 ___________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的相关计算，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，根据题意
证 ，得 ，设 ，则 ，求得 ，列方程求
解即可．
【详解】解：如图所示：
由题意可知： ， ， ， ， ；
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，所以 ；
∵ ，设 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，即
∵ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∵点D在边 上，
∴ ，即 ，
∴ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数混合运算，将特殊角的三角函数值代入计算，化简即可．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司．
20. 如图，已知线段 与 交于点O，点E、F分别在 和 上， ，射线 与
交于点G， ， ．
（1）求 的长；
（2）连接 ，设 ， ，那么 ___________， ___________．（用向量 、 表
示）
【答案】（1）4 （2） ，
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，平面向量的加减运算；
（1）由题意得 ， ， ，求得 ， ，列比例方程求
解即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由题意得 ， ， ， ，根据 求解即可．
【小问1详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ；
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ．
【小问2详解】
解：如图所示：
∵ ， ，
∴ ， ；
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
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学科网（北京）股份有限公司21. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 在第一象限内的图像交于
点 ，点 在直线 上．
（1）求点 、 的坐标；
（2）点C在反比例函数 的图像上，如果 ，将直线 平移，使其经过点 ，
求平移后所得直线的表达式．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及反比例函数上点的坐标特征、一次函数解
析式的求解以及一次函数的平移性质．
（1）先利用反比例函数解析式求出点 的坐标，再根据点 的坐标确定直线 的解析式，最后将点
的纵坐标代入直线解析式求出点 的坐标；
（2）由直线 的解析式 得到 ，结合 ，根据同位角相等判定 轴，
从而得到点 的横坐标与点 相同，再代入反比例函数求出点 的坐标；最后设出平移后直线的解析式，
代入点 的坐标求出参数．
【小问1详解】
解：∵点 在反比例函数 上，
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学科网（北京）股份有限公司∴代入 得 ，故 .
∵直线 过点 ，
∴ ，解得
∴直线 的解析式为 .
∵点 在直线 上，
∴代入 得 ，故 ；
【小问2详解】
解：如图，点 在点 右侧，设点 ，
∵ ，
∴点 到两坐标轴的距离相等，
∴ .
∵ ，
∴ 轴，
∴点 的横坐标与点 的横坐标相同，即点 的横坐标为 ，
∴将 代入 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴点 的坐标为 .
设平移后所得直线的解析式为 ，
将点 代入解析式，得 ，解得 ，
∴平移后所得直线的表达式为 ．
22. 【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步
思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别
落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？
【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形 中， ，
点E、F、G、H分别在边 、 、 、 上，且 ，___________，如果四边形
是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？
【分析问题】小普同学在与 的交流中， 给出了一种解决问题的思考路径：
【解决问题】
（1）根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）；
（2）根据小普同学与 的对话，设 ， ，用含a、b的代数式表示k；
（3）在图中，画出符合要求的菱形 ，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，平行四边形的判定；
（1）根据 是平行四边形，添加条件即可；
（2）由题意得 ， ，计算 即可解答；
（3）延长 ，利用圆规在 延长线上截取 ，连接 ；作 ，即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意可知 是平行四边形，则需添加 ；
【小问2详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ；
∵ ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ；
∴
∴ ，
【小问3详解】
解：如图所示 即为所求：
延长 ，利用圆规在 延长线上截取 ，连接 ；
作 ，交 边于点E即可．
23. 已知：如图，四边形 中，点E在边 上， 交 于点F， ，
．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边；
（1）由 得 ，由三角形外角得 即可解答；
（2）由 得 ，题意证 即可解答．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：由（1）得 ， ，
∴ ， ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
24. 在平面直角坐标系 中（如图），已知抛物线 与x轴交于点 ，与
y轴交于点B，顶点为P．
（1）用含a的代数式分别表示点B、点P的坐标；
（2）作过点B和点P的直线交x轴于点C．
①当a取不同的数值时，点C是否会移动？如果不会，试求出点C的坐标；如果会，试用含a的代数式表
示 的长；
②当a取1时，抛物线与y轴的交点记作 ，顶点记作 ，当a取 时，此时抛物线与y轴的
交点和顶点分别记作 和 ，如果 的补角等于 的两倍时，求m的值．
【答案】（1） ，
（2）①不会， ；②
【解析】
【分析】（1）把 代入 求出 ，得出 ，
再求出点B坐标和顶点P的坐标即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）①先求出 ，然后令 ，得出 ，求出点 ，即可得出答案；
②先求出 ， ， ， ，作 ， 交 于点
H，过点 作 于点Q，求出 ，根据等腰
三角形的判定得出 ，根据勾股定理得出 ，列出关于m的方
程，解方程即可．
【小问1详解】
解：把 代入 得：
，
∴ ，
∴ ，
∴顶点坐标为 ，
把 代入得： ，
∴ ．
【小问2详解】
解：①设 ，将 代入得：
，
∴ ，
∴ ，
令 ，则：
，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
∴ ，
∴点C不会移动，且 ；
②当 时， ，
∴ ， ，
当 时， ，
∴ ， ，
∴点 ， 都在y轴上， ， 都在直线 上，
∴ ，
如图，作 ， 交 于点H，过点 作 于点Q，
则 ， ，
∵ 的补角等于 的两倍，
∴ ，
第29页/共36页
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中根据勾股定理得： ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形外
角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
25. 如图，已知矩形 中，点E是边 上一动点，在 右侧作 ，使得
，其中点C、F分别与点E、C对应．已知 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）当点E与点B重合时，求四边形 的面积；
（2）点E由点A向点B移动的过程中（点E不与点B重合），研究以下3个量的变化情况，完成填空并
说明编号为②的量的变化情况的理由：
① 的大小；② 的长度；③ 的值．
其中，变大的量是___________；变小的量是___________．（请在横线处填入编号）
（3）当四边形 的一条对角线平分另一条对角线时，求 的长．
【答案】（1）
（2）变大的是③，变小的是①②
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，三角函数，三角形面积公式，三线合一，三角形重心的
性质，分类讨论，数形结合是解决问题的关键；
（1）根据勾股定理得 ，由 得 ，求出直角边，再按三角形
面积公式计算即可；
（2）作 于H，根据移动过程中 、 、 的变化情况判断即可；
（3）分两种情况讨论，当 平分 时， ，过点O作 ， ，则
， ，得 是等腰三角形， 是 的垂直平分线， ， 和
关于 对称， ，得 ， ，根
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学科网（北京）股份有限公司据 求解即可；当 平分 时，取 中点P，连接 交 于Q，证
，根据Q是 中线的交点，求出 ， ，设 ，则
， ， ， ，根据 列方程求解即可．
【小问1详解】
解：当点E与点B重合时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，，
∴ ，
解得 ， ，
∴四边形 的面积为： ．
【小问2详解】
解：作 于H如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∵ 增大，
∴ 减小，
∵ ，点C、F分别与点E、C对应，
∴ ， ，
∴ 减小；
∵ ，
∴ ．即 ，得 ，
∵ 增大，
∴ 减小；
∵ ，
∵ 减小，
∴ 增大；
∴ 增大，
综上：增大的是③，减小的是①②．
【小问3详解】
解：1、如图所示：当 平分 时，记 与 的交点为 ，
第33页/共36页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线，
∵ ，
∴ ，
过点O作 ， ，则 ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
的
∴ 是 垂直平分线，
∴ ，
∴ 和 关于 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ；
2、如图所示：当 平分 时， ，
第34页/共36页
学科网（北京）股份有限公司取 中点P，连接 交 于Q，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵Q是 中线的交点，
∴ ， ，
设 ， ， ，
解得 ，则 ， ，
∵ ，
第35页/共36页
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，解得 ．
∵E在 边上，
∴ ，
∴ ．
∴ 或 ．
第36页/共36页
学科网（北京）股份有限公司
