文档内容
2.3 二次根式（第 2 课时最简二次根式） 导学案
1.理解最简二次根式和同类二次根式的概念，能够熟练进行同类二次根式的合并与化简.
2.经历探索最简二次根式与同类二次根式的加减的过程，体会从特殊到一般的数学思想，感受数学知识之
间的内在联系，提升归纳和概括能力.
3.在解决二次根式相关问题时，促使学生感受数学的严谨性和逻辑性，体会数学运算的魅力，增强学生对
数学学习的兴趣和自信心.
重点：最简二次根式判断，以及同类二次根式加减法的运算法则及应用.
难点：准确识别同类二次根式并进行合并，在复杂运算中灵活运用二次根式的加减法则.
第一环节 自主学习
温故知新：
在学习最简二次根式之前，我们以及学习了二次根式的定义、性质以及乘除运算，这将能很优秀地帮助我
们学习本节课的内容.下面我们一起来回顾有关二次根式的知识点.．
①二次根式的定义：形如 ❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式；
②二次根式的性质：双重非负性，即❑√a≥0且a≥0.
③二次根式的乘法法则：❑√a⋅❑√b=❑√a⋅b(a≥0,b≥0)
④二次根式的除法法则：❑√a √a
=❑ (a≥0,b>0)
❑√b b
新知自研：自研课本第43页的内容
【学法指导】
自研课本P43页例4上面的内容，思完成下列任务：
1、请你回忆二次根式的乘除法则，若是将等号左右两边交换，会得到什么式子？
①乘法法则的变形：❑√ab=❑√a⋅❑√b(a≥0,b≥0)
②除法法则的变形：√a ❑√a
❑ = (a≥0,b>0)
b ❑√b
也就是说，一个二次根式可以看作两个二次根式相乘或者相除.这个结论将对下面的化简有什么帮助
呢？2、根据上面得到的式子，请尝试将下列式子进行开方计算，直到不能再开方为止.
（1）❑√81×64=❑√81×❑√64=9×8=72
（2）❑√25×6=❑√25×❑√6=5❑√6
（3）√5 ❑√5 ❑√5
❑ = =
9 ❑√9 3
❑√5
3、通过观察不难发现，72、5❑√6、 这三个数不能（“能”或“不能”）再进行开方运算，其中5❑√6、
3
❑√5
这两个数还具有根号，但它们的被开方数不含分母，且分母的被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
3
这样的二次根式，叫做最简二次根式.
4、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ C ）
√1
A. ❑√8 B. ❑
3
C. ❑√5 D. ❑√27
5、下列各式化简后，不是最简二次根式的是（ C ）
❑√6
A. ❑√41 B.
2
C. D.
❑√12 ❑√a2+25
6、请尝试将下列的二次根式化简.
√2 √1
（1）❑√50 （2）❑ （3）❑
7 3
思路分析：首先明确每个数可以看作哪两个二次根式相除或相除.（1）中的❑√50可以看作❑√25与❑√2相乘；
√2 √1
（2）中的❑ 可以看作❑√2与❑√7相除；（3）中的❑ 可以看作 与❑√3相除
7 3
1 .
解：（ ）❑√50=❑√25×2=❑√25×❑√2=5❑√2；
1
（ ）√2 √2×7 ❑√2×7 ❑√14；
❑ =❑ = =
7 7×7 ❑√7×7 7
2
（ ）√1 √1×3 ❑√1×3 ❑√3
❑ =❑ = =
3 3×3 ❑√3×3 3
3 .
第二环节 合作探究
小组群学在小组长的带领下，思考以下问题：
❑√14
1、你是如何发现❑√50含有开的尽方的数的？又是如何发现 是最简二次根式的？
7
接下来的学习需要我们准确的判断一个二次根式是否是最简，对于❑√50而言，其本身还有❑√25这个因式，
❑√14
因为这个因式是能够进行开方运算的，因此它含有开的尽方的数；而 的分母没有根号，且被开方数也
7
不能（能或不能）再进行开方运算，因此它是最简二次根式.
2、在学习二次根式的加减时，我们需要明确其前置条件，下面请你化简下列各式：
（1）❑√48与❑√3 ，其中❑√3不能再化简，另一个数的化简结果是 ❑√3.
√1 ❑√45
（2）❑√5与❑ ，其中❑√5不能再化简，另一个数的化简结果是 .
5 5
√4 2❑√3
（3）❑ 与❑√3，其中❑√3不能再化简，另一个数的化简结果是 .
3 3
仔细观察上式可以发现，化简后，每组式子中的两个数的被开方数相同.
3、同类二次根式：像上面那样，化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.
4、下列二次根式中，与❑√2同类二次根式的是（ B ）
A. ❑√17 B. ❑√18
C. ❑√20 D. ❑√15
5、下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ C ）
√1
A. ❑√3与❑√18 B. ❑ 与❑√8
2
C. ❑√27与❑√12 D. ❑√10与❑√40
6、在整式的加减法中，我们通常是将系数相加减，字母及其指数不变；若是将最简二次根式看作字母，
那么同类二次根式的加减该怎样进行？完成下面例子，回答此问题.
典例分析
例计算下列式子：
（1） ； （2） √1； （3）(√4 )
❑√48+❑√3 ❑√5-❑ ❑ +❑√3 ×❑√6
5 3
解：（1）❑√48+❑√3=❑√16×3+❑√3=❑√16×❑√3+❑√3=4❑√3+❑√3=5❑√3；
√1 √ 5 ❑√5 4
（2）❑√5-❑ =❑√5-❑ =❑√5- = ❑√5；
5 25 5 5（3）(√4 ) .
❑ +❑√3 ×❑√6
3
、二次根式的加减，只能在同类二次根式之间进行，且在进行加减时，被开放数和根指数不变，只
用系数进行相加减
7
8、总结归纳最简二次根式的特点以及同类二根式的特点和加减运算法则.（完成在随堂笔记处）
.
4.拓展提升
已知 x=❑√12-❑√27，y=❑√48+❑√75，求下列各式的值：
①x+ y； ②x- y；
x
③2x+3 y； ④ （结果化为最简形式）.
y
解：x=2❑√3-3❑√3=-❑√3
y=4❑√3+5❑√3=9❑√3
①x+ y=-❑√3+9❑√3=8❑√3；
②x- y=-❑√3-9❑√3=-10❑√3；
③2x+3 y=-2❑√3+27❑√3=25❑√3；
x -❑√3 1
④ = =-
y 9❑√3 9
1.化简：
（1）❑√32 （2）❑√72；
√12
（3）❑ ； （4）❑√1.5；
7
1
（5） .
❑√5
解；（1）❑√32=❑√16×2=❑√16×❑√2=4❑√2；
（2）❑√72=❑√36×2=❑√36×❑√2=6❑√2；
（3）√12 ❑√12 ❑√4×3 2❑√3 2❑√3×❑√7 2❑√21；
❑ = = = = =
7 ❑√7 ❑√7 ❑√7 ❑√7×❑√7 7
（4） √3 ❑√3 ❑√3×❑√2 ❑√6；
❑√1.5=❑ = = =
2 ❑√2 ❑√2×❑√2 2
1 ❑√5 ❑√5
（5） = =
❑√5 ❑√5×❑√5 5
2.下列计算是否正确？
（1）❑√2+❑√3=❑√5；
（2）2+❑√2=2❑√2；❑√8
（3） =❑√4
2
解：（1）不正确。❑√2与❑√3的被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接合并。
（2）不正确。2是有理数，❑√2是无理数，两者不是同类二次根式，不能直接合并。
❑√8 2❑√2
（3）不正确。正确化简： = =❑√2，而❑√4=2，两者不相等。
2 2
类型一：最简二次根式的识别与判断
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ C ）
A. ❑√12 B. ❑√25
C. ❑√7 D. ❑√0.36
2：下列二次根式化简后，不是最简二次根式的是（ C ）
A. B.
❑√10 ❑√a2+1
❑√6
C. ❑√20 D.
3
类型二：二次根式的化简
√ 5
3.化简：（1）❑√45; （2）❑
12
3
（3）❑√1.2 （4）
❑√6
解：（1）❑√45=❑√9×5=❑√9×❑√5=3❑√5
（2）√ 5 ❑√5 ❑√5 ❑√5×❑√3 ❑√15
❑ = = = =
12 ❑√12 2❑√3 2❑√3×❑√3 6
（3） √6 ❑√6 ❑√6×❑√5 ❑√30
❑√1.2=❑ = = =
5 ❑√5 ❑√5×❑√5 5
3 3❑√6 3❑√6 ❑√6
（4） = = =
❑√6 ❑√6×❑√6 6 2
类型三：同类二次根式的识别
4.下列二次根式中，与❑√3同类二次根式的是（ B ）
√1
A. ❑√18 B. ❑
3C. ❑√24 D. ❑√0.3
5.若最简二次根式❑√2m-1与❑√3m-4是同类二次根式，则m的值为（ B ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
类型四：同类二次根式的加减运算
√1
6.计算：（1）❑√9-❑√27+❑√48； （2）❑√8+❑ -❑√2
2
解：（ ）原式 =3-3❑√3+4❑√3=3-(3-4)❑√3=3+❑√3
（ ）原1式 ❑√2 ( 1 ) 3
=2❑√2+ -❑√2= 2+ -1 ❑√2= ❑√2
2 2 2
2
1.（2024·北京）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ C ）
√2
A. ❑√12 B. ❑
3
C. ❑√7 D. ❑√0.5
2. （2024·上海）化简：❑√45=3❑√5.
√ 5 ❑√15
3. （2024·江苏）化简：❑ = .
12 6
4. （2024·广东）计算：❑√27-❑√12+❑√48
解:原式=3❑√3-2❑√3+4❑√3
=(3-2+4)❑√3
=5❑√3
1、最简二次根式的概念：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根
式，叫作最简二次根式.
2、同类二次根式的概念：化简后被开方数相同得二次根式叫做同类二次根式.
3、同类二次根式的加减运算法则：同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数保持不变
