文档内容
第19讲 圆锥曲线中的光学性质
（高阶拓展、竞赛适用）
（3 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线光学性质的形式
2.理解、掌握圆锥曲线的光学性质问题及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习
知识讲解
1. 抛物线的光学性质
如图 1 所示, 从抛物线的焦点 F 发出的光线, 被抛物线反射后, 得到的是一系列的与抛物线对称轴平行
(或重合) 的光线;
如图 2 所示, 设抛物线在 P 处的切线 l交对称轴于点 Q,PM⊥ 上切线 l交对称轴于点 M, 则焦点 F
是 QM 的中点.图1 图2
2. 椭圆的光学性质
如图 3 所示, 从椭圆的一个焦点发出的光线, 被椭圆反射后,必定经过另一个焦点;
如图 4 所示, 椭圆在点 P 处的切线为 l, 直线 PQ⊥l 交直线 F F 于点 Q, 则 PQ 平分 ∠F PF
1 2 1 2
|PF | |QF |
, 由角平分线性质定理, 1 = 1 .
|PF | |QF |
2 2
图3 图 4
3. 双曲线的光学性质
如图 5 所示, 从双曲线一个焦点发出的光线, 被双曲线反射后, 反射光线的反向延长线交于另一个焦点;
如图 6 所示, 双曲线在点 P 处的切线 / 与直线 F F 相交于点 Q, 则 PQ 平分 ∠F PF , 由角平
1 2 1 2
|PF | |QF |
分线性质定理, 1 = 1
|PF | |QF |
2 2
图5 图6考点一、 椭圆中的光学性质
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆
反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为
，其左、右焦点分别是 ， ，直线l与椭圆C切于点P，且 ，过点P且与直线l垂直
的直线 与椭圆长轴交于点M，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三·安徽六安·阶段练习）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，
经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆 的左、右焦点为 , ，P
为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为 的内心，记直线OP，PI（O为坐标原点）的斜率分别为 ，
，若 ，则椭圆的离心率为 ．
3．（2024高三·全国·专题练习）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反
射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 ： 的左､右焦点分别为 ， ，
左､右顶点分别为 ， ，一光线从点F (−1,0)射出经椭圆 上 点反射，法线（与椭圆 在 处的切线
1
垂直的直线）与 轴交于点 ，已知 ， .求椭圆 的方程.1．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆
的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：
已知椭圆 的方程为 ，其左、右焦点分别是 ， ，直线 与椭圆 切于点 ，且 ，过
点 且与直线 垂直的直线 与椭圆长轴交于点 ，则 （ ）（注：若 的角平分线 交
于点 ，则 ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反
射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直
线与椭圆E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若 ，则
（ ）A． B． C． D．
3．（2023·浙江·模拟预测）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质，如：
点 为椭圆（ 为焦点）上一点，则点 处的切线平分 外角.已知椭圆 为坐标原
点， 是点 处的切线，过左焦点 作 的垂线，垂足为 ，则 为（ ）
A． B．2 C．3 D．
考点二、 双曲线中的光学性质
1．（2023·山西·模拟预测）双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射
光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，
从 发出的光线射向 上的点 后，被 反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高三上·全国·阶段练习）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，
反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线 ： 的左、右
焦点分别为 ， ，过 沿倾斜角120°出发的光线，经双曲线右支反射，若反射光线的倾斜角为30°，则
该双曲线的离心率为 .
3．（2023·湖南邵阳·三模）（多选）已知双曲线C 的左､右焦点分别为 ， ，双曲线
具有如下光学性质：从右焦点 发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向
延长线过左焦点 ，如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程为 ，则下列结论正确的有
（ ）A．双曲线C的方程为
B．若 ，则
C．若射线n所在直线的斜率为k，则
D．当n过点M（8，5）时，光由 所经过的路程为10
1．（2024·山东济宁·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，根据双曲线
的光学性质可知，过双曲线 上任意一点 的切线 平分 .直线 过
交双曲线 的右支于A，B两点，设 的内心分别为 ，若 与 的面
积之比为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D． .
2．（2023·全国·模拟预测）“双曲线新闻灯”的研制是利用了双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出
的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点.已知一个“双曲线新闻灯”的轴截面是
双曲线的一部分，其方程为 ，离心率为 ， 为其右焦点.若从右焦点 发出的
光线经双曲线右支上的点 和 反射， ， 为反射光线，且满足 ，则 .
3．（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其
反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线 的左、右焦点分别为 ，
从 发出的两条光线经过 的右支上的 两点反射后，分别经过点 和 ，其中 共线，则
（ ）A．若直线 的斜率 存在，则 的取值范围为
B．当点 的坐标为 时，光线由 经过点 到达点 所经过的路程为6
C．当 时， 的面积为12
D．当 时，
考点三、 抛物线中的光学性质
1．（2022·福建莆田·三模）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物
线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线
，一条平行于x轴的光线从点 射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物
线E交于点C，若 的面积是10，则 ( )
A． B．1 C． D．2
2．（23-24高二上·广东广州·期末）（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射
后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物
线的焦点．已知抛物线 ， 为坐标原点，一束平行于 轴的光线 从点 射入，
经过 上的点A(x ,y )反射后，再经 上另一点B(x ,y )反射后，沿直线 射出，且 经过点 ，则
1 1 2 2
（ ）A．当 时，延长 交直线 于点 ，则 、 、 三点共线
B．当 时，若 平分 ，则
C． 的大小为定值
D．设该抛物线的准线与 轴交于点 ，则
3．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）（多选）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线上的一点
反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 为抛物线 上
两个动点，且 三点不共线，抛物线 在 两点处的切线分别为 在 上的射影点
分别为 ，则（ ）
A．点 关于 的对称点在 上 B．点 在 上
C．点 为 的外心 D．
1．（2023·江西·模拟预测）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称
轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．
用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线 放在平面直角坐标系中，对称轴与 轴重合，
顶点与原点重合，如图，若抛物线 的方程为 ，平行于 轴的光线从点 射出，经过 上的
点 反射后，再从 上的另一点 射出，则 （ ）
A．6 B．8 C． D．29
2．（2024·浙江·模拟预测）应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远
镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光
学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜 弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜 弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知 是双曲线的两个焦点，其中 同时又是抛物线的
焦点，且， 的面积为10， ，则抛物线方程为 ．
3．（23-24高三上·山东滨州·期末）拋物线的光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行抛物
线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛
物线 ， 为坐标原点，一束平行于 轴的光线 从点 射入，经过 上的点 反射
后，再经过 上另一个点 反射，沿直线 射出，经过点 ，则（ ）
A．
B．
C．延长 交直线 于点 ，则 ， ， 三点共线
D．若 平分 ，则
一、单选题
1．（23-24高二上·福建福州·期中）班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆
的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：
已知椭圆C的方程为 ，其左､右焦点分别是 ， ，直线l与椭圆C切于点P，且 ，过
点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则 （ ）A． B． C． D．
2．（2022·新疆·三模）抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称
轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线 的焦点F发出的两条光线
a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为 ，且两条反射光线 和
之间的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（23-24高二上·山东青岛·期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线
平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知
抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射出，经过拋物线上的点 反射后，再经
抛物线上的另一点 射出，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过
双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线 的左、
右焦点分别为 ， ，从 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点 和 ．且
， ，则 的离心率为（ ）A． B． C． D．
5．（22-23高二下·贵州·阶段练习）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平
行于抛物线的对称轴；反之，抛物线内部平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦
点.已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上一点，一条光线沿 射出，经过抛物线
上的点 （异于点 ）反射，反射光线经过点 ，若 ，则抛物线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·江苏扬州·模拟预测）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，
其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E： 的左、右焦点分
别为 ， ，从 发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且 ，
，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲
线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E： 的左、
右焦点分别为 ， ，从 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且， ，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（23-24高二上·湖北武汉·期末）双曲线具有如下光学性质：从一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，
反射光的反向延长线经过另一个焦点．如图，已知双曲线 为双曲线 的左、
右焦点．某光线从 出发照射到双曲线右支的 点，经过双曲线的反射后，反射光线 的反向延长线经
过 ．双曲线在点 处的切线与 轴交于点 ，且反射光线所在直线的斜率为 ．则以下
说法正确的是（ ）
A．点 到直线 和直线 的距离相等
B．
C．双曲线 的离心率为2
D．若过点 的直线与双曲线 交于 两点，则点 不可能是线段 的中点．
9．（2023·湖南长沙·模拟预测）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行
于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．
已知抛物线 的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线 从点 射入，经过
抛物线上的点 反射后，再经抛物线上另一点 反射后，沿直线 射出，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．点 关于x轴的对称点在直线 上
C．直线 与直线 相交于点D，则A，O，D三点共线
D．直线 与 间的距离最小值为4
10．（2022·辽宁沈阳·一模）如图，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平
行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线 的焦点为F，一束平行于x轴的光线 从点 射入，
经过抛物线上的点 反射后，再经抛物线了上另一点 反射，沿直线 射出，则下列结论中
正确的是（ ）
A． B． C． D． 与 之间的距离为5
11．（2023·河南·模拟预测）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对
称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用
一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶
点与原点重合.若抛物线C： 的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 从点M射入，经
过C上的点 反射，再经过C上另一点 反射后，沿直线 射出，则（ ）
A．C的准线方程为
B．
C．若点 ，则
D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线 上
12．（2023·河北保定·一模）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为 ，则光线从椭
圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为（ ）
A．2 B．8 C．10 D．12
13．（2023·湖北·模拟预测）双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射
后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与
两焦点连线的夹角．已知 ， 分别为双曲线 的左，右焦点，过 右支上一点
作直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，则（ ）
A． 的渐近线方程为 B．
C．过点 作 ，垂足为 ，则 D．四边形 面积的最小值为
14．（23-24高二下·湖南·阶段练习）双曲线的光学性质为： ， 是双曲线的左､右焦点，从 发出的光
线 射在双曲线右支上一点 ，经点 反射后，反射光线 的反向延长线过 （如图1）；当 异于双曲
线顶点时，双曲线在点 处的切线平分 （如图2）.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利
用了双曲线的这个光学性质.若双曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．射线 所在直线的斜率为 ，则
B．当 时， 的面积为
C．当 时，若 ，则双曲线 的离心率为
D．存在点 ，使双曲线 在点 处的切线经过原点
三、填空题
15．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学
性质．点P为椭圆（ ， 为焦点）上一点，点P处的切线平分 外角．已知椭圆 ，O为坐标原点，l是点 处的切线，过左焦点 作l的垂线，垂足为M，则线段 的长为 ．
16．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射
后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线 的方程为 ，
其左、右焦点分别是 ， ，直线 与椭圆 切于点 ，且 ，过点 且与直线 垂直的直线 与椭
圆长轴交于点 ，则
17．（23-24高二上·河北张家口·期末）圆锥曲线因其特殊的形状而存在着特殊的光学性质.我们知道，抛物
线的光学性质是平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后汇聚于其焦点；双曲线的光学性质是从双曲线
一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.卡式望远
镜就是应用这些性质设计的.下图为卡式望远镜的中心截面示意图，其主要由两块反射镜组成，主镜是中央
开孔的凹抛物面镜 ，副镜是双曲线左支的旋转面型凸双曲面镜 ，主镜对应抛物线的顶点与副镜对应双
曲线的中心重合，当平行光线投射到主镜上时，经过主镜反射，将汇聚到主镜的焦点 处，但光线尚未汇
聚时，又受到以 为焦点的凸双曲面镜的反射，穿过主镜中心的开孔后汇聚于另一个焦点 处.以 的
中点为原点， 为 轴，建立平面直角坐标系.若 米，凹抛物面镜的口径 为 米，凸
双曲面镜的口径 为1米，要使副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜 的中央孔洞，则孔洞直径最小为
米.
18．（2023·浙江杭州·二模）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一
些光学性质．例如，点P为双曲线（ ， 为焦点）上一点，点P处的切线平分 ．已知双曲线
C： ，O为坐标原点，l是点 处的切线，过左焦点 作l的垂线，垂足为M，则
．
19．（2024·山东淄博·二模）“若点P为椭圆上的一点， 为椭圆的两个焦点，则椭圆在点 处的切线
平分 的外角”，这是椭圆的光学性质之一．已知椭圆 ，点P是椭圆上的点，在点 处
的切线为直线 ，过左焦点 作 的垂线，垂足为 ，设点 的轨迹为曲线 ．若 是曲线 上一点，已
知点 ，则 的最小值为 ．四、解答题
20．（2023高三·全国·专题练习）已知椭圆C： 上、下顶点分别为 ，且短轴长为
，T为椭圆上（除 外）任意一点，直线 的斜率之积为 ， ， 分别为左、右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年
外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证
明：由焦点 发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点 ．（提示：光线射
到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）
